«Офису» 20 лет!

Помните серию, в которой Дуайт устраивает офис в автобусе и все торопятся успеть поесть пироги? Именно в ней Кевин показал, как важна визуализация в математике 🧡

А вы что представляете, когда нужно посчитать в уме?

🚖 «Геометрия таксиста»

❓Почему путь по прямой — не обязательно самый короткий, и как это используют навигаторы?

Представьте, что вы — таксист на Манхэттене, острове с идеальной сеткой улиц. У вас срочный заказ: нужно доехать от точки A до точки Б. Как навигатор поймет, какой путь — оптимальный?

По евклидовой геометрии, которую мы все учили в школе, кратчайший путь — это прямая линия. Но в «геометрии таксиста», или «метрике Манхэттена», такая линия почти бесполезна, ведь такси не умеет ездить сквозь здания. В этой системе расстояние между двумя точками считается не по формуле Пифагора, как в евклидовой геометрии, а, грубо говоря, по количеству улиц, которые нужно проехать.

При этом в «геометрии таксиста» может быть не один, а несколько кратчайших маршрутов из точки А в точку Б. Можно менять порядок движений по горизонтали и вертикали (если мы смотрим на карту города в виде сетки), выбирать разные дороги и всё равно доехать с минимальными временными затратами.

Если город устроен примерно как Манхэттен, навигатор использует алгоритм, в основе которого — именно такая система. Но сразу скажем, здесь мы сильно упрощаем. Все-таки работа навигаторов — очень сложная тема.

Где применяют «геометрию таксиста» помимо навигаторов?
🔴 В маршрутизации сетевого трафика.
🔴 Логистике.
🔴 Геймдеве.
🔴 Обработке изображений.
🔴 И даже в шахматах. Ход ладьи — чистая метрика таксиста!

А еще многие современные дата-центры строятся по топологиям вроде Fat-Tree или Torus, где серверы связаны сеткой коммутаторов. Пакеты данных не могут «двигаться» по диагонали, а пересылаются от узла к узлу по горизонтали и вертикали — прямо как в «геометрии таксиста».

Вот так, геометрия повлияла на города, а города — на геометрию ↔️

А для тех, кто хочет немного углубиться в тему, собрали полезные ссылки:
➡️ Введение в «геометрию таксиста»
➡️ Про параболы и гиперболы в «геометрии таксиста»
➡️ Сайт, где можно попробовать построить «эллипсы таксиста»
➡️ Наглядная демонстрация «геометрии таксиста» в Wolfram

#как_устроено

🔎 Поймай меня, если сможешь: советуем игру о «геометрии таксиста»

Вам нравилось играть в «Морской бой» в дороге или на уроках? Если да, попробуйте игру «Поймай меня, если сможешь»: с ней вы не только развлечетесь, но и лучше поймете принципы «геометрии таксиста». Главное — найти напарника ☁️

Вот правила:

1️⃣ Первый игрок выбирает и запоминает координаты точки на координатной плоскости, не раскрывая их второму игроку.​ Эта точка — его укрытие.

2️⃣ Второй игрок называет случайные координаты точки, пытаясь угадать, где находится укрытие первого игрока.

3️⃣ Первый игрок сообщает расстояние между своим укрытием и точкой, которую выбрал второй игрок. Оно вычисляется как сумма модулей разностей координат. Например, если координаты укрытия (5;5), а координаты, названные вторым игроком — (3;4), расстояние d = |5-3| + |5-4| = 3.

Расстояние можно вычислить и без формулы: оно равно минимальному количеству «шагов» (скажем, нажатий стрелочек ← ↑ → ↓), которое позволяет дойти от одной координаты до другой.

4️⃣ Второй игрок использует информацию о расстоянии и делает следующее предположение о том, где прячется первый игрок, то есть повторяет первый пункт.

5️⃣ Если после пяти попыток второй игрок не находит укрытие, первый игрок выигрывает.

Подсказка: второй игрок может отмечать на координатной плоскости точки, которые находятся на указанном расстоянии от предыдущего предположения. Так будет легче найти укрытие. На иллюстрации, например, отмечены все точки, которые находятся на расстоянии 3 от точки с координатами (5;5).

Чтобы начать играть, кликните на Gameboard в начале страницы. А еще в «Поймай меня, если сможешь» можно играть в обычной тетради в клеточку.

