Как устроены QR-коды❓

Спасибо всем, кто вчера прошёл нашу мини-викторину! Было приятно видеть много правильных ответов. Теперь рассказываем подробнее, какая математика скрывается в чёрно-белых квадратиках.

🟢Двумерное кодирование

QR-код устроен как матрица из чёрных и белых модулей. Чтобы сканер не запутался, где верх и низ, в углах есть большие маркеры, а внутри — синхронизирующие линии. Каждый квадрат модуля кодирует 0 или 1. Такая система координат позволяет «поставить сетку» и правильно считать биты информации.

🟢От битов к многочленам

Чтобы хранить текст или ссылку, одних нулей и единиц мало — нужны способы защитить данные от ошибок. И здесь в дело вступает высшая математика. Информация в QR-коде представляется как последовательность чисел, а они, в свою очередь, — как коэффициенты многочлена. Приведём пример:

Сообщение «HELLO» можно легко превратить в многочлен: M(x) = 72x⁴ + 69x³ + 76x² + 76x + 79. Коэффициенты здесь — это ASCII-коды букв.

Текст «ABC» тоже может стать многочленом: 65 + 66x + 67x², в котором ASCII-коды A, B, C — 65, 66 и 67, соответственно.

В реальных QR-кодах преобразование текста выполняется не так прямолинейно. Но идея кодирования именно та. И появилась она, потому что с многочленами удобно работать в рамках конечных полей.

🟢Конечное поле

Его ещё называют полем Галуа, по имени Эвариста Галуа. Это система чисел, в которой сложение, умножение и деление замкнуты внутри ограниченного набора элементов. Например, поле из 256 элементов — GF(256) — выбирают
для работы с байтами.

В QR-кодах вычисления тоже происходят в GF(256). Из этого поля берут коэффициенты многочленов, и арифметика становится очень эффективной. Числа складываются и умножаются «по модулю», так что даже при ошибках восстанавливается строгая структура.

🟢«Страховочные» коэффициенты

Или, по-другому, контрольные символы. Их добавляют к исходному многочлену M(x), чтобы QR-код был устойчив к повреждениям. Это делают с помощью кодов Рида–Соломона:

Если у вас есть многочлен степени k–1, то для его однозначного восстановления достаточно знать его значения в k точках. А если вы знаете его значения в большем числе точек, то даже при потере части из них многочлен можно восстановить.

В QR-коде данные «записываются» в виде значений многочлена в разных точках конечного поля. А дальше сканер решает обратную задачу: восстанавливает многочлен по частично повреждённым данным.

Этот процесс напоминает интерполяцию: как если бы вы знали несколько точек на параболе и могли восстановить всю кривую. Современные QR-коды можно восстановить при повреждении до 30% площади!

🟢Комбинаторика масштабов

Даже небольшой QR-код на 21×21 модуль содержит миллиарды комбинаций. А более крупные версии уходят в масштабы чисел, сопоставимых с количеством атомов во Вселенной.

Так что каждый раз, когда ваш телефон безошибочно считывает QR-код с потрёпанной временем и погодой афиши, он фактически решает задачу алгебраической интерполяции в конечном поле.

Правда, иногда технология может оказаться избыточной. Яркий пример — QR-часы: вместо времени они показывают код, который нужно отсканировать, чтобы узнать, который час. Полезно разве что в мире без смартфонов.

По ссылке вы найдёте крутую англоязычную настолку. В ней нужно восстановить QR-коды и решить головоломку. Правила можно прочитать здесь, а скачать листы с заданиями тут.

#как_устроено

Где прячется центр круга❓

Задача сегодня будет простая, но интересная: у вас есть лист бумаги. На нём нарисована окружность. Нужно найти её центр, используя только сгибы бумаги.

❎Линейку и циркуль использовать нельзя — в вашем распоряжении только бумага, руки и смекалка.

