✖️ Как молодой математик бросил вызов 40-летней теории и ускорил интернет

Сегодня у нас для вас история, которая доказывает: математика поддаётся смелым.

❓Что случилось
Зимой 2025 года Эндрю Крапивин, аспирант Кембриджского университета, опубликовал статью о новом подходе к хеш-таблицам. В ней он сумел опровергнуть гипотезу Эндрю Яо и придумал, как ускорить интернет. Самое удивительное: о существовании гипотезы Эндрю не знал. А статья его стала настоящей сенсацией, и вот почему.

🗂️Что такое хеш-таблицы
Каждый раз, когда вы ищете товар в онлайн-магазине или приложение в сторе, в дело вступают хеш-таблицы. Это структуры данных, которые хранят пары «ключ-значение» и помогают находить информацию.

Представьте библиотеку, где у каждой книги есть уникальный номер (ключ), а каталог (хеш-функция) указывает точное место книги на полке. Примерно так это и работает.

📝 Гипотеза Яо
У хеш-таблиц есть ограничения. По мере заполнения таблицы увеличивается вероятность коллизий — ситуаций, когда разные ключи указывают на одну ячейку.

В 1985 году Эндрю Яо предположил, что при высокой заполненности таблицы поиск свободной ячейки требует времени, пропорционального степени заполнения. Например, при заполненности на 99% придется проверить около 100 позиций, чтобы добавить новый элемент, а при заполненности на 99,9 — 1000 позиций.

🚀 Что придумал Крапивин
В коротком посте объяснить будет нелегко. Если сильно упрощать, Крапивин придумал новый тип хеш-таблиц. Он предложил разбивать таблицу на сегменты так, что при заполненности одного сегмента можно сразу начать искать в другом.

Этот метод позволяет находить свободные ячейки намного быстрее, даже если таблица сильно заполнена. А в некоторых случаях — искать данные за постоянное время независимо от того, насколько полна таблица. Метод опровергает теорию, которой четыре десятка лет!

🌐 Влияние на будущее интернета
Теперь благодаря Крапивину разработчики смогут создавать более быстрые и эффективные структуры данных. Веб-страницы начнут быстрее загружаться, а онлайн-сервисы — лучше работать. Иными словами, нам с вами ускорят интернет, чтобы смотреть мемы и картинки с котами было ещё проще.

Возможно, Крапивин сделал открытие, потому что не слышал о теории Яо и не знал, что его что-то ограничивает?

#история

🧶 Как вязание помогло ученой с решением задачи, над которой математики бились десятилетиями

Кто-то разводит комнатные растения, кто-то пишет музыку, а Сусанна Хейккиля из Финляндии любит вязать. Именно это хобби помогло ей продемонстрировать результаты своего открытия в топологии.

📝 Небольшая справка:

Топология — один из самых абстрактных разделов математики. Он изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях.

В 1981 году математик Михаил Громов задался вопросом: можно ли любую гладкую, замкнутую многомерную фигуру без «дыр» — например, четырехмерную сферу — получить путем плавных искажений и растяжений плоского евклидова пространства? И если нет, то с какими фигурами это возможно?

Проблема оказалась настолько сложной, что ее не могли решить четыре десятилетия. Лишь в 2019 году Александр Прайвес представил контрпример в четырехмерном пространстве и доказал, что с любой фигурой так поступить нельзя.

Хейккиля из Университета Хельсинки пошла дальше и выяснила, какие именно четырехмерные формы можно получить, деформировав плоское пространство. Она дала классификацию таких фигур, а это отвечает на вопрос Громова!

🌀 А причем тут все-таки вязание? Хейккиля использовала его для визуализации результатов. К публичной защите диссертации в начале 2025 года она подготовила вязаные модели:

🟠 Первая — полотно с шахматным узором и квадратами с разноцветными углами.
🟠 Вторая — «мяч», сфера с разноцветными полусферами.

Если натягивать полотно на мяч так, чтобы разноцветные углы совпали между собой, останется зазор между квадратами там, где эти углы прикрепляются друг к другу. Зазор можно устранить за счет растяжения ткани, что иллюстрирует суть работы учёной.

