Завершаем апрель красивой геометрической задачей ⬆️

Увидели её в канале «Олимпиадная математика ВсОШ» и сразу забрали в копилку наших задач с окружностями.

🔸Условие: два треугольника имеют общие вписанную и описанную окружности. Также известно, что нижняя точка — это середина дуги между двумя соседними с ней вершинами.

🔸Вопрос: докажите, что четыре жёлтые точки лежат на одной окружности — она отмечена на картинке синим пунктиром.

Кстати, автор этой задачи, Давид Бродский, является основателем летней геометрической школы Дабромат. Очень рекомендуем их всем, кто хочет стать призёром (а может, даже и победителем) Всероссийской олимпиады школьников или других серьёзных математических состязаний.

Рассуждения и вопросы по задаче пишите в комментариях. А чтобы проверить себя, переходите по ссылке — тут лежит подробное решение.

#задача

Этот способ решать уравнения настолько неудобный, что…

… о нём забыли на 69 лет.

На самом деле, как и любой гениальной идее, ему нужно было просто настояться.

В недавнем посте про оригами мы рассказывали про доказательство Маргериты Белок. Математик обнаружила, что складка, описанная шестой аксиомой Фудзиты, естественным образом реализует необходимую геометрию отражений для решения общих кубических уравнений.

Но мы тогда не упомянули, чьей идеей вдохновилась Белок.

⏩️А это был никак не связанный с оригами, но уникальный в своём роде геометрический метод Лиля.

Он позволяет визуально находить действительные и (при комплексном расширении) комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами.

Метод очень красивый, но трудоёмкий. Он требовал точного построения определённых углов отражения, что было сложно в мире без компьютерных программ.

На канале у Матлогера есть даже видео, которое так и называется: «Почему мы забыли об этом простом визуальном решении?»

Вероятно, он так и оставался бы незаслуженно забытым, если бы не находка Белок. Хотя практические преимущества вполне очевидны: этот метод не требует ни циркуля, ни транспортира, ни, уж тем более, калькулятора.

🔗 Посмотреть, как работает метод Лиля и построить отражения для своего уравнения можно на этом сайте.

#как_устроено

МИР ❤️ ТРУД ❤️ МАТЕМАТИКА

Собрали вам в подарок первомайский плейлист.

Что думаете? Написать коллегам из Музыки, чтобы подгрузили лекции?

#меммат

Дружеское напоминание: у вас есть ещё один день, чтобы заполнить анкету на поступление в ШАД 👀

Остались сомнения «потяну ли»? Тогда советуем посмотреть материалы для подготовки. На сайте вы найдёте:

▶️варианты экзаменов прошлых лет
▶️список обязательных тем
▶️ссылки на полезные ресурсы

В ШАДе ждут всех, кто давно хотел зайти в анализ данных, разработку или смежные области. Это, пожалуй, один из самых прямых маршрутов к применению математики в реальной жизни.

#рекомендуем

Есть геометрические фигуры, которые на первый взгляд можно принять скорее за игрушку.

И одна из таких фигур — олоид 🤯

Представьте себе две одинаковые окружности радиуса r, расположенные в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждой лежит на окружности другой. Иными словами, каждая из окружностей центрирована на «ребре» другой.

Если взять выпуклую оболочку этих двух окружностей, получится поверхность — это и есть олоид. Именно так в 1929 году её описал Пауль Шатц — швейцарский инженер и скульптор, математик и изобретатель, геометр и исследователь.

С тех пор олоиды стали настолько популярны, что, кажется, изготавливались уже из всего, чего только возможно: от алебастра до LEGO, а вдохновлялись ими представители самых различных профессий — от дизайнеров городской среды до специалистов по тимбилдингу. Но чем же они так примечательны?

С математической точки зрения олоид (или, как его ещё называют, ортобицикл) интересен сразу по многим причинам ⬇️

Во-первых, поверхность олоида образована движением прямых — такие поверхности называются линейчатыми. Более того, олоид является развёртывающейся поверхностью.

Это значит, что такую поверхность можно развернуть на плоскости без растяжений и разрывов; иначе говоря, можно сделать из бумаги трафарет, лежащий на плоскости, который затем можно сложить в исходную фигуру в пространстве.

К той же категории поверхностей относятся цилиндр или конус, но у олоида при этом нет осевой симметрии и простого уравнения. Зато имеется так называемое ребро возврата — особая кривая, вокруг которой поверхность изгибается. Как следствие, олоид можно описать как огибающую семейства отрезков, соединяющих точки двух окружностей.

Примечательно и то, что площадь поверхности олоида с радиусом исходных кругов, равным r, равна 4πr², то есть равна площади поверхности обыкновенной сферы того же радиуса.

🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Самое известное свойство олоида — кинематическое: положив его на плоскость, его можно катить ⬇️

При лёгком толчке расположенный на плоскости олоид будет покачиваться взад-вперёд, а при более сильном — довольно легко катиться. Можно сказать, что, несмотря на «кривую» форму, олоид катится по прямой линии — в том смысле, что общее направление его движения прямолинейно.

Но это совершенно иной тип движения — своего рода волнообразное «виляние» плавным, ритмичным образом с одновременными боковыми колебаниями.

В ходе качения каждая точка олоида рано или поздно касается опорной поверхности, по которой он катится. Для сравнения: у шара или цилиндра есть выделенная зона контакта. У олоида её нет — он «прокатывает» по поверхности всего себя целиком.

Как вы помните, мы упомянули, что олоид — развёртывающаяся поверхность, и это также можно наглядно наблюдать: в процессе одного полного цикла качения он развернёт на плоскость всю свою поверхность.

🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Наглядную демонстрацию особенностей движения олоида можно увидеть в GeoGebra и Wolfram, а также в этом видео. Если же хотите ознакомиться с олоидом более наукоёмко, рекомендуем эту статью.

🤯 — стойте, но вы же не рассказали про реальное применение!

#как_устроено

А у нас получилось вас заинтриговать!
Что ж, рассказываем, чем так полезен олоид 🔍

Свойство «равномерного чередующегося контакта» позволяет ему двигаться почти без трения: каждая точка его поверхности по очереди соприкасается с плоскостью, что практически исключает скользящее трение. Именно поэтому при небольшом количестве энергии олоид способен прокатываться на неожиданно большое расстояние.

Эти особенности привлекли внимание инженеров. Геометрия олоида оказалась весьма полезной в прикладных задачах, прежде всего там, где требуется мягкое, равномерное и в то же время интенсивное перемешивание жидкостей. В отличие от обычных мешалок, создающих водовороты и задерживающих воздух, олоид формирует ламинарный поток, эффективно устраняет «мёртвые зоны» и не создаёт значительных сдвиговых усилий.

📏 Его асимметричная кинематика постоянно нарушает структуру потока, не позволяя образовываться устойчивым вихрям. Такой тип воздействия на жидкость называют трёхмерным смешиванием 📏

Сегодня олоидные лопасти применяются в промышленных системах перемешивания: в очистке воды, биореакторах, аквариумных системах. Они также служат моделью для изучения гидродинамики, турбулентности и переноса вещества. Приведём несколько известных примеров:

▶️Первым, кто увидел в движении олоида промышленный потенциал, был Пауль Шатц. Его разработки на протяжении многих лет снабжали мировую фармацевтическую индустрию тысячами смесителей Turbula. Форма олоида стала основой для множества патентов — от водяных насосов до мешалок, чей ритм имитирует движение плавников водных организмов и потому не причиняет вреда рыбе.

▶️В наши дни, например, австрийская компания Sonett, специализирующаяся на eco-friendly домашних очистителях, использует олоид в качестве перемешивающего устройства для производства бальзамических моющих добавок. Компания Kuboid создаёт аппараты Rhythmixx для ритмизации питьевой воды.

▶️А лейпцигский стартап OLOID Engineering GmbH вообще, по мнению акселератора стартапов Impact Hub, совершает революцию в промышленном перемешивании, продвигая свои решения для очистных сооружений, пивоварен и даже снеговых пушек. Подробно о разных их решениях можно посмотреть здесь.

И напоследок оставим ссылку на совсем свежее исследование, в котором предлагается конструкция для хирургических роботов, позволяющая перемещаться глубже в анатомию человека и получать доступ к органам, недоступным для современных технологий.

Ключевая идея в том, что используются магнитные поля, позволяющие дистанционно манипулировать объектами и идеально подходящие для медицинских применений, поскольку они безвредно проходят через ткани человека.

Обычно магнитное манипулирование ограничено максимум двумя степенями свободы, что сдерживает сложные движения, особенно те, которые включают вращение вокруг главной оси магнитного робота. Для решения этой проблемы авторы предлагают конструкцию робота, вдохновлённую уникальной геометрией развёртываемых роликов, использующих форму олоида.

Благодаря его осевой асимметрии и синусоидальному движению облегчается вращение при точном управлении внешним магнитным полем.

Вот так математика продолжает вкрадываться в нашу жизнь. Накидайте ❤️, если тема прикладных фигур была интересна. У нас есть ещё парочка таких в запасе.

#как_устроено

Представьте: вы — 15-летний сын итальянского купца...

На дворе XV век, эпоха расцвета торговли, а значит, немецкие купцы отправляют своих сыновей в Италию, особенно в Венецию, чтобы те осваивали торговое искусство, в котором итальянцы считаются непревзойдёнными мастерами. И вас ставят перед фактом: чтобы не прогореть в семейном деле, вам нужно освоить… искусство вычислений.

