у меня сегодня день мата, извиняюсь. но с другой стороны, во мне же есть и положительные стороны, я постарался как мог освятить граль науки:

Меня не интересуют кардиналы и ординалы (их "накрутки" омега и башни). Меня интересует универсум Гротендика (включая infinity-cosmoi), где card - это всего лишь вложения. Туда мы загоняем ZF и спокойно работаем (даже в слабой форме - аксиоматика Мак Лейна). И это только в одной директории - "Математика_1" (от античности до наших дней). Меня интересует в дальнейшем библиотека (репозиторий) директорий других математик, отличных от нашей директории (которая включает гомотопическую теорию типов и т. д.). Необходимо обобщить до другого универсума. Кстати, насчёт сходимости "математика - физика", полагаю, что в указанном универсуме с другими математиками, будет, как минимум, инъекция (может и биекция): "Вселенная _i" - -> директория "Математика_j", где "Вселенная_i" - одна из Вселенных Мультивселенной. Само собой, что мы живём во "Вселенной_1" (которая +- удовлетворительно описывается аппаратом директории "Математика_1"). P. S. Эти поля слишком узки, чтобы дальше развить, но, чтобы развить - необходимо уйти от людей.

Remark. Конечно, это Платонизм ("чистой воды"), и нам позволили в течении существенного времени извлечь информацию в директории "Математика_1".

Друг мой, Дима, стоило тебе проявить сегодня порыв душевный - и пошла движуха! Понимаю, что чату претит статика; целиком и полностью принимаю твою тираду (в хорошем смысле этого слова). Sincerely, работник в области...

„Математик - это человек, который может находить аналогии между теоремами; лучший математик - тот, кто может видеть аналогии между доказательствами, а наилучший математик может замечать аналогии между теориями. Можно представить, что высший математик - это тот, кто может видеть аналогии между аналогиями.“

Стефан Банах (высший математик)

Полагаю, что мы можем оперировать тождеством: "высший математик" (по Банаху) = гениальный математик.

Много научпопа написано про основы математики: аксиому выбора, Кантора, Цермело-Френкеля. Но чем занимаются сейчас логики и теоретики множеств? Давайте посмотрим.

🧩 Кантор и бесконечности

В XIX веке Георг Кантор показал, что бесконечности бывают разных размеров. Множество всех вещественных чисел «больше» множества натуральных чисел, хотя оба бесконечны. Это стало основой теории множеств.

Позже появились аксиомы Цермело-Френкеля (ZF) и аксиома выбора (Axiom of Choice). Они дают строгие правила, по которым можно работать с бесконечными множествами.

🔍 HOD — «упорядоченные множества»

HOD (Hereditarily Ordinal Definable) — это множество всех объектов, которые можно полностью описать через числа и правила. Проще говоря, это «хорошо описуемые» объекты.


Продолжение следует 👇

Продолжение. Начало тут 👆

HOD-дихотомия (Hugh Woodin et al, 2016) — это предположение, что вся математическая вселенная множеств (V) либо примерно совпадает с HOD (то есть всё можно формально описать), либо сильно отличается (есть множество скрытых, сложных объектов).

Для чего это нужно:

Позволяет понять, насколько «упорядочена» математика на самом высоком уровне.

Если HOD ≈ V, то структура бесконечностей проста и предсказуема.

Если V ≠ HOD, мы сталкиваемся с «хаотичными» областями, где обычные правила ZFC (ZF + Axiom of Choice = ZFC) уже не дают полного контроля.

Ключевые ссылки:
Woodin, H. The HOD Dichotomy, 2016, arXiv

🏗 Ultimate L — «идеальная гипотетическая внутренняя модель»

Ultimate L — гипотетическая внутренняя модель, максимально отражающая всю вселенную множеств (V). В этой модели:

Упорядочены все кардиналы и бесконечности (кардинал = количество элементов в множестве. Даже у бесконечных множеств, где количество элементов бесконечно, кардиналы можно предположительно упорядочить. Ключевое слово "предположительно" - поэтому модель и гипотетическая.)

В этой модели можно можно предсказать, как «большие» бесконечности взаимодействуют.

Если модель существует, она помогает формально «построить» всю вселенную множеств V и проверить консистентность гипотез.

Для чего это нужно:
Ultimate L cлужит инструментом для проверки, как сильные кардиналы «вписываются» в известную математику. Может показать, какие бесконечности подчиняются структуре, а какие «вне правил».

🔬 Современные исследования (2025)

Aguilera, Bagaria, Lücke ввели новые большие кардиналы: exacting и ultraexacting.

