🧊Задача о муравье и кубе: сколько нужно шагов?

Тема случайных блужданий нас не отпускает, поэтому предлагаем решить связанную с ней задачу. Кстати, ее часто дают на собеседованиях — например, на позицию дата-аналитика.

➡️Условие
Допустим, у нас есть куб. У куба 8 вершин и 12 ребер. На одну из вершин этого куба мы посадили муравья. Он начинает двигаться случайным образом: на каждом шаге выбирает одно из трёх соседних рёбер с равной вероятностью и переходит по нему в следующую вершину.

➡️Вопрос
Сколько шагов в среднем понадобится муравью, чтобы добраться до противоположной вершины — то есть до той, которая соединена с начальной диагональю через весь куб?

Делитесь рассуждениями и ответами в комментариях, а мы опубликуем решение уже вечером!

#задача

📕 Три книги о математике, которые точно стоит прочитать

Майские — хороший повод начать новую книгу. Выбрали для вас самые интересные и рассказали, почему они нам нравятся.

1️⃣ Математическая составляющая. Редакторы-составители: Николай Андреев, Сергей Коновалов, Никита Панюнин
Must read и первейшая рекомендация для тех, кто интересуется математикой, но не готов браться за слишком трудный материал. Если бы наш канал был книгой, это была бы «Математическая составляющая».

Книга состоит из трех частей. Первая — о математике и достижениях цивилизации. Например, о том, как задача о Кёнигсбергских мостах (рассказывали о ней здесь) пригождается при расшифровке генома.

Вторая часть — о математике в повседневных вещах. Вы узнаете, почему футбольный мяч устроен именно так и почему у бумаги формата А4 такие длины сторон.

В третьей части собраны тексты посложнее: объемные и со множеством деталей.

Кстати, электронную версию книги можно бесплатно прочитать и скачать на официальном сайте.

2️⃣ Апология математики. Владимир Успенский
Это не совсем книга, а скорее сборник статей профессора Владимира Успенского — математика, лингвиста и ученика великого Колмогорова.

«Апология математики» объясняет, какое огромное место математика занимает в нашей жизни, и помогает проникнуться ее красотой. А еще — связывает математическое и гуманитарное. Например, одна из глав называется «Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике», и практически весь первый абзац этой главы посвящен... Пушкину!

3️⃣ Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир. Нелли Литвак, Андрей Райгородский
Книга о том, как математика работает внутри поисковиков, онлайн-рекламы, шифрования и даже очередей в супермаркете. Она объясняет, почему современный мир буквально существует благодаря математике (нам такая точка зрения очень близка!).

Книга написана для широкой аудитории, но в ней есть математические приложения и даже строгие математические формулировки с доказательствами теорем.

Кстати, все три книги — лауреаты или финалисты премии «Просветитель». Вот такая просветительская у нас получилась подборка 😊

#рекомендуем

🧶 Как вязание помогло ученой с решением задачи, над которой математики бились десятилетиями

Кто-то разводит комнатные растения, кто-то пишет музыку, а Сусанна Хейккиля из Финляндии любит вязать. Именно это хобби помогло ей продемонстрировать результаты своего открытия в топологии.

📝 Небольшая справка:

Топология — один из самых абстрактных разделов математики. Он изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях.

В 1981 году математик Михаил Громов задался вопросом: можно ли любую гладкую, замкнутую многомерную фигуру без «дыр» — например, четырехмерную сферу — получить путем плавных искажений и растяжений плоского евклидова пространства? И если нет, то с какими фигурами это возможно?

Проблема оказалась настолько сложной, что ее не могли решить четыре десятилетия. Лишь в 2019 году Александр Прайвес представил контрпример в четырехмерном пространстве и доказал, что с любой фигурой так поступить нельзя.

Хейккиля из Университета Хельсинки пошла дальше и выяснила, какие именно четырехмерные формы можно получить, деформировав плоское пространство. Она дала классификацию таких фигур, а это отвечает на вопрос Громова!

🌀 А причем тут все-таки вязание? Хейккиля использовала его для визуализации результатов. К публичной защите диссертации в начале 2025 года она подготовила вязаные модели:

🟠 Первая — полотно с шахматным узором и квадратами с разноцветными углами.
🟠 Вторая — «мяч», сфера с разноцветными полусферами.

Если натягивать полотно на мяч так, чтобы разноцветные углы совпали между собой, останется зазор между квадратами там, где эти углы прикрепляются друг к другу. Зазор можно устранить за счет растяжения ткани, что иллюстрирует суть работы учёной.

Хейкилля уверена, что вязание помогает понять топологию: петли и узлы показывают, как одни фигуры преобразуются в другие без разрывов и склеиваний. Кажется, хобби, которые помогают занять руки и спокойно порассуждать — отличный способ делать маленькие и большие открытия. Что думаете?

