📙 Элементы нелинейной динамики от порядка к хаосу [2006] Васин В. В., Ряшко Л. Б.

💾 Скачать книгу

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решётку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы, может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах Стивена Вольфрама.

Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» является моделью тора, которую В. И. Арнольд продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Трёхмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям и поэтому представляют собой стабильные решения.

#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📙 Элементы нелинейной динамики от порядка к хаосу [2006] Васин В. В., Ряшко Л. Б.

В пособии излагаются элементы теории хаотического поведения простейших дискретных и непрерывных динамических систем и обсуждаются основные понятия фрактальной геометрии. Для студентов физико-математических и технических специальностей вузов.

Теория хаоса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌿 Папоротник Барнсли — это фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли, который впервые описал его в своей книге Фракталы повсюду. Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т. е. это математически сгенерированный узор, который может быть воспроизведен при любом увеличении или уменьшении. Как и треугольник Серпинского, папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены на основе повторяющегося использования математических формул с помощью компьютеров.

Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка: 21 книга по дискретной математике и алгоритмам. Автор: Шень А. Х.

💾 Скачать книги

Александр Ханиевич Шень — российский и французский математик, учёный в области информатики, педагог, популяризатор науки.
Диссертацию кандидата физико-математических наук по теме «Алгоритмические варианты понятия энтропии» защитил в 1985 году под руководством В. А. Успенского. Основные труды в области колмогоровской сложности, информатики. Опубликовал также пособия по преподаванию математики, популярные книги по математике, программированию и астрономии для учащихся, ряд учебников.
#алгоритмы #программирование #математика #дискретная_математика #math #mathematics #maths #алгебра

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка: 21 книга по дискретной математике и алгоритмам. Автор: Шень А. Х.

📗 Лекции по дискретной математике [2017] Вялый, Подольский, Рубцов, Шварц, Шень
📒 Алгебра (2-е изд.) [2009] Гельфанд И.М., Шень А.Х.
📘 Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность [2013] Верещагин , Успенский, Шень
📙 Практикум по методам построения алгоритмов [2016] Шень А.Х.
📚 Лекции по математической логике и теории алгоритмов (4-е изд.) [2012] Верещагин Н. К., Шень А.
📕 Часть 1. Начала теории множеств:
📕 Часть 2. Языки и исчисления:
📕 Часть 3. Вычислимые функции:
📓 Языки и исчисления [2000] Верещагин Н.К., Шень А.
📒 Классические и квантовые вычисления [1999] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый
📔 Игры и стратегии с точки зрения математики [2007] А. Шень
📘 Discrete Mathematics for Computer Science [2021] Golovnev A., Kulikov A.S., Podolskii V.V., Shen A
📘 Дискретная математика в программировании [2021] Головнев А., Куликов А.С., Подольский В.В., Шень А.
📘 Программирование: теоремы и задачи [2017] Шень
и другие..
#алгоритмы #программирование #математика #дискретная_математика #math #mathematics #maths #алгебра

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📕 Дискретная математика и комбинаторика [2004] Джеймс А. Андерсон

💾 Скачать книгу

Эта книга представляет собой современный учебник по дискретной математике. Кроме таких разделов, как математическая логика, теория множеств, комбинаторика, теория графов, теория алгоритмов и вычислений, традиционно включаемых в основной курс дискретной математике, она содержит обширный курс о теории вероятностей, алгебре и теории чисел. Особое внимание уделено теории доказательств. Чтение книги требует некоторой математической культуры, хотя для изучения основных глав достаточно знаний по математике в объеме средней школы. Материал сопровождается многочисленными примерами, в конце каждого раздела приводится большое количество упражнений.

1 Таблицы истинности, логика, доказательства.
2 Теория множеств.
3 Логика, целые числа и доказательства.
4 Функции и матрицы.
5 Алгоритмы И рекурсия.
6 Графы, ориентированные графы и деревья.
7 Теория чисел.
8 Комбинаторика и вероятность.
9 Алгебраические структуры.
10 Некоторые специальные вопросы теории чисел.
11 Некоторые специальные вопросы теории рекурсии.
12 Снова о комбинаторных подсчетах.
13 Производящие функции.
14 Некоторые специальные вопросы теории графов.
15 Деревья.
16 Сети.
17 Теория вычислений.
18 Теория кодов.
19 Перечисление цветов.
20 Кольца, области целостности и поля.
21 Характеры групп и полугрупп.
22 Приложения теории чисел.
#математика #math #maths #алгебра
#высшая_математика #дискретная_математика #программирование #алгоритмы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📕 Дискретная математика и комбинаторика [2004] Джеймс А. Андерсон