📚 С этого момента примерно на два года вашим главным помощником становится учебник Arte dell’Abbaco, или «Тревизская арифметика»

Слово abbaco, фигурирующее в итальянском названии, происходит от латинского abacus — абак, или, проще говоря, счёты. Пользователей абака называли абакистами.

*️⃣Несмотря на популярность абака, в школах того времени осваивали другой тип вычислений — алгоризм.

Это привычные нам расчёты с использованием индо-арабских цифр: сложение, вычитание, умножение, деление.

Слово «алгоризм» происходит от algorithmi — латинской формы написания имени знаменитого персидского математика IX века Мухаммеда аль-Хорезми, который разработал правила выполнения арифметических действий над десятичными числами.

Совокупность этих правил в Европе стали называть «алгоризмом». Впоследствии слово трансформировалось в известный нам сегодня «алгоритм» и значительно расширило своё значение, выйдя далеко за рамки математики.

Но вернёмся к цифрам. В момент, когда происходила наша история, вычисления на абаке были роднее и привычнее, чем алгоризм. Между адептами двух методов даже шло настоящее соперничество.

Хотя абак и был быстрее, особенно поначалу, и давал меньше ошибок при переписывании, алгоризм победил, потому что этот метод позволял легко работать с дробями и сложными делениями.

Но самое главное — алгоризм позволял записывать весь ход вычислений и расчётов на бумаге, а значит, оставлял «аудиторский след», что было критически важно для контроля сделок.

▶️Кажется, именно этот факт и поставил окончательную точку в процессе перехода, утвердившегося в XV веке, от счёта руками к счёту через запись.

Но это только половина истории. «Тревизская арифметика» — первая европейская печатная книга по математике — сама по себе объект очень интересный и таинственный. И нам, конечно, есть что о ней рассказать...

❤️ — хочу скорее узнать!

#история

Продолжение истории о «Тревизской арифметике» 🎬

Книга, изданная анонимно в 1478 году в итальянском городе Тревизо, не имела официального названия, а её автор и по сей день остаётся неизвестным.

Анонимность таких книг была нормой для практических руководств. Но есть и другой ракурс: Венеции всегда были присущи стремление к самоотстранению и отсутствие тяги к личной славе.

Учебник состоит из 123 ненумерованных страниц и вводит «новую математику», продвигая использование индо-арабской системы счисления и письменных алгоритмов вычислений, восходящих к Liber Abaci Фибоначчи, которая и познакомила Европу с индо-арабскими цифрами и новыми методами вычислений.

Вот что нам ещё известно об этой книге:

⠀
🔍 Внутри — уроки и задачи
⠀
В основном они связаны с торговлей, переводом валюты и расчётом инвестиций. Также там есть практические задачи и приложения для различных ремёсел, включая сельское хозяйство, портняжное дело и строительство.

Многие задачи решаются с применением так называемого правила трёх (аналогичного нашим пропорциям), а также более частного случая — аллигаций, применимых к сплавам, смесям и растворам. Ещё одна любопытная тема — вычисление даты новолуния.

Кстати, некоторые исследователи высказывают предположение, что Джон Непер вдохновлялся именно «Тревизской арифметикой» при создании своих знаменитых палочек, или, как их ещё называют, «костей Непера».

⠀
✏️ Типографские особенности
⠀
Несмотря на то что визуально тексты выглядят достаточно просто, их создание в те времена было чрезвычайно сложным процессом. Интересной особенностью является частая замена цифры «1» буквой «i» — вероятно, из-за нехватки литер с цифрами. Хотя тогда читатели были привычны к римским цифрам, в книге используется арабская система счисления.

Привычные нам символы арифметических операций (−, ×, ÷, +) отсутствуют в средневековой математике, поскольку они появились позже: знак равенства был введён лишь в 1557 году, а знак умножения — аж в 1631-м. Вместо них используются слова: DE — вычитание, FIA — умножение, IN — деление, ET — сложение.

В книге есть понятие дроби, но не в современном виде с десятичной записью. Читая этот учебник, понимаешь, насколько «проще» стала математика за 500 лет.

⠀
🤯 И самое главное — адресат
⠀
«Тревизская арифметика» была написана на разговорном венецианском диалекте, без латыни, для самостоятельного изучения — и предназначалась не учёным, а купцам, бухгалтерам и торговцам, которым арифметика была нужна прямо сейчас, в повседневной работе: для перевода валют между городами, расчёта прибыли от грузов, разделения долей в торговых предприятиях, учёта долгов и процентов.

Эта книга разрушила монополию на математические знания: впервые они принадлежали не привилегированному меньшинству, а всем, кто умел читать на родном языке.

