✨ Привет! Это экс-«Практически математически» от Яндекс Образования, и мы обновились

Все меняется, и мы тоже. Пришло время познакомиться с вами заново!

В школе, сидя на скучном уроке, мы задавались вопросом «Зачем мне эта математика?» и были уверены, что она никогда не пригодится нам в реальной жизни. А потом выросли и поняли, что мир не просто работает по законам математики, но и меняется благодаря ей: за современными технологиями, ИТ-продуктами и сотнями научных открытий — вычисления и формулы.

Теперь мы влюблены в математику и хотим узнавать о ней больше и делиться с вами. Мы знаем, что точные науки — это то, что окружает нас каждый день: на работе, в учебе, в быту и массовой культуре. Они не просто пригождаются в реальной жизни — они делают ее интереснее.

Все, за что вы нас любите, останется, но будет много нового и классного. Например:

🟠 Новые задачи, над которыми мы будем размышлять вместе. Вот задача от Льюиса Кэрролла, автора «Алисы в стране чудес».

🟠 Разборы современных технологий, под капотом которых — математика. Например, вот история о смартфонах и мостах Кёнигсберга.

🟠 Истории о том, что математика — это про реальную жизнь. Как теория стабильного брака.

🟠 Нескучные и полезные рекомендации ютуб-каналов, фильмов, игр и многого другого. Почему бы не провести вечер за «Эволюцией доверия»?

🟠 Мемы, потому что математика — это еще и весело.

А ещё мы как всегда рады вашим вопросам по курсу и тренажёру — ждём их под этим постом.

❤️ Спасибо, что вы с нами!

🤖 Можно ли автоматизировать все задачи? Ну, хотя бы в теории

Найти универсальный алгоритм для решения задач — отличная цель. Но всегда ли он существует? Разбираемся вместе с математиками.

Итак, все началось с диофантовых уравнений.

📝 Что такое диофантовы уравнения
Это уравнения, обе части которых — многочлены с целыми коэффициентами. Еще одно условие: решения для них нужно найти в целых числах. Сегодня такие уравнения встречаются в том числе в прикладных задачах: например, секвенировании ДНК.

Помните, совсем недавно мы рассказывали о «проблемах Гильберта»? Одна из них, десятая, посвящена именно диофантовым уравнениям.

Десятая проблема звучит так
Для заданного диофантового уравнения указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах.

Примеры:
x^2 + y^2 - 5 = 0 имеет решения в целых числах, например (1,2) или (-2,-1)
А вот x^2 + y^2 - 3 = 0 не имеет решений в целых числах.

Под «способом», который предлагал найти Гильберт, сейчас подразумевают алгоритм. Математик предвидел, что исследование десятой проблемы потребует развития вычислительных методов. Так и оказалось: благодаря ей появилась теория алгоритмов и вычислимости.

📝 Решили ли десятую проблему
Ну, как вам сказать...

Гильберт считал, что любую математическую задачу можно решить, главное — найти определенный метод для этого. А в 1970 году Юрий Матиясевич «решил» десятую проблему и доказал: универсального алгоритма для решения произвольных диофантовых уравнений не существует. То есть нельзя написать программу, которая говорила бы, можно ли решить то или иное уравнение или нет. Кстати, теперь задачи такого типа называют неразрешимыми.

А мы благодаря Гильберту и Матиясевичу знаем, что автоматизировать все задачи на самом деле невозможно, а жаль 🥲

#задача

Часть решения десятой проблемы Гильберта от Матиясевича

Примерно так выглядят рабочие задачи в первый день после отпуска (особенно пугает часть про «вечную работу») 🔥

#меммат сегодня непростой: показываем смешное и заодно рекомендуем дружественный канал Math²ub. Внутри — сложные и не только математические приколы: @math2ub

Пост должен был выйти час назад, но редакция все это время пересылала друг другу мемы из Math²ub. Просим понять и простить! Пойдем скроллить дальше, вы тоже подписывайтесь 😄

«Офису» 20 лет!

Помните серию, в которой Дуайт устраивает офис в автобусе и все торопятся успеть поесть пироги? Именно в ней Кевин показал, как важна визуализация в математике 🧡

А вы что представляете, когда нужно посчитать в уме?

🚖 «Геометрия таксиста»

❓Почему путь по прямой — не обязательно самый короткий, и как это используют навигаторы?

Представьте, что вы — таксист на Манхэттене, острове с идеальной сеткой улиц. У вас срочный заказ: нужно доехать от точки A до точки Б. Как навигатор поймет, какой путь — оптимальный?

По евклидовой геометрии, которую мы все учили в школе, кратчайший путь — это прямая линия. Но в «геометрии таксиста», или «метрике Манхэттена», такая линия почти бесполезна, ведь такси не умеет ездить сквозь здания. В этой системе расстояние между двумя точками считается не по формуле Пифагора, как в евклидовой геометрии, а, грубо говоря, по количеству улиц, которые нужно проехать.