Данная книга содержит доступное для начинающего читателя и достаточно полное изложение основных разделов дискретной математики. Особое внимание в ней уделено математической логике. Автор считает это важным как для развития техники доказательств, так и в более широком аспекте развития логического мышления. Кроме оснований математической логики, в книге изложены основы теории множеств, теории графов, теории алгоритмов, комбинаторики, элементы теории вероятностей. Она содержит обширные сведения по алгебре и теории чисел. Книга планировалась автором как основа семестрового или годичного курса по дискретной математике. Чтение книги требует некоторой математической культуры, хотя для изучения основных глав достаточно будет знаний по математике в объеме средней школы. Основной текст сопровождается многочисленными примерами, в конце каждого разделе дано большое количество упражнений.
Книгу можно рекомендовать в качестве пособия по дискретной математике. В первую очередь она адресована преподавателям и студентам. Книга окажется весьма полезной тем, кто интересуется дискретной математикой и желает изучить ее самостоятельно. #математика #math #дискретная_математика #алгоритмы #программирование

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌿 Папоротник Барнсли — это фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли, который впервые описал его в своей книге Фракталы повсюду. Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т. е. это математически сгенерированный узор, который может быть воспроизведен при любом увеличении или уменьшении. Как и треугольник Серпинского, папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены на основе повторяющегося использования математических формул с помощью компьютеров.

Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

Страна: США, PBS Nova
Режиссер: Michael Schwarz, Bill Jersey / Михаэль Шварц, Билл Джерси

Возможно вы не знаете этого, но фракталы, подобно воздуху которым вы дышите, всегда находятся рядом с нами. Их нерегулярные повторяющиеся формы обнаруживаются в плывущих облаках, ветвях деревьев, форме кочанов капусты брокколи, скалистых горных пиках, даже в сердечном ритме. В этом фильме NOVA отправляет своего зрителя в захватывающее приключение вместе с группой безумных математиков, задавшихся целью найти законы, управляющие геометрией фракталов.
Столетиями фрактало-подобные формы считались находящимися за пределами математического понимания. Сегодня математики наконец-то начали наносить на карту эту неизведанную страну. Эта потрясающая находка дала нам более глубокое понимание природы и позволила раздвинуть границы доступного для наших научных, медицинских и художественных возможностей, от понимания экологии тропических лесов до изобретения новых покроев модной одежды. Этот фильм рассказывает о дизайнерах одежды, специалистах по спецэффектам, физиках и исследователях, которым удалось добиться успеха благодаря использованию фрактальной геометрии.

#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

0:00 — Ковёр Серпинского
0:16 — Дерево Пифагора 
0:32 — Дерево Пифагора (версия 2)
0:46 — Красивый фрактал из окружностей
1:10 — Кривая дракона
1:30 — Папоротник Барнсли
1:47 — Вопрос из игры «Что? Где? Когда?»
2:00 — Снежинка Коха
2:10 — Треугольник Серпинсого
2:23 — Множество Кантора
2:40 — Кривая Гильберта
2:50 — Множество Мандельброта
3:15 — Фрактал на основе центроида

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка: 21 книга по дискретной математике и алгоритмам. Автор: Шень А. Х.

💾 Скачать книги

Александр Ханиевич Шень — российский и французский математик, учёный в области информатики, педагог, популяризатор науки.
Диссертацию кандидата физико-математических наук по теме «Алгоритмические варианты понятия энтропии» защитил в 1985 году под руководством В. А. Успенского. Основные труды в области колмогоровской сложности, информатики. Опубликовал также пособия по преподаванию математики, популярные книги по математике, программированию и астрономии для учащихся, ряд учебников.
#алгоритмы #программирование #математика #дискретная_математика #math #mathematics #maths #алгебра

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка: 21 книга по дискретной математике и алгоритмам. Автор: Шень А. Х.

📗 Лекции по дискретной математике [2017] Вялый, Подольский, Рубцов, Шварц, Шень
📒 Алгебра (2-е изд.) [2009] Гельфанд И.М., Шень А.Х.
📘 Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность [2013] Верещагин , Успенский, Шень
📙 Практикум по методам построения алгоритмов [2016] Шень А.Х.
📚 Лекции по математической логике и теории алгоритмов (4-е изд.) [2012] Верещагин Н. К., Шень А.
📕 Часть 1. Начала теории множеств:
📕 Часть 2. Языки и исчисления:
📕 Часть 3. Вычислимые функции:
📓 Языки и исчисления [2000] Верещагин Н.К., Шень А.
📒 Классические и квантовые вычисления [1999] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый
📔 Игры и стратегии с точки зрения математики [2007] А. Шень
📘 Discrete Mathematics for Computer Science [2021] Golovnev A., Kulikov A.S., Podolskii V.V., Shen A
📘 Дискретная математика в программировании [2021] Головнев А., Куликов А.С., Подольский В.В., Шень А.
📘 Программирование: теоремы и задачи [2017] Шень
и другие.. #алгоритмы #программирование #математика #дискретная_математика #math #mathematics #maths #алгебра

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 12 лучших книг по теме: Теория Графов

