Взболтать, но не смешивать

С плотностью деревянных кубиков вы справились. Сегодня усложним задачу и добавим к свойству ρ критерий упаковки.

🔸Условие: завод выпускает стальные шарики для подшипников двух размеров — 30 мм и 3 мм в диаметре.

Сначала в бак объёмом 1 м³ и массой 200 кг насыпали доверху шарики диаметром 30 мм, хорошенько потрясли, чтобы больше ни один шарик не влез, и взвесили. Оказалось, что бак с шариками весит 5816 кг.

Затем в тот же бак стали засыпать трёхмиллиметровые шарики и трясли до тех пор, пока они полностью не распределились по пустотам и добавить больше уже не удалось. Снова взвесили бак.

🔸Вопрос: какую цифру показали весы?

*️⃣Подсказка: плотность стали — 7800 кг/м³.

Нашли правильный ответ? Голосуйте за него в опросе ниже. Вес мы округлили до десятков килограммов, но в комментариях можно написать точное значение.

Нелли, методист Яндекс Лицея и автор этой задачи, всё проверит. А мы завтра опубликуем решение ❤️

#задача

Шарикоподшипниковская задача 🤯

Задачи об упаковке тел разной формы — целый класс оптимизационных задач, которые решают с помощью сложных алгоритмов. Но если нас устроит приближённый ответ, то можно подойти к вопросу с физической стороны:

Например, прикинуть размер атома, если считать, что он — крошечный шарик, и все такие шарики одинаковые и плотно упакованы в веществе.

Для этого нужно взять массу тела, разделить её на количество атомов и получить массу одного атома. Потом поделить эту величину на плотность вещества — и мы узнаем объём, из которого уже легко вычислить радиус.

✅ Такой приём часто используют в материаловедении и химии, когда нужно оценить параметры кристаллической решётки, расстояния между атомами и плотность упаковки в металлах, сплавах и кристаллах. Он помогает понять, почему материалы ведут себя по-разному при нагревании или деформации.

Но вернёмся к нашей задаче.

Решение задачи:

1️⃣По первой части условия можно определить массу всех шариков диаметром 30 мм: 5816 кг − 200 кг = 5616 кг.

2️⃣ Объём, который занимает сталь такой массы, равен: V = 5616 кг / 7800 кг/м³ = 0,72 м³. Значит, большие шарики занимают 72 % объёма бака, а 28 % (0,28 м³) остаются свободными.

3️⃣ Диаметры шариков отличаются в 10 раз, а значит, их объёмы — в 1000 раз. Поэтому можно пренебречь разностью кривизны шариков и стенок бака и считать, что маленькие шарики займут такой же процент оставшегося свободного объёма бака: 0,72 × 0,28 м³ = 0,2016 м³.

4️⃣ Тогда их масса будет равна: 0,2016 м³ × 7800 кг/м³ = 1572,48 кг.

5️⃣А вместе с баком и большими шариками: 5816 кг + 1572,48 кг = 7388,48 кг ≈ 7390 кг.

Ответ: 7390 кг.

Видим, что правильных ответов вчера было больше. Вы крутые! И кажется пора вам выкатить что-нибудь посложнее, да?

❤️— уровень норм, решаем всей семьёй
👀— хочу задачу на программирование
🤯— требую зубодробительных задач

#задача

Евклид в цвете 📐

Когда мы только начинали рассказывать про фундаментальные понятия математики, мы скромно сослались на это издание. На самом деле редакция от него фанатеет! И пришла пора объяснить, почему.

В XIX веке книга по математике редко выглядела увлекательно. Страницы были сплошь покрыты простынёй текста с длинными формулами и пугающими чертежами. Но вдруг в 1847 году в Лондоне вышла странная, почти модернистская книга —

⏩️Первые шесть книг «Начал» Евклида, в которых цветные диаграммы и символы заменяют буквы для облегчения понимания⏪️

На первый взгляд автор, Оливер Бирн, просто переиздал классический учебник геометрии, написанный Евклидом около 300 года до н. э. Но фишка была в том, что абстрактные буквенные обозначения обрели цвета и формы. Красные, синие, жёлтые геометрические фигуры сделали взаимодействие с абстрактным текстом последовательным — это было воистину инновационно!

Бирн верил, что визуальная интуиция должна стать главным инструментом обучения математике.

Его подход напоминает принципы, которые почти через сто лет воплотились в учебниках по визуальному мышлению, в системах изотипов Отто Нейрата и пиктограммах, а позже — в графических интерфейсах и UX-дизайне.

