Парадокс Ахиллеса и черепахи

Наверняка вы слышали про эту парочку. :) Парадоксальное утверждение о них будоражит умы уже 2.5 тысячи лет! Есть много формулировок, рассмотрим такую:

Ахиллес находится на расстоянии в 1000 шагов от черепахи и бежит в десять раз быстрее неё. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха отползёт на сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха отползёт ещё на десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться бесконечно, и Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Звучит как будто логично, но мы просто из жизненного опыта знаем, что быстрый всегда догоняет медленного — вопрос лишь затраченного времени. Бесконечности как будто должно хватить. 😁

Разбираем парадокс

С точки зрения математики, мы делим конечный непрерывный отрезок пути бесконечно много раз. И поскольку путь непрерывный и ненулевой, мы никогда не получим ноль.

Но в реальном мире согласно современным научным теориям есть минимальная единица длины. И черепаха, и Ахиллес не будут делать бесконечно малых шажочков — шаг каждого имеет конкретную длину. Получается, в физическом мире путь дискретен.

В дискретном и непрерывном действуют разные законы.

Особенные явления на бесконечности
Парадокс возник в то время, когда математики работали только с конечными множествами и не умели обращаться с бесконечностями. А на бесконечностях происходит тааакоооое — то, чего не бывает в конечных размерах.

Например, сумма бесконечного количества слагаемых вполне может быть конечной. Посчитаем длину путей Ахиллеса и черепахи на бесконечности и…

Убедимся, что догонит
Переобозначим так, что Ахиллес начинает в нуле, а черепаха в точке 1 (то есть единичный отрезок равен 1000 шагам).
Сумма расстояний, пройденных Ахилессом, — это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2.
Значит, за бесконечное время Ахиллес пробежит 2*1000=2000 шагов.

Скорость черепахи — в 10 раз меньше, поэтому сумма её перемещений:
1/10 + 1/20 + 1/40 + 1/80 + … = 1/10*(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) = 1/10*2 = 1/5.

Прибавим начальное положение в 1 — получим, что за бесконечное время черепаха проползёт (1+1/5)*1000=1200 шагов. Это гораздо меньше пути Ахиллеса!

Убедились — догонит и даже обгонит. Просто у этого итеративного процесса бесконечное число шагов и «последнего» шага нет. И вот с этим нашему мозгу не очень комфортно.

Чуть ускорим черепаху — и она убежит!
Представим, что черепаха ползёт немного иначе:
- пока Ахиллес добегает до её места старта, она отползает на половину этого расстояния;
- пока Ахиллес бежит половину, черепаха проползает треть;
- Ахиллес бежит треть, черепаха отползает на четверть;
- и т.д.
Сумма станет такой:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ...
Внешне не сильно отличается, но на бесконечности разница огромна! Такая последовательность расходится, её сумма бесконечна. Теперь черепаху Ахиллес действительно никогда не догонит. Удивительные вещи происходят на бесконечности.

Ещё по теме
• История Ахиллеса и черепахи — один из парадоксов древнегреческого философа Зенона. Про этот и другие можно почитать в Википедии.
• Интересные комменты об апориях — к статье на хабре.
• Анекдот про бесконечное количество математиков в баре.

Орехо-перекусывательная задача

В магазине полезных перекусов продаются на развес орехи:
Арахис — 500 руб/кг,
Миндаль — 1000 руб/кг,
Кешью — 1200 руб/кг,
Грецкий — 800 руб/кг,
Фундук — 1100 руб/кг,
Фисташки — 1400 руб/кг.

Менеджер проанализировал спрос и предлагает продавать упаковки с миксом орехов в таких вариантах:
- арахис, миндаль, кешью;
- миндаль, фундук, фисташки;
- кешью, фундук, грецкий.

Любая упаковка микса — по 200 грамм. В каждом миксе орехи взяты в пропорции 2:1:1, где первый — это самый дешёвый орех в данной смеси.
Менеджер предлагает установить цену 200 руб за упаковку микса.

Какой микс наиболее выгодно продавать по такой цене, а какой — наименее выгодно? Ждём ответы и объяснения под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю орехо-перекусывательную задачу.
Она была несложной, мы рады, что все справились!

Рассчитаем массы
Пропорции орехов в миксе 2:1:1, а всего в миксе 200г, значит, самого дешёвого ореха должно быть 100г, а двух других видов — по 50г.
Найдём исходную стоимость каждого микса.

1) Арахис + Миндаль + Кешью
Здесь самый дешёвый — арахис.
100г арахиса стоят 0.1*500 = 50 руб,
50г миндаля — 0.05*1000 = 50 руб,
50г кешью — 0.05*1200 = 60 руб.
Тогда итоговая стоимость: 50+50+60 = 160 рублей.

Продавать пакетик такого микса по 200