Кстати, как думаете, как определяется и выглядит «окружность» в «геометрии таксиста» и как меняется её форма при увеличении радиуса? Спрашиваем не просто так: ответы помогут победить в игре 🌟

#рекомендуем

💎 Мозаика Пенроуза. Во-первых, это красиво

Представьте, что вы решили сделать ремонт и выбираете плитку для пола. Можно выбрать квадраты, прямоугольники, шестиугольники — они идеально покрывают поверхность без зазоров. Но что, если хочется чего-то необычного? Например, сделать замощение, которое никогда не повторяется? У нас есть решение.

❓ Что такое мозаика Пенроуза
В 1974 году математик Роджер Пенроуз открыл способ замостить плоскость всего двумя видами плиток, но так, чтобы рисунок никогда не повторялся.

Обычно, если мы выкладываем плитку (например, квадраты или шестиугольники), узор повторяется через равные промежутки — это называется периодичностью. Мозаики Пенроуза нарушают это правило: какую бы часть вы ни взяли, вы нигде не найдете точно такой же кусок. Да, некоторые узоры повторяются снова и снова, но без строгой регулярности.

На картинке справа — классическая мозаика Пенроуза из двух видов плиток, а на картинке слева их уже больше.

❓ Был ли Пенроуз первым
Нет, идея непериодических замощений появилась раньше. Вот как развивались события:

🟠 Хао Ван в 1961 году предложил задачу: можно ли замостить плоскость определенным числом типов плиток так, чтобы узор не повторялся?
🟠 Роберт Бергер в 1966 году доказал, что это возможно, но его набор включал 20 426 типов плиток. Потом он сократил его до 104 плиток.
🟠 Рафаэль Робинсон в 1971 году изучал непериодические замощения и предложил набор из 6 типов квадратных плиток с особыми правилами соединения.

Ну а Пенроуз упростил задачу до двух видов плиток, и это гениальное упрощение сделало мозаику знаменитой. А еще в ней проявляются золотое сечение и самоподобие, и это делает её особенно красивой.

❓Зачем это нужно
Мозаики стали знаменитыми не только в математике. Например, в физике такие структуры нашли в квазикристаллах — материалах с уникальными свойствами. А в искусстве похожие мозаики использовал Эшер в своих невозможных орнаментах.

Теперь вы знаете, что выбрать, если захотите сделать пол с абсолютно уникальным узором!

#как_устроено

Кстати, про пол мы говорили серьезно. На этой фотографии Роджер Пенроуз стоит на плитке, выложенной мозаикой, названной в его честь. Так замостили пол в Институте фундаментальной физики и астрономии Митчелла

Вот так математика и проникает в реальную жизнь🌟

⚡️8БИТ-2025: умные устройства, робототехника, IT и, конечно, математика

Знаете, чем мы займёмся с 10 по 12 апреля? Пойдём на онлайн-фестиваль 8БИТ от Яндекс Образования. Делимся явками-паролями и зовём вас с собой!

Чем заняться на фестивале
🔴Послушать дискуссии, лекции и подкасты. Например, можно будет узнать секреты автономных доставщиков, Алисы и умного дома.
🔴Посетить мастер-классы. От развития ТРИЗ-мышления до сборки робота.
🔴Сходить на офлайн-мероприятие в Москве или Екатеринбурге. В программе — еще больше мастер-классов, экскурсия в Яндекс Музей и мероприятие в УрФУ.

Полная программа — на сайте.

Будет ли что-то математическое
Конечно!💜 Все технологии, которым посвящен 8БИТ, так или иначе связаны с математикой, но отдельное мероприятие о ней тоже будет: 12 апреля пройдет мастер-класс «Суперсила изобретателя — математика». Там можно будет научиться решать небанальные задачи и применять математическую логику в творческих проектах.

Как попасть
Регистрируйтесь на сайте фестиваля. Кстати, если у вас уже есть планы на выходные, всё равно советуем зарегистрироваться: все записи онлайн-активностей можно будет посмотреть потом😊

#рекомендуем

📈 Интерполяция: искусство угадывать значения

Представим специалиста, который работает в экспедиции и ведет дневник наблюдений за погодой. Он записал, какой была температура воздуха в 16:00, потом — в 22:00, но забыл сделать это в 19:00. Что делать, чтобы добавить в дневник недостающую запись? Интерполировать! 🔎

Интерполяция — это метод «предсказания» значений внутри диапазона известных данных. Она используется повсюду:

➡️ В обработке изображений — при апскейлинге фото без потери качества.
➡️ В цифровом звуке — для плавного перехода между сэмплами.
➡️ В моделировании — чтобы предсказывать траектории объектов.

Как это работает
Вернемся к примеру с погодой: если мы предполагаем, что температура менялась плавно, можно провести прямую между точками 16:00 и 22:00 и взять значение в 19:00. Это называется линейной интерполяцией.