Правда в 1847 году это выглядело слишком радикально. Книгу напечатали, но стоила она дорого, продавалась плохо и быстро стала библиографической редкостью.

Интерес к ней вернул Эдвард Тафти — специалист по информационному дизайну. Когда в 2010 году на аукционе Christie’s продавалась его библиотека, среди прочего были выставлены два экземпляра «Начал Евклида» Бирна. Они ушли с молотка почти за 15 тысяч долларов!

Накидайте Бирну 🏆, если хотите знать, что произошло с его книгой дальше. Он точно не был к этому готов…

#это_база

Как учебник геометрии стал примером дизайн-мышления в образовании?

Продолжаем рассказ о книге Бирна. После ещё одного переиздания проект стал классикой нашей эпохи, где познание напрямую зависит от упаковки.

▶️Бирн предвосхитил приёмы, которые сегодня считаются каноном модернистского дизайна. Неслучайно статья на сайте Американского математического общества, посвящённая автору, называется «Оливер Бирн: Матисс математики».

▶️Современные иллюстраторы и типографы снова и снова вдохновляются его учебником. Например, небезызвестный дизайнер Николас Ружо выпустил интерактивную веб-версию книги — очень удобная вещь, советуем!

▶️Ещё одним громким событием стала публикация пакета для LaTeX, дающего возможность бирнифицировать текст. Его, кстати, разработал наш соотечественник — Сергей Слюсарев.

И, конечно, не можем оставить вас без ссылок на целые статьи, посвящённые этой книге, её переизданиям и другим работам Бирна:

🔸 материал американского портала The Verge
🔸 исследование немецкого центра KielSCN
🔸 заметка о современных учебных материалах, развивающих идеи Бирна

К чему мы это всё?

🔄Уравнения едва ли могут быть иллюстрацией. Они создают впечатление, что математика суха или укоренена в условностях. Но Бирну удалось сделать абстрактное наглядным. Должно быть, он любил математику не меньше нас🔄

Сохраняйте пост и делитесь со знакомыми дизайнерами — им точно будет полезно полистать евклидовы «Начала».

Рандомная рекомендация из канала ➡️ тык

#рекомендуем

Оливер Бирн доказал всему миру, что строгую геометрию можно превратить в приятный глазу визуал, если подойти к задаче по-дизайнерски.

А мы знаем целое сообщество людей, которое делает это профессионально! Нашли мы его, кстати, через ещё одну работу, вдохновлённую бирновскими «Началами».

🔗 Канал Data-comics

Его ведёт Наталья Киселёва. Она работает на стыке аналитики и искусства: занимается визуализацией данных, дата-артом и дата-сторителлингом, делает BI и дашборды.

Вот где можно посмотреть, как Наталья работает с данными и учит этому других:
▶️Комиксы о дата-визе
▶️Арт-проекты на основе данных
▶️Канал по визуализации данных для детей

Кстати, скоро там пройдёт детский конкурс по дата-визу. Участники будут креативить с графиками, диаграммами — и выигрывать подарки. Подать заявку можно до 5 ноября!

👀 Вот такая рекомендация для тех, кто не любит лонгриды, но тянется к знаниям. Пробуйте рисовать — кто знает, может, именно вы станете следующим Бирном.

Дорогие подписчики, надеемся, вы отлично проводите праздничные дни ❤️

Грузить сложными вопросами сегодня не будем — предлагаем решить простую и быструю задачу.

🔸Условие: в закрытый аквариум размером 1×2×4 метра налили 25-сантиметровый слой воды — как на рисунке слева. После этого аквариум повернули так, что прямоугольник 1×2 метра стал его основанием — как на рисунке справа.

🔸Вопрос: чему теперь равна толщина слоя воды в нём?

🔸Подсказка: не торопитесь вводить неизвестную.

По традиции ждём ответы под спойлером в комментариях, а решение опубликуем завтра.

#задача

Вчерашняя задача была совсем простой, но мы в редакции видим в ней свою красоту 🧩

Дело в том, что есть стандартное решение «в лоб» — через введение неизвестной, к которому приходят все, кто берётся за задачу. Но есть и другое — буквально в одну строчку.

Вы, конечно, вчера в комментах привели оба решения. Оставляем их здесь для тех, кто любит решать без спойлеров:

ㅤ
✅ ㅤㅤРешение №1
ㅤ

Объём воды до переворота равен:
4 × 2 × 0,25 = 2.

