Теорема Наполеона: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.
Есть и романтические истории (как минимум, одна), связанные с «Дамским дневником». Одним из регулярных авторов журнала был некий Роберт Ричардсон. А мисс Элизабет Смейлс писала для журнала задачи в стихах. Ричардсон был очарован остроумием Элизабет, написал ей восхищённое письмо, завязалась переписка, и через непродолжительное время они поженились. Одна из их дочерей, Шарлотта Каролина Ричардсон, впоследствии стала поэтессой, одно из её стихотворений посвящено знакомству родителей, которому способствовал «Дамский дневник». Самое удивительно, что не только родители Шарлотты соединились благодаря журналу, но и воссоединение Шарлотты с матерью тоже произошло благодаря альманаху. Когда Шарлотте было восемь лет, её отец скончался, и мать отправила младшую из дочерей (как раз Шарлотту) на время к тётке на север Англии. Тётка почему-то решила девочку назад матери не возвращать, и Шарлотта прожила с ней больше десяти лет. В попытке соединиться с семьёй девушка отправила в «Дамский дневник» стихотворение, совершенно ясным образом обращённое к матери. На следующий год мать ответила (тоже в журнале и тоже в стихах), и семья благополучно воссоединилась.
Хотя «Дамский дневник», самое популярное из математических периодических изданий, призывал женщин «соединить остроумие и красоту», он привлекал серьезных любителей математики обоих полов. В 1822 году (почти за 20 лет до конца издания альманаха) математический приз журнала выиграл Уэсли Стокер Баркер Вулхаус, которому на тот момент было тринадцать лет. Вулхаус вырос, стал актуарием (специалистом по страховой математике), при этом он имел разнообразнейшие интересы в области теории музыки, проектирования паровозов, измерений и многих других областей, причём во всех этих областях он публиковал книги. Например, его перу принадлежит книга «Очерки музыкальных интервалов, гармоник и темперамента музыкальной гаммы», в которой продвигается 19-тоновая темперация, предполагающая (для измерения музыкальных интервалов) деление октавы на 730 частей, сейчас называемых единицами Вулхауса. Кроме того, ему приписывается формула численного интегрирования (или квадратуры), один из методов вычисления приближённого значения определённого интеграла.
Так вот, этот самый Уэсли Стокер Баркер Вулхаус в 1841 году (когда «Дамский дневник» перестал публиковаться) стал редактором «Дневника леди и джентльмена» — развлекательного математического журнала, пришедшего на смену одновременно и «Дамскому дневнику», и «Дневнику джентльмена». Этот новый журнал издавался ежегодно в период с 1841 по 1871 год. Примечательно, что именно в «Дневнике леди и джентльмена» была опубликована задача о школьницах (предложенная Томасом Киркманом), решение которой вдохновило Киркмана на публикацию своей первой математической работы, положившей начало математической теории комбинаторных схем.
Вот эта задача: Пятнадцать молодых девушек в школе прогуливаются по три в ряд семь дней (каждый день), требуется распределить их на каждую прогулку так, чтобы никакие две девушки не шли в том же ряду.
Есть и романтические истории (как минимум, одна), связанные с «Дамским дневником». Одним из регулярных авторов журнала был некий Роберт Ричардсон. А мисс Элизабет Смейлс писала для журнала задачи в стихах. Ричардсон был очарован остроумием Элизабет, написал ей восхищённое письмо, завязалась переписка, и через непродолжительное время они поженились. Одна из их дочерей, Шарлотта Каролина Ричардсон, впоследствии стала поэтессой, одно из её стихотворений посвящено знакомству родителей, которому способствовал «Дамский дневник». Самое удивительно, что не только родители Шарлотты соединились благодаря журналу, но и воссоединение Шарлотты с матерью тоже произошло благодаря альманаху. Когда Шарлотте было восемь лет, её отец скончался, и мать отправила младшую из дочерей (как раз Шарлотту) на время к тётке на север Англии. Тётка почему-то решила девочку назад матери не возвращать, и Шарлотта прожила с ней больше десяти лет. В попытке соединиться с семьёй девушка отправила в «Дамский дневник» стихотворение, совершенно ясным образом обращённое к матери. На следующий год мать ответила (тоже в журнале и тоже в стихах), и семья благополучно воссоединилась.
Хотя «Дамский дневник», самое популярное из математических периодических изданий, призывал женщин «соединить остроумие и красоту», он привлекал серьезных любителей математики обоих полов. В 1822 году (почти за 20 лет до конца издания альманаха) математический приз журнала выиграл Уэсли Стокер Баркер Вулхаус, которому на тот момент было тринадцать лет. Вулхаус вырос, стал актуарием (специалистом по страховой математике), при этом он имел разнообразнейшие интересы в области теории музыки, проектирования паровозов, измерений и многих других областей, причём во всех этих областях он публиковал книги. Например, его перу принадлежит книга «Очерки музыкальных интервалов, гармоник и темперамента музыкальной гаммы», в которой продвигается 19-тоновая темперация, предполагающая (для измерения музыкальных интервалов) деление октавы на 730 частей, сейчас называемых единицами Вулхауса. Кроме того, ему приписывается формула численного интегрирования (или квадратуры), один из методов вычисления приближённого значения определённого интеграла.
Так вот, этот самый Уэсли Стокер Баркер Вулхаус в 1841 году (когда «Дамский дневник» перестал публиковаться) стал редактором «Дневника леди и джентльмена» — развлекательного математического журнала, пришедшего на смену одновременно и «Дамскому дневнику», и «Дневнику джентльмена». Этот новый журнал издавался ежегодно в период с 1841 по 1871 год. Примечательно, что именно в «Дневнике леди и джентльмена» была опубликована задача о школьницах (предложенная Томасом Киркманом), решение которой вдохновило Киркмана на публикацию своей первой математической работы, положившей начало математической теории комбинаторных схем.
Вот эта задача: Пятнадцать молодых девушек в школе прогуливаются по три в ряд семь дней (каждый день), требуется распределить их на каждую прогулку так, чтобы никакие две девушки не шли в том же ряду.