Пробуйте и показывайте результаты в комментариях под спойлером.

🟢А если справились, здесь лежит ещё одна задача с бумагой. Решайте!

#задача

Бумага сама знает ответ…

Во вчерашнем условии мы обещали, что линейка и циркуль не понадобятся. А вы предложили много решений✅

Сформулируем нашу версию:

1️⃣ Выберите угол листа и точку на окружности, находящуюся вдали от этого угла. Согните бумагу так, чтобы выбранный угол оказался точно на выбранной точке (на рисунке это точки C’ и C).

2️⃣ Пусть стороны листа, исходящие из угла C’, пересекут окружность в точках J и K. Так как угол JC’K = 90°, отрезок JK является диаметром окружности и проходит через её центр. Сделайте сгиб вдоль линии JK.

3️⃣ Затем выберите другую точку на окружности или другой угол листа, и повторите процедуру. Две построенные таким образом линии сгиба пройдут через центр окружности, а значит, пересекутся именно в нём.

Ставьте 🤓, если разобрались без наших подсказок. И делитесь с друзьями — задачу можно решить вместе на сайте GeoGebra. Вот здесь оставили готовое решение и обоснование.

#задача

Сколько математики скрыто вокруг🌀

В рисунках облаков, траекториях насекомых, движении стаи птиц. Всё это кажется хаотичным, пока числа не наводят порядок.

Выше фрагмент видео «r = θ» от японского мультимедийного художника Ёси Содэока. Через него автор исследует человеческую склонность находить пропорции и узоры в природе.

✅Помните, мы писали про золотое сечение и эшеровские находки? Ещё о математическом подходе к искусству недавно рассказывали коллеги на канале Яндекс Образования. Так вот, работы Содэока — тоже попытка гармонизировать хаос окружающего мира.

Смотрите видео и делитесь в комментариях: что показалось вам самым «математическим». Мы разглядели полярные координаты или, точнее, спирали Архимеда. А вам что удалось увидеть❓

#рекомендуем

Математика в действии✅

Когда мы ищем для вас новые темы, часто попадаем в каналы, где математика перестаёт быть абстрактной наукой и начинает работать как инструмент для решения профессиональных задач.

Отличный пример — «Мир аналитика данных». Канал ведёт Валерия Шуваева, специалист с более чем пятилетним опытом в аналитике. Она рассказывает о рабочих буднях, делится разборами реальных кейсов и пишет о том, как попасть в профессию.

Вот посты, которые мы выделили:
✅Регулярки на практике: ищем посты про ИИ в датасете
✅Pandas: объединяем значения в группах с groupby + join
✅Умный LIKE: как искать по множеству URL в SQL без боли
✅Разбор задачи с собеседования: сравнение выручки по регионам

Читайте, если интересно, как математика действует «в полях» аналитики, и подписывайтесь — у Валерии выходит много материалов, которые помогут прокачать навыки и понять профессию DA изнутри❗️

#рекомендуем

Когда ИИ сам изобретает формулы…

Имя Сринивасы Рамануджана окружено ореолом мистического дара. Сам математик говорил, что формулы ему «подсказывают небеса».

Теперь представьте ML-алгоритм, работающий по тому же принципу. Разработка такого проекта ведётся уже с 2019 года. Называется он Ramanujan Machine.

🟢Машина не доказывает теоремы и не решает задачи за человека — она перебирает возможные соотношения между числами, связанными с фундаментальными константами: π, e и другими.

🟢Программа ищет закономерности, выдвигает гипотезы и предлагает «угадывания». Например, цепные дроби или бесконечные ряды, которые приближают числа с невероятной точностью.

🟢Алгоритм показывает возможный путь, но не объясняет, почему это верно. В каком-то смысле он копирует стиль Рамануджана: гениальные догадки без обоснований. Доказательства и опровержения остаются уделом математиков.

