Числа вскружили нам голову...

Помогайте! Хотим вернуть баланс между абстрактным и прикладным.

💬 Пишите в комментариях, о чём хотите почитать. Какие реальные технологии или явления разобрать с математической стороны?

#меммат

Мем вряд ли спасёт нас от запутанности сегодняшней темы... Но мы попробуем разобраться 🔍

Всем знакомо число π. Это отношение длины окружности к её диаметру, равное 3,14159… и бесконечно много знаков далее. Формулы длины окружности 2πr, площади круга πr², объёма шара 4/3 πr³ — естественная среда обитания числа.

Но иногда π неожиданно появляется в тех местах, где, казалось бы, нет особой геометрии и, тем более, никаких окружностей. Более того, феномен помогает находить новые методы вычисления этого самого π. Рассказываем в двух частях!

🔸В 1777 году французский натуралист Жорж-Луи Леклерк де Бюффон предложил задачу, которая стала первым примером геометрической вероятности.

Вот условие:

Представьте пол с параллельными линиями, расстояние между которыми равно L. Вы берёте иглу длиной l, где l не более чем L, и случайным образом бросаете её на пол.

Какова вероятность, что игла пересечёт одну из линий?

🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Бюффон показал, что эта вероятность равна 2l ⁄ πL.

В задаче про бросание иглы, где есть только прямые линии и случайность, появилось π! Но точно ли тут нет окружности?

🔸Вообще говоря… есть! Когда мы бросаем иглу на пол, у неё есть две случайные величины:

🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
d — положение центра иглы относительно ближайшей линии
α — угол наклона иглы относительно некоторого направления (обычно его берут совпадающим с направлением линий)

✅ И вот ключевой момент: угол будет равномерно распределён от 0 до 2π!

Когда игла падает, она может упасть под любым углом с равной вероятностью — это и есть та самая окружность, которая прячется в задаче.

Игла «крутится» вокруг своего центра, и все направления равновероятны. И когда мы рассматриваем все возможные ориентации иглы, мы фактически рассматриваем точки на окружности.

*️⃣На самом деле задачу Бюффона можно даже переформулировать явно через окружность: вместо иглы мы бросаем радиус окружности или диаметр. Центр может оказаться где угодно, а радиус может быть направлен в любую сторону. Условие пересечения с линией — это условие на угол и положение, которое естественно включает π.

Эта незатейливая задача открыла математикам один из методов приближённого вычисления π (тут, наконец, должен проясниться смысл мема, с которого мы начали). Расскажем о методе подробнее в следующем посте.

🤯— если загрузили инфой
🤓— если хотите продолжения

#как_устроено

Жизнь Пи 2: случайности и закономерности

Согласитесь, сама цепочка знаков после запятой мало кому нужна. Но вот поиски новых способов вычислять π рождают мощнейшие алгоритмы и загадочные последовательности, которые человеку только предстоит доказать.

▶️Вернёмся к формуле вероятности Бюффона: 2l ⁄ πL. Что она даёт?

Замечательный метод приближённого вычисления π:

Если взять L=2 и l=1 (допустим, что расстояние между линиями вдвое больше длины иглы), то искомая вероятность будет равна 1/π.

Тогда π можно оценить как общее количество бросков, делённое на количество пересечений. Проще всего это сделать, взяв побольше спичек, нарисовать на большом листе бумаги параллельные линии и бросить спички. Далее подсчитать, сколько спичек пересекло линии, и разделить общее количество спичек на число пересечений.

Так мы получим приближение π! Причём чем больше спичек, тем точнее приближение. Очень наглядно это показано на видео (увидели его тут).

Конечно, метод не эффективен для практических вычислений — сходимость медленная, и нужны тысячи бросков для хорошей точности. Но какая идея: π можно поймать статистически, через случайный эксперимент!

▶️И что — в подобных ситуациях всегда будут окружности?

Трудно сказать, но в качестве пищи для размышлений приведём ещё более необычную историю.

Выберите два случайных целых числа. Какова вероятность, что у них нет никаких натуральных общих делителей, кроме единицы? Иными словами — что они взаимно просты? Да-да, как в недавнем меме.

Ответ поражает: примерно 61%, а более точно 6/π². Пи появляется в задаче о целых числах и делимости, что далеко от геометрии.

Этот результат принадлежит Леонарду Эйлеру и связан с дзета-функцией Римана. В точке 2 эта функция даёт значение π²/6.

Эйлер доказал это ещё в 1735 году, решив знаменитую Базельскую проблему. А вероятность того, что два числа взаимно просты, оказывается обратно пропорциональна значению дзета-функции в точке 2.

Объясняется так: вероятность, что оба числа делятся на простое p, равна 1/p², а вероятность, что не делятся — 1−1/p². Перемножая по всем простым числам и используя связь с дзета-функцией, мы получаем этот элегантный результат.

Если копать глубже, π всплывёт и в других сюжетах: нормальное распределение, формула Стирлинга, множество Мандельброта. Константа проходит через геометрию, анализ, теорию чисел, вероятность.

Видим в этом очередное напоминание: математика едина и бесконечно красива!

Согласны? Тогда поддержите лонгрид реакциями. А если было сложно советуем две статьи с классными визуализациями: эту и эту. Вопросы в комментах также приветствуются.

#как_устроено

Нет, вам не кажется 👀

Как известно, если десятичное представление числа либо конечное, либо бесконечное, но рано или поздно входит в период, — это число рациональное.

Если же период никогда не появляется и цифры бесконечно продолжаются без регулярности — число иррационально. Так обстоит дело с нашим любимым π, например.