📕 Графы и их применение [1965] Оре
📘 Теория графов для учителей и школьников [2017] Мельников
📗 Графы и их применение, Пособие для учителей [1979] Березина Л.Ю.
📒 Графы [2014] Гуровиц В.М., Ховрина В.В.
📔 Теория графов [2018] Омельченко А.В.
📓 Теория графов, Алгоритмический подход [1978] Кристофидес Н.
📙 Теория графов [2003] Харари Ф
📘 Введение в теорию графов [2019] Уилсон Р.Дж.
📕 Олимпиадная математика, Задачи по теории графов с решениями и указаниями [2023] Семендяева Н.Л., Федотов М.В.
📗 Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы [2001] Асанов, Баранский, Расин

В этих книгах:
▪️ Основы теории графов и их приложение для внеклассной работы в математических кружках
▪️ Все основные разделы современной теории графов — деревья, циклы, связность в графах, паросочетания, раскраски графов, планарные графы. В конце каждого параграфа приводятся задачи, дополняющие изложенный в учебнике теоретический материал.
▪️ Разнообразные алгоритмы, связанные с нахождением структурных и числовых характеристик объектов из теории графов. В частности, подробно рассматриваются различные алгоритмы поиска решения в задаче коммивояжера.
▪️ Многочисленные примеры иллюстрируют работу конкретных алгоритмов. Приводятся оценки сложности соответствующих процедур.
▪️ Взаимосвязь между теорией графов и теоретической кибернетикой (особенно теорией автоматов, исследованием операций, теорией кодирования, теорией игр).
#дискретная_математика #математика #алгоритмы #информатика #программирование #теория_графов #it #computer_science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📙 Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [2004] И.А. Лавров, Л.Л. Максимова

💾 Скачать книгу

Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Теория множеств была создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики.

Некоторые области применения теории множеств: компьютерные науки, информационные технологии, моделирование данных, проектирование баз данных и разработка алгоритмов. #computer_science #дискретная_математика #математика #теория_множеств #math #coding #алгоритмы

☕️ Для тех, кто захочет задонать на кофе:
ВТБ: +79616572047 (СБП) Сбер: +79026552832 (СБП)

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📙 Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [2004] И.А. Лавров, Л.Л. Максимова

В книге в форме задач систематически изложены основы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов. Книга предназначена для активного изучения математической логики и смежных с ней наук. Состоит из трех частей: «Теория множеств», «Математическая логика» и «Теория алгоритмов». Задачи снабжены указаниями и ответами. Все необходимые определения сформулированы в кратких теоретических введениях к каждому параграфу. 3-е издание книги вышло в 1995 г. Сборник может быть использован как учебное пособие для математических факультетов университетов, педагогических институтов, а также в технических вузах при изучении кибернетики и информатики. Для математиков – алгебраистов, логиков и кибернетиков.

Теория алгоритмов — раздел математической логики, в котором изучаются теоретические возможности эффективных процедур вычисления (алгоритмов) и их приложения.

📝 Теория алгоритмов развивается по нескольким направлениям:

▪️ Классическая теория алгоритмов. Изучает проблемы формулировки задач в терминах формальных языков, проводит классификацию задач по классам сложности (P, NP и др.).

▪️ Теория асимптотического анализа алгоритмов. Рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоёмкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов.

▪️ Теория практического анализа вычислительных алгоритмов. Решает задачи поиска практических критериев качества алгоритмов, разработки методики выбора рациональных алгоритмов. #computer_science #дискретная_математика #математика #теория_множеств #math #coding #алгоритмы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📕 N-угольники [1973] Бахман, Шмидт

💾 Скачать книгу

Глава 1. Циклические классы n-угольников.
Глава 2. Циклические отображения n-угольников.
Глава 3. Об изобарических циклических отображениях.
Глава 4. Отображения усреднения.
Глава 5. Идемпотентные элементы и булевы алгебры.
Глава 6. Основная теорема о циклических классах.
Глава 7. Идемпотент-вложение. Факторкольцо кольца главных идеалов.
Глава 8. Булевы алгебры n-угольников (теория I).
Глава 9. Булевы алгебры n-угольников (теория II).
Глава 10. Рациональные компоненты n-угольника.
Глава 11. Комплексные компоненты n-угольника.
Глава 12. Вещественные компоненты n-угольника.

#математика #math #геометрия #графика #наука #дискретная_математика #графы #физика #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📕 N-угольники [1973] Бахман, Шмидт

В этой книге на вполне элементарном материале, начинающемся с простейших геометрических истин (середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма и т. д.), развита весьма изящная теория, устанавливающая зачастую совершенно неожиданные связи между геометрией и важными концепциями и понятиями современной алгебры. Большое достоинство книги — сопровождающие изложение задачи, которые позволяют читателю все время контролировать степень овладения материалом.

Книга рассчитана на любителей математики самых разных категорий, начиная от старшеклассников, интересующихся этой наукой (например, учащихся школ с математической специализацией).

#математика #math #геометрия #графика #наука #дискретная_математика #графы #физика #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib