Всё гениальное просто❗️

Вчерашняя задача легко решается через старую добрую теорему Пифагора. Но если вы пошли другим путём и ответ сошёлся — ставим пять, несите дневник!

Мы предлагаем такое решение:

1️⃣ Обозначим радиусы внешней и внутренней окружностей R и r

Расстояние от центра кольца до касательной-хорды равно r, причём точка касания разделит хорду пополам. Проведённые радиусы с половиной хорды образуют прямоугольный треугольник, как на рисунке выше.

2️⃣ Применим к нему теорему Пифагора

На всякий случай напоминаем: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Получается, что (a/2)² + r² = R²

3️⃣ Площадь закрашенной области равна разности площадей двух окружностей

Подставив R² в формулу площади окружности, получим:
S = πR² - πr² = π(R² - r²) = π((a/2)² + r² - r²)

Ответ: S = πa²/4

Для удобства продублировали формулу решения в карточке.

Ставьте 💯, если решили без подсказок, и переходите к следующей задаче по ссылке.

#задача

Почему в «Тетрис» невозможно выиграть❓

Одну из самых культовых игр в истории написал советский программист Алексей Пажитнов на «Электронике-60» в 1984 году.

Наверное, каждый из нас думал, что при должной сноровке партия «Тетриса» может длиться бесконечно. Но математика утверждает обратное:

🟢В основе игры — семь геометрических фигур из четырёх квадратов, тетрамино (от «тетро» — четыре, по аналогии с домино): I, O, T, L, J, S и Z. Игроку нужно вращать и складывать их так, чтобы заполнить горизонтальную линию.

🟢 Причина проигрышей — в самих фигурах. Самые коварные — S и Z: они создают наклоны и пустоты, которые почти невозможно закрыть.

🟢Ещё один важный нюанс: поле в классическом «Тетрисе» имеет ширину 10 клеток. Но если взять все семь фигур и сложить их без единого пробела, получится прямоугольник шириной в 8 клеток. То есть поле устроено так, что возникают промежутки, которые уже нельзя закрыть.

«Непобедимость» игры подтверждают и теоретические результаты

Сам вопрос — можно ли, имея фиксированный порядок фигур и стартовое поле, полностью очистить его в конце игры, — сводится к классической NP-полной задаче 3-разбиения. Алгоритм, который всегда играл бы идеально, потребовал бы ресурсов, растущих экспоненциально.

В терминах теории сложности это одна из тех задач, которые слишком трудны для эффективного решения даже компьютером. Вот доказательства:

🤒 статья исследователей из MIT 2002 года, где показано, что решение требует экспоненциального времени и универсальной «выигрышной» стратегии не существует

🤒 брошюра учёных из Лейденского университета: они доказали, что даже если оставить только «палку» — самую удобную фигуру, — при определённых условиях задача всё равно может стать неразрешимой

🤒 видео о школьнике из США, который в 2023 году «прошёл» игру до конца. Он продержался 38 минут, набрал максимальные 999 999 очков и дошёл до 157 уровня — раньше это удавалось только ИИ. Дальше игра зависла из-за ограничений кода

Мораль: на практике у любой идеи есть технический предел. В «Тетрис» невозможно выиграть, но можно бесконечно пытаться.

✅Делитесь своими рекордами в комментариях! И ставьте реакции, если интересно прочитать разбор ещё одной культовой игры. Есть догадки, о чём мы хотим рассказать?

#как_устроено

Математический анализ — это праздник, который всегда с тобой 🔗

Помните задачу про гипотезу Мизохаты-Такеучи, которую мы разбирали вот здесь? Так вот, источником вдохновения для нас тогда стал паблик «Ёжик в матане» — и сегодня мы его рекомендуем!

Эта группа ВК — настоящая математическая энциклопедия. В ней вы найдёте:

▶️подборки книг #ёжик_читает
▶️разборы задач #ёжик_решает
▶️лекции ВМК МГУ #колючие_лекции
▶️полезные видео #ёжик_смотрит_youtube

Более того, в комментариях всегда идёт диалог, так что ни один вопрос не останется без экспертного ответа.

Ещё авторы ведут одноимённый телеграм-канал @math_hedgehog. Подписывайтесь и читайте!

Это, пожалуй, одна из немногих площадок на русском языке, где собран и фундаментальный материал, и свежие статьи для самой широкой публики: от школьников до специалистов ❤️

#рекомендуем

Что тяжелее: килограмм железа или килограмм ваты❓

Ладно… Тема плотности на самом деле намного серьёзнее, чем эта детская загадка. И в сегодняшней задаче мы как раз будем её искать.

🔸Условие: в магазине игрушек продаются коробки с деревянными кубиками. На одной коробке написано, что в ней 360 кубиков. Под частично прозрачной упаковкой видно, что по самой короткой стороне уложено пять рядов кубиков. При этом самая длинная сторона коробки имеет длину 288 мм, а масса кубиков без коробки (нетто) составляет 2 488,32 г.

🔸Вопрос: какова плотность дерева, из которого сделаны кубики?

🔸Подсказка: визуально материал кубиков похож на сосну, то есть плотность точно выше 400 кг/м³.

Голосуйте за правильный ответ в опросе ниже и пишите ход решения в комментариях.

Завтра опубликуем решение от автора задачи — методиста Яндекс Лицея Нелли Шишковой. Прошлую задачу от неё можно решить здесь ❤️

#задача

Обращение математической редакции к подписчикам ⚡️

Друзья, с каждым днём нас становится всё больше. Очень рады всем, кто присоединяется, и советуем в первую очередь заглянуть в закрепы. Там навигация по каналу, пост для вопросов по курсу и тренажёру, а также мини-сериалы.