#история

📕 Книги о математике для тех, кто готов к чему-то посложнее

Мы не удержались и сделали вторую подборку книг. Если хочется глубокого погружения и сложных тем, она для вас! А книги полегче — здесь 🙂

1️⃣ Математический дивертисмент. Сергей Табачников, Дмитрий Фукс

Это сборник из 30 лекций, посвященных сюжетам из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии. Например, там можно найти лекции о рогатой сфере Александера, математических бильярдах в эллипсах и геометрии клетчатой бумаги.

Общая цель лекций — показать красоту математических рассуждений. Читать их, кстати, советуем с карандашом и бумагой наготове: возможно, над чем-то захочется серьезно поразмышлять.

Книгу можно найти в свободном доступе по этой ссылке.

2️⃣ Математическое понимание природы. Владимир Арнольд

Книга как раз для читателей нашего канала: в ней о том, как математика проявляет себя в реальном мире. Вы узнаете о приливах и явлении Гиббса, о глубине воды и картезианской науке, об инверсии в цилиндрических зеркалах метро и эксцентриситете кеплеровой орбиты Марса. И всё это — через призму научного видения математика Владимира Арнольда.

Электронную версию книги издательство распространяет бесплатно.

3️⃣ Математика как метафора. Юрий Манин

Третья книга в подборке — тоже настоящий челлендж. Ее написал Юрий Манин, видный специалист по алгебраической геометрии. Специальные математические знания для её понимания не нужны, но Манин предлагает разобраться в философских аспектах математики, а это может быть не так просто.

В сборник вошли очерки по истории и философии математики и физики, теории культуры и языка, отрывки из воспоминаний, стихи и даже стихотворные переводы. И да, эта книга из нашей подборки тоже есть в открытом доступе.

А вы какие книги о математике посоветовали бы почитать?

#рекомендуем

🌀 Помните учёную, которая использовала вязание для демонстрации открытия в топологии? Пробуем объяснить, что она сделала (хотя бы примерно)

Недавно мы рассказывали про Сусанну Хейккиля: учёную, которая совершила открытие в топологии и продемонстрировала результаты с помощью вязания, своего хобби. Нам так понравилась эта история, что мы решили вернуться с небольшим пояснением и попробовать рассказать, с чем вообще связано открытие Хейкилля.

Итак, наглядно изобразить то, что сделала героиня предыдущего поста, практически невозможно. Четырехмерные многообразия, о которых идёт речь в работе Хейккиля, нельзя визуализировать в привычном нам трёхмерном пространстве.

Её вязаная модель показывает, почему плоский диск нельзя аккуратно «натянуть» на сферу, не создав складок или разрезов. Этот факт относится к классическому результату о невозможности изометрического вложения плоскости в сферу. Звучит сложно, потому что так и есть: топология — одна из самых сложных областей математики, и объяснению она поддаётся трудно.

В связи с историей о Хейккиля интересно вспомнить о Джеймсе Александере. Учёный, к слову, происходил из очень влиятельной американской семьи, был миллионером и предерживался чрезвычайно левых взглядов.

А ещё он тоже изучал конструкции вложений в топологии, и две его идеи оставили серьезный след в топологии.

✅Первая идея — так называемый «трюк» Александера.
✅Вторая — знаменитая «дикая» сфера, известная как «рогатая сфера Александера» (кстати, в книге «Математический дивертисмент», которую мы советовали здесь, «дикой сфере» посвящена целая глава).

Пример рогатой сферы показывает, как двумерную поверхность шара можно вложить в трехмерное пространство в виде вот такой страшной конструкции, как на гифке. Эта идея стала переломным моментом для геометрии и топологии в частности: она разрушила наивную геометрическую интуицию и заставила математиков уточнять формулировки.

Этот пример не поможет понять, что именно сделала Хейккиля, но поможет оценить сложность стоявшей перед ней задачи: учёной нужно было классифицировать плоские (двумерные) объекты, которые можно специальным образом (сохраняя необходимые свойства) вложить в многомерное пространство (даже не трёхмерное, а аж четырёхмерное!).

Здорово, что кто-то не просто понимает, как это устроено, а ещё и делает открытия в этой области 🌟

#история

😊 Задача о числах: ищем правильный ответ

Близится конец рабочей недели, и это повод немного сменить фокус — например, потренироваться решать задачи. У нас как раз есть подходящяя.

✅Условие. Известно, что:

2 + 3 = 8.
3 + 7 = 27.
4 + 5 = 32.
5 + 8 = 60.
6 + 7 = 72.

✅Вопрос. Чему в таком случае равно 7 + 8?

Как обычно, предлагаем делиться рассуждениями и ответами в комментариях, а решение опубликуем уже завтра!

#задача