Хейкилля уверена, что вязание помогает понять топологию: петли и узлы показывают, как одни фигуры преобразуются в другие без разрывов и склеиваний. Кажется, хобби, которые помогают занять руки и спокойно порассуждать — отличный способ делать маленькие и большие открытия. Что думаете?

#история

🌀 Помните учёную, которая использовала вязание для демонстрации открытия в топологии? Пробуем объяснить, что она сделала (хотя бы примерно)

Недавно мы рассказывали про Сусанну Хейккиля: учёную, которая совершила открытие в топологии и продемонстрировала результаты с помощью вязания, своего хобби. Нам так понравилась эта история, что мы решили вернуться с небольшим пояснением и попробовать рассказать, с чем вообще связано открытие Хейкилля.

Итак, наглядно изобразить то, что сделала героиня предыдущего поста, практически невозможно. Четырехмерные многообразия, о которых идёт речь в работе Хейккиля, нельзя визуализировать в привычном нам трёхмерном пространстве.

Её вязаная модель показывает, почему плоский диск нельзя аккуратно «натянуть» на сферу, не создав складок или разрезов. Этот факт относится к классическому результату о невозможности изометрического вложения плоскости в сферу. Звучит сложно, потому что так и есть: топология — одна из самых сложных областей математики, и объяснению она поддаётся трудно.

В связи с историей о Хейккиля интересно вспомнить о Джеймсе Александере. Учёный, к слову, происходил из очень влиятельной американской семьи, был миллионером и предерживался чрезвычайно левых взглядов.

А ещё он тоже изучал конструкции вложений в топологии, и две его идеи оставили серьезный след в топологии.

✅Первая идея — так называемый «трюк» Александера.
✅Вторая — знаменитая «дикая» сфера, известная как «рогатая сфера Александера» (кстати, в книге «Математический дивертисмент», которую мы советовали здесь, «дикой сфере» посвящена целая глава).

Пример рогатой сферы показывает, как двумерную поверхность шара можно вложить в трехмерное пространство в виде вот такой страшной конструкции, как на гифке. Эта идея стала переломным моментом для геометрии и топологии в частности: она разрушила наивную геометрическую интуицию и заставила математиков уточнять формулировки.

Этот пример не поможет понять, что именно сделала Хейккиля, но поможет оценить сложность стоявшей перед ней задачи: учёной нужно было классифицировать плоские (двумерные) объекты, которые можно специальным образом (сохраняя необходимые свойства) вложить в многомерное пространство (даже не трёхмерное, а аж четырёхмерное!).

Здорово, что кто-то не просто понимает, как это устроено, а ещё и делает открытия в этой области 🌟

#история

Навигация, снежинки и картошка ❓

А ещё — оптика, математика, алхимия и немного пиратства. Всё это — лишь часть увлечений Томаса Харриота, учёного, который не оставил после себя ни одной публикации, но повлиял на науку сильнее, чем многие из тех, чьи имена вписаны в школьные учебники.

Сегодня рассказываем о его судьбе, полной важных открытий и несправедливого забвения ✨

После учёбы в Оксфорде Харриота заметил Уолтер Рэли — известный английский придворный, поэт и авантюрист. Будучи мореплавателем, Рэли проводил экспедиции в Новый Свет и покровительствовал пиратам. Особенно он любил грабить испанские суда. 

И вот однажды, увидев на корабле кучу сложенных ядер, Рэли подумал, что было бы неплохо узнать, сколько ядер в куче, не пересчитывая их. Сам он был в математике не силён, поэтому делегировал эту задачку своему помощнику Харриоту. 

Математик довольно быстро решил эту задачу, но задался другим вопросом: как лучше всего укладывать ядра. За помощью он обратился к Иоганну Кеплеру. В переписке они обсуждали гексагональные узоры, как наилучший способ расположения сфер. Так, кстати, родилась теория о форме снежинок.

Вскоре покровителя Харриота посадили, а сам математик продолжил сотрудничать с людьми, промышлявшими контрабандой и частным пиратством. По некоторым данным, он поставлял им карты и инструменты.