Мы хотим сделать канал ещё интереснее и уютнее. Поэтому нарисовали набор эмодзи. Их можно забирать себе в личное пользование.

👀 А чтобы всё это заработало в реакциях, нам нужно набрать голоса.

Поддержите канал бустом, а мы, в свою очередь, обещаем радовать вас полезными постами, интересными задачами и философскими инсайтами.

Кстати, что ещё вам хотелось бы видеть в канале?

▶️ больше мемов и видеоматериалов
▶️ задачи посложнее на логику и вычисления
▶️ прикладную математику из реальной жизни

Делитесь в комментах своими пожеланиями и предложениями — возьмём в работу. И спасибо, что вы с нами ❤️

Так математики видят зарождение вселенной ⬆️

Ну не все, а только те, кто имел дело с клеточными автоматами.

🔸Это математическая модель пространства, разделённого на ячейки. Каждая ячейка может находиться в одном из заданных состояний, а смена состояния зависит от соседей и правил. Несмотря на простоту, системы рождают удивительно сложное поведение.

🔸Первым клеточными автоматами серьёзно озадачился Джон фон Нейман — мы писали о нём здесь и здесь. Его занимал вопрос самовоспроизводящихся машин. В 1940-х он предложил квадратную схему решётки из ячеек, где каждая имела целых 29 возможных состояний, и могла себя копировать.

🔸Спустя двадцать лет его коллега Станислав Улам предложил более простые варианты. Но настоящую славу клеточным автоматам принёс Джон Конвей — он придумал игру «Жизнь» (1970). Это, пожалуй, самая известная модель. Она отличается простотой и элегантностью правил, а ещё плодовитостью вытекающих из них результатов.

Зачем нужны клеточные автоматы 👀

Эти системы применяются в разработке игр, криптографии, биологии, моделировании физических процессов и даже поведения людей. И, конечно, они красивы с точки зрения математики.

Накидайте реакций, и мы расскажем, причём тут зарождение Вселенной. Спойлер: будем говорить об игре «Жизнь».

#как_устроено

Головоломка о волшебниках 🧩

Джон Конвей, о котором мы начали рассказывать на прошлой неделе, известен не только как создатель игры «Жизнь». Его вклад в математику намного разнообразнее. Например, в 1960-х годах он придумал вот такую задачу:

▶️В ночном автобусе ехали два волшебника и вели диалог:

Волшебник А: «У меня положительное целое число детей. Их возрасты — положительные целые числа. Сумма возрастов равна номеру автобуса, на котором мы едем, а произведение возрастов — это мой собственный возраст».

Волшебник B: «Как интересно! Может быть, если бы вы сказали мне ваш возраст и количество детей, я смог бы выяснить их индивидуальные возрасты?»

Волшебник А: «Нет».

Волшебник B: «Ага! Наконец-то я знаю, сколько вам лет!»

▶️Вопрос: что можно вывести из этой беседы?

Ответы под спойлером ждём в комментах. А пока думаете — перечитывать условие или нет — голосуйте, насколько вам нравятся такие головоломки:

❤️ — Конвей супер
👀 — хочу решать задачи про белок

#задача

Математики в этой задаче больше, чем может показаться на первый взгляд. И решение не из самых коротких. Разобьём его на шаги:

1️⃣ Обозначим сумму возрастов через S (номер автобуса), а возраст волшебника А через P (произведение возрастов):

Волшебник B изначально знает только, что сумма равна S. Когда он спрашивает про возраст волшебника А (P) и число его детей (k), он подразумевает, что пара (P, k) однозначно определяет разбиение суммы S на k положительных целых частей.

Волшебник А отвечает: «Нет». Значит, для реальной пары (P, k), соответствующей словам А, существует более одного набора k положительных целых чисел с суммой S и произведением P. Другими словами, даже зная P и k, возраста детей всё ещё неоднозначны.

2️⃣ Факт, что волшебник B, услышав «Нет», сразу же узнаёт возраст волшебника А, означает:

среди всех возможных разбиений суммы S на положительные целые с разными произведениями ровно одно произведение P даёт такую «внутреннюю» неоднозначность по числу детей.

То есть ровно один P для данного S имеет свойство: «существует хотя бы два разных разбиения с той же парой (P, k)». Тогда волшебник B, зная только S и услышав «Нет», может однозначно выбрать это единственное P.

3️⃣ Найдём номер автобуса (S) и возраст волшебника А (P):

Перебирая возможные суммы, видно, что единственная сумма S, для которой существует ровно одно произведение P, дающее описанную неоднозначность, — это 12. Для S = 12 есть ровно одно проблемное произведение P = 48 с k = 4, потому что:

Два разных набора из 4 положительных целых чисел, сумма которых 12, дают одинаковое произведение 48:

🔸1, 3, 4, 4 (сумма 1 + 3 + 4 + 4 = 12, произведение 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48)
🔸2, 2, 2, 6 (сумма 2 + 2 + 2 + 6 = 12, произведение 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6 = 48).

Таким образом, получаем ответ:

▶️Номер автобуса S = 12
▶️Возраст волшебника А = 48
▶️Число детей k = 4
▶️Но сами возраста детей остаются неоднозначными: это либо 1, 3, 4, 4, либо 2, 2, 2, 6

Ну как, что-нибудь понятно? Если нет, советуем прочитать подробное обсуждение задачи и другие её обобщения здесь.

#задача