❤11🥰2🤯2
ПРО ВАНДЕРМОНДА
Александр-Теофиль Вандермонд был французским математиком, и имя его наиболее известно благодаря определителю Вандермонда. Хотя он действительно внёс значительный вклад в теорию определителей, ни в одной из его четырёх математических работ конкретно этот определитель не упоминается. Ещё более замечательно то, что к математике Вандермонд обратился только в 35 лет, а первой его любовью была музыка, и инструментом – скрипка.
Спустя всего год после того, как он стал заниматься математикой, Вандермонда избрали во Французскую академию наук, несмотря на отсутствие явных признаков математического гения, кроме его первой (и единственной на тот момент) работы. Как уже было сказано, вклад Вандермонда в математику насчитывает ровно четыре работы, написанные в течение двух лет, в 1771 и 1772 гг.
Но Вандермонд занимался не только математикой. Совместно с химиком Лавуазье он проводил эксперименты по исследованию низких температур, в частности, влияния сильного мороза 1776 года. Через десять лет он опубликовал две работы по производству стали. Целью этого исследования было улучшение стали, используемой для штыков, путём экспериментов с различными смесями железа и углерода.
В 1778 году Вандермонд представил в Академию наук первую часть своей работы по теории музыки (вторая часть была представлена через два года). Эта работа Système d'harmonie applicable à l'état actuel de la musique (Система гармонии, применимая к нынешнему состоянию музыки), как ни странно, не предлагала теории музыки, базирующейся на математике, а именно этого можно было бы ожидать от эксперта в обеих областях. Напротив, целью работы было обосновать, что музыканты должны игнорировать любую теорию музыки и при оценке музыки полагаться только на свои тренированные уши. Ожидаемо, работа вызвала споры среди музыкантов, которые разделились во мнениях о том, согласны ли они с Вандермондом.
Несмотря на то, что первоначально идеи Вандермонда были отвергнуты многими музыкантами, с течением времени они получили поддержку, и к началу XIX века Академия наук Франции переместила музыку из области математики в область искусств. То есть до этого времени (и ещё со времён древней Греции – про это когда-нибудь в другой раз) музыка считалась дисциплиной математической. А благодаря Вандермонду она этот статус утратила.
Вандермонд был яростным сторонником Французской революции, начавшейся со штурма Бастилии 14 июля 1789 года. Но ещё до этих событий политика так увлекла Вандермонда, что отвлекла от возможной более продолжительной математической и вообще научной карьеры. На самом деле, плюс к этому он всю жизнь страдал от плохого здоровья, и, возможно, если бы не это, он мог бы активно заниматься и политикой, и научной деятельностью. Мы не знаем.
А определитель Вандермонда погуглите.
Александр-Теофиль Вандермонд был французским математиком, и имя его наиболее известно благодаря определителю Вандермонда. Хотя он действительно внёс значительный вклад в теорию определителей, ни в одной из его четырёх математических работ конкретно этот определитель не упоминается. Ещё более замечательно то, что к математике Вандермонд обратился только в 35 лет, а первой его любовью была музыка, и инструментом – скрипка.
Спустя всего год после того, как он стал заниматься математикой, Вандермонда избрали во Французскую академию наук, несмотря на отсутствие явных признаков математического гения, кроме его первой (и единственной на тот момент) работы. Как уже было сказано, вклад Вандермонда в математику насчитывает ровно четыре работы, написанные в течение двух лет, в 1771 и 1772 гг.
Но Вандермонд занимался не только математикой. Совместно с химиком Лавуазье он проводил эксперименты по исследованию низких температур, в частности, влияния сильного мороза 1776 года. Через десять лет он опубликовал две работы по производству стали. Целью этого исследования было улучшение стали, используемой для штыков, путём экспериментов с различными смесями железа и углерода.
В 1778 году Вандермонд представил в Академию наук первую часть своей работы по теории музыки (вторая часть была представлена через два года). Эта работа Système d'harmonie applicable à l'état actuel de la musique (Система гармонии, применимая к нынешнему состоянию музыки), как ни странно, не предлагала теории музыки, базирующейся на математике, а именно этого можно было бы ожидать от эксперта в обеих областях. Напротив, целью работы было обосновать, что музыканты должны игнорировать любую теорию музыки и при оценке музыки полагаться только на свои тренированные уши. Ожидаемо, работа вызвала споры среди музыкантов, которые разделились во мнениях о том, согласны ли они с Вандермондом.
Несмотря на то, что первоначально идеи Вандермонда были отвергнуты многими музыкантами, с течением времени они получили поддержку, и к началу XIX века Академия наук Франции переместила музыку из области математики в область искусств. То есть до этого времени (и ещё со времён древней Греции – про это когда-нибудь в другой раз) музыка считалась дисциплиной математической. А благодаря Вандермонду она этот статус утратила.
Вандермонд был яростным сторонником Французской революции, начавшейся со штурма Бастилии 14 июля 1789 года. Но ещё до этих событий политика так увлекла Вандермонда, что отвлекла от возможной более продолжительной математической и вообще научной карьеры. На самом деле, плюс к этому он всю жизнь страдал от плохого здоровья, и, возможно, если бы не это, он мог бы активно заниматься и политикой, и научной деятельностью. Мы не знаем.
А определитель Вандермонда погуглите.
❤21🔥5🥰1
ФИЛЬКИНА ПРЕМИЯ
Если вы вдруг пропустили объявление, ещё не поздно присоединиться.
8 декабря 2024 с 17:00 в НГУ пройдёт редкая и уникальная “Филькина премия” – анти-но-не-совсем-научная конференция по математике.
Медаль получит автор доклада с рассказом о самом ненаучном применении своего или чужого исследования. Среди докладчиков — молодые-и-не-очень учёные СО РАН, а также студенты и аспиранты НГУ.
Это вторая Филькина премия в истории НГУ, в 2021 году медаль получил доклад об оптимизации распространения слухов. На той же конференции были доклады о математическом способе избежать полицейского преследования, о капустных и других фракталах, и о коде, который способны писать котики.
Подробности на сайте конференции. Регистрироваться уже поздно, можно прийти так. Ауд. 212 ректорского корпуса НГУ.
