🌀 Андрей Марков: человек, который приручил случайность

Настроение сегодня философское, поэтому снова порассуждаем о случайностях. А заодно расскажем о математике, который посвятил изучению этих случайностей годы.

➡️ В начале прошлого века считалось, что если знать прошлое, можно безошибочно предсказать будущее — так думал, например, математик Пьер-Симон Лаплас. Но российский математик Андрей Марков показал, что есть процессы, где только текущее состояние определяет будущее, а прошлое не имеет значения.

Представьте человека, который гуляет по городу. На каждом перекрёстке он бросает монетку, чтобы решить, куда идти: орёл — направо, решка — налево. Куда он попадёт в итоге, зависит не от того, откуда он пришёл, а от его поведения на текущем перекрёстке. Решает момент!

Именно такую идею случайности впервые описал Марков, когда придумал марковские процессы. А с ними и марковские цепи: частный случай марковских процессов, где переходы из одних состояний в другие описываются набором вероятностей.

❓ Где используют марковские цепи

Марков не подозревал, что его работа ляжет в основу сервисов, которыми пользуемся мы с вами. Например, в популярных поисковиках работает PageRank: это марковская цепь, которая определяет, какие сайты должны быть в топе выдачи. Работает это так:

Каждая страница, на которую можно кликнуть, считается возможным состоянием. Человек может попасть на страницу с определенной вероятностью, просчитать которую помогает поведение пользователей.

Какой бы ни была начальная страница, с которой пользователь начинает путешествовать по интернету, абсолютно любая страница имеет вероятность стать той, на которую он попадет. Чем выше вероятность, тем выше в выдаче окажется страница.

Ещё марковские цепи используют в машинном обучении — например, в генерации текста. Чтобы сгенерировать следующее слово, алгоритм смотрит на текущее слово или короткий контекст, а предысторию не учитывает.

Другой пример — распознавание речи в Siri и других ассистентах: алгоритмы прогнозируют следующее слово с помощью скрытых марковских моделей.

Никакой магии, только математика 🔮

#как_устроено

🧊Задача о муравье и кубе: сколько нужно шагов?

Тема случайных блужданий нас не отпускает, поэтому предлагаем решить связанную с ней задачу. Кстати, ее часто дают на собеседованиях — например, на позицию дата-аналитика.

➡️Условие
Допустим, у нас есть куб. У куба 8 вершин и 12 ребер. На одну из вершин этого куба мы посадили муравья. Он начинает двигаться случайным образом: на каждом шаге выбирает одно из трёх соседних рёбер с равной вероятностью и переходит по нему в следующую вершину.

➡️Вопрос
Сколько шагов в среднем понадобится муравью, чтобы добраться до противоположной вершины — то есть до той, которая соединена с начальной диагональю через весь куб?

Делитесь рассуждениями и ответами в комментариях, а мы опубликуем решение уже вечером!

#задача

📕 Три книги о математике, которые точно стоит прочитать

Майские — хороший повод начать новую книгу. Выбрали для вас самые интересные и рассказали, почему они нам нравятся.

1️⃣ Математическая составляющая. Редакторы-составители: Николай Андреев, Сергей Коновалов, Никита Панюнин
Must read и первейшая рекомендация для тех, кто интересуется математикой, но не готов браться за слишком трудный материал. Если бы наш канал был книгой, это была бы «Математическая составляющая».

Книга состоит из трех частей. Первая — о математике и достижениях цивилизации. Например, о том, как задача о Кёнигсбергских мостах (рассказывали о ней здесь) пригождается при расшифровке генома.

Вторая часть — о математике в повседневных вещах. Вы узнаете, почему футбольный мяч устроен именно так и почему у бумаги формата А4 такие длины сторон.

В третьей части собраны тексты посложнее: объемные и со множеством деталей.

Кстати, электронную версию книги можно бесплатно прочитать и скачать на официальном сайте.

2️⃣ Апология математики. Владимир Успенский
Это не совсем книга, а скорее сборник статей профессора Владимира Успенского — математика, лингвиста и ученика великого Колмогорова.

«Апология математики» объясняет, какое огромное место математика занимает в нашей жизни, и помогает проникнуться ее красотой. А еще — связывает математическое и гуманитарное. Например, одна из глав называется «Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике», и практически весь первый абзац этой главы посвящен... Пушкину!

3️⃣ Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир. Нелли Литвак, Андрей Райгородский
Книга о том, как математика работает внутри поисковиков, онлайн-рекламы, шифрования и даже очередей в супермаркете. Она объясняет, почему современный мир буквально существует благодаря математике (нам такая точка зрения очень близка!).

Книга написана для широкой аудитории, но в ней есть математические приложения и даже строгие математические формулировки с доказательствами теорем.

Кстати, все три книги — лауреаты или финалисты премии «Просветитель». Вот такая просветительская у нас получилась подборка 😊

#рекомендуем

🧶 Как вязание помогло ученой с решением задачи, над которой математики бились десятилетиями

Кто-то разводит комнатные растения, кто-то пишет музыку, а Сусанна Хейккиля из Финляндии любит вязать. Именно это хобби помогло ей продемонстрировать результаты своего открытия в топологии.

📝 Небольшая справка:

Топология — один из самых абстрактных разделов математики. Он изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях.

В 1981 году математик Михаил Громов задался вопросом: можно ли любую гладкую, замкнутую многомерную фигуру без «дыр» — например, четырехмерную сферу — получить путем плавных искажений и растяжений плоского евклидова пространства? И если нет, то с какими фигурами это возможно?

Проблема оказалась настолько сложной, что ее не могли решить четыре десятилетия. Лишь в 2019 году Александр Прайвес представил контрпример в четырехмерном пространстве и доказал, что с любой фигурой так поступить нельзя.

Хейккиля из Университета Хельсинки пошла дальше и выяснила, какие именно четырехмерные формы можно получить, деформировав плоское пространство. Она дала классификацию таких фигур, а это отвечает на вопрос Громова!

🌀 А причем тут все-таки вязание? Хейккиля использовала его для визуализации результатов. К публичной защите диссертации в начале 2025 года она подготовила вязаные модели:

🟠 Первая — полотно с шахматным узором и квадратами с разноцветными углами.
🟠 Вторая — «мяч», сфера с разноцветными полусферами.

Если натягивать полотно на мяч так, чтобы разноцветные углы совпали между собой, останется зазор между квадратами там, где эти углы прикрепляются друг к другу. Зазор можно устранить за счет растяжения ткани, что иллюстрирует суть работы учёной.

Хейкилля уверена, что вязание помогает понять топологию: петли и узлы показывают, как одни фигуры преобразуются в другие без разрывов и склеиваний. Кажется, хобби, которые помогают занять руки и спокойно порассуждать — отличный способ делать маленькие и большие открытия. Что думаете?

#история

📕 Книги о математике для тех, кто готов к чему-то посложнее

Мы не удержались и сделали вторую подборку книг. Если хочется глубокого погружения и сложных тем, она для вас! А книги полегче — здесь 🙂

1️⃣ Математический дивертисмент. Сергей Табачников, Дмитрий Фукс

Это сборник из 30 лекций, посвященных сюжетам из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии. Например, там можно найти лекции о рогатой сфере Александера, математических бильярдах в эллипсах и геометрии клетчатой бумаги.

Общая цель лекций — показать красоту математических рассуждений. Читать их, кстати, советуем с карандашом и бумагой наготове: возможно, над чем-то захочется серьезно поразмышлять.

Книгу можно найти в свободном доступе по этой ссылке.

2️⃣ Математическое понимание природы. Владимир Арнольд

Книга как раз для читателей нашего канала: в ней о том, как математика проявляет себя в реальном мире. Вы узнаете о приливах и явлении Гиббса, о глубине воды и картезианской науке, об инверсии в цилиндрических зеркалах метро и эксцентриситете кеплеровой орбиты Марса. И всё это — через призму научного видения математика Владимира Арнольда.

Электронную версию книги издательство распространяет бесплатно.

3️⃣ Математика как метафора. Юрий Манин

Третья книга в подборке — тоже настоящий челлендж. Ее написал Юрий Манин, видный специалист по алгебраической геометрии. Специальные математические знания для её понимания не нужны, но Манин предлагает разобраться в философских аспектах математики, а это может быть не так просто.

В сборник вошли очерки по истории и философии математики и физики, теории культуры и языка, отрывки из воспоминаний, стихи и даже стихотворные переводы. И да, эта книга из нашей подборки тоже есть в открытом доступе.

А вы какие книги о математике посоветовали бы почитать?

#рекомендуем