1/2

🧠💥 Математика, которая может взорваться — загадка уравнений Навье–Стокса

Это одна из тем, про которые говорил Теренс Тао в своём интервью в субботу.

Представьте: вы плеснули водой — она закружилась, вспенилась, но в конце концов всё улеглось. А теперь вообразите, что это не всегда так. Что в какой-то момент движение воды начинает концентрироваться, сжиматься и разгоняться настолько, что скорость её частиц становится бесконечной. Это — сингулярность, "взрыв", и до сих пор неизвестно, может ли он реально возникнуть.

💸 Именно этот вопрос — будет ли решение уравнений Навье–Стокса оставаться гладким в любой момент времени, или же, при определённых начальных и граничных условиях, случится разрыв? — и лежит в основе одной из Задач тысячелетия. За её решение — миллион долларов. А суть в следующем: уравнения Навье–Стокса описывают поведение жидкостей и газов, но они настолько сложны и нелинейны, что могут вести себя непредсказуемо.

🧑‍🏫Тао подошёл к этой проблеме нестандартно...

продолжение 👇

2/2. Продолжение. Начало тут.

Но сначала вернёмся от Теренса Тао на почти 100 лет назад к работам Андрея Колмогоровa.

🌀 Контекст: турбулентность и энергетический каскад
Когда жидкость начинает двигаться слишком быстро или неравномерно, её движение становится турбулентным — это означает, что в ней появляются завихрения разных размеров, от больших до очень мелких.

Андрей Колмогоров в 1941 году предложил статистическую теорию турбулентности, которая не пытается предсказать каждое завихрение, а описывает их в среднем. Он задался вопросом: Как распределяется энергия в турбулентном потоке между завихрениями разных размеров, по шакале от метров до мили-, микро-,- и т.д. метров?

Как распределяется энергия в турбулентном потоке между завихрениями разных размеров?

📐 Формула Колмогорова: 𝐸(𝑘) ∼ 𝑘⁻⁵⸍³
Здесь:
— 𝐸(𝑘) — энергетический спектр: сколько энергии содержится в завихрениях размера, соответствующего волновому числу k;
— 𝑘 — волновое число, обратно пропорциональное размеру вихря: чем больше k, тем мельче вихрь
— ∼ 𝑘⁻⁵⸍³ — энергия убывает с ростом k по степенному закону: чем мельче завихрение, тем меньше в нём энергии.
📉 Крупные вихри содержат больше энергии, и по мере распада потока на всё более мелкие — энергия «перетекает вниз». Это и есть энергетический каскад Колмогорова.

📌 Почему это важно?
Формула 𝐸(𝑘) ∼ 𝑘⁻⁵⸍³ — это золотой стандарт в турбулентности. Её подтверждали во множестве экспериментов: от потоков в трубах до атмосферных ветров.

📡 В спектре турбулентности вы реально видите "горку", убывающую как 𝑘⁻⁵⸍³, между зоной внешних сил (где поток "раскачивается") и зоной вязкости (где энергия гасится).

🤝 Колмогоров и Тао
Колмогоров предложил макроскопическую модель: что делает турбулентность в среднем. А Тао, десятилетия спустя, пытается понять:

А возможно ли, чтобы вся энергия сконцентрировалась в одной точке — чтобы вместо каскада вниз случился взрыв вверх, сингулярность?

🔍 Что сделал Тао:

1. Создал модифицированную модель Навье–Стокса
Тао предложил упрощённые версии уравнений — не настоящие Навье–Стокса, а их "игровые" аналоги. Он отключил некоторые физические ограничения, но сохранил важные структурные черты, чтобы изучить, возможен ли в принципе сценарий сингулярности.

2. Показал, что в этих уравнениях возможен blow-up
Он построил пример, где энергия жидкости стекается в одну точку всё быстрее и быстрее, пока не становится бесконечной за конечное время. Это — математическая модель сингулярности.

🧠 Главная идея:

Если слегка ослабленные уравнения могут "взорваться", значит, в оригинальных уравнениях такие механизмы где-то на грани — и, возможно, их можно "выдавить" или, наоборот, доказать, что они невозможны.

📈 Его идея: представить сценарий, где вихри в жидкости ведут себя как программа, которая самовоспроизводится — каждый раз в меньшем масштабе и с большей скоростью. Такая каскадная структура ведёт к тому, что вся энергия стягивается в одну точку, ускоряясь бесконечно — как жидкостная версия компьютера, с встроенным механизмом “взрыва”.

🤖 Тао даже сравнивает это с Тьюринг-машиной из жидкости — машиной, которая вычисляет собственную эволюцию, ускоряясь и масштабируясь вниз, пока не обрушится в математическую бесконечность.