Помимо прочего он был невероятно продуктивен в науке, причём в совершенно разных областях. Список заслуг действительно внушительный:

✅Харриот обучал капитанов навигации, составлял карты и сопровождал одну из первых колониальных миссий в Виргинию. Там он изучал язык местных индейцев и составил первый известный словарь языка алгонкинов. А его труд о новой найденной земле Вирджиния сыграл важную роль в колонизации Северной Америки.

✅Математик задавался вопросом чеканки монет и впервые использовал гидростатическое взвешивание для измерения плотности объектов. 100 лет спустя для выполнения таких исследований английский Монетный двор нанял Исаака Ньютона. Математическое сопровождение помогло стране провести денежную реформу и глобализировать валюту.

✅Под покровительством алхимика Генри Перси, известного как «Колдун из Сайона», Харриот проводил астрономические и оптические эксперименты с телескопами. Судя по записям, он наблюдал Луну в телескоп ещё в июле 1609 — за 4 месяца до знаменитого открытия Галилея. 

✅Первым вывел уравнение луча, преломляющегося в среде с переменным показателем, и заложил основу геометрической оптики.

✅Вы не поверите, но считается, что в 1586 году Томас Харриот привёз в Англию и Ирландию первые клубни картофеля. Позже, через Нидерланды, они попали и в Россию — так что к нашей аграрной истории он тоже косвенно приложил руку.

Парадокс Харриота ✨

Как мы уже упоминали вчера, он ничего не опубликовал при жизни. Его труды по алгебре, оптике и астрономии переоткрывали позже другие, но посмертная слава обошла его стороной.

Надеемся, что наш рассказ выведет заслуги учёного из тени! Ставьте 💔 — гений без публикаций тоже достоин памяти.

#история

Насколько вы удивитесь, если узнаете, что задачу про монаха придумал вовсе не математик?

🔴Впервые она появилась в 1945 году в книге немецкого психолога Карла Дункера. Он был одним из пионеров когнитивной психологии и интересовался, как люди приходят к решению «не по шаблону».

Автор сформулировал задачу как «проблему с обманчивой формой» — её не легко решить аналитически, и просто, если сделать правильный концептуальный сдвиг. Из-за этого она больше похожа на дзенский коан, и монах здесь тоже возникает не случайно. Его образ легко поддаётся «раздвоению», а события, разнесённые по времени, совмещаются.

Об этом позже заговорил Артур Кёстлер — писатель и философ, изучавший феномены инсайта и креативного мышления по следам Дункера. В своей книге «Акт творения» он пишет, как неожиданное решение возникает из-за столкновения двух конфликтующих рамок мышления.

Отсюда, кстати, рождается секрет успеха всех креативщиков: чтобы родилась новая идея, нужно скрестить несовместимое.

Любопытно, что автор вспоминает в этом контексте и Фридриха Кекуле, который открыл кольцевую структуру молекулы бензола после сновидения: химик увидел во сне змею, которая кусает себя за хвост, и благодаря образу предположил, что атомы углерода в молекуле могут быть соединены в кольцо, а не в линейную цепь.

Немного теории мышления

Человеческий мозг, как правило, осмысливает сложные явления с помощью двух когнитивных механизмов:

✅ Концептуальная метафора — когнитивная теория, согласно которой мышление основано на переносе структуры из одной области (например, движение во времени) в другую (физическое перемещение в пространстве).

✅ Концептуальный блендинг — теория, описывающая, как наш разум «смешивает» ментальные пространства для порождения новых идей.

Задача про монаха — прекрасный пример такой модели: сначала мы создаём метафорический «встречный поток», сдвигая движение во времени. А затем объединяем два ментальных пространства — день подъёма и день спуска.

Причём здесь математика?

Понимание абстрактной науки невозможно без смешения идей. Математические процессы требуют освоения обширных сетей метафорических сочетаний. Но это уже изыскания когнитивной науки о математике.

В комментариях к посту оставляем ссылки, где можно встретить задачу про монаха. Широта её упоминаний нас действительно поразила — делимся!

#история