у меня сегодня день мата, извиняюсь. но с другой стороны, во мне же есть и положительные стороны, я постарался как мог освятить граль науки:

Меня не интересуют кардиналы и ординалы (их "накрутки" омега и башни). Меня интересует универсум Гротендика (включая infinity-cosmoi), где card - это всего лишь вложения. Туда мы загоняем ZF и спокойно работаем (даже в слабой форме - аксиоматика Мак Лейна). И это только в одной директории - "Математика_1" (от античности до наших дней). Меня интересует в дальнейшем библиотека (репозиторий) директорий других математик, отличных от нашей директории (которая включает гомотопическую теорию типов и т. д.). Необходимо обобщить до другого универсума. Кстати, насчёт сходимости "математика - физика", полагаю, что в указанном универсуме с другими математиками, будет, как минимум, инъекция (может и биекция): "Вселенная _i" - -> директория "Математика_j", где "Вселенная_i" - одна из Вселенных Мультивселенной. Само собой, что мы живём во "Вселенной_1" (которая +- удовлетворительно описывается аппаратом директории "Математика_1"). P. S. Эти поля слишком узки, чтобы дальше развить, но, чтобы развить - необходимо уйти от людей.

Remark. Конечно, это Платонизм ("чистой воды"), и нам позволили в течении существенного времени извлечь информацию в директории "Математика_1".

Друг мой, Дима, стоило тебе проявить сегодня порыв душевный - и пошла движуха! Понимаю, что чату претит статика; целиком и полностью принимаю твою тираду (в хорошем смысле этого слова). Sincerely, работник в области...

„Математик - это человек, который может находить аналогии между теоремами; лучший математик - тот, кто может видеть аналогии между доказательствами, а наилучший математик может замечать аналогии между теориями. Можно представить, что высший математик - это тот, кто может видеть аналогии между аналогиями.“

Стефан Банах (высший математик)

Полагаю, что мы можем оперировать тождеством: "высший математик" (по Банаху) = гениальный математик.

Много научпопа написано про основы математики: аксиому выбора, Кантора, Цермело-Френкеля. Но чем занимаются сейчас логики и теоретики множеств? Давайте посмотрим.

🧩 Кантор и бесконечности

В XIX веке Георг Кантор показал, что бесконечности бывают разных размеров. Множество всех вещественных чисел «больше» множества натуральных чисел, хотя оба бесконечны. Это стало основой теории множеств.

Позже появились аксиомы Цермело-Френкеля (ZF) и аксиома выбора (Axiom of Choice). Они дают строгие правила, по которым можно работать с бесконечными множествами.

🔍 HOD — «упорядоченные множества»

HOD (Hereditarily Ordinal Definable) — это множество всех объектов, которые можно полностью описать через числа и правила. Проще говоря, это «хорошо описуемые» объекты.


Продолжение следует 👇

Продолжение. Начало тут 👆

HOD-дихотомия (Hugh Woodin et al, 2016) — это предположение, что вся математическая вселенная множеств (V) либо примерно совпадает с HOD (то есть всё можно формально описать), либо сильно отличается (есть множество скрытых, сложных объектов).

Для чего это нужно:

Позволяет понять, насколько «упорядочена» математика на самом высоком уровне.

Если HOD ≈ V, то структура бесконечностей проста и предсказуема.

Если V ≠ HOD, мы сталкиваемся с «хаотичными» областями, где обычные правила ZFC (ZF + Axiom of Choice = ZFC) уже не дают полного контроля.

Ключевые ссылки:
Woodin, H. The HOD Dichotomy, 2016, arXiv

🏗 Ultimate L — «идеальная гипотетическая внутренняя модель»

Ultimate L — гипотетическая внутренняя модель, максимально отражающая всю вселенную множеств (V). В этой модели:

Упорядочены все кардиналы и бесконечности (кардинал = количество элементов в множестве. Даже у бесконечных множеств, где количество элементов бесконечно, кардиналы можно предположительно упорядочить. Ключевое слово "предположительно" - поэтому модель и гипотетическая.)

В этой модели можно можно предсказать, как «большие» бесконечности взаимодействуют.

Если модель существует, она помогает формально «построить» всю вселенную множеств V и проверить консистентность гипотез.

Для чего это нужно:
Ultimate L cлужит инструментом для проверки, как сильные кардиналы «вписываются» в известную математику. Может показать, какие бесконечности подчиняются структуре, а какие «вне правил».

🔬 Современные исследования (2025)

Aguilera, Bagaria, Lücke ввели новые большие кардиналы: exacting и ultraexacting.

Что известно:
Они совместимы с ZFC, но ведут себя необычно относительно HOD.

Их существование показывает, что HOD ≠ V: есть области, которые нельзя «упорядоченно описать».

Эти кардиналы бросают вызов Ultimate L: модель может не включать их всех, или придётся её корректировать.

Что предполагается и над чем работают:
- Понимание, как новые кардиналы взаимодействуют с существующей иерархией сильных кардиналов.
- Доказательство консистентности этих кардиналов.
- Проверка, насколько Ultimate L отражает реальную вселенную множеств V.

✨ Итог:
Учёные пытаются понять структуру самых больших бесконечностей, проверить, какие из них «упорядочены», а какие «хаотичны». HOD и Ultimate L — инструменты для того, чтобы разглядеть эти скрытые структуры и построить карту самых сложных уровней бесконечности.

Примечния от автора для заинтересованых читателей: автор ни разу не претендует на специалиста в этой области и никоим образом им не является, однако он, ну я то есть :-), попытался изложить эту тему как мог потратив несколько часов на первые попытки её понять. По моему убеждению когда начинаешь разбираться с какой-то темой: самое главное задавать себе вопросы. И вот такие вопросы я себе задавал на первом этапе ознакомления с этой темой:

- почему V (вселенную любых множеств) так сложно определить, что аж понадобилось вводить HOD и Ultimate L?
- ZF + aксиома выбора, на которой строится современная математика: вопрос нужна ли аксиома выбора или нет ставить бессмысленно в рамках математики, хочешь работай с ZF, хочешь с ZFC, в математике - делай всё что хочешь. Но математикой пользуется так же и физика, где речь идёт о наблюдаемых и экспериментально проверяемых явлениях? Берут ли физики в свой матаппарат/модели результаты, которые основаны на ZF, ZFC или ZFx, где х - более слабая версия аксиомы выбора?
- где различия между HOD и Ultimate L?

У автора есть ответы на эти вопросы и он, т.е. я, с удовольствием обсудит их в комментариях. Кроме того, возможно у вас возникнут вопросы, до которых я не додумался, чтобы задать их себе? Так же был бы рад обсудить!

💥 Решение проблемы тысячелетия?!

Семь задач, которые Институт Клэя назвал «проблемами тысячелетия» — самые трудные головоломки современной математики.
За каждую — $1,000,000 призовых.
Одна уже решена (и даже отвергнута награда 😅), шесть ещё ждут своего часа.

И вот — кажется, следующий час настал.

Мы только что созвонились с автором потенциального решения одной из оставшихся проблем. Он трудился над ней 15 лет, и, если всё подтвердится, это будет событие мега-масштаба.

🎥 Готовим эксклюзивный стрим: автор лично расскажет, как он подошёл к решению, какие методы использовал — я пока не буду спойлерить, готовим стрим.

А пока вопрос к вам, друзья:
👉 Как вы думаете, какая из шести оставшихся проблем тысячелетия могла пасть первой?

-Гипотеза Римана
-P vs NP
-Уравнения Навье–Стокса
-Гипотеза Ходжа
-Проблема Янга–Миллса
-Гипотеза Бёрча — Суиннертона-Дайера

Пишите свои ставки в комментах —
а шум, поверьте, поднимется уже через пару недель 🔥

Но надо проверить пруф. Ждём окончательную версию пруфа задачи тысячилетия и проверяем.

Подскажу немного, о решении какой проблемы тысячелетия пойдёт речь на следующем стриме, перефразируя великих Ильфа и Петрова:

— Предмет моей лекции, товарищи, — плодотворная вычислительная идея. Что такое, товарищи, P, и что такое, товарищи, NP?
P, товарищи, — это когда решение находят быстро.
NP, товарищи, — это когда быстро лишь проверяют, что нашли правильно.

А что такое, товарищи, идея?
Идея, товарищи, — это вера, что между этими двумя классами всё-таки есть разница… или же её нет.

Кстати, в мае мы делали лайвстрим “Complexity Theory meets Neuroscience”, где какой-то чувак, похожий на меня, давал неформальное введение в теорию сложности.

выложен архив журнала Квант. Я его на телефоне открыл, и, когда нечего делать, пролистываю номера подряд (начал с 1970 года). Прикольно смотреть, какие там материалы, как менялись и тд. Вдруг это мозгам полезнее чтения новостей))))

И вот такой вопрос — а вы Квант читали? А запомнили что-то оттуда (какие-то выдающиеся статьи)?

Как бы вообще понять значимость журнала (и статей из него), читают ли его, кто, как, зачем?

Меня, например, порадовало, что в первых выпусках материал про цепные дроби — то есть редакторы считали, что это важнее и интереснее, чем многое. Или статьи Колмогорова про функции, например.

🧮 Какой, по вашему мнению, самый сложный вопрос в математике?

Я не профессиональный математик, но из своего опыта в индустрии убедился:
✨ самые простые вещи часто оказываются самыми сложными.


👤 Игорь @alastoofree поставил вопрос в чате, и мне лично пришлось задуматься — вспомнить, что я когда-то знал из математики:

🗣️ «Приветствую, Дмитрий! Признателен за возможность пообщаться простому инженеру с математиками.

♾️ #Бесконечность — в жизни и в инженерии — абсолютно невозможное к пониманию, определению и объяснению понятие.
По сути, это основная проблема человека, из которой проистекают все остальные.

При этом математики активно используют этот концепт при построении своих теорий.

❓ А что произойдет с различными разделами, теориями и формальными системами в математике, если отказаться от Бесконечности и заменить её на что-то конечное?

Заранее признателен за ответ на мой «тупой» инженерный вопрос 🙂»_

🤔 Ребята, особенно математики и инженеры,
что бы вы могли ответить на вопрос Игоря?

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 1/3)

Продолжаем тему глобальных вопросов математики.
Все мы знаем: существует огромное количество нерешённых задач, над которыми люди трудятся столетиями. В следующих постах я планирую сделать маленькое введение и показать, как сложные задачи из разных областей математики связаны между собой.

Начнём с Пифагоровой комнаты — легендарного места, где, по слухам, хранятся решения всех нерешённых задач математики 😎

📐 Что это такое?
Пифагорова комната — это такая комната, где:

все стороны (длина, ширина, высота), все диагонали (по стенам, полу, потолку и из одного угла в противоположный) …являются целыми числами.

❓ Существует ли такая комната, где все стороны и диагонали целые числа?

Ответ: неизвестно! Проблеме уже более 300 лет.

В следующих постах я разберу эту задачу детальнее и покажу, как она связывает разные области математики — от чистой теории до практических приложений.

⚡Продолжение 👇

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 2/3)

Продолжаем путешествие по Пифагоровой комнате. Начало тут👆.

Чтобы такая комната существовала, стороны комнаты 𝑎,𝑏,𝑐
и диагонали d₁, d₂, d₃, (диагонали стен, пола, потолка)
D (пространственная диагональ из левого нижнего угла в правый верхний) должны удовлетворять системе уравнений:

a² + b² = d₁²
a² + c² = d₂²
b² + c² = d₃²
a² + b² + c² = D²

Это нелинейная диофантова система — мы ищем целые числа, а не вещественные решения. Простая на вид, но на самом деле она открывает дверь в один из самых глубоких разделов современной математики.

💡 Если выразить стороны через отношения, например
𝑥=𝑏/𝑎, 𝑦=𝑐/𝑎, и немного преобразовать систему, то можно прийти к эллиптической кривой — особому виду уравнения:

y² = x³ + A·x + B

Каждая рациональная точка на этой кривой соответствует возможной конфигурации Пифагоровой комнаты. Рациональная точка — это точка (x,y) на кривой, где и x, и y — рациональные числа (дроби вида p/q).Но таких точек может быть бесконечно много, конечное число или не быть вовсе — и именно это делает задачу невероятно сложной.

🌀 Что особенно интересно — на эллиптических кривых можно определить операцию сложения точек, превращая их в математическую группу. Эта же структура лежит в основе современной эллиптической криптографии, которая защищает интернет, банковские транзакции и блокчейн.

🔐 В следующем посте мы посмотрим, как древняя геометрическая идея Пифагора превращается в цифровую защиту XXI века — и почему за этим стоит одна из нерешённых проблем тысячелетия — гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера (BSD).

⚡Продолжение следует…

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 3/3)
От Пифагора к криптографии и гипотезе тысячелетия

В прошлый раз 👆 мы увидели, что поиск целых решений для Пифагоровой комнаты
приводит нас к эллиптическим кривым — уравнениям вида:

y^2 = x^3 + A*x + B

Каждая рациональная точка (x, y) на такой кривой соответствует возможной конфигурации. Но самое удивительное — на множестве этих точек можно ввести операцию сложения, и тогда они образуют абелеву группу.

⚙️ Как работает сложение на кривой

Если взять две рациональные точки P и Q на кривой,
прямая, проходящая через них, пересечёт кривую в третьей точке R.
Зеркально отражая R относительно оси X, получаем новую точку P + Q.

Эта «геометрическая» операция обладает всеми свойствами сложения: ассоциативностью, нейтральным элементом (точка на бесконечности) и обратным элементом.

Так эллиптическая кривая превращается в алгебраический объект,
а её рациональные точки образуют группу E(Q), ключевую в современной арифметической геометрии.

🔐 От уравнений к криптографии

Ту же структуру используют в эллиптической криптографии (ECC).
Вместо целых чисел используют точки на кривой над конечным полем Z_p:

y^2 ≡ x^3 + A*x + B (mod p)

Сложение точек по тем же правилам создаёт огромную, трудно «обратимую» группу. Умножить точку на число легко, а вот найти множитель обратно — почти невозможно. Эта задача называется Discrete Logarithm Problem (DLP) на эллиптических кривых.
На ней основаны протоколы ECDSA, Diffie–Hellman, Curve25519 и многие другие.

Именно поэтому миллиарды транзакций в интернете ежедневно
опираются на те же формулы, что и наш древний Пифагор.

🌌 Гипотеза Бирча и Свиннертона–Дайера (BSD)

Но история не заканчивается криптографией.
За ней стоит одна из семи задач тысячелетия — гипотеза BSD.

Она утверждает, что структура группы рациональных точек E(Q)
тесно связана с аналитическими свойствами её L-функции:

L(E, s) = ∏_p (1 - a_p*p^(-s) + p^(1-2s))^(-1)

Грубо говоря:

- если кривая имеет конечное число рациональных точек, то L(E,1) ≠ 0;
- если точек бесконечно много, то L(E,1) = 0, и порядок нуля в этой точке равен рангу группы E(Q).

Это мост между арифметикой (целыми решениями) и анализом (комплексными функциями) — священный грааль современной теории чисел.

🧭 Cayley-графы и криптографическая геометрия

Если теперь изобразить все точки E(Z_p) как вершины,
а ребро соединяет P и Q, если Q = P + G для фиксированной точки G,
то мы получим Cayley-граф группы точек эллиптической кривой.

Этот граф обладает уникальными свойствами:

- регулярный (каждая вершина имеет одинаковую степень),
- обладает сильной связностью и псевдослучайностью,
- используется в моделях дискретных динамических систем и групповой криптографии.

На таком графе «путешествие» от точки O до n*G
(умножение точки на число n) соответствует тому самому
дискретному логарифму, который делает криптографию надёжной.

🕊️ Финал

Из простых уравнений Пифагора рождается целый мир — от диофантовых систем и эллиптических кривых до глубочайших гипотез и цифровой безопасности XXI века.

Где древняя геометрия встречает теорию групп,
анализ, топологию и даже блокчейн.

Всё начинается с комнаты, где длины рёбер — целые числа.
Но за её стенами скрыта бесконечная математика.

⚡ Конец серии

Видео перед сном:

https://www.youtube.com/watch?v=pgROQl0Ol20

Оставлю для себя здесь, чтобы прочитать как будет время. Базовые вещи кажутся мне очень интересными 👇👇👇

https://arxiv.org/abs/2510.00184

MIT + Harvard + Google DeepMind показали, почему обычные трансформеры почти не умеют в многозначное умножение — и как это починить одной идеей

Команда обучила два маленьких Transformer-а считать 4-значное × 4-значное умножение.

Первый - с методом implicit chain-of-thought (ICoT): модель сначала видит все промежуточные шаги вычисления, а затем эти шаги постепенно убирают.
То есть модель вынуждают “думать внутри себя”, а не на видимых подсказках.

Результат: 100% точность на всех примерах.

Второй - обычное обучение: вход → ответ, без промежуточных шагов.
Результат: около 1% правильных ответов.

Почему так?

- Многозначное умножение требует длинных зависимостей
- Нужно запоминать и переносить “сумму + перенос” между разными позициями
- Модель должна хранить промежуточные частичные произведения и возвращаться к ним позже
- Рабочая модель формирует “бегущую сумму” и carry, как человек
- Внутри attention появляется структура наподобие небольшого бинарного дерева
- Представления цифр формируют особое пространство (пятилучевая призма + Fourier-код)

Обычное обучение захватывает “краевые” цифры и застревает — не может связать середину.
ICoT даёт правильный inductive bias: заставляет модель строить внутренний алгоритм, а не угадывать шаблон.

Главная идея: чтобы ИИ делал арифметику (и, возможно, логику), ему нужен скрытый расчётный процесс, а не просто больше данных.

Это шаг к пониманию того, как обучать модели *думать*, а не просто *запоминать*.

📜 Чистая математика встречает компьютерные науки: письмо Гёделя фон Нейману (1956) — самый ранний намёк на проблему P vs NP

Мало кто знает, что один из важнейших вопросов современной математики — P=(?)NP — впервые в зачаточной форме появился… в личном письме Курта Гёделя Джону фон Нейману в 1956 году.

В этом письме Гёдель спрашивает не только о здоровье фон Неймана, который тогда находился в больнице, но и задаёт ему вопрос почти невероятной дальновидности. Он рассуждает о том, как быстро может работать оптимальная машина Тьюринга, пытаясь найти доказательство заданной длины.

По сути, Гёдель спрашивает:

Можно ли искать доказательства почти так же быстро, как их проверять?

Если бы такая эффективность была возможна, писал Гёдель, то умственную работу математика в вопросах «да/нет» можно было бы практически полностью автоматизировать с помощью машины.

Сегодня мы знаем, что это — точная формулировка идеи, лежащей в основе задачи тысячилетия P vs NP: если решение можно быстро проверить, можно ли его так же быстро найти?

Удивительно, что Гёдель сформулировал эту мысль за 15 лет до появления самой теории алгоритмической сложности, ещё до работ Кука, Левина и Карпа. И он обратился с этим вопросом именно к фон Нейману — человеку, который стоял у истоков компьютерной науки. Все современные компьютерные архитектуры происходят из архитектуры фон Неймана. И как раз тут встречаются чистая математика (Гёдель) и компьютерные науки (фон Нейман).

Историки теории сложности сегодня считают письмо Гёделя самым ранним документом, где содержится концептуальное зерно проблемы P vs NP. Это тот случай, когда мы видим, как фундаментальная идея рождается буквально «на коленке» — в приватной переписке двух величайших умов XX века.

Рекомендую прочитать оригинальное письмо как чистым математикам, так и людям из компьютерных наук. И наших коллег, которые занимаются AI/AGI/ASI, это письмо Курта Гёделя Джону фон Нейману тоже непосредственно касается, может быть читателю пока не очевидно как именно - но...продолжение с деталями следует!

П.С. На картинке под постом 👇 не Курт Гёдель и не Джон фон Нейман, а Стивен Кук и Леонид Левин, которые впоследствии независимо друг от друга и сформулировали теорию и проблему тысячелетия в окончательном, современном варианте.