2/3 Продолжение. Начало тут.

🔍 Пример:
есть ли связь между числом π и его квадратом? Рассмотрим вектор чисел:

x = [1, π, π²]

Вопрос: существуют ли такие целые числа a, b, c, не все нули, что:

a·1 + b·π + c·π² = 0 ?

То есть, есть ли целочисленное линейное соотношение между 1, π и π²?

Запускаем алгоритм PSLQ на численно вычисленных значениях этих чисел (до, скажем, 30 знаков). Алгоритм перебирает линейные комбинации с целыми коэффициентами и проверяет, можно ли получить ноль.

👎Результат:
PSLQ не находит никаких нетривиальных целочисленных соотношений. Это подтверждает, что числа 1, π и π² алгебраически независимы (или, по крайней мере, не линейно зависимы над ℚ).
Но теперь попробуем другой пример.


🔍 Пример: формула Мачина для π
Рассмотрим:

x = [π, 4·arctan(1/5), -arctan(1/239)]

Алгоритм PSLQ находит соотношение:

π - 4·arctan(1/5) + arctan(1/239) ≈ 0

Это — формула Мачина (одна из классических формул для вычисления π):

π = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239)

👍 Результат: И здесь PSLQ действительно "угадывает" точную алгебраическую формулу по числам с плавающей точкой.


🔥Почему это круто?

Мы из чисел, вычисленных на компьютере, получаем точные формулы.

Это обратный процесс по сравнению с обычной математикой: не от формулы к числу, а от числа к формуле.

Это один из редких примеров, когда компьютер может "угадать" математику.

#ExperimentalMathematics
#IntegerRelations #Algorithms #PSLQ

@easy_about_complex

3/3 Продолжение. Начало тут и тут.

Integer Relations в Квантовой Теории Поля (QFT)

В квантовой теории поля расчёт физических величин (например, аномальных магнитных моментов, поправок к массе и т.д.) требует вычисления многократных интегралов — так называемых Feynman интегралов, часто очень сложных и не имеющих аналитического выражения в явном виде.

Проблема:
Ты вычисляешь интеграл до, скажем, 100 знаков после запятой, но не знаешь, можно ли выразить его через известные константы — π, ζ(3), ln(2), polylogs и т.д.

Решение:
Алгоритмы типа PSLQ позволяют взять численно вычисленное значение и попробовать найти точную комбинацию известных функций, которая даёт тот же результат.

Пример: 3-петлевые поправки в QED
В 1996 году, когда исследовали высшие порядки поправок в квантовой электродинамике (QED), вычислялись 3- и 4-петлевые Feynman диаграммы, численно — и оказалось, что значения можно выразить через комбинации таких чисел, как:

-ζ(3) (дзета-функция Римана)
-π²
-ln(2)
-Li₄(½) (полилогарифмы)

и других “трансцендентных” чисел.

Кейс:
David Broadhurst и David Bailey использовали PSLQ, чтобы найти точные выражения для десятков интегралов, связанных с Feynman diagrams, которые до этого считались "неразрешимыми".

Они буквально открывали формулы из чисел, полученных с суперкомпьютеров — в полном смысле слова "экспериментальная математика в физике".

Почему это важно?
👉Позволяет проверять и упрощать физические расчёты, даже в очень сложных теориях.
👉Помогает предсказать форму результата, прежде чем будет найден аналитический вывод.
👉В некоторых случаях выводит физику на след новых математических объектов — например, множественные дзета-значения (MZV), которые сейчас изучаются и в физике, и в алгебраической геометрии.


📎 Ссылка на эти работы тут.
.
#ExperimentalMathematics
#IntegerRelations #Algorithms #PSLQ #QuantumFieldTheory

@easy_about_complex