Но если учесть, что температура в течение дня меняется нелинейно (например, после заката холодает быстрее), лучше использовать полиномиальную интерполяцию или сплайны — методы, которые позволяют учесть изгибы кривой.

Как правильно интерполировать
Чтобы построенная кривая не слишком «гуляла», важно правильно выбрать узлы интерполяции — точки, которые мы фиксируем, чтобы построить промежуточные значения. Если узлов будет слишком мало, модель получится грубой и неточной.

В метеорологии, например, для прогноза температуры учитывают не только данные ближайших часов, но и температуру на соседних метеостанциях. Такой выбор узлов помогает минимизировать ошибки.

Вот так работает интерполяция — метод, благодаря которому наш специалист заполнит дневник наблюдений 😊

#как_устроено

❓ Исчезающий арбуз: куда делись килограммы

Сезон арбузов приходится ждать, а математические задачи можно решать круглый год. Предлагаем этим и заняться и вместе подумать над ответом.

➡️Задача: у нас есть огромный арбуз, который весит 20 кг и на 99% состоит из воды. Он пролежал несколько дней на столе, немного усох и в нём осталось 98% воды.

➡️Вопрос: какова теперь масса арбуза?

Пишите свои ответы в комментариях, а мы опубликуем решение уже завтра!

#задача

🌔 Геометрия звездного неба в древности

Сейчас мы можем летать в космос, отправлять роботов на другие планеты и наблюдать за звездами в мощные телескопы. В древности у ученых таких возможностей не было, но это не мешало им исследовать ночное небо и совершать открытия, которые заложили основы астрономии 🤩

Архимед, например, изучал солнечные затмения — события, которые происходят на Земле 1 — 2 раза в год. А Аристарх наблюдал за фазами Луны: они возникают, когда Солнце освещает спутник под разными углами. И тому, и другому ученому наблюдения помогли сделать важные предположения о размерах небесных тел и их удаленности от Земли.

💫 Мы узнали об этом из поста на канале «Кроссворд Тьюринга», а если бы подписались на канал раньше, успели бы на лекцию о геометрии звездного неба! Чтобы не повторять наших ошибок, советуем подписаться и следить за анонсами математических лекций и других мероприятий: @turings_crossword

#рекомендуем

🎞 Что посмотреть: история гениального самоучки

Про Рамануджана у нас есть не только мем, но и рекомендация!

«Человек, который познал бесконечность» — фильм о математике, для которого формулы были не инструментом, а откровением. Казалось, его математическая интуиция работает за рамками любой логики. Не получив школьного образования, он оказывается в Кембридже, где получает возможность поработать с лучшими математиками того времени. И, конечно, сталкивается со множеством трудностей: например, с непониманием со стороны коллег и дискриминацией.

Сегодня Рамануджан — настоящая легенда, но при жизни его недооценили, и это хорошо показано в фильме. Это высокобюджетный голливудский байопик с известными актерами — других таких фильмов о математиках почти нет. Если возникнет вопрос «что бы такого посмотреть вечером», «Человек, который познал бесконечность» — отличный вариант.

Если у вас есть любимые фильмы о математике и математиках, расскажите в комментариях — вдруг мы пропустили что-то интересное 🌟

#рекомендуем

📏Что такое метрика и почему без неё не обойтись

Сейчас о метриках часто говорят в контексте ИТ-продуктов, но на самом деле метрика — это то, что нужно всегда, когда мы измеряем «расстояние» между объектами. Любыми! Сейчас расскажем подробнее.

❓Что такое метрика в математическом смысле
Понятие «метрика» придумали в 1910-х годах Феликс Хаусдорф и Морис Фреше. Они заложили основы метрических пространств — миров, где можно измерять «расстояния», даже если они не похожи на то, к чему мы привыкли. Например, «расстоянием» может быть разница между двумя картинками.

«Настоящая» метрика подчиняется трём правилам:

1️⃣ Неотрицательность: расстояние не может быть отрицательным.
2️⃣ Симметрия: если от A до Б — пять километров, от Б до A — столько же.
3️⃣ Неравенство треугольника: путь напрямую всегда короче суммы обходных путей или равен ей.

Метрика — не всегда привычное нам расстояние в километрах. Вот примеры:

🔵В машинном обучении «расстояние» между двумя клиентами будет измеряться не в метрах, а, например, в количестве совпадающих покупок. Чем «ближе» клиенты друг к другу, тем больше они похожи.