Что известно:
Они совместимы с ZFC, но ведут себя необычно относительно HOD.

Их существование показывает, что HOD ≠ V: есть области, которые нельзя «упорядоченно описать».

Эти кардиналы бросают вызов Ultimate L: модель может не включать их всех, или придётся её корректировать.

Что предполагается и над чем работают:
- Понимание, как новые кардиналы взаимодействуют с существующей иерархией сильных кардиналов.
- Доказательство консистентности этих кардиналов.
- Проверка, насколько Ultimate L отражает реальную вселенную множеств V.

✨ Итог:
Учёные пытаются понять структуру самых больших бесконечностей, проверить, какие из них «упорядочены», а какие «хаотичны». HOD и Ultimate L — инструменты для того, чтобы разглядеть эти скрытые структуры и построить карту самых сложных уровней бесконечности.

Примечния от автора для заинтересованых читателей: автор ни разу не претендует на специалиста в этой области и никоим образом им не является, однако он, ну я то есть :-), попытался изложить эту тему как мог потратив несколько часов на первые попытки её понять. По моему убеждению когда начинаешь разбираться с какой-то темой: самое главное задавать себе вопросы. И вот такие вопросы я себе задавал на первом этапе ознакомления с этой темой:

- почему V (вселенную любых множеств) так сложно определить, что аж понадобилось вводить HOD и Ultimate L?
- ZF + aксиома выбора, на которой строится современная математика: вопрос нужна ли аксиома выбора или нет ставить бессмысленно в рамках математики, хочешь работай с ZF, хочешь с ZFC, в математике - делай всё что хочешь. Но математикой пользуется так же и физика, где речь идёт о наблюдаемых и экспериментально проверяемых явлениях? Берут ли физики в свой матаппарат/модели результаты, которые основаны на ZF, ZFC или ZFx, где х - более слабая версия аксиомы выбора?
- где различия между HOD и Ultimate L?

У автора есть ответы на эти вопросы и он, т.е. я, с удовольствием обсудит их в комментариях. Кроме того, возможно у вас возникнут вопросы, до которых я не додумался, чтобы задать их себе? Так же был бы рад обсудить!

💥 Решение проблемы тысячелетия?!

Семь задач, которые Институт Клэя назвал «проблемами тысячелетия» — самые трудные головоломки современной математики.
За каждую — $1,000,000 призовых.
Одна уже решена (и даже отвергнута награда 😅), шесть ещё ждут своего часа.

И вот — кажется, следующий час настал.

Мы только что созвонились с автором потенциального решения одной из оставшихся проблем. Он трудился над ней 15 лет, и, если всё подтвердится, это будет событие мега-масштаба.

🎥 Готовим эксклюзивный стрим: автор лично расскажет, как он подошёл к решению, какие методы использовал — я пока не буду спойлерить, готовим стрим.

А пока вопрос к вам, друзья:
👉 Как вы думаете, какая из шести оставшихся проблем тысячелетия могла пасть первой?

-Гипотеза Римана
-P vs NP
-Уравнения Навье–Стокса
-Гипотеза Ходжа
-Проблема Янга–Миллса
-Гипотеза Бёрча — Суиннертона-Дайера

Пишите свои ставки в комментах —
а шум, поверьте, поднимется уже через пару недель 🔥

Но надо проверить пруф. Ждём окончательную версию пруфа задачи тысячилетия и проверяем.

Подскажу немного, о решении какой проблемы тысячелетия пойдёт речь на следующем стриме, перефразируя великих Ильфа и Петрова:

— Предмет моей лекции, товарищи, — плодотворная вычислительная идея. Что такое, товарищи, P, и что такое, товарищи, NP?
P, товарищи, — это когда решение находят быстро.
NP, товарищи, — это когда быстро лишь проверяют, что нашли правильно.

А что такое, товарищи, идея?
Идея, товарищи, — это вера, что между этими двумя классами всё-таки есть разница… или же её нет.

Кстати, в мае мы делали лайвстрим “Complexity Theory meets Neuroscience”, где какой-то чувак, похожий на меня, давал неформальное введение в теорию сложности.

выложен архив журнала Квант. Я его на телефоне открыл, и, когда нечего делать, пролистываю номера подряд (начал с 1970 года). Прикольно смотреть, какие там материалы, как менялись и тд. Вдруг это мозгам полезнее чтения новостей))))

И вот такой вопрос — а вы Квант читали? А запомнили что-то оттуда (какие-то выдающиеся статьи)?

Как бы вообще понять значимость журнала (и статей из него), читают ли его, кто, как, зачем?