В своём интервью он наглядно объясняет, как с помощью конструкции типа машины Тьюринга он перепрограммирует уравнения Навье-Стокса не на рассеивание энергии через механизмы транспорта и вязкости на отдельные вихри, а пускает энергию вниз по масштабам через вихри большего размера к вихрям меньшего и ещё меньшего и т.д. размера. Очень интересный метод. Мне понра и захотелось даже заглянуть в его оригинальную статью 2016-го года. Надо отметить что подобные темы мы уже разбирали тут и тут.

#NavierStockes #MilleniumPrize #Kolomogorov #Tao #MathPhysics

@easy_about_complex

1/2

Реальные проекты: индустриальная 3D-печать

Не скажу, что этот проект — мой любимый, но пару лет я провёл в индустрии 3D-печати, работая в компании EOS. В технические дебри самой печати вдаваться не буду — тут я не эксперт. В общих чертах: специальные материалы + мощные лазеры → предметы слой за слоем вырастают из полимеров или металлических сплавов. Kак в этом посте, где я уже это показывал результат 3д-печати.

Сама технология сложная, но моя зона ответственности была вполне конкретной: я контрибьютил в код на C++ и занимался автоматическим тестированием (моя любимая часть работы 🛠️).

Архитектура у системы интересная: вся машина делится на две софт-компоненты — UI под Windows (тачскрин, понятный интерфейс для человека) и real-time-компонент, работающий либо на микроконтроллерах, либо, как у нас, на PLC. которая управляла моторами, лазерами и получала данные от датчиков.

Продолжение следует 👇

Начало тут👆

И вот тут был один важный урок: в нашем случае под Windows находилась не только визуальная оболочка, но и логика машины. Это оказалось архитектурной ошибкой — логику пришлось переносить в real-time-систему. Мой опыт: логика должна жить в real-time-части, под Виндоуз — только UI.

Бонусом разобрался с OPC UA-это такой HTTP для промышленных машин: умные устройства общаются по сети друг с другом напрямую. Автоматизация + коммуникация = индустрия будущего.

Опыт был полезный, особенно в плане архитектурных решений и тонкостей real-time-систем. Хороший пример того, как не стоит проектировать… и как потом правильно переделывать🙂

Потом эта история мне пригодилась.Где-то год назад на собеседовании спросил у руководителя разработки:

"А где у вас логика живёт — под Виндоуз или на микроконтроллерах?"
Он: "На микроконтроллерах."
Я: "Фух. А то пришлось бы всё переделывать."
И всё — через пару дней прилетает оффер на тим-лида в техномашиностроительную компанию 😄 Опыт — сын ошибок трудных, как говорится.

1/2
🧊 Сверхпроводимость, симметрия и немного здоровой иронии

Автор: М. Кацнельсон. (Фейсбук)

Теория сверхпроводимости BCS (БКШ, Бардин-Купер-Шриффер, истинные патриоты добавляют еще Боголюбова, и нельзя сказать, что совсем безосновательно), почитаемая одним из высших достижений теоретической физики всех времен и народов, была создана в 1957 году.

Они написали некую модель (основанную на предыдущей работе Купера) и нашли приближенное решение вариационным методом (который, как потом показал Боголюбов, является асимптотически точным в термодинамическом пределе).

Их пробная функция нарушала точный закон сохранения (сохранение числа частиц), что вызвало бурную дискуссию, завершившуюся появлением фундаментальной концепции квазисредних и окончательным формированием понятия спонтанного нарушения симметрии - это одна из центральных концепций современной физики вообще, тут вам и стандартная модель с пресловутым Хиггсом, и инфляционная космология, и все-все-все.

Продолжение👇

2/2. Продолжение. Начало тут 👆

И только в 1984 году мы показали [📎Ссылка на статью], что в исходной задаче, в модели БКШ, эта концепция просто не нужна, ответ может быть получен при строгом сохранении числа частиц, при этом, что важно, выкладки не сложнее, чем у БКШ, даже технического выигрыша от нарушенной симметрии в этой конкретной задаче нет.

Как повезло человечеству, что мы сделали эту работу в 1984 году, а не в 1956. Правда, в 1956 году нам было бы ее сделать затруднительно, чисто в силу принципа причинности.

(c) Mikhail Katsneltson. 20.06.2014.


П.С. Может быть Михаил Кацнельсон заглянет на один из следующих лайв-стримов в этом канале, но это ещё не точно. Поэтому, друзья, поставьте лайки и сердечки, чтобы Михаил точно пришёл

@easy_about_complex

#Superconductivity #BCS #Katsneltson

Помните, мы писали про забавную историю из мира AI-стартапов? Вот еще в копилку 👇👇👇

🎥 Природа Гравитации / Чёрные Дыры и Квантовая Механика на пальцах
Хорошее видео, чтобы посмотреть перед сном и началом новой рабочей недели:
https://www.youtube.com/watch?v=VuvsC2gJsao

В этом выпуске — Михаил Коробко, старший научный сотрудник Института квантовой механики Университета Гамбурга.