Если вы вдруг пропустили объявление, ещё не поздно присоединиться.
8 декабря 2024 с 17:00 в НГУ пройдёт редкая и уникальная “Филькина премия” – анти-но-не-совсем-научная конференция по математике.
Медаль получит автор доклада с рассказом о самом ненаучном применении своего или чужого исследования. Среди докладчиков — молодые-и-не-очень учёные СО РАН, а также студенты и аспиранты НГУ.
Это вторая Филькина премия в истории НГУ, в 2021 году медаль получил доклад об оптимизации распространения слухов. На той же конференции были доклады о математическом способе избежать полицейского преследования, о капустных и других фракталах, и о коде, который способны писать котики.
Подробности на сайте конференции. Регистрироваться уже поздно, можно прийти так. Ауд. 212 ректорского корпуса НГУ.
mca.nsu.ru
'Filkina' Medal Award
Антинаучная конференция по математике
❤14👏3👍1
ЕЩЁ ОДНО ПРОСТОЕ ЧИСЛО МЕРСЕННА
21 октября (2024 года) Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) объявил об открытии нового самого большого (из известных) простого числа. Для специалистов по теории чисел множество простых чисел имеет такое же значение, как периодическая таблица Менделеева для химиков: простые числа – это нерасщепляемые «кирпичики», из которых «собираются» все остальные числа. Со времён Евклида известно, что их бесконечно много; по теореме о распределении простых чисел, доказанной в 1896 г., количество простых чисел, меньших числа x, асимптотически равно x/ln(x), то есть среди целых чисел простые числа встречаются тем реже, чем дальше вы продвигаетесь. Математики восприняли этот факт как вызов и с тех пор ведут постоянный поиск всё больших простых чисел.
Самое новое наибольшее простое число относится к категории так называемых простых чисел Мерсенна. Эти числа появляются ещё у Евклида в его работе о совершенных числах. Совершенное число — это число, которое равно сумме всех своих собственных делителей. Например, совершенными числами являются 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14. В IX Книге «Начал» Евклида говорится, что если число 2ⁿ – 1 является простым, то 2ⁿ⁻¹(2ⁿ – 1) является совершенным. И наоборот, любое чётное совершенное число имеет такой вид (но до сих пор неизвестно, существует ли нечётное совершенное число).
Изучением совершенных чисел занимались Декарт и Ферма, а также французский священник (а по совместительству математик, физик, философ, богослов и теоретик музыки) Марен Мерсенн (1588–1648), который вёл активную переписку с ними обоими. В 1644 году Мерсенн опубликовал список всех известных на тот момент совершенных чисел. Их было восемь, последнее было построено в соответствии с утверждением Евклида в виде (2³¹ – 1)2³⁰ = 2 305 843 008 139 952 128. Чтобы расширить список совершенных чисел, Мерсенн стал искать другие большие простые числа вида 2ⁿ – 1. Оказалось, что, если 2ⁿ – 1 является простым числом, n тоже должно быть простым, хотя обратное неверно: есть примеры, когда n является простым числом, а 2ⁿ – 1 – нет. Числа вида 2ᵖ – 1 (для простого p) теперь называются числами Мерсенна.
Мерсенн утверждал, что с помощью этого метода нашёл ещё три совершенных числа, но на самом деле из найденных им чисел только одно является совершенным. Тем не менее, его тактика поиска простых чисел среди чисел Мерсенна (конечно, при его жизни их ещё никто так не называл) была очень хорошей, она была даже лучше, чем он сам предполагал. Еще в 1644 году Мерсенн сетовал, насколько сложно понять «являются ли 15-значные или 20-значные числа простыми, поскольку даже целого столетия недостаточно для такого исследования каким-либо известным на сегодняшний день способом». Но последующий прогресс в теории чисел сделал процесс определения, является ли число Мерсенна простым, значительно более доступным, чем тот же самый процесс для случайного целого числа, состоящего из того же количества знаков, и почти все обнаруженные самые большие простые числа были именно такого типа.
Самое свежее простое число Мерсенна (оно 52-е по счёту), вычисленное для p=136 279 841, имеет более 41 миллиона знаков (их перечисление со скоростью 100 000 знаков в секунду можно посмотреть в этом видео). Это число было найдено Люком Дюрантом (ему 36, и он когда-то участвовал в разработке видеокарт NVIDIA), и на поиск потребовался примерно год вычислений.
Для этого Дюрант использовал распределённые вычисления на серверах в 24 центрах обработки данных. Такой вид вычислений использовался для нахождения последних 17 самых больших простых чисел; инновация, которую использовал Дюрант, состояла в том, что, вместо центральных процессоров (CPU) он использовал графические процессоры (GPU), которые работают почти на порядок быстрее. Это позволило найти простое число, которое на 16 миллионов знаков длиннее последнего самого большого простого числа, обнаруженного в 2018 году.
21 октября (2024 года) Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) объявил об открытии нового самого большого (из известных) простого числа. Для специалистов по теории чисел множество простых чисел имеет такое же значение, как периодическая таблица Менделеева для химиков: простые числа – это нерасщепляемые «кирпичики», из которых «собираются» все остальные числа. Со времён Евклида известно, что их бесконечно много; по теореме о распределении простых чисел, доказанной в 1896 г., количество простых чисел, меньших числа x, асимптотически равно x/ln(x), то есть среди целых чисел простые числа встречаются тем реже, чем дальше вы продвигаетесь. Математики восприняли этот факт как вызов и с тех пор ведут постоянный поиск всё больших простых чисел.
Самое новое наибольшее простое число относится к категории так называемых простых чисел Мерсенна. Эти числа появляются ещё у Евклида в его работе о совершенных числах. Совершенное число — это число, которое равно сумме всех своих собственных делителей. Например, совершенными числами являются 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14. В IX Книге «Начал» Евклида говорится, что если число 2ⁿ – 1 является простым, то 2ⁿ⁻¹(2ⁿ – 1) является совершенным. И наоборот, любое чётное совершенное число имеет такой вид (но до сих пор неизвестно, существует ли нечётное совершенное число).
