Математика в Футураме

По сюжету главный герой, Фрай, случайно был заморожен в криогенной камере на 1000 лет. И вот он идёт проверять свой счёт в банке.
До заморозки там лежали скромные 93 цента под 2.25% годовых. Сотрудница банка сообщает, что сейчас на его счету… 4.3 миллиарда долларов. 😅

Но это же просто мультик, вряд ли там корректные вычисления. Или нет? Проверим!

Разберёмся с терминами
Счёт Фрая был с капитализацией. Это распространённый случай, когда сумму на счету вычисляют по формуле сложного процента.

Есть расчётный период — обычно это год, но может быть месяц или день. Закончился расчётный период — начисленные деньги добавляются к сумме вклада, и дальше проценты начисляются на возросшую сумму. И так каждый раз!

Считаем
Формула для расчёта итоговой суммы в общем виде выглядит так:
Sₙ = S⋅(1+ p/100)ⁿ,
где n — это количество лет,
p — процентная ставка.

Подставим числа:
S₁₀₀₀ = 0.93⋅(1+ 2.25/100)¹⁰⁰⁰ = 0.93⋅1.0225¹⁰⁰⁰ ≈ 4 283 508 450.

Переведём в миллиарды и округлим до десятых — получим 4.3 миллиарда. Именно эту сумму и назвала сотрудница банка в мультфильме! Немного неправдоподобно, что банк округляет вверх, но опустим эту деталь. :)

Мы очень обрадовались корректным математическим расчётам в мультфильме. Как будто давнишнего знакомого случайно встретили на улице — не ожидали, но приятно. ☺️

Объясним происходящее
Сумма на счету здесь описывается показательной функцией y=k•aᕽ. Её основание a=1.0225, это больше 1, а значит, функция — возрастающая. Поэтому чем больше x, тем больше будет ответ. Показатель 1000 даёт впечатляющие результаты.

Подробный урок про банковские проценты есть в нашем бесплатном тренажёре в модуле «Дроби», тема «Проценты».
А научиться исследовать поведение функций можно в платном курсе «Математика для анализа данных».

Между праздниками несём вам 🧳 туристическую задачку!

Арина шьет и продает чехлы для чемоданов.
Сегодня сшила такой: высота 60см, ширина 45. Ткань чехла тянется: на 10% вверх и на столько же вбок. Форма чехла такова, что закрывает только боковые стороны чемодана.

Но чехол плоский, а чемодан трёхмерный! Поэтому когда надеваешь его на чемодан — ширины должно хватить на два измерения: ширину и глубину.

Каким будет максимальный объём чемодана с целыми сторонами? Ответ округлите вниз до целых литров.

Ждём ваши ответы в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем в понедельник.

Решение задачи про чемодан

В пятницу мы опубликовали задачу. Спасибо за отклик и комментарии!

Разберём, как её можно решить. Напомним, нужно было найти максимальный объём чемодана, который поместится в чехол заданного размера.

Найдём максимальные параметры чехла

Исходные параметры — 60х45 см.
Добавим по 10% за счёт растяжения ткани — получим 60*1.1=66 и 45*1.1=49.5 см. На такие высоту и ширину можно растянуть чехол.

Определимся со сторонами чемодана

По условию задачи высота чехла «покрывает» только высоту чемодана. Мы ищем максимальный объём чемодана, так что и длину возьмём наибольшую — 66 см.
Ширина чехла «покрывает» два измерения: ширину и глубину. Какие соотношения сторон дадут наибольший объём — неизвестно. Значит, введём переменные!

Пусть ширина чемодана равна х, тогда глубина будет 49.5-х.
Значит, объём чемодана равен V=66•х•(49.5-x).

Способы найти максимум

Получилась квадратичная функция. Узнать, где она будет наибольшей, можно разными способами:

• Вычислить производную и приравнять её к нулю, чтобы найти экстремум.

• Найти вершину параболы. Здесь при раскрытии скобок в функции коэффициент при х² будет отрицательным. Поэтому график — парабола с ветвями вниз, в её вершине функция как раз максимальна.

Посчитаем через вершину

Парабола симметрична, и вершина находится строго между нулями функции. Функция V=66•х•(49.5-x) записана в виде произведения.