Вот что ещё можно посмотреть по теме:
✅раздел на сайте машины с новыми открытиями
✅одна из последних статей авторов проекта — экскурс в историю доказательств формул для математических констант от Эйлера до ИИ
✅X-аккаунт The Daily Ramanujan, не менее загадочный, чем сам Рамануджан
✅наша рекомендация фильма про математика

К чему это мы?

Интуиция Рамануджана была почти сверхъестественным талантом. Подход машин — это вычислительная мощность и бесконечный перебор. Тогда может быть, будущее математики — в их сочетании, где наша догадка соединяется с силой алгоритмов?

Или вы всё же доверяете строгости и независимой доказательной силе лишь непосредственно человеческого разума❓

#как_устроено

Четыре загадки Ландау

Многим знакомо имя Льва Ландау, знаменитого советского физика-теоретика. Но сегодня нас интересует его тёзка по фамилии — Эдмунд Ландау. Он менее известен широкой публике.

Студенты математических факультетов прошлого века знали его как автора учебников по математическому анализу и теории чисел. Эти книги снискали репутацию эталонных — спустя почти век они выглядят современно и свежо.

🟢Ландау был мастером математического изложения. Его стиль отличается аскетической ясностью. Студенты шутили: читать Ландау всё равно что изучать юридический документ — ни одного лишнего слова. Вот характерная цитата из его введения к «Анализу»:

Я предполагаю лишь владение логическим мышлением и языком. Ничего — из школьной или, тем более, высшей математики.

Едва ли какой-то другой учебник высшей математики мог бы похвастаться столь радикальной установкой. Этот способ преподавания повлиял на целое поколение математиков, воспитав привычку к строгой дисциплине в доказательствах.

🟢С именем Ландау связана и знаменитая нотация «O-большое» — язык для описания роста функций. Сегодня её используют повсюду: от числовых рядов и интегралов до алгоритмов и оценки времени их работы.

🟢А ещё, выступая на Международном конгрессе математиков в Кембридже в 1912 году, Ландау сформулировал задачи о простых числах, которые были легкие на вид, но оказались поразительно трудные. Они вошли в историю как четыре проблемы Ландау — и все до сих пор остаются нерешёнными:

1️⃣ Гипотеза Гольдбаха (сильная форма): можно ли любое чётное число больше 2 представить как сумму двух простых?

2️⃣ Близнецы-простые: бесконечно ли много простых-близнецов, например 11 и 13, 17 и 19?

3️⃣ Простые вида n²+1: существует ли бесконечно много простых такого вида?

4️⃣ Простые между квадратами: всегда ли между n² и (n+1)² есть хотя бы одно простое?

Формулировки доступны школьнику. Собраны численные проверки и даже частичные результаты. Например, доказано, что простое почти всегда есть между квадратами, или что существует бесконечно много пар простых, отличающихся не больше чем на 246.
Но ни одна из четырёх проблем Ландау не решена полностью.

Цитируя вчерашний мем: доказательства этих упражнений остаются читателю в качестве упражнения…

✅Читать рандомный пост из канала — тык.

#это_база

Как не промахнуться с оффером❓

Соглашаться на первое предложение или ждать чего-то получше? Вы не поверите, но даже на этот жизненно важный вопрос у математики есть ответ.

❗️Сделать выбор поможет «правило 37%».

Работает примерно так: сначала вы пропускаете примерно треть всех вариантов, а потом берёте первого, который кажется лучше предыдущих. Так вероятность «поймать» достойный оффер оказывается максимальной.

✅ Об этом мы прочитали в статье Вани Яковлева, автора канала «Кроссворд Тьюринга». Он объясняет правило на нескольких житейских примерах и раскладывает все по формулам и теоремам. В этом посте лежит презентация с его офлайн-лекции.

Подписывайтесь на Ваню, чтобы не пропустить крутые разборы. В канале действительно много понятной и применимой в жизни математики!