Несмотря на благие намерения автора, учебник, по-видимому, не стал особенно популярным: было выпущено лишь одно издание тиражом 5️⃣0️⃣0️⃣ экземпляров, из которых до наших дней дошли только два.

Один из них использовал историк математики Фрэнк Дж. Свец. Он включил его в свою книгу «Капитализм и арифметика: новая математика XV века». Любопытно, что эта копия содержит предполагаемый автограф её первого владельца и, по-видимому, ученика — Марко Белларами. Прикладываем пруф ниже ↓

200 из 340 страниц книги посвящены подробнейшему разбору каждого из приёмов и комментариям о «новой арифметике» и деловой практике раннего Возрождения.

🔄Богатые исторические детали создают убедительную картину того, как торговый капитализм Венецианской республики раннего Возрождения повлиял на развитие математики — и как математика, в свою очередь, способствовала подъёму капитализма🔄

Если вам интересно порешать задачки из легендарного учебника, ставьте ⚡️ — мы перевели парочку с венецианского специально для вас.

#история

Ненадолго прервём историческое вещание и поговорим о фракталах.

🔄Фрактал — это самоподобная фигура🔄

Если приблизить её кусочек, он окажется похож на всю фигуру целиком. В идеальной математической вселенной фракталы могут быть бесконечно подробными. В реальности, конечно, всё ограничено: пикселями, атомами или… терпением художника.

У фракталов есть одно особенно занятное свойство — нецелая размерность. Познакомимся с ним на примере небольшой задачи с треугольником Серпинского:

🔸Условие: представим, что нам каким-то чудом удалось сделать треугольник Серпинского из железной пластинки. Пусть его сторона равна 1, а масса равна x.

🔸Вопрос: чему будет равна масса такого же треугольника Серпинского со стороной 2?

⠀

*️⃣

Ответ:

3x

⠀
Почему не 2x, не 4x и не 8x?

Посмотрите на иллюстрацию к посту: большой треугольник Серпинского со стороной 2 собирается из трёх одинаковых маленьких треугольников со стороной 1. Значит, если каждый маленький весит x, то большой весит 3x.

Для обычных фигур это не характерно: если увеличить длину отрезка в 2 раза, его масса вырастет в 2 раза. Если увеличить сторону квадрата в 2 раза, площадь и масса вырастут в 4 раза. Если увеличить ребро куба в 2 раза, объём и масса вырастут в 8 раз.

То есть масса растёт как 2ᵈ, где d — размерность фигуры:

1D: 2¹ = 2
2D: 2² = 4
3D: 2³ = 8

А у треугольника Серпинского получилось 2ᵈ = 3.
Значит, d = log₂3 ≈ 1,585.

Это и есть нецелая размерность.

Об этом и других свойствах фракталов будут подробно рассказывать наши друзья на фестивале «Фрактальная Одиссея» 23 мая в Москве. Там можно будет узнать много интересного о фракталах, самоподобии и симметрии в науке и искусстве.

Коллеги также собрали «Галерею самоподобных форм» — выставку из девяти фрактальных фигур, расположенных в порядке их открытия, от множества Кантора до папоротника Барнсли.

Уверены, что событие будет очень эффектным и содержательным. Приходите ❤️

#рекомендуем

Завершаем средневековую серию постов красивой задачей из Арифметики Тревизо:

🔸Условие (оригинальное, прямо из книги): у купца есть 46 марок и 7 унций серебра, сплавленного в соотношении 7 унций и 1/4 на марку. Он хочет отчеканить его так, чтобы оно содержало 3 унции и 1/2 чистого серебра на марку.

🔸Вопрос: определите количество серебра в смеси и сколько латуни он должен добавить.

⠀
*️⃣Подсказка
⠀
Марка — это мера веса драгоценного металла, распространённая в средневековой Европе. Интересно, что слово «марка» тоже связано с идеей «меры» или «стандарта». От весовой марки произошла, например, немецкая марка.

В задачах из Арифметики Тревизо обычно речь идёт либо о весе серебра, либо о сплаве целиком. В данном случае 46 марок и 7 унций — это общий вес имеющегося сплава, содержащего примесь, из расчёта 7 ¼ унции чистого серебра на марку.

Под примесью неблагородного металла в драгоценном сплаве, скорее всего, по умолчанию подразумевается медь в значении лигатуры, но это в условии не уточняется. В решении всплывает слово «медь», хотя на тот момент этим словом часто могли обобщённо называть любой неблагородный металл, который добавляли к серебру или золоту для прочности или удешевления.

Стоит учитывать, что ответы в подобных задачах раскладывали в соответствующей весовой системе мер:

1 марка = 8 унций,
1 унция = 4 кварты,
1 кварта = 36 карат.

Верим в вас и желаем удачи, дорогие будущие купцы. Ждём ваши ответы в коментах под спойлером.

#задача