Она обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Значит, нули функции — 0 и 49.5.
Вершина посередине, значит, это число 24.75.

Число получилось нецелое, а у нас есть условие на целые длины сторон чемодана. Значит, либо x=24 и тогда вторая сторона равна 25 см, либо наоборот.

В обоих случаях объём будет V = 66•24•25 = 39 600 см³. В литрах это 39.6, округляем вниз — 39 литров.

Не очень-то большой в итоге чемодан 😅
Вам бы его хватило?

Функции и шашлык

Показываем отличия основных видов функций на шашлыках. Ведь это именно та математика, которая так нужна на майских праздниках. 😋

Представьте, что вы выезжаете за город на шашлыки компанией из х человек. Сколько кусков мяса будет съедено? Зависит от ситуации.

Простой случай
Предположим, каждый съест по 2 куска и ещё 3 съедят разные люди в качестве добавки. Итого y=2x+3 кусков. Это линейная функция.

За компанию вкуснее
Часто бывает, что чем больше компания, тем дольше длится застолье и тем больше все в итоге съедают. Например, один человек съел бы 1 кусок, двое – уже по 2, трое — по 3 и так далее.

Такую ситуацию описывает функция y=х², она называется квадратичной. Здесь 10 человек съедят 100 кусков, что ж, бывает. 🙃

Шашлык оказался не очень
Если шашлык оказался не очень — есть его будут без энтузиазма. Да, чем больше людей, тем больше кусков съедят, но каждый новый человек не сильно меняет ситуацию.

Например, 4 человека съедят 2 куска, 8 человек — 3, а чтобы съесть 4 куска понадобится целых 16 человек. Это функция y=log₂х. Такая функция называется логарифмической, и её отличительная особенность как раз в том, что она растёт, но медленно.

Шашлычное безумие
Добавим немножко фантастики, эдакий шашлыко-апокалипсис. По графику последняя функция как будто не сильно отличается от квадратичной, но, поверьте, это только поначалу.

Один человек съел 2 куска и разрекламировал следующему, поэтому тот тоже съел 2. Третьему нахваливали шашлык уже двое и он так впечатлился, что съел 4 куска. Четвёртый — вообще 8. Такими темпами десятый съест 512 кусков (не спрашивайте, как!) и конца этому не видно…

Все вместе съедят
y=2+2+4+8+…+2ᕽ⁻¹=2ᕽ
кусков мяса. Функция y=аᕽ называется показательной, при а>1 она быстро разгоняется и улетает в космос.
—————————

А какой вариант развития шашлычных посиделок случился с вами в последний раз? 😁

Поступающим в Школу анализа данных

Вы наверняка слышали про ШАД — это интенсивная двухгодичная программа с передовыми знаниями по ML, системам хранения/ обработки больших данных и анализу данных.

Один из треков поступления называется «альтернативным» — он подходит для специалистов с опытом в анализе данных и аспирантов.

Что проверяют на вступительном экзамене

По информации с сайта школы, при поступлении проверяют:
- знания в рамках общей программы: базовые разделы высшей алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории вероятностей,
- умение программировать.

Один из способов подготовиться

Подтянуть математику можно на нашем курсе «Математика для анализа данных». Например, наши выпускники могут решить большинство заданий из экзамена прошлых лет.

Кроме того, на курсе вы сможете освоить Python и разобраться, как решать задачи аналитика данных с помощью этого языка программирования.

Когда начать подготовку

Экзамены в ШАД начинаются весной. Обучение на курсе «Математика для анализа данных» занимает около 6 месяцев. Если начать сейчас, вы обстоятельно и спокойно успеете подготовиться к поступлению в 2025 году.

Ближайшие когорты стартуют 23 и 30 мая. Приходите, ждём вас!

➡️«Математика для анализа данных»

Сегодня покайфуем с листов А4.

Классное свойство
Если сложить лист пополам, то соотношение сторон сохранится. Длины сторон А4 относятся так же, как длины сторон А5 или А6 и так далее.

Это отношение выражается иррациональным числом — длинная сторона всегда в √2 раз больше короткой. Оно даже имеет имя — соотношение Лихтенберга.

Польза
Его предложил ещё в 1786 году немецкий учёный Георг Кристоф Лихтенберг. С конца 18 века листы такого формата стали применять во Франции. Сейчас формат распространён по всему миру, кроме США и Канады.