И уже скоро Михаил примет участие в одном из наших традиционных лайв-стримов!

Следующий стрим планируется во второй половине июля — точную дату и время объявим отдельно. Не пропустите 🔔

А пока — подписывайтесь на канал Михаила → 📡 Гомеостатическая вселенная

Телеграм канал моего друга @RuslanSenatorov – Вся математика для Машинного обучения и Data Science.

Уникальный формат автора, где он выкладывает видео с его студентами по математике и программированию для Data Science. В формате реальных уроков он разбирает ключевые темы по математике для Data Science. Увидите, как проходят занятия, и сможете повторять вместе с ним. Самое главное "математика без страха", он проводит уроке с юмором и позитивом, открывая мир математики с уникальной стороны.

На канале вы найдёте:
- Видео со студентами
- Пошаговый план обучения.
- Рекомендации по литературе и PDF книги
- Прикладной Python для Data Science без не нужной воды, которая нужна программистам.

Канал создан,для популяризации математики и программирования, подписывайтесь и начните прокачивать свои навыки в Data Science уже сегодня! 🚀

И хотя следующие пару наших открытых лайв-подкастов будут скорее про современную физику понятным для всех языком, даже для не-физиков, и, внимание, через один подкаст - про медицину и здравохранение! Но в итоге мы всё равно вернёмся к математике, машинному обучению и дата сайнс! Так что подписывайтесь на канал Руслана!

1/2
📌 Кейс из практики: как криптомиллиардер хотел построить "честный" Facebook

Последние 17 лет я работал с крупными компаниями: медицинская техника 🏥, финтех 💳, машиностроение ⚙️ — всё строго, по-взрослому.

Но был один необычный проект. Клиент — частное лицо. Но не абы кто, а криптомиллиардер 🚀 с мечтой сделать мир лучше с помощью математики. Ну и с бюджетом как у Цукерберга🧃.

Он пришёл ко мне с идеей:

«Слушай, Facebook, к примеру, зарабатывает на пользовательских данных — продаёт их. А я хочу соцсеть, где всё честно. Все данные пользователей хранятся в зашифрованном виде. Даже мы, как владельцы платформы, не можем к ним получить доступ и ничего продать. Только друзья пользователя смогут видеть их данные — так, как в обычной соцсети. Вот давай такое сделаем. Это возможно?»

В основе идеи — гомоморфное шифрование🔐.

Это когда сервер может выполнять вычисления над зашифрованными данными.

Реальные данные расшифровываются в фронтенде тех, кому пользователь сам дал к ним доступ. 💡

Продолжение 👇

2/2. продолжение. начало тут

🔐 Гомоморфное шифрование: вычисления без раскрытия данных

Гомоморфное шифрование (Homomorphic Encryption, HE) — это криптографический метод, позволяющий производить вычисления непосредственно над зашифрованными данными. При расшифровке результата вы получите тот же ответ, как если бы вычисляли над исходными данными.

📘 Что это значит на практике?


Пример 1: Защищённая аналитика
-У больницы есть зашифрованные данные о пациентах.
- Исследователь хочет посчитать средний возраст пациентов с диабетом.
- Он выполняет вычисления над зашифрованными данными, не получая доступ к реальным возрастам.
- Результат после расшифровки — корректный, но приватность не нарушена.

Пример 2: Облачные вычисления
-Компания шифрует свои бизнес-данные и отправляет их в облако.
-Облачный сервис считает оптимальный маршрут доставки, не зная, что именно обрабатывает.
-Компания получает готовое решение, не жертвуя конфиденциальностью.

🔣 Типы гомоморфного шифрования
PHE (частичное): поддерживает одно арифметическое действие (например, схема RSA — умножение, Paillier — сложение).
SHE (ограниченное): ограниченное число операций.
FHE (полное): любые арифметические операции и неограниченное их количество — теоретически мощно, практически сложно.

⚙️ Сложность и ограничения
Полностью гомоморфные схемы (например, BGV, BFV, CKKS) используют сложные математические конструкции, основанные на задачах на решётках (например, Ring-LWE). Они считаются устойчивыми даже к квантовым атакам.
Но:

Один шаг умножения может быть в 1000 раз медленнее, чем над открытыми данными.
Размеры зашифрованных данных могут вырасти в десятки мегабайт даже при обработке маленьких чисел!

Пример 3:
Сравнение времени:
Обычное сложение: ~100 наносекунд
Гомоморфное сложение: ~10–100 микросекунд
Гомоморфное умножение: ~1–10 миллисекунд


Но что, если таких операций — сотни миллионов, как в настоящих аналитических запросах?