При этом в «геометрии таксиста» может быть не один, а несколько кратчайших маршрутов из точки А в точку Б. Можно менять порядок движений по горизонтали и вертикали (если мы смотрим на карту города в виде сетки), выбирать разные дороги и всё равно доехать с минимальными временными затратами.

Если город устроен примерно как Манхэттен, навигатор использует алгоритм, в основе которого — именно такая система. Но сразу скажем, здесь мы сильно упрощаем. Все-таки работа навигаторов — очень сложная тема.

Где применяют «геометрию таксиста» помимо навигаторов?
🔴 В маршрутизации сетевого трафика.
🔴 Логистике.
🔴 Геймдеве.
🔴 Обработке изображений.
🔴 И даже в шахматах. Ход ладьи — чистая метрика таксиста!

А еще многие современные дата-центры строятся по топологиям вроде Fat-Tree или Torus, где серверы связаны сеткой коммутаторов. Пакеты данных не могут «двигаться» по диагонали, а пересылаются от узла к узлу по горизонтали и вертикали — прямо как в «геометрии таксиста».

Вот так, геометрия повлияла на города, а города — на геометрию ↔️

А для тех, кто хочет немного углубиться в тему, собрали полезные ссылки:
➡️ Введение в «геометрию таксиста»
➡️ Про параболы и гиперболы в «геометрии таксиста»
➡️ Сайт, где можно попробовать построить «эллипсы таксиста»
➡️ Наглядная демонстрация «геометрии таксиста» в Wolfram

#как_устроено

🔎 Поймай меня, если сможешь: советуем игру о «геометрии таксиста»

Вам нравилось играть в «Морской бой» в дороге или на уроках? Если да, попробуйте игру «Поймай меня, если сможешь»: с ней вы не только развлечетесь, но и лучше поймете принципы «геометрии таксиста». Главное — найти напарника ☁️

Вот правила:

1️⃣ Первый игрок выбирает и запоминает координаты точки на координатной плоскости, не раскрывая их второму игроку.​ Эта точка — его укрытие.

2️⃣ Второй игрок называет случайные координаты точки, пытаясь угадать, где находится укрытие первого игрока.

3️⃣ Первый игрок сообщает расстояние между своим укрытием и точкой, которую выбрал второй игрок. Оно вычисляется как сумма модулей разностей координат. Например, если координаты укрытия (5;5), а координаты, названные вторым игроком — (3;4), расстояние d = |5-3| + |5-4| = 3.

Расстояние можно вычислить и без формулы: оно равно минимальному количеству «шагов» (скажем, нажатий стрелочек ← ↑ → ↓), которое позволяет дойти от одной координаты до другой.

4️⃣ Второй игрок использует информацию о расстоянии и делает следующее предположение о том, где прячется первый игрок, то есть повторяет первый пункт.

5️⃣ Если после пяти попыток второй игрок не находит укрытие, первый игрок выигрывает.

Подсказка: второй игрок может отмечать на координатной плоскости точки, которые находятся на указанном расстоянии от предыдущего предположения. Так будет легче найти укрытие. На иллюстрации, например, отмечены все точки, которые находятся на расстоянии 3 от точки с координатами (5;5).

Чтобы начать играть, кликните на Gameboard в начале страницы. А еще в «Поймай меня, если сможешь» можно играть в обычной тетради в клеточку.

Кстати, как думаете, как определяется и выглядит «окружность» в «геометрии таксиста» и как меняется её форма при увеличении радиуса? Спрашиваем не просто так: ответы помогут победить в игре 🌟

#рекомендуем

💎 Мозаика Пенроуза. Во-первых, это красиво

Представьте, что вы решили сделать ремонт и выбираете плитку для пола. Можно выбрать квадраты, прямоугольники, шестиугольники — они идеально покрывают поверхность без зазоров. Но что, если хочется чего-то необычного? Например, сделать замощение, которое никогда не повторяется? У нас есть решение.

❓ Что такое мозаика Пенроуза
В 1974 году математик Роджер Пенроуз открыл способ замостить плоскость всего двумя видами плиток, но так, чтобы рисунок никогда не повторялся.

Обычно, если мы выкладываем плитку (например, квадраты или шестиугольники), узор повторяется через равные промежутки — это называется периодичностью. Мозаики Пенроуза нарушают это правило: какую бы часть вы ни взяли, вы нигде не найдете точно такой же кусок. Да, некоторые узоры повторяются снова и снова, но без строгой регулярности.

На картинке справа — классическая мозаика Пенроуза из двух видов плиток, а на картинке слева их уже больше.

❓ Был ли Пенроуз первым
Нет, идея непериодических замощений появилась раньше. Вот как развивались события:

🟠 Хао Ван в 1961 году предложил задачу: можно ли замостить плоскость определенным числом типов плиток так, чтобы узор не повторялся?
🟠 Роберт Бергер в 1966 году доказал, что это возможно, но его набор включал 20 426 типов плиток. Потом он сократил его до 104 плиток.
🟠 Рафаэль Робинсон в 1971 году изучал непериодические замощения и предложил набор из 6 типов квадратных плиток с особыми правилами соединения.

Ну а Пенроуз упростил задачу до двух видов плиток, и это гениальное упрощение сделало мозаику знаменитой. А еще в ней проявляются золотое сечение и самоподобие, и это делает её особенно красивой.

❓Зачем это нужно
Мозаики стали знаменитыми не только в математике. Например, в физике такие структуры нашли в квазикристаллах — материалах с уникальными свойствами. А в искусстве похожие мозаики использовал Эшер в своих невозможных орнаментах.

Теперь вы знаете, что выбрать, если захотите сделать пол с абсолютно уникальным узором!

#как_устроено

Кстати, про пол мы говорили серьезно. На этой фотографии Роджер Пенроуз стоит на плитке, выложенной мозаикой, названной в его честь. Так замостили пол в Институте фундаментальной физики и астрономии Митчелла

Вот так математика и проникает в реальную жизнь🌟

⚡️8БИТ-2025: умные устройства, робототехника, IT и, конечно, математика

Знаете, чем мы займёмся с 10 по 12 апреля? Пойдём на онлайн-фестиваль 8БИТ от Яндекс Образования. Делимся явками-паролями и зовём вас с собой!

Чем заняться на фестивале
🔴Послушать дискуссии, лекции и подкасты. Например, можно будет узнать секреты автономных доставщиков, Алисы и умного дома.
🔴Посетить мастер-классы. От развития ТРИЗ-мышления до сборки робота.
🔴Сходить на офлайн-мероприятие в Москве или Екатеринбурге. В программе — еще больше мастер-классов, экскурсия в Яндекс Музей и мероприятие в УрФУ.

Полная программа — на сайте.

Будет ли что-то математическое
Конечно!💜 Все технологии, которым посвящен 8БИТ, так или иначе связаны с математикой, но отдельное мероприятие о ней тоже будет: 12 апреля пройдет мастер-класс «Суперсила изобретателя — математика». Там можно будет научиться решать небанальные задачи и применять математическую логику в творческих проектах.

Как попасть
Регистрируйтесь на сайте фестиваля. Кстати, если у вас уже есть планы на выходные, всё равно советуем зарегистрироваться: все записи онлайн-активностей можно будет посмотреть потом😊

#рекомендуем

📈 Интерполяция: искусство угадывать значения

Представим специалиста, который работает в экспедиции и ведет дневник наблюдений за погодой. Он записал, какой была температура воздуха в 16:00, потом — в 22:00, но забыл сделать это в 19:00. Что делать, чтобы добавить в дневник недостающую запись? Интерполировать! 🔎

Интерполяция — это метод «предсказания» значений внутри диапазона известных данных. Она используется повсюду:

➡️ В обработке изображений — при апскейлинге фото без потери качества.
➡️ В цифровом звуке — для плавного перехода между сэмплами.
➡️ В моделировании — чтобы предсказывать траектории объектов.

Как это работает
Вернемся к примеру с погодой: если мы предполагаем, что температура менялась плавно, можно провести прямую между точками 16:00 и 22:00 и взять значение в 19:00. Это называется линейной интерполяцией.

Но если учесть, что температура в течение дня меняется нелинейно (например, после заката холодает быстрее), лучше использовать полиномиальную интерполяцию или сплайны — методы, которые позволяют учесть изгибы кривой.

Как правильно интерполировать
Чтобы построенная кривая не слишком «гуляла», важно правильно выбрать узлы интерполяции — точки, которые мы фиксируем, чтобы построить промежуточные значения. Если узлов будет слишком мало, модель получится грубой и неточной.

В метеорологии, например, для прогноза температуры учитывают не только данные ближайших часов, но и температуру на соседних метеостанциях. Такой выбор узлов помогает минимизировать ошибки.

Вот так работает интерполяция — метод, благодаря которому наш специалист заполнит дневник наблюдений 😊

#как_устроено

❓ Исчезающий арбуз: куда делись килограммы

Сезон арбузов приходится ждать, а математические задачи можно решать круглый год. Предлагаем этим и заняться и вместе подумать над ответом.

➡️Задача: у нас есть огромный арбуз, который весит 20 кг и на 99% состоит из воды. Он пролежал несколько дней на столе, немного усох и в нём осталось 98% воды.

➡️Вопрос: какова теперь масса арбуза?

Пишите свои ответы в комментариях, а мы опубликуем решение уже завтра!

#задача