Подобные листы удобны тем, что изображение легко перенести/распечатать на любые размеры. Если есть картинка формата А0, то она легко масштабируется и на А1, и на А8. Пропорции сохранятся и ничего нигде не поедет. Типография в восторге!

Почему √2
Пойдём с конца: пусть мы хотим, чтобы сгибание листа не меняло его пропорций — какие тогда нужны параметры листа?

Пусть длина короткой стороны равна x, а длинной — y. При сгибании пополам уже длинная сторона будет равна x, а короткая — 0.5y. Факт неизменности соотношения запишем как пропорцию:
y : x = x : 0.5y.

Применим основное свойство пропорции и получим: 0.5y² = x².
То есть y² = 2x², откуда y = √2⋅x (отриц. корень здесь не имеет физического смысла).

Значит, если нам нужен лист, у которого при складывании сохраняются пропорции, то одна его сторона должна быть в √2 длиннее другой.

Почему именно 210x297 мм
Почему бы вместо 297 не взять 300? Хоть одна сторона была бы красивой длины. :)
Дело в том, что А4 хоть и самый распространённый сейчас формат, но началось всё с А0.

Площадь листа А0 — ровно 1 кв. метр. И уже для этой площади вычисляли нужные длины сторон.
Смотрите: x√2⋅x=1.
Отсюда x≈0.841 м — длина меньшей стороны листа А0. А большей — 1.189 м.

Размеры остальных листов получились делением пополам А0 и далее.
Поделим стороны на 4 — получим размеры формата А4:
841:4≈210 мм — меньшая сторона;
1189:4≈297  мм — большая сторона.
Как раз фактические размеры!

Ну что за кайф этот лист А4 — всё в нём красиво и продуманно!

Привет!
Мы в Практикуме проводим исследование в области обучения анализу данных.

Если вы хотите освоить профессию аналитика данных или уже запланировали обучение, приглашаем принять участие в интервью! Оно пройдёт в зуме и займёт около 30-40 минут.

Для участия, пожалуйста, заполните форму. Мы свяжемся с вами и подберём удобное время. В благодарность за участие подарим промокод на Яндекс Плюс или электронные книги МИФа.

Задача про мраморные столешницы

В мастерской натурального камня есть квадратный мраморный слэб со стороной 4 метра.
- Сначала из него вырезали квадратную столешницу размером 2 на 2 метра.
- Следующий заказ — круглая столешница.

Какого максимального радиуса может быть этот круг? Схема, по которой его будут вырезать, — на иллюстрации к посту.

Разберём пятничную задачу про столешницы.

Решение носит кодовое название «Много диагоналей». 😁

Дополнительные построения
Проведём диагональ большого квадрата. Обозначим её длину за D.
На иллюстрации к посту видно, что: D = d + r + k, где
d — диагональ левого квадрата;
r — радиус круга;
k — оставшийся кусочек.
В правом углу можно достроить квадрат из радиусов круга и становится видно, что k — диагональ этого маленького квадрата.

Найдём длины всех диагоналей
По теореме Пифагора:
• У самого большого квадрата: D²=4²+4²=32, поэтому D=4√2.
• У левого квадрата: d=2√2.
• У верхнего малыша: k=r√2.

Составим и решим уравнение
D = d + r + k, значит, 4√2=2√2+r+r√2, 2√2=r(1+√2),
r=2√2/(1+√2).

Это и есть ответ!
Математическим гурманам предлагаем заглянуть в комментарии и познакомиться со вторым решением задачи.

Компьютер из домино

Все знают, что компьютеры работают на основе двоичной логики. Но как именно это происходит? Как нечто механическое может что-то вычислить?

Именно про это и рассказывает наш любимый популяризатор математики Мэтт Паркер. Для демонстрации он смастерил простую модель компьютера — из доминошек.

Как это работает
На вход подаются сигналы: ноль — это не трогаем костяшки, а единица — это «тык» пальчиком. Интерпретация выходов: ноль — доминошки стоят, а единица — упали.