🧠 Реальный сценарий, SQL запрос к базе данных:

SELECT AVG(salary) FROM employees WHERE department_id IN (10, 12, 15);

В открытом виде:
-Выполняется за десятки миллисекунд.
- Сложения и фильтрация — почти бесплатные.

В гомоморфной форме (FHE):
- Фильтрация = миллионы сравнений.
- Суммирование и деление — над зашифрованными значениями.- всё дорого.

🔢 Оценка масштабов:
Если один шаг FHE-умножения ≈ 1–10 миллисекунд, а запрос требует 100 млн арифметических операций,
то:

100,000,000×1 мс=1,000,000  секунд≈11.5 дней

🤯 И это — только один запрос.

Да, можно параллелить, батчить, использовать SIMD, но даже с 1000-ядерным распределением это всё ещё часы на простейший аналитический запрос.

🔍 Почему так медленно?
🚫 Невозможно адресовать конкретные данные напрямую: всё обрабатывается последовательно, от начала до конца.
➕ Даже простая фильтрация превращается в арифметическую маску (массив умножений).
🔐 Все операции идут по "защищённому пути": нет читов, нет оптимизаций из классических DB.

🛠️ Что делают?
⚙️ Используют batching (один шифротекст содержит десятки/сотни значений).
⏱️ Переписывают запросы на арифметику, минимизируя глубину схем.
💡 Комбинируют FHE с другими подходами: MPC, TEE, дифференцированным шифрованием.

📌 Вывод:
Гомоморфные вычисления не подходят для произвольных SQL-запросов по большим базам — пока или вообще никогда?

#RealWorldProblems #Crpyptography
#HomomorphicEncryption
#DataPrivacy #Algorithms #Complexity

🧠 К важной теме интерпретируемости — как искусственных, так и биологических нейросетей — вышла сильная работа. Пока не успел нормально вчитаться, но оставляю здесь как напоминание самому себе (и, возможно, вам тоже) разобраться подробнее:

📄 Mixture of Cognitive Reasoners: Modular Reasoning with Brain-Like Specialization
👥 Badr AlKhamissi, C. Nicolò De Sabbata, Zeming Chen, Martin Schrimpf, Antoine Bosselut
📚 arXiv | 💻 Code & demos

Краткий разбор уже появился у Григория Сапунова:
🔗 https://t.iss.one/gonzo_ML/3728

⸻

TL;DR

Что сделали?
Предложили архитектуру MICRO — модульную языковую модель, вдохновлённую функциональной специализацией мозга. Вместо одного трансформера:
• 🗣 Language (язык)
• 🔍 Logic (логика)
• 🧠 Social (социальное мышление)
• 🌍 World (знания о мире)

Каждый соответствует отдельной когнитивной сети мозга. Модули обучаются в три этапа: сначала индивидуально на «своих» данных, потом совместно — и это прививает специализацию и улучшает интерпретируемость.

Зачем это всё?
MICRO — это попытка сделать reasoning более управляемым и прозрачным. Модель:
• объяснима на уровне маршрутизации запросов между модулями;
• допускает прямое вмешательство в инференс (можно отключить, например, социального эксперта);
• и при этом работает лучше сопоставимых LLM на задачах рассуждения.

⸻

Если успею прочитать внимательно — потом поделюсь заметками.
Если кто уже вникал — буду рад обсуждению 👇

#Interpretability #Explainability #DevInterp #MechInterp #TODO@easy_about_complex

Дорогие друзья, специально для вас! Желаем вам отличных выходных и, как сказано в этом видео, таки следующий шикарный физмат-лайв-стрим с супер-крутыми гостями 23-го июля.

Официальный анонс


#LiveStream #НастроениеСубботы #Culture

@easy_about_complex

В копилку, что стоит почитать когда будет время. А пока работать. Эх. 👇

#TODO@easy_about_complex

1/3
🔸 Прочитал сверх-интересный пост про серьёзный математический вопрос, который носит забавное название - проблема Усердного Бобра(Busy Beaver). Я получил большое удовольствие от прочтения! ❤️

Я бы тут хотел обратить внимание на несколько другие аспекты этой темы, чем те, на которых фокусируется автор поста — на невычислимость Усердного Бобра и одно интересное следствие из этого.

🧠 Что такое усердный бобр?

Усердный бобр с n состояниями — это такая машина Тьюринга, которая среди всех машин Тьюринга с n состояниями делает максимальное количество шагов до остановки стартуя, скажем, с пустой входной ленты(при условии, что она вообще останавливается — неостанавливающиеся машины не учитываются).

Функция BB(n) (от Busy Beaver) — это максимальное число шагов, которое может выполнить любая останавливающаяся машина Тьюринга с n состояниями, прежде чем завершить работу.

Важно: функция BB(n) невычислима, то есть не существует алгоритма, который мог бы точно вычислить её значение для всех n.
Продолжение👇