#рекомендуем

Подборка математических сервисов

Сегодня математику нужен не только лист бумаги и карандаш. В сети есть десятки инструментов для визуализации идей, написания статей, проверки вычислений и просто для вдохновения. Вот что рекомендует редакция «Зачем мне эта математика»:

🟢Desmos
Самый известный графический онлайн-калькулятор, выручивший ни одного школьника во время контрольных подготовки к контрольным. В нём удобно строить функции и их анимации. Несмотря на минимализм, возможности удивляют.

🟢GeoGebra
Идеальная интерактивная среда для построений. Отлично подходит для обучения. Особенно удобна для визуализации геометрических идей и демонстрации решений.

🟢WolframAlpha
Математическая поисковая система для работы с уравнениями, графиками и понятиями из высшей математики. Автор среды — знаменитый учёный Стивен Вольфрам. Пользователи со всего мира собрали там базу проектов Wolfram Demonstrations Project. В ней, к примеру, можно найти модель геометрии таксиста, о которой мы писали тут.

🟢Overleaf
Если математики пишут тексты, то делают это через систему компьютерной вёрстки TeX, придуманную Дональдом Кнутом. Overleaf — самый удобный онлайн-редактор LaTeX. Позволяет писать статьи, дипломы и книги с формулами, хранить проекты в облаке и работать совместно.

🟢Mathpix
Если Overleaf помогает создавать тексты в TeX, то Mathpix решает обратную задачу: берёт готовый текст и переводит его в LaTeX. Работает мгновенно и очень удобно — можно закинуть PDF-файл или просто сделать скрин формулы.

🟢Photomath
К слову о скриншотах: Photomath умеет решать примеры прямо со снимка, а ещё — наведя камеру на задачу. Да, многие учителя пострадали от этого лайфхака, но отрицать удобство трудно.

🟢Manim
Библиотека Python для создания математических анимаций. Её использует 3Blue1Brown для своих знаменитых видео. Мощный инструмент для визуализаций, но без навыков программирования не обойтись.

🟢OEIS
Online Encyclopedia of Integer Sequences — огромная база целочисленных последовательностей. Полезна исследователям и просто любопытным читателям. Здесь даже есть последовательность, ставшая известной благодаря фанатам аниме.

🔵Бонус: Project Euler
Сайт с сотнями задач по математике и программированию. Своего рода LeetCode с упором на логику и алгоритмическое мышление. Но предупреждаем: многие задачи очень сложные!

Накидайте 🤓, если было полезно и дайте знать в комментариях, если нужно рассказать подробнее про эти инструменты — на самом деле почти каждый из них достоин отдельного разбора.

Пост с рандомной подборкой ➡️ тык

#рекомендуем

А вы знали, что бублику действительно нужна дырка❓

Благодаря ей тесто пропекается равномерно. Плюс лишняя площадь поверхности даёт больше хрустящей корочки.

Редакция опять проголодалась: увидела в задаче бублик. Но речь пойдёт лишь об окружности — читайте!

✅Условие: на рисунке изображено кольцо из двух окружностей с общим центром: внутренняя с меньшим радиусом и внешняя с большим. Известно, что хорда внешней окружности, касающаяся внутренней, имеет длину a.

✅Вопрос: чему равна площадь кольца S — закрашенная область?

Как всегда, ждём ваши ответы ниже. Решение опубликуем завтра.

#задача

Всё гениальное просто❗️

Вчерашняя задача легко решается через старую добрую теорему Пифагора. Но если вы пошли другим путём и ответ сошёлся — ставим пять, несите дневник!

Мы предлагаем такое решение:

1️⃣ Обозначим радиусы внешней и внутренней окружностей R и r

Расстояние от центра кольца до касательной-хорды равно r, причём точка касания разделит хорду пополам. Проведённые радиусы с половиной хорды образуют прямоугольный треугольник, как на рисунке выше.