Изучением совершенных чисел занимались Декарт и Ферма, а также французский священник (а по совместительству математик, физик, философ, богослов и теоретик музыки) Марен Мерсенн (1588–1648), который вёл активную переписку с ними обоими. В 1644 году Мерсенн опубликовал список всех известных на тот момент совершенных чисел. Их было восемь, последнее было построено в соответствии с утверждением Евклида в виде (2³¹ – 1)2³⁰ = 2 305 843 008 139 952 128. Чтобы расширить список совершенных чисел, Мерсенн стал искать другие большие простые числа вида 2ⁿ – 1. Оказалось, что, если 2ⁿ – 1 является простым числом, n тоже должно быть простым, хотя обратное неверно: есть примеры, когда n является простым числом, а 2ⁿ – 1 – нет. Числа вида 2ᵖ – 1 (для простого p) теперь называются числами Мерсенна.
Мерсенн утверждал, что с помощью этого метода нашёл ещё три совершенных числа, но на самом деле из найденных им чисел только одно является совершенным. Тем не менее, его тактика поиска простых чисел среди чисел Мерсенна (конечно, при его жизни их ещё никто так не называл) была очень хорошей, она была даже лучше, чем он сам предполагал. Еще в 1644 году Мерсенн сетовал, насколько сложно понять «являются ли 15-значные или 20-значные числа простыми, поскольку даже целого столетия недостаточно для такого исследования каким-либо известным на сегодняшний день способом». Но последующий прогресс в теории чисел сделал процесс определения, является ли число Мерсенна простым, значительно более доступным, чем тот же самый процесс для случайного целого числа, состоящего из того же количества знаков, и почти все обнаруженные самые большие простые числа были именно такого типа.
Самое свежее простое число Мерсенна (оно 52-е по счёту), вычисленное для p=136 279 841, имеет более 41 миллиона знаков (их перечисление со скоростью 100 000 знаков в секунду можно посмотреть в этом видео). Это число было найдено Люком Дюрантом (ему 36, и он когда-то участвовал в разработке видеокарт NVIDIA), и на поиск потребовался примерно год вычислений.
Для этого Дюрант использовал распределённые вычисления на серверах в 24 центрах обработки данных. Такой вид вычислений использовался для нахождения последних 17 самых больших простых чисел; инновация, которую использовал Дюрант, состояла в том, что, вместо центральных процессоров (CPU) он использовал графические процессоры (GPU), которые работают почти на порядок быстрее. Это позволило найти простое число, которое на 16 миллионов знаков длиннее последнего самого большого простого числа, обнаруженного в 2018 году.
YouTube
New largest prime number found! See all 41,024,320 digits.
2^136,279,841 - 1 has 41,024,320 digits and is prime! Read all about the new largest prime number ever found: https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841
Huge thanks to Luke Durant, George Woltman and everyone at the Great Internet Mersenne Prime Search.…
Huge thanks to Luke Durant, George Woltman and everyone at the Great Internet Mersenne Prime Search.…
❤13🤯3
Дюрант, вложивший в проект 2 миллиона долларов личных средств, представляет его как способ показать людям, чего они могут достичь, если будут работать вместе: «Масштабы вычислений, доступных в облаке, практически непостижимы ... Мы обладаем этими невероятными системами, так давайте поймём, как их лучше всего использовать».
YouTube
New largest prime number found! See all 41,024,320 digits.
2^136,279,841 - 1 has 41,024,320 digits and is prime! Read all about the new largest prime number ever found: https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841
Huge thanks to Luke Durant, George Woltman and everyone at the Great Internet Mersenne Prime Search.…
Huge thanks to Luke Durant, George Woltman and everyone at the Great Internet Mersenne Prime Search.…
❤11👍2🥰1
ГОД 2025
Кажется, только ленивый ещё не заметил (прочитал/написал), какой замечательный наступил год. Ведь 2025=45², а 45=20+25, и получается, что 2025 = (20+25)².
Это не все восхитительные свойства числа 2025. Я поделюсь теми, которые я знаю, а вы напишите, если знаете ещё какие-то.
Итак,
2025 = (20+25)²
2025 = (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)²
2025= 0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610+987 (сумма первых семнадцати чисел последовательности Фибоначчи)
2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³
2025 – квадрат числа 45, которое является треугольным числом (T₉=45). Это означает, что, если взять 45 точек, их можно расставить в форме правильного треугольника (как, например, три точки или шесть).
2025 – сумма двух последовательных треугольных чисел: 2025 = 990+1035=T₄₄+T₄₅ (или T₄₅+T₄₆, если начинать последовательность треугольных чисел с нуля, а не с единицы).
Если записать число 1 один раз, число 2 два раза, число 3 три раза, и так далее до числа 45, которое надо записть сорок пять раз – вот так: 12233344445555...454545, – то получится число из 2025 знаков, (что, как вы помните, является квадратом 45). Такого совпадения не происходит ни для одного другого числа, большего 1.
Существует ровно 2025 чисел от 1 до 9999, у которых последняя цифра строго больше остальных цифр (если они есть): 1, 2, 3, 4, ..., 8869, 8879, 8889.
У 2025 ровно 15 делителей, при этом 2025 делится на 15 (нацело). Это означает, что 2025 является тау-числом.
Сумма цифр числа 2025 равна 9, что означает, что 2025 делится на 9. Числа, которые делятся на сумму своих цифр, называются числами харшад (в переводе с санскрита: дарящими великую радость).
2025 является вежливым числом (polite number), потому что его можно записать (причём несколькими способами) в виде суммы последовательных натуральных чисел, например, 403+404+405+406+407. На самом деле, это свойство совсем тривиальное, потому что невежливым числом может быть только степень двойки.
2025 является числом Керзона (Curzon number), это такие числа n, для которых 2n+1 делит 2ⁿ+1.
2025 является злым числом, потому что число единиц в его двоичной записи чётно. 2025 в двоичной системе счисления записывается как 11111101001.
Кажется, только ленивый ещё не заметил (прочитал/написал), какой замечательный наступил год. Ведь 2025=45², а 45=20+25, и получается, что 2025 = (20+25)².