🔵В музыке есть метрики, измеряющие схожесть мелодий. Именно они лежат в основе работы Shazam и помогают узнать, что за песня играет в любимом баре.

🔵В теории графов метрика может измерять, насколько «далеки» две вершины — например, по минимальному числу переходов между ними. Этот принцип лежит в основе рекомендательных систем и поиска кратчайших путей в транспортных сетях.

🔵В психологии метрики применяют, чтобы сравнивать поведенческие профили людей и узнавать, например, насколько похожи их реакции на стресс. Звучит как что-то из «Чёрного зеркала», но на самом деле полезно.

🔵В биоинформатике метрики помогают сравнивать цепочки ДНК. Это позволяет, например, построить генеалогические деревья вида и понять, кто с кем родственник в мире бактерий, растений или животных.

Метрика помогает измерить «расстояние», а в чем именно это «расстояние» будет измеряться и какие выводы поможет сделать — зависит от ситуации 😊

А вы используете метрики в работе?

#как_устроено

✖️ Как молодой математик бросил вызов 40-летней теории и ускорил интернет

Сегодня у нас для вас история, которая доказывает: математика поддаётся смелым.

❓Что случилось
Зимой 2025 года Эндрю Крапивин, аспирант Кембриджского университета, опубликовал статью о новом подходе к хеш-таблицам. В ней он сумел опровергнуть гипотезу Эндрю Яо и придумал, как ускорить интернет. Самое удивительное: о существовании гипотезы Эндрю не знал. А статья его стала настоящей сенсацией, и вот почему.

🗂️Что такое хеш-таблицы
Каждый раз, когда вы ищете товар в онлайн-магазине или приложение в сторе, в дело вступают хеш-таблицы. Это структуры данных, которые хранят пары «ключ-значение» и помогают находить информацию.

Представьте библиотеку, где у каждой книги есть уникальный номер (ключ), а каталог (хеш-функция) указывает точное место книги на полке. Примерно так это и работает.

📝 Гипотеза Яо
У хеш-таблиц есть ограничения. По мере заполнения таблицы увеличивается вероятность коллизий — ситуаций, когда разные ключи указывают на одну ячейку.

В 1985 году Эндрю Яо предположил, что при высокой заполненности таблицы поиск свободной ячейки требует времени, пропорционального степени заполнения. Например, при заполненности на 99% придется проверить около 100 позиций, чтобы добавить новый элемент, а при заполненности на 99,9 — 1000 позиций.

🚀 Что придумал Крапивин
В коротком посте объяснить будет нелегко. Если сильно упрощать, Крапивин придумал новый тип хеш-таблиц. Он предложил разбивать таблицу на сегменты так, что при заполненности одного сегмента можно сразу начать искать в другом.

Этот метод позволяет находить свободные ячейки намного быстрее, даже если таблица сильно заполнена. А в некоторых случаях — искать данные за постоянное время независимо от того, насколько полна таблица. Метод опровергает теорию, которой четыре десятка лет!

🌐 Влияние на будущее интернета
Теперь благодаря Крапивину разработчики смогут создавать более быстрые и эффективные структуры данных. Веб-страницы начнут быстрее загружаться, а онлайн-сервисы — лучше работать. Иными словами, нам с вами ускорят интернет, чтобы смотреть мемы и картинки с котами было ещё проще.

Возможно, Крапивин сделал открытие, потому что не слышал о теории Яо и не знал, что его что-то ограничивает?

#история

А вам когда-нибудь ставили задачи математики? 😄

#меммат

📝 Хотите в ШАД? Тогда вот полезная рекомендация от нас

Прямо сейчас легендарная Школа анализа данных от Яндекс Образования проводит очередной набор. ШАД с 2007 года учит анализу данных, а сейчас там 50+ курсов по Data Science, большим данным и другим дисциплинам. Для студентов есть ещё и спецкурсы: например, можно дополнительно изучать беспилотные авто.

Если думаете о поступлении туда, советуем не пропустить QA-сессию 2.0.

Ходят слухи, что можно послушать её вместо любимого подкаста, пройти отбор и стать студентом. Проверим?

❓ Где и когда
В телеграм-канале «Все в ШАД!» в понедельник, 28 апреля. Подписывайтесь, чтобы не пропустить анонс и старт прямого эфира: @vse_v_shad.

❓ Что будет на QA-сессии 2.0
Эксперты из ШАД расскажут о поступлении и учёбе на программах. Вопросы можно будет оставлять прямо в комментариях.

Кстати, запись первой QA-сессии уже можно послушать в канале!

#рекомендуем