2️⃣ Применим к нему теорему Пифагора

На всякий случай напоминаем: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Получается, что (a/2)² + r² = R²

3️⃣ Площадь закрашенной области равна разности площадей двух окружностей

Подставив R² в формулу площади окружности, получим:
S = πR² - πr² = π(R² - r²) = π((a/2)² + r² - r²)

Ответ: S = πa²/4

Для удобства продублировали формулу решения в карточке.

Ставьте 💯, если решили без подсказок, и переходите к следующей задаче по ссылке.

#задача

Почему в «Тетрис» невозможно выиграть❓

Одну из самых культовых игр в истории написал советский программист Алексей Пажитнов на «Электронике-60» в 1984 году.

Наверное, каждый из нас думал, что при должной сноровке партия «Тетриса» может длиться бесконечно. Но математика утверждает обратное:

🟢В основе игры — семь геометрических фигур из четырёх квадратов, тетрамино (от «тетро» — четыре, по аналогии с домино): I, O, T, L, J, S и Z. Игроку нужно вращать и складывать их так, чтобы заполнить горизонтальную линию.

🟢 Причина проигрышей — в самих фигурах. Самые коварные — S и Z: они создают наклоны и пустоты, которые почти невозможно закрыть.

🟢Ещё один важный нюанс: поле в классическом «Тетрисе» имеет ширину 10 клеток. Но если взять все семь фигур и сложить их без единого пробела, получится прямоугольник шириной в 8 клеток. То есть поле устроено так, что возникают промежутки, которые уже нельзя закрыть.

«Непобедимость» игры подтверждают и теоретические результаты

Сам вопрос — можно ли, имея фиксированный порядок фигур и стартовое поле, полностью очистить его в конце игры, — сводится к классической NP-полной задаче 3-разбиения. Алгоритм, который всегда играл бы идеально, потребовал бы ресурсов, растущих экспоненциально.

В терминах теории сложности это одна из тех задач, которые слишком трудны для эффективного решения даже компьютером. Вот доказательства:

🤒 статья исследователей из MIT 2002 года, где показано, что решение требует экспоненциального времени и универсальной «выигрышной» стратегии не существует

🤒 брошюра учёных из Лейденского университета: они доказали, что даже если оставить только «палку» — самую удобную фигуру, — при определённых условиях задача всё равно может стать неразрешимой

🤒 видео о школьнике из США, который в 2023 году «прошёл» игру до конца. Он продержался 38 минут, набрал максимальные 999 999 очков и дошёл до 157 уровня — раньше это удавалось только ИИ. Дальше игра зависла из-за ограничений кода

Мораль: на практике у любой идеи есть технический предел. В «Тетрис» невозможно выиграть, но можно бесконечно пытаться.

✅Делитесь своими рекордами в комментариях! И ставьте реакции, если интересно прочитать разбор ещё одной культовой игры. Есть догадки, о чём мы хотим рассказать?

#как_устроено

Математический анализ — это праздник, который всегда с тобой 🔗

Помните задачу про гипотезу Мизохаты-Такеучи, которую мы разбирали вот здесь? Так вот, источником вдохновения для нас тогда стал паблик «Ёжик в матане» — и сегодня мы его рекомендуем!

Эта группа ВК — настоящая математическая энциклопедия. В ней вы найдёте:

▶️подборки книг #ёжик_читает
▶️разборы задач #ёжик_решает
▶️лекции ВМК МГУ #колючие_лекции
▶️полезные видео #ёжик_смотрит_youtube

Более того, в комментариях всегда идёт диалог, так что ни один вопрос не останется без экспертного ответа.

Ещё авторы ведут одноимённый телеграм-канал @math_hedgehog. Подписывайтесь и читайте!

Это, пожалуй, одна из немногих площадок на русском языке, где собран и фундаментальный материал, и свежие статьи для самой широкой публики: от школьников до специалистов ❤️

#рекомендуем