Это не все восхитительные свойства числа 2025. Я поделюсь теми, которые я знаю, а вы напишите, если знаете ещё какие-то.
Итак,
2025 = (20+25)²
2025 = (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)²
2025= 0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610+987 (сумма первых семнадцати чисел последовательности Фибоначчи)
2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³
2025 – квадрат числа 45, которое является треугольным числом (T₉=45). Это означает, что, если взять 45 точек, их можно расставить в форме правильного треугольника (как, например, три точки или шесть).
2025 – сумма двух последовательных треугольных чисел: 2025 = 990+1035=T₄₄+T₄₅ (или T₄₅+T₄₆, если начинать последовательность треугольных чисел с нуля, а не с единицы).
Если записать число 1 один раз, число 2 два раза, число 3 три раза, и так далее до числа 45, которое надо записть сорок пять раз – вот так: 12233344445555...454545, – то получится число из 2025 знаков, (что, как вы помните, является квадратом 45). Такого совпадения не происходит ни для одного другого числа, большего 1.
Существует ровно 2025 чисел от 1 до 9999, у которых последняя цифра строго больше остальных цифр (если они есть): 1, 2, 3, 4, ..., 8869, 8879, 8889.
У 2025 ровно 15 делителей, при этом 2025 делится на 15 (нацело). Это означает, что 2025 является тау-числом.
Сумма цифр числа 2025 равна 9, что означает, что 2025 делится на 9. Числа, которые делятся на сумму своих цифр, называются числами харшад (в переводе с санскрита: дарящими великую радость).
2025 является вежливым числом (polite number), потому что его можно записать (причём несколькими способами) в виде суммы последовательных натуральных чисел, например, 403+404+405+406+407. На самом деле, это свойство совсем тривиальное, потому что невежливым числом может быть только степень двойки.
2025 является числом Керзона (Curzon number), это такие числа n, для которых 2n+1 делит 2ⁿ+1.
2025 является злым числом, потому что число единиц в его двоичной записи чётно. 2025 в двоичной системе счисления записывается как 11111101001.
❤29🔥21👍5👏1
2025 in Numbers and Magic Squares.pdf
7.9 MB
ОПЯТЬ 25
Полюбуйтесь на разнообразную матемагию чисел 25 и 2025 в прикреплённой статье.
Полюбуйтесь на разнообразную матемагию чисел 25 и 2025 в прикреплённой статье.
❤8🤩1
РЕБЯТА
Простите меня за оффтоп, но не могу не поделиться свежедобытой информацией, с которой ваша жизнь мгновенно изменится в лучшую сторону.
Те, кто хорошо знает Дарью Викторовну, в курсе, что в число её (обширных) интересов входят языки. Так вот, буквально сегодня я узнала, что слово «Арктика» происходит от греческого слова arktos, которое означает ‘медведь’ (в числе других схожих значений). И как раз в Арктике (не путать с Антарктикой) водятся белые медведи! А вот Антарктика — это типа антиарктика (‘не медведь‘), и там водятся пингвины (не медведи).
В общем, мне кажется, это огромное подспорье для всех, кто постоянно путает Арктику с Антарктикой.
На всякий случай скажу, что Антарктика буквально означает ‘напротив Арктики’, а то вы подумаете, что я какой-то народной этимологией пользуюсь.
Простите меня за оффтоп, но не могу не поделиться свежедобытой информацией, с которой ваша жизнь мгновенно изменится в лучшую сторону.
Те, кто хорошо знает Дарью Викторовну, в курсе, что в число её (обширных) интересов входят языки. Так вот, буквально сегодня я узнала, что слово «Арктика» происходит от греческого слова arktos, которое означает ‘медведь’ (в числе других схожих значений). И как раз в Арктике (не путать с Антарктикой) водятся белые медведи! А вот Антарктика — это типа антиарктика (‘не медведь‘), и там водятся пингвины (не медведи).
В общем, мне кажется, это огромное подспорье для всех, кто постоянно путает Арктику с Антарктикой.
На всякий случай скажу, что Антарктика буквально означает ‘напротив Арктики’, а то вы подумаете, что я какой-то народной этимологией пользуюсь.
❤41🔥10👍2🤩1🐳1
Вот тут есть анекдот про математиков , рассказанный Дарьей Викторовной. С 1 апреля — днём математика (у вас вся спина белая)!
❤13
Forwarded from Это математика
А ниче тот факт что вас спина белая…
😇А еще сегодня все отмечают День математика 🧮 В честь праздника мы собрали для вас анекдоты, которыми с нами поделились настоящие математики 🤯
А вы оставайтесь такими же замечательными и не замкнутыми🙂↕️ Пусть ваша жизнь будет такой же, как nZ в кольце целых чисел🤩
😇А еще сегодня все отмечают День математика 🧮 В честь праздника мы собрали для вас анекдоты, которыми с нами поделились настоящие математики 🤯
А вы оставайтесь такими же замечательными и не замкнутыми🙂↕️ Пусть ваша жизнь будет такой же, как nZ в кольце целых чисел🤩
❤20💘3🔥1
Pi CLOCK
Смотрите: текущее время среди знаков числа Пи. https://pi-clock.com/?clock-type=24
А вот здесь создатель подробно описывает своё творение: https://www.instructables.com/Pi-Clock-1/
Вишенка на торте: его собственные (не те, которые в браузере) пи-часы ежедневно доставляют ему ПИрог:
«Отличная дополнительная функция: эти часы доставляют ПИрог. Каждый день ровно в 3:14:15.9 на подставке для пирога появляется кусок пирога! Путешествие начинается в 3:14:15, когда в верхней части часов открываются воротца, из которых появляется кусок ПИрога (пластик для 3D-печати, возможно, не самый лучший вкус, но он самый веселый!). Пластиковый ПИрог скатывается с горки и приземляется на подставке для пирога примерно через 0,9 секунды.»