Тем удивительнее следующее:

Рациональное число 1/89 можно представить как сумму слагаемых, в хвостовой части десятичных дробей которых пробегают все числа Фибоначчи.

Если сложить все эти слагаемые (а их количество бесконечно), их сумма обязана дать периодическую дробь — ведь результат рационален!

Кто-то уже знаком с этим красивым феноменом?

🤓 — да, но спойлерить не буду
🤯 — вызывайте пояснительную бригаду...

#как_устроено

Пояснительная бригада 🤯

Последовательность чисел Фибоначчи принято обозначать за Fₙ, то есть F₀ = 1 и F₁ = 1, а далее по правилу Fₙ₋₁ + Fₙ = Fₙ₊₁. То есть каждое следующее число является суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Тогда можно заметить, что каждое слагаемое в представленном разложении числа 1/89 имеет вид Fₙ × 1/10ⁿ⁺², где n — номер слагаемого.

Если записать наши слагаемые с числами Фибоначчи «на хвостах» в столбик, выравнивая по разрядам, то можно видеть, как, начиная с двузначных чисел, они начинают «пересекаться» по разрядам при сложении в столбик:

0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
0,0000000034
0,00000000055
0,000000000089
...
------------------
Сумма: 0,011235955...

На самом деле, если записать ещё больше слагаемых и честно суммировать, мы увидим, как начнёт «просвечивать» период. На бесконечности мы должны получить следующее число:

0,(011235955056179775280 89887640449438202247191)

Здесь скобки означают период, длина которого у числа 1/89 равна… 44!

▶️Покажем теперь, что мы действительно приходим к этому и в теории:

У нас для вас подарок ❤️

Приближается день математики, и, конечно, мы в редакции не можем его пропустить. Да и вообще к этому дню готовится всё Яндекс Образование, что понятно — математика играет решающую роль в нашем настоящем и будущем.

Так вот, подарок! Их будет много, но один мы готовы вручить уже прямо сейчас. Это спецпроект Журнала 8БИТ...

⏩️ОТВЕЧАЮТ МАТЕМАТИКИ⏪️

В нем выпускники и преподаватели ШАД дают серьёзные ответы на самые несерьёзные (но очень насущные) вопросы:

▶️сколько рилсов можно успеть посмотреть за всю жизнь?
▶️сколько пельменей нужно класть в тарелку?
▶️когда в моду вернутся узкие джинсы?
▶️и какой футбольный номер самый невезучий?

Все ответы спойлерить не будем, но видео выше обязательно посмотрите. Там Станислав Макеев, руководитель C-level, считает, сколько ещё он увидит в жизни рилсов. И делает он это, между прочим, с ювелирной точностью: например, матожидание оставшейся жизни он узнал через испытание Бернулли 🤯

#рекомендуем

Мы обещали много подарков — мы держим слово! Сегодня дарим вам цветы ❤️

Но это не просто цветы... Это затравка для следующего поста. Кто-нибудь уже догадался, о чём он будет?

Подсказка: petals — это лепестки по-русски

Куда делся квадрат❓

Начинаем марафон задач. На этой неделе их будет особенно много. Готовы? Вот первая:

🔸Условие: на визуализации выше четыре одинаковых четырёхугольника и маленький квадратик составляют большой квадрат.

Но стоит повернуть четырёхугольники и... маленький квадрат исчезает.

🔸Вопрос: как? Как части могут идеально совпадать в одной конфигурации и оставлять «лишнее» пространство в другой?

Пишите свои догадки в комментарии, а мы опубликуем свою версию ответа завтра 🧩

#задача

Знаете японский❓

Тогда вам будет интересно почитать про создателя вчерашней головоломки. Мицунобу Мацуяма — известный японский фокусник и иллюзионист. Он даже получил премию Японской ассоциации магии.

Мы же не претендуем на ловкость рук, а постараемся объяснить парадокс через призму математики.

🔄Сторона нового квадрата (в конфигурации без маленького квадрата) на самом деле немного меньше исходной. В итоге его площадь тоже становится чуть меньше, хотя внешне это кажется практически незаметным🔄

А вот более точное обоснование:
если θ — угол между двумя противоположными сторонами каждого из поворачиваемых четырёхугольников, то отношение площадей исходного и нового квадрата выражается как sec²θ = cos⁻²θ. При θ = 5° это примерно 1,00765, что соответствует разнице примерно в 0,8% — меньше одного процента!

Как ни удивительно, этого крохотного различия достаточно, чтобы заставить маленький квадрат исчезнуть.

Поэкспериментировать с углом θ и результатами поворота можно в двух геогебра-блокнотах: тут и тут.

А если справились без наших разъяснений, то этот кубок 🏆 для вас. Получите, распишитесь!

#задача

Как завалить студента на сессии?

👀 Попросить найти производную от функции xˣ

Учителя и преподы, это не руководство к действию. Школьники и студенты, расслабьтесь — теперь вы точно не провалитесь. Показываем, как рассуждать точно не стоит:

❎Обычно задачу принимают за степенную функцию и пишут: y’ = x · xˣ⁻¹. Но так можно делать только когда степень — число. Здесь же степень — переменная.

❎Ещё студенты часто принимают функцию за показательную и пишут: y’ = xˣ · ln x. Так можно делать только когда основание — число. А тут основание тоже переменное.

Чтобы решить задачу правильно, нужно представить xˣ через экспоненту. Так и сделал Максим Горбачёв из команды «Вышмата» в ролике ниже. Переходите по ссылке и смотрите полное объяснение.

Кстати, в своём канале @vyshmath Максим проводит рубрику «50 дней Вышмата» и каждый день публикует видео с разбором тем или задач по Высшей математике.

#рекомендуем