Если выстроить доминошки особым образом, то получатся «цепи» для разных задач. Например, для сложения:
- Сначала Мэтт сделал «цепи» для логических операций И и исключающее ИЛИ.
- А потом вместе с командой энтузиастов создал компьютер, который смог сложить два небольших числа. Очень скромных — каждое не больше 15 😅 

На создание компьютера ушло 10 тысяч доминошек. Они не только красиво падали, но главное — наглядно визуализировали идею работы компьютера.

Подробности
Смотрите в видео на ютубе:
➡ Как это работает
➡ Захватывающая история строительства домино-компьютера и его тестирования

Квантиль

Продолжаем изучать статистику! Мы уже рассказывали про среднее и медиану. Эти характеристики помогают понять, как данные ведут себя «в среднем».

Но бывает нужен и другой взгляд. Например, социологи исследуют, в какой стране проблема разницы в доходах бедных и богатых ощущается острее. Исследователи хотят понять, сколько зарабатывают 10% самых бедных, а сколько — 10% самых богатых жителей каждой страны. Проанализировать это поможет новое понятие — квантиль.

Определение
Квантиль — это значение, которое случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.
Например, фраза «0.9-квантиль длины песни у группы „Ноги вниз” составляет 3.5 минуты» означает, что у 0.9 (то есть у 90%) всех песен этой группы длина меньше или равна 3.5 минутам, а длина оставшихся 0.1 всех песен — больше либо равна 3.5 минутам.

Как вычислить квантиль
Есть несколько подходов к вычислению квантиля, мы предлагаем такой:

1) отсортировать набор данных по возрастанию,

2) найти номер элемента по формуле: n·k, где n — количество элементов в наборе, k — та доля, которая нас интересует.

Пример
Пусть у нас есть данные: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
Здесь n=10 элементов.

Найдём 0.3-квантиль. Вычисляем n·k = 10·0.3 = 3 — это номер нужного элемента. В данном случае третий элемент — это 25.

Поэтому 0.3-квантиль данного набора равен 25. Это значит, что 30% наблюдений меньше или равны 25, а оставшиеся 70% наблюдений больше или равны 25.

Пример посложнее

Добавим в набор ещё несколько элементов: 1, 5, 13, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 105. И вычислим 0.3-квантиль.

Элементов 13, 0.3·13=3.9, это нецелое число.

Договоримся, что если при умножении n·k получается дробное число, то мы будем брать среднее значение двух ближайших соседей. Третий элемент равен 13, четвёртый — 15. Их среднее равно 14.

Значит, 30% наблюдений меньше, чем 14, а 70% — больше.

Аналог квантиля

Квантиль всегда является долей от единицы. Если удобнее считать в процентах, то характеристика называется перцентиль, или процентиль. Например, 0.7-квантиль равен 70-перцентилю. Алгоритм вычисления тот же.

Популярные квантили
Но чаще всего используют квартили — они делят набор данных на 4 равных части:

Q₁ (первый квартиль) — 0.25-квантиль.
Q₂ (второй квартиль) — 0.5-квантиль, он отсекает 50% данных, это уже знакомая вам медиана!
Q₃ (третий квартиль) — 0.75-квантиль.

Квартили формируют ядро данных. Обратите внимание: левее Q₁ находятся 25% всех значений и правее Q₃ тоже 25% значений. А значит, между Q₁ и Q₃ лежит ровно половина всех наблюдений. Считается, что это наиболее стабильная часть выборки.

Задача
Пришла пора немножко порешать!
Аналитик Марина взяла из приюта котёнка 15 недель назад и подсчитывает число его милейших фотографий по неделям:
117, 148, 210, 50, 78, 205, 61, 99, 104, 213, 72, 68, 156, 85, 101.

Найдите Q₁ и Q₃.
Решения и ответы ждём в комментах под скрытым текстом.

Почему нельзя делить на ноль

Возможно, ответ на этот вопрос интересует вас ещё со школы.
А может быть, вы уже знаете ответ — тогда можете познакомиться с другими.

Ответить можно на нескольких уровнях:
1) через общее понимание операции деления,
2) через понятие дроби,
3) алгебраически через связь деления и умножения,
4) через понятие предела и с помощью графика,
5) с помощью теории групп и полей через обратный элемент.

Эти пункты можно использовать как подсказки и подумать над доказательством самостоятельно 😉

А можно пойти коротким путём — посмотреть видео, в котором подробно объясняют все пять уровней ответов.