Смотрите: текущее время среди знаков числа Пи. https://pi-clock.com/?clock-type=24
А вот здесь создатель подробно описывает своё творение: https://www.instructables.com/Pi-Clock-1/
Вишенка на торте: его собственные (не те, которые в браузере) пи-часы ежедневно доставляют ему ПИрог:
«Отличная дополнительная функция: эти часы доставляют ПИрог. Каждый день ровно в 3:14:15.9 на подставке для пирога появляется кусок пирога! Путешествие начинается в 3:14:15, когда в верхней части часов открываются воротца, из которых появляется кусок ПИрога (пластик для 3D-печати, возможно, не самый лучший вкус, но он самый веселый!). Пластиковый ПИрог скатывается с горки и приземляется на подставке для пирога примерно через 0,9 секунды.»
Instructables
Pi Clock
Pi Clock: Here I present to you physical evidence that 100,000 digits of Pi is actually a useful number, contrary to what NASA might think about the topic! (Skip to Step 12 near the end of this Instructable to read some points of view.)
I built a clock from…
I built a clock from…
🤩6❤2🔥1🥰1🗿1
НОВЫЙ ПАПА (Римский)
Не знаю, следили ли вы за избранием нового Папы, но вот что я считаю важным вам сообщить, дорогие мои: Папа Лев XIV, Роберт Фрэнсис Прево, по образованию математик. Он учился в университете Вилланова (Филадельфия, США) и в 1977 году получил степень бакалавра математических наук. Даже и не знаю, почему мне так приятна эта мысль.
Не знаю, следили ли вы за избранием нового Папы, но вот что я считаю важным вам сообщить, дорогие мои: Папа Лев XIV, Роберт Фрэнсис Прево, по образованию математик. Он учился в университете Вилланова (Филадельфия, США) и в 1977 году получил степень бакалавра математических наук. Даже и не знаю, почему мне так приятна эта мысль.
❤28🔥8🥰7🤓3
НОВЫЙ ПРЕЗИДЕНТ РУМЫНИИ
Кажется, математики уверенными шагами двигаются к захвату мира. Только что был интронизирован папа-математик, теперь на выборах президента Румынии победил математик. Это перестаёт казаться забавной случайностью.
Знакомьтесь: Никушор Дан. Родился в Фэгэраша (жудец Брашов), учился в средней школе имени Раду Негру в своём родном городе. Занимал первые места на международных математических олимпиадах в 1987 и 1988 годах, показав абсолютные результаты. Переехал в Бухарест в возрасте 18 лет, изучал математику в Бухарестском университете.
В 1992 году переехал во Францию, чтобы продолжить изучение математики: прошел курсы в Высшей нормальной школе Парижа, одной из самых престижных французских Больших школ, где получил степень магистра. В 1998 году получил докторскую степень по математике в Университете Париж-север XIII, защитив диссертацию «Courants de Green et prolongement méromorphe», написанную под руководством Кристофа Суле и Даниэля Барски. В том же году вернулся в Бухарест, назвав в качестве причин своего возвращения неприспособленность к французской культуре и желание изменить Румынию.
Кажется, математики уверенными шагами двигаются к захвату мира. Только что был интронизирован папа-математик, теперь на выборах президента Румынии победил математик. Это перестаёт казаться забавной случайностью.
Знакомьтесь: Никушор Дан. Родился в Фэгэраша (жудец Брашов), учился в средней школе имени Раду Негру в своём родном городе. Занимал первые места на международных математических олимпиадах в 1987 и 1988 годах, показав абсолютные результаты. Переехал в Бухарест в возрасте 18 лет, изучал математику в Бухарестском университете.
В 1992 году переехал во Францию, чтобы продолжить изучение математики: прошел курсы в Высшей нормальной школе Парижа, одной из самых престижных французских Больших школ, где получил степень магистра. В 1998 году получил докторскую степень по математике в Университете Париж-север XIII, защитив диссертацию «Courants de Green et prolongement méromorphe», написанную под руководством Кристофа Суле и Даниэля Барски. В том же году вернулся в Бухарест, назвав в качестве причин своего возвращения неприспособленность к французской культуре и желание изменить Румынию.
Wikipedia
Фэгэраш
Фэгэра́ш (рум. Făgăraş, венг. Fogaras, нем. Fugreschmarkt) — город в Румынии в жудеце Брашов.
🔥16👏3😁2👀2❤1👎1
ПОЧЕМУ ТАК СЛОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО 1+1=2?
На самом деле это совсем несложно. В большинстве контекстов это даже не требует доказательства: данное равенство является просто определением сокращённого обозначения числа 2 как следующего за 1, и который равен результату сложения 1 и 1 (понятие «сложения» натуральных чисел часто определяется индуктивно, и это один из первых шагов).
Существует миф, что в трёхтомном труде «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда для этого доказательства потребовалось 200 страниц. Доказательство действительно появляется довольно поздно в книге, но не потому, что потребовалось 200 страниц для его вывода. Просто авторам не нужно было обращаться к этому вопросу раньше.
Люди часто воспринимают «1+1=2» как главную математическую теорему, глубинную истину, на которой строится всё остальное. Это тоже неверно. Это утверждение не обладает ни глубиной, ни интересом, ни практической ценностью. Это всего лишь вопрос обозначения или, в лучшем случае, отождествление одного простого символа с другим простым выражением.
На самом деле это совсем несложно. В большинстве контекстов это даже не требует доказательства: данное равенство является просто определением сокращённого обозначения числа 2 как следующего за 1, и который равен результату сложения 1 и 1 (понятие «сложения» натуральных чисел часто определяется индуктивно, и это один из первых шагов).
Существует миф, что в трёхтомном труде «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда для этого доказательства потребовалось 200 страниц. Доказательство действительно появляется довольно поздно в книге, но не потому, что потребовалось 200 страниц для его вывода. Просто авторам не нужно было обращаться к этому вопросу раньше.
Люди часто воспринимают «1+1=2» как главную математическую теорему, глубинную истину, на которой строится всё остальное. Это тоже неверно. Это утверждение не обладает ни глубиной, ни интересом, ни практической ценностью. Это всего лишь вопрос обозначения или, в лучшем случае, отождествление одного простого символа с другим простым выражением.
❤26⚡3👍3
42
Как же так получилось, что я ещё ни разу не написала про число 42? Ведь это не просто число, это культурный феномен и своего рода математическая загадка. Так что исправляюсь.