После переворота значение объёма воды не изменилось. Если обозначить толщину слоя за x, получаем:
1 × 2 × x = 2,

откуда следует, что x = 1.

ㅤ
✅ Решение №2
ㅤ

Заметим, что объём воды в аквариуме в исходном положении составляет ровно четверть. Значит, и после переворота он займёт ту же четверть.

Длина всей стороны — 4 м, а значит, толщина воды — 1 м.

Вот такое дружеское напоминание о том, что не всегда нужно усложнять. Берегите голову от лишних вычислений и отдыхайте. С праздником!

🔄Решить задачу посложнее🔄

#задача

О физике, математике и успехе 💬

Мы уже неоднократно рекомендовали вам подкаст Лекса Фридмана. К нему часто заглядывают живые легенды науки и не только. Здесь, например, мы ссылались на вдохновляющее интервью с Теренсом Тао.

А однажды у него побывал Джефф Безос — глава компании Amazon. Легенда предпринимательства признался, что мечтал стать физиком, и рассказал, почему ему этого так и не удалось.

Ещё он поделился интересной мыслью о том, что нужно сегодня, чтобы стать великим физиком:

Для успеха в современной теоретической физике требуются очень высокие математические навыки. Чтобы добиться серьёзных результатов, нужно быть математиком почти мирового уровня.

Разумеется, одной математики недостаточно. Важны также интуиция, нестандартное мышление, способность мыслить латерально.

Да, Безос не имеет докторской степени, но, кажется, его образование и опыт дают ему достаточную базу для рассуждений о науке. Что думаете? 👀

#рекомендуем

Сложнейшую задачу по математике вы уже прошли… на химии!

Только, вероятно, когда вы её разбирали, решение ещё не было доказано. Более того, в химии ещё много чего не доказано из-за строгой математики. Рассказываем...

🔄Тема получилась очень визуальная, поэтому мы хотим поэкспериментировать с вёрсткой. Дайте знать, если карточки удобнее🔄

🎨🎨🎨
🎨🎨🎨 Итак, химия, 7 класс:
🎨🎨🎨 молекула с одним центральным атомом и пятью окружающими образует треугольную бипирамиду. Так учили не одно поколение школьников, но строгое обоснование этого наблюдения появилось лишь недавно.

Учёные шли к нему, на секундочку, с 1897-го! Именно тогда Джозеф Джон Томсон открыл существование электронов, за что, кстати, получил Нобелевскую премию.

Позже физик предложил модель атома, где электроны согласно закону Кулона отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Он утверждал, что вся система стремится расположиться на сфере так, чтобы суммарная потенциальная энергия была минимальной.

Забавно, но со строением атома Томсон оказался неправ. Он считал, что электроны встроены в положительно заряженную «массу» атома. Сегодня мы знаем — это не так. Но идея об отталкивании одинаковых зарядов оказалась очень даже полезной.

Так возникла задача Томсона: к каким расположениям будут стремиться разные количества зарядов?

Формы, когда это количество (N) равно 2, 3, 4, 6, 12, удалось математически доказать ещё к концу XX века. Вот примеры структур:

🎨🎨🎨
🎨🎨🎨 N=2
🎨🎨🎨 диаметр

🎨🎨🎨 N=3
🎨🎨🎨 равносторонний
🎨🎨🎨 треугольник

🎨🎨🎨 N=4
🎨🎨🎨 правильный
🎨🎨🎨 тетраэдр

🎨🎨🎨 N=6
🎨🎨🎨 правильный
🎨🎨🎨 октаэдр

🎨🎨🎨 N=12
🎨🎨🎨 правильный
🎨🎨🎨 икосаэдр

Но для других значений N задача становится гораздо сложнее.

Возьмём N = 5. Равновероятными здесь кажутся две формы молекулы — треугольная бипирамида и тетрагональная пирамида.

Численные исследования долго указывали на то, что минимальная энергия достигается конфигурацией «треугольник на экваторе + два полюса», однако подтвердили это только в 2010 году. И сделал это Ричард Эван Шварц. Вот какая фигура у него получилась:

🎨🎨🎨N=5
🎨🎨🎨треугольная
🎨🎨🎨бипирамида

А теперь посмотрите на эти решётки:

🎨🎨🎨 N=7
🎨🎨🎨 пятиугольная
🎨🎨🎨 бипирамида

🎨🎨🎨 N=8
🎨🎨🎨 кубическая
🎨🎨🎨 антипризма

Эти и многие другие конфигурации до сих пор никем не доказаны. А то, что доказал Шварц, стало прорывом для математиков, физиков и химиков современности. Один его препринт на эту тему занял 67 страниц...