Меня, например, порадовало, что в первых выпусках материал про цепные дроби — то есть редакторы считали, что это важнее и интереснее, чем многое. Или статьи Колмогорова про функции, например.

🧮 Какой, по вашему мнению, самый сложный вопрос в математике?

Я не профессиональный математик, но из своего опыта в индустрии убедился:
✨ самые простые вещи часто оказываются самыми сложными.


👤 Игорь @alastoofree поставил вопрос в чате, и мне лично пришлось задуматься — вспомнить, что я когда-то знал из математики:

🗣️ «Приветствую, Дмитрий! Признателен за возможность пообщаться простому инженеру с математиками.

♾️ #Бесконечность — в жизни и в инженерии — абсолютно невозможное к пониманию, определению и объяснению понятие.
По сути, это основная проблема человека, из которой проистекают все остальные.

При этом математики активно используют этот концепт при построении своих теорий.

❓ А что произойдет с различными разделами, теориями и формальными системами в математике, если отказаться от Бесконечности и заменить её на что-то конечное?

Заранее признателен за ответ на мой «тупой» инженерный вопрос 🙂»_

🤔 Ребята, особенно математики и инженеры,
что бы вы могли ответить на вопрос Игоря?

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 1/3)

Продолжаем тему глобальных вопросов математики.
Все мы знаем: существует огромное количество нерешённых задач, над которыми люди трудятся столетиями. В следующих постах я планирую сделать маленькое введение и показать, как сложные задачи из разных областей математики связаны между собой.

Начнём с Пифагоровой комнаты — легендарного места, где, по слухам, хранятся решения всех нерешённых задач математики 😎

📐 Что это такое?
Пифагорова комната — это такая комната, где:

все стороны (длина, ширина, высота), все диагонали (по стенам, полу, потолку и из одного угла в противоположный) …являются целыми числами.

❓ Существует ли такая комната, где все стороны и диагонали целые числа?

Ответ: неизвестно! Проблеме уже более 300 лет.

В следующих постах я разберу эту задачу детальнее и покажу, как она связывает разные области математики — от чистой теории до практических приложений.

⚡Продолжение 👇

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 2/3)

Продолжаем путешествие по Пифагоровой комнате. Начало тут👆.

Чтобы такая комната существовала, стороны комнаты 𝑎,𝑏,𝑐
и диагонали d₁, d₂, d₃, (диагонали стен, пола, потолка)
D (пространственная диагональ из левого нижнего угла в правый верхний) должны удовлетворять системе уравнений:

a² + b² = d₁²
a² + c² = d₂²
b² + c² = d₃²
a² + b² + c² = D²

Это нелинейная диофантова система — мы ищем целые числа, а не вещественные решения. Простая на вид, но на самом деле она открывает дверь в один из самых глубоких разделов современной математики.

💡 Если выразить стороны через отношения, например
𝑥=𝑏/𝑎, 𝑦=𝑐/𝑎, и немного преобразовать систему, то можно прийти к эллиптической кривой — особому виду уравнения:

y² = x³ + A·x + B

Каждая рациональная точка на этой кривой соответствует возможной конфигурации Пифагоровой комнаты. Рациональная точка — это точка (x,y) на кривой, где и x, и y — рациональные числа (дроби вида p/q).Но таких точек может быть бесконечно много, конечное число или не быть вовсе — и именно это делает задачу невероятно сложной.

🌀 Что особенно интересно — на эллиптических кривых можно определить операцию сложения точек, превращая их в математическую группу. Эта же структура лежит в основе современной эллиптической криптографии, которая защищает интернет, банковские транзакции и блокчейн.

🔐 В следующем посте мы посмотрим, как древняя геометрическая идея Пифагора превращается в цифровую защиту XXI века — и почему за этим стоит одна из нерешённых проблем тысячелетия — гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера (BSD).

⚡Продолжение следует…

🔹 Нерешённые задачи математики и их скрытые связи (часть 3/3)
От Пифагора к криптографии и гипотезе тысячелетия

В прошлый раз 👆 мы увидели, что поиск целых решений для Пифагоровой комнаты
приводит нас к эллиптическим кривым — уравнениям вида:

y^2 = x^3 + A*x + B

Каждая рациональная точка (x, y) на такой кривой соответствует возможной конфигурации. Но самое удивительное — на множестве этих точек можно ввести операцию сложения, и тогда они образуют абелеву группу.

⚙️ Как работает сложение на кривой

Если взять две рациональные точки P и Q на кривой,
прямая, проходящая через них, пересечёт кривую в третьей точке R.
Зеркально отражая R относительно оси X, получаем новую точку P + Q.