(дальше будет много спойлеров про содержание книги Дугласа Адамса «Автостопом по галактике»)
По сюжету этой книги ответ на «Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого» (The Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything) должен был решить все проблемы Вселенной.
Ответа на него с нетерпением ждали все разумные расы. И он был получен в результате семи с половиной миллионов лет непрерывных вычислений на компьютере, специально созданном расой гиперинтеллектуальных панцирных существ, — Думателе (Deep Thought). По утверждению компьютера, ответ был несколько раз проверен на правильность, и этот ответ — «42».
Реакция была такой:
— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?
— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.
— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.
— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос?
Думатель предложил создать другой, ещё более великий компьютер, который будет включать в себя живых существ как часть вычислительной системы, чтобы узнать, в чём, собственно, состоит Вопрос. Этот компьютер был назван Землёй и был настолько огромным, что некоторыми по ошибке воспринимался как планета. Сами исследователи, которые управляли программами компьютера, выглядели как обычные мыши. Когда оставалось около 5 минут до того, чтобы после 10 миллионов лет ожидания узнать, в чём, собственно, состоит Вопрос, Земля была разрушена вóгонами из-за того, что мешала строительству гиперпространственного шоссе. Правда, в последующих книгах серии мы узнаём, что вóгоны были наняты для уничтожения Земли консорциумом философов и психиатров, которые опасались, что, после того как будет обнаружен Смысл Жизни, их профессии будут, в некотором роде, больше не нужны.
Потеряв возможность узнать, в чём состоит Вопрос, выжившие после разрушения Земли мыши решили, что они придумают его сами.
Сначала в качестве Вопроса они предложили использовать такой: «Что такое — жёлтое и опасное?», что является известной английской шуткой, и ответом на неё является фраза «shark-infested custard», что можно перевести как «заварной крем с акулами». Но потом решили, что данный вопрос не подходит к ответу. После чего сошлись на том, что вопрос «Сколько путей должен каждый пройти? (How many roads must a man walk down?)», который является первой строчкой из песни Боба Дилана «Blowin' in the Wind», совершенно чудесно соответствует уже имеющемуся цифровому Ответу. (продолжение в следующем посте)
Как же так получилось, что я ещё ни разу не написала про число 42? Ведь это не просто число, это культурный феномен и своего рода математическая загадка. Так что исправляюсь.
(дальше будет много спойлеров про содержание книги Дугласа Адамса «Автостопом по галактике»)
По сюжету этой книги ответ на «Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого» (The Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything) должен был решить все проблемы Вселенной.
Ответа на него с нетерпением ждали все разумные расы. И он был получен в результате семи с половиной миллионов лет непрерывных вычислений на компьютере, специально созданном расой гиперинтеллектуальных панцирных существ, — Думателе (Deep Thought). По утверждению компьютера, ответ был несколько раз проверен на правильность, и этот ответ — «42».
Реакция была такой:
— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?
— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.
— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.
— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос?
Думатель предложил создать другой, ещё более великий компьютер, который будет включать в себя живых существ как часть вычислительной системы, чтобы узнать, в чём, собственно, состоит Вопрос. Этот компьютер был назван Землёй и был настолько огромным, что некоторыми по ошибке воспринимался как планета. Сами исследователи, которые управляли программами компьютера, выглядели как обычные мыши. Когда оставалось около 5 минут до того, чтобы после 10 миллионов лет ожидания узнать, в чём, собственно, состоит Вопрос, Земля была разрушена вóгонами из-за того, что мешала строительству гиперпространственного шоссе. Правда, в последующих книгах серии мы узнаём, что вóгоны были наняты для уничтожения Земли консорциумом философов и психиатров, которые опасались, что, после того как будет обнаружен Смысл Жизни, их профессии будут, в некотором роде, больше не нужны.
Потеряв возможность узнать, в чём состоит Вопрос, выжившие после разрушения Земли мыши решили, что они придумают его сами.
Сначала в качестве Вопроса они предложили использовать такой: «Что такое — жёлтое и опасное?», что является известной английской шуткой, и ответом на неё является фраза «shark-infested custard», что можно перевести как «заварной крем с акулами». Но потом решили, что данный вопрос не подходит к ответу. После чего сошлись на том, что вопрос «Сколько путей должен каждый пройти? (How many roads must a man walk down?)», который является первой строчкой из песни Боба Дилана «Blowin' in the Wind», совершенно чудесно соответствует уже имеющемуся цифровому Ответу. (продолжение в следующем посте)
🔥6❤3👏1
(Продолжение предыдущего поста)
В конце книги «В основном безвредна», которая является заключительной в серии, содержится последнее упоминание числа 42. Когда главные герои книги Артур и Форд едут в клуб «Бета», Форд говорит водителю: «Вот тут, дом сорок два… Прямо здесь!» И Земля вскоре после этой фразы уничтожается вóгонами (на этот раз во всех измерениях, а не только в том, в котором она была уже уничтожена в первой книге). Эта фраза могла бы привести к Окончательному Вопросу, гласящему: «Где всё заканчивается?»
В конце первого цикла радиопостановок телевизионного сериала и книги «Ресторан на краю Вселенной» Артур Дент, последний человек и часть компьютерной матрицы, покинувший Землю-суперкомпьютер перед тем как она была уничтожена, и, по всей видимости, носивший в своём мозгу Вопрос или часть Вопроса, пытался заставить своё подсознание выдать Вопрос следующим образом: он вынимал случайным образом из мешка фишки для игры в скрэббл («Эрудит») с написанными на них буквами и выкладывал друг за другом. В итоге у него получилась фраза: «ЧТО ПОЛУЧИТСЯ, ЕСЛИ УМНОЖИТЬ ШЕСТЬ НА ДЕВЯТЬ? (WHAT DO YOU GET IF YOU MULTIPLY SIX BY NINE?)». Помимо того, что шестью девять равно пятидесяти четырём, а не сорока двум, из набора фишек для скрэббла невозможно составить такую фразу: просто потому, что там всего две буквы «Y», а не четыре, как в получившемся предложении. Но фишки, которые Артур использовал в книге, были сделаны им самим по памяти, так что, возможно, ему просто повезло.