К чему мы это всё?

▶️Во-первых, незавершённость задачи Томсона позволяет учёным отрабатывать новые методы оптимизации. Без неё стагнировали бы инженерия, информатика, экономика и другие точные науки.

▶️А во-вторых, только представьте: ошибочная гипотеза нобелевского лауреата по физике оказалась пищей для развития стольких математических идей.

Так может именно вам суждено доказать конфигурацию N=8?

Жмите 🕊️, чтобы отправить лавры Томсону и Шварцу. Лично нас эта история очень вдохновила!

#как_устроено

Задача от Пита Мондриана 📏

Совсем недавно мы писали про революционную книгу Бирна и сравнивали её с более поздними работами мировых абстракционистов — Матисса и Мондриана. Каково же было наше удивление, когда мы нашли задачу, вдохновлённую картиной второго!

Обнаружили её в канале «Квантландия». Сейчас, кстати, команда проводит онлайн-турнир по интерактивным задачам и головоломкам. Участие бесплатное, а победители по итогам сезона получат призы. Регистрируйтесь, если вам не хватает нашей постоянной рубрики.

А теперь перейдём к самой задаче. Мы её раскрасили в другие цвета, чтобы вам было сложнее интереснее решать:

🔸Условие: прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1.

🔸Задача: найти стороны прямоугольника.

*️⃣Подсказка: не дайте картинке себя обмануть — на рисунке изображён прямоугольник, а не квадрат!

Пишите свои ответы в комментариях и не забывайте скрывать их под спойлер.

#задача

Задача Мондриана на самом деле не про геометрию...

Да и вообще, будем честны, Мондриан не придумывал никаких задач — это сугубо математическая самодеятельность. Так вот, если здесь не пугаться множества обозначений, то задача легко решается как линейно-алгебраическая.

Решение:

1️⃣ Пронумеруем квадраты, из которых состоит прямоугольник, как на рисунке. Пусть x и y — ширина и высота большого прямоугольника, а сторона квадрата с номером i равна aᵢ.

2️⃣ Теперь нужно составить уравнения — они будут отражать «стыковку» квадратов: где один квадрат дополняет другой до полной длины или высоты.

3️⃣ Например, маленький белый квадрат вместе со 2-м дают длину 1-го, а белый с 4-м по высоте равен сумме 5-го и 6-го. Так мы получаем систему линейных уравнений для неизвестных x, y, aᵢ:

a₂ = 1 + a₅
a₃ = a₂ + a₅
a₁ = a₂ + 1
a₄ = a₁ + 1
1 + a₄ = a₅ + a₆
a₇ = a₄ + a₆
a₈ = a₆ + a₇
a₆ + a₈ = a₅ + a₃
x = a₁ + a₂ + a₃
y = a₁ + a₄ + a₇

4️⃣ Дальше последовательно выражаем переменные через a₅. Из a₂ = 1 + a₅ следует a₃ = 1 + 2a₅ и a₁ = 2 + a₅, откуда a₄ = 3 + a₅.

5️⃣ Заметим, что a₆ = 1 + a₄ − a₅ = 4. Продолжая по цепочке, находим все стороны квадратов и самого прямоугольника: x = 32, y = 33.

Этот способ универсален — если бы исходный прямоугольник разбили на большее число квадратов, принцип решения был бы аналогичный. Но если в конкретно нашем случае обозначить неизвестные иначе, мы получим...

более короткое решение:

1️⃣ Достаточно длину стороны 5-го квадрата принять за x, тогда для 2-го, 1-го и 4-го квадратов получается последовательно: x+1, x+2, x+3; для 3-го — 2x+1.

2️⃣ Сторона 6-го квадрата вычисляется как 1+(x+3)−x = 4, соответственно, у 7-го квадрата — x+7, а у 8-го — x+11.

3️⃣ Теперь сторону 3-го квадрата можно выразить через длины сторон 5-го, 6-го и 8-го: (x+11)+4−x=15.

4️⃣ Решив уравнение 2x+1=15, получаем, что x=7 и, соответственно, исходный прямоугольник имеет размеры 32 на 33.

🔄Решить рандомную задачу🔄

#задача

Числа вскружили нам голову...

Помогайте! Хотим вернуть баланс между абстрактным и прикладным.

💬 Пишите в комментариях, о чём хотите почитать. Какие реальные технологии или явления разобрать с математической стороны?

#меммат