Рождество и немного размышлений перед праздниками
Очень заумная история, которая длится даже не 2024, а целых 2324 года. 🎄📚

Если спросить людей, какая книга считается самой читаемой в мире, то раньше часто отвечали — Библия. 📖 Сейчас некоторые, возможно, скажут — Коран (который меня, честно говоря, в его радикальном проявлении мягко говоря, беспокоит 😬). Но оба эти ответа будут не совсем точными. Ведь ни Библию, ни Коран не читали все люди на планете. А вот есть книга, которая старше Библии примерно на 300 лет 📜 и, естественно, Коранa. Если её в оригинале читали единицы, то отрывки из неё в школе проходили абсолютно все — в любой стране и вне зависимости от вероисповедания. Угадали уже, что за книга? Или подсказывать? 😉

Уже более 2300 лет лучшие умы человечества ломают голову над этим трудом. И это не преувеличение! 🧠✨

Примерно в 300 году до Рождества Христова некий человек, которого звали Евклид из Александрии, решил понять, как устроен мир. Фигасе самоуверенность, подумаете вы, и будете абсолютно правы! 😄 Но давайте разберемся, как именно он подошел к вопросу мироустройства, какими шагами двигался к своей цели и, главное, что из этого вышло. И хотя эта история не завершена, кажется, она только начинается. 🚀

Евклид сделал следующее: он взял за основу эмпирические наблюдения и сформулировал их в виде десяти аксиом — постулатов. Всего десяти! 🔟 Затем он решил: "Теперь с помощью логики я выведу из этих десяти постулатов всё, что можно знать о мире". А в мире что вообще есть? Есть только пространство и время. Правда, на время Евклид замахиваться не стал — он сосредоточился на описании пространства. 🌌

Но была одна проблема — его пятый постулат. Этот постулат веками считали слишком сложным и "не таким очевидным, как остальные". 🌀 Разобраться с ним оказалось настолько сложно, что над ним ломали голову лучшие умы человечества. Гении, такие как Гаусс, Риман, Бойяи, Лобачевский, Минковский и другие, создали целые новые области математики, отталкиваясь от пятого постулата Евклида. Их работы привели к созданию неевклидовой геометрии и революционизировали наше представление о пространстве и времени. Через десятки и даже сотни лет их открытия стали основой для общей теории относительности Эйнштейна, которая связала пространство и время в одно целое. ✨ ⏳

Если кому интересно, то в одном из следующих сообщений я расскажу более подробно (и простым языком!) о том, над чем 2000 лет ломали голову лучшие математики. 🤓 Это история не только о математике, но и о эволюции человечества, о том, что движет и направляет эту историю.

Продолжение и детали следуют…

#Logic #Decidability #Computability

Рождество и немного размышлений перед праздниками: пятый постулат Евклида в действии 🎄🤔

Выше мы начали тему Евклида, который за 300 лет до Рождества Христова умудрился подбросить человечеству задачку с пятым постулатом: тут

Первый постулат Евклида звучит так: Через любые две точки можно провести одну прямую. Логично! ✔️ Остальные постулаты тоже ничего. Например, второй — любую прямую можно продолжить в обе стороны без ограничения. Понятно же? Понятно! 😌

Однако знаменитый пятый постулат (постулат о параллельности) задал задачку. Звучит этот 5-й постулат так:

Если прямая пересекает две другие прямые так, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если их продолжить, пересекутся на той стороне, где сумма углов меньше двух прямых углов. 🔺📐

Как вам? Нравится? 🤨 Вот и никому не нравилось! Почему девять постулатов (аксиом) такие простые, а этот 5-й какой-то корявый и сложный?! Может его выбросить нафиг? ❌ Останется не 10, а 9. Мало шо-ли? Какая разница, одним больше — одним меньше, или есть разница? 🤷‍♂️

Что будет, если его выбросить, как думаете? 💭 Прежде чем мы перейдём к физике, которая следует из 5-го постулата Евклида, пишите в комментариях, что будет, если пятый постулат убрать вообще. ✍️

Гусары математики молчать! Mнения людей, которые вообще не математики, приветствуется! 🤗 Пишем в комментариях, не стесняемся!

А математикам такой вопрос: что будет, если заменить 5-й постулат на любую из теорем евклидовой геометрии, которые с помощью него доказываются 🤔 🧩

Продолжение и детали следуют…

#Logic #Decidability #Computability

Продолжение. Начало тут.