— Шестью девять. Сорок два.
— Именно. И это всё.
Предлагались различные варианты объяснения этой ошибки. Причина может быть в том, что Земля как мега-компьютер работала неправильно из-за аварийной посадки голгафрингемцев, потомки которых заменили коренное население планеты. Возможно, это привело к ошибке в вычислениях и повлекло за собой неверный Вопрос, который всё время был у Артура в мозгу.
Позже некоторыми читателями было подмечено, что на самом деле арифметическое выражение 6 × 9 = 42 нисколько не ошибочно, если использовать тринадцатеричную систему счисления взамен общепринятой десятичной. Дуглас Адамс позже утверждал, что во время написания книги он и не подозревал об этом, поясняя: «Никто не пишет шуток про тринадцатеричные системы […] Я, может быть, покажусь довольно скучной личностью, но я не использую тринадцатеричную систему в своих шутках».
После выхода книги «Автостопом по галактике» Дугласа Адамса много раз спрашивали, почему он выбрал именно число 42. Люди предложили много вариантов, но все они были отвергнуты автором. 3 ноября 1993 года он опубликовал свой ответ на этот вопрос в USENET-конференции alt.fan.douglas-adams:
Ответ на это очень прост. Это была шутка. Это должно было быть число — обычное небольшое число — и я выбрал это. Двоичное представление, тринадцатеричная система счисления, тибетские монахи — всё это полнейшая бессмыслица. Я сидел за своим столом, уставившись в сад, и подумал: «42 подойдёт». И напечатал его. Вот и вся история.
А «Главный вопрос» и число «42» стали элементом культа по всему миру.
Фанаты придумали множество теорий, почему именно 42 является ответом на Вопрос. Например,
В ASCII код 42 – это звёздочка (*), символ всего.
В биологии 42 – число хромосом у лабораторных мышей.
Угловой радиус окружности, описываемой радугой: 42°.
Ну и так далее.
Я и сама на протяжении нескольких лет в финальном тесте по любой дисциплине задавала студентам этот вопрос: какой ответ на Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого?
Так что в следующий раз, когда встретите 42 в случайном месте – знайте: Вселенная вам подмигивает.
В конце книги «В основном безвредна», которая является заключительной в серии, содержится последнее упоминание числа 42. Когда главные герои книги Артур и Форд едут в клуб «Бета», Форд говорит водителю: «Вот тут, дом сорок два… Прямо здесь!» И Земля вскоре после этой фразы уничтожается вóгонами (на этот раз во всех измерениях, а не только в том, в котором она была уже уничтожена в первой книге). Эта фраза могла бы привести к Окончательному Вопросу, гласящему: «Где всё заканчивается?»
В конце первого цикла радиопостановок телевизионного сериала и книги «Ресторан на краю Вселенной» Артур Дент, последний человек и часть компьютерной матрицы, покинувший Землю-суперкомпьютер перед тем как она была уничтожена, и, по всей видимости, носивший в своём мозгу Вопрос или часть Вопроса, пытался заставить своё подсознание выдать Вопрос следующим образом: он вынимал случайным образом из мешка фишки для игры в скрэббл («Эрудит») с написанными на них буквами и выкладывал друг за другом. В итоге у него получилась фраза: «ЧТО ПОЛУЧИТСЯ, ЕСЛИ УМНОЖИТЬ ШЕСТЬ НА ДЕВЯТЬ? (WHAT DO YOU GET IF YOU MULTIPLY SIX BY NINE?)». Помимо того, что шестью девять равно пятидесяти четырём, а не сорока двум, из набора фишек для скрэббла невозможно составить такую фразу: просто потому, что там всего две буквы «Y», а не четыре, как в получившемся предложении. Но фишки, которые Артур использовал в книге, были сделаны им самим по памяти, так что, возможно, ему просто повезло.
— Шестью девять. Сорок два.
— Именно. И это всё.
Предлагались различные варианты объяснения этой ошибки. Причина может быть в том, что Земля как мега-компьютер работала неправильно из-за аварийной посадки голгафрингемцев, потомки которых заменили коренное население планеты. Возможно, это привело к ошибке в вычислениях и повлекло за собой неверный Вопрос, который всё время был у Артура в мозгу.
Позже некоторыми читателями было подмечено, что на самом деле арифметическое выражение 6 × 9 = 42 нисколько не ошибочно, если использовать тринадцатеричную систему счисления взамен общепринятой десятичной. Дуглас Адамс позже утверждал, что во время написания книги он и не подозревал об этом, поясняя: «Никто не пишет шуток про тринадцатеричные системы […] Я, может быть, покажусь довольно скучной личностью, но я не использую тринадцатеричную систему в своих шутках».
После выхода книги «Автостопом по галактике» Дугласа Адамса много раз спрашивали, почему он выбрал именно число 42. Люди предложили много вариантов, но все они были отвергнуты автором. 3 ноября 1993 года он опубликовал свой ответ на этот вопрос в USENET-конференции alt.fan.douglas-adams:
Ответ на это очень прост. Это была шутка. Это должно было быть число — обычное небольшое число — и я выбрал это. Двоичное представление, тринадцатеричная система счисления, тибетские монахи — всё это полнейшая бессмыслица. Я сидел за своим столом, уставившись в сад, и подумал: «42 подойдёт». И напечатал его. Вот и вся история.
А «Главный вопрос» и число «42» стали элементом культа по всему миру.
Фанаты придумали множество теорий, почему именно 42 является ответом на Вопрос. Например,
В ASCII код 42 – это звёздочка (*), символ всего.
В биологии 42 – число хромосом у лабораторных мышей.
Угловой радиус окружности, описываемой радугой: 42°.
Ну и так далее.
Я и сама на протяжении нескольких лет в финальном тесте по любой дисциплине задавала студентам этот вопрос: какой ответ на Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого?
Так что в следующий раз, когда встретите 42 в случайном месте – знайте: Вселенная вам подмигивает.
🔥10❤4👏2