Эта «геометрическая» операция обладает всеми свойствами сложения: ассоциативностью, нейтральным элементом (точка на бесконечности) и обратным элементом.

Так эллиптическая кривая превращается в алгебраический объект,
а её рациональные точки образуют группу E(Q), ключевую в современной арифметической геометрии.

🔐 От уравнений к криптографии

Ту же структуру используют в эллиптической криптографии (ECC).
Вместо целых чисел используют точки на кривой над конечным полем Z_p:

y^2 ≡ x^3 + A*x + B (mod p)

Сложение точек по тем же правилам создаёт огромную, трудно «обратимую» группу. Умножить точку на число легко, а вот найти множитель обратно — почти невозможно. Эта задача называется Discrete Logarithm Problem (DLP) на эллиптических кривых.
На ней основаны протоколы ECDSA, Diffie–Hellman, Curve25519 и многие другие.

Именно поэтому миллиарды транзакций в интернете ежедневно
опираются на те же формулы, что и наш древний Пифагор.

🌌 Гипотеза Бирча и Свиннертона–Дайера (BSD)

Но история не заканчивается криптографией.
За ней стоит одна из семи задач тысячелетия — гипотеза BSD.

Она утверждает, что структура группы рациональных точек E(Q)
тесно связана с аналитическими свойствами её L-функции:

L(E, s) = ∏_p (1 - a_p*p^(-s) + p^(1-2s))^(-1)

Грубо говоря:

- если кривая имеет конечное число рациональных точек, то L(E,1) ≠ 0;
- если точек бесконечно много, то L(E,1) = 0, и порядок нуля в этой точке равен рангу группы E(Q).

Это мост между арифметикой (целыми решениями) и анализом (комплексными функциями) — священный грааль современной теории чисел.

🧭 Cayley-графы и криптографическая геометрия

Если теперь изобразить все точки E(Z_p) как вершины,
а ребро соединяет P и Q, если Q = P + G для фиксированной точки G,
то мы получим Cayley-граф группы точек эллиптической кривой.

Этот граф обладает уникальными свойствами:

- регулярный (каждая вершина имеет одинаковую степень),
- обладает сильной связностью и псевдослучайностью,
- используется в моделях дискретных динамических систем и групповой криптографии.

На таком графе «путешествие» от точки O до n*G
(умножение точки на число n) соответствует тому самому
дискретному логарифму, который делает криптографию надёжной.

🕊️ Финал

Из простых уравнений Пифагора рождается целый мир — от диофантовых систем и эллиптических кривых до глубочайших гипотез и цифровой безопасности XXI века.

Где древняя геометрия встречает теорию групп,
анализ, топологию и даже блокчейн.

Всё начинается с комнаты, где длины рёбер — целые числа.
Но за её стенами скрыта бесконечная математика.

⚡ Конец серии

Видео перед сном:

https://www.youtube.com/watch?v=pgROQl0Ol20

Оставлю для себя здесь, чтобы прочитать как будет время. Базовые вещи кажутся мне очень интересными 👇👇👇

MIT + Harvard + Google DeepMind показали, почему обычные трансформеры почти не умеют в многозначное умножение — и как это починить одной идеей

Команда обучила два маленьких Transformer-а считать 4-значное × 4-значное умножение.

Первый - с методом implicit chain-of-thought (ICoT): модель сначала видит все промежуточные шаги вычисления, а затем эти шаги постепенно убирают.
То есть модель вынуждают “думать внутри себя”, а не на видимых подсказках.

Результат: 100% точность на всех примерах.

Второй - обычное обучение: вход → ответ, без промежуточных шагов.
Результат: около 1% правильных ответов.

Почему так?

- Многозначное умножение требует длинных зависимостей
- Нужно запоминать и переносить “сумму + перенос” между разными позициями
- Модель должна хранить промежуточные частичные произведения и возвращаться к ним позже
- Рабочая модель формирует “бегущую сумму” и carry, как человек
- Внутри attention появляется структура наподобие небольшого бинарного дерева
- Представления цифр формируют особое пространство (пятилучевая призма + Fourier-код)

Обычное обучение захватывает “краевые” цифры и застревает — не может связать середину.
ICoT даёт правильный inductive bias: заставляет модель строить внутренний алгоритм, а не угадывать шаблон.

Главная идея: чтобы ИИ делал арифметику (и, возможно, логику), ему нужен скрытый расчётный процесс, а не просто больше данных.

Это шаг к пониманию того, как обучать модели *думать*, а не просто *запоминать*.

Следующий пост или даже серия постов будет про Льюиса Кэролла (он же Доджонс) и чем он занимался в математике :) Не поверите, там удивительные вещи )