Ведь если бы казнь была в субботу, вы бы уже знали об этом в пятницу! Дальше! Пятница? Нет, если бы казнь была в пятницу, вы бы уже знали об этом в четверг!»

Адвокат продолжает, выстраивая логику, день за днём, исключая каждый возможный день недели. «Понедельник? Тоже нет. Если бы казнь была в понедельник, то вы бы узнали об этом в воскресенье!» 😅

Но вот вопрос: что же не так в этой логике? 🤨

Парадокс не в том, что адвокат ошибается, а в том, что само условие казни и способ её определения создают замкнутую, противоречивую ситуацию. И в какой-то момент вы вдруг понимаете, что казнь всё-таки может состояться — и произойдёт в любой день, когда заключённый не будет об этом знать заранее. 😱

Продолжение и связь с пределами вычислимости, теоремой Гёделя следует…

#Logic #Decidability #Computability #Philosophy

@easy_about_complex

2/2. Продолжение. Начало тут


🧠 А что насчёт мозга и нейросетей?
Тут как раз интересно. В 90-х Сигельманн с коллегами показали, что:

Любая Тьюринговая машина — это частный случай рекуррентной нейросети.

Сеть с рациональными весами (всего 886 нейронов!) может вычислить все частично-рекурсивные функции 👉 ссылки на публикации тут

А если веса вещественные — вычислительная мощность может выйти за пределы Тьюринга (и при этом в модели не требуется бесконечная точность, достаточно линейной. Hо тут есть нюанс! Mожет быть обсудим на одном из следующих стримов).

📐 Ключевая идея:

непрерывность (вещественные числа и аналоговые процессы) может не просто приближать реальность, а давать качественно новые вычислительные возможности. Хотя на практике мы не можем задать числа с бесконечной точностью, сама природа, как кажется, оперирует реальными значениями (π, G, массы планет и т.д.) независимо от нашей способности их измерить.

📊 Исследования даже показали, что между рациональными и вещественными весами в нейросетях лежит целая иерархия вычислительных классов. Суть в информационной сложности чисел, которая измеряется через ресурсно-ограниченную колмогоровскую сложность.

📌 Вывод: Мы не знаем, вычислима ли физика. Возможно, вся Вселенная — гигантский алгоритм. А может, где-то в её глубинах живёт настоящая невычислимость, просто мы её ещё не нашли.

Так что, по состоянию на сейчас:
Физический мир может быть вполне вычислим. А может и нет. ¯\_(ツ)_/¯

Если найдут настоящий физический феномен, где вычисление результата принципиально невозможно — это будет просто бомба. А пока… можно только моделировать невычислимость внутри математики, но не в лаборатории.

#Decidability #Computability #Turing #Physics #Brain #Philosophy

продолжение. начало тут.

Что показал Кристофер Мур:
— Система с тремя степенями свободы (например, частица в 3D-потенциале) может эмулировать Тьюринг-машину.
— Даже если начальные условия известны точно, всё равно невозможно ответить на многие вопросы о будущем поведения системы.
— Это не просто хаос (чувствительность к начальным данным), а глубинная невычислимость — фундаментальное ограничение, заложенное в математике.

🤯 Другими словами: можно построить закон движения, в котором "спрятана" неразрешимая задача, т.е. проблема остановки.

Формально — это уже физика, но физика, искусственно усложнённая до машины Тьюринга.

🌀 Теперь главный философский вопрос:

А если физика и вычислима, но вычисления займут больше времени, чем возраст Вселенной?

С практической точки зрения — это почти то же самое, что невозможность вообще. Модель может быть "вычислимой", но если тебе надо 10⁸⁰ шагов, чтобы узнать будет ли частица тут или там — на что тебе это знание?

То есть граница вычислимости — это не только "можно/нельзя", но и "успеть/не успеть".

📎 Вывод:

Физическая невычислимость пока строго доказана только в моделях, соответствие которых с физической реальностью очень спорно. Но даже если всё в природе формально вычислимо, это не значит, что мы когда-либо узнаем её будущее.

Возможно, законы Вселенной написаны на языке, который мы теоретически понимаем — но читать на нём практически невозможно.

#Decidability #Computability #Turing #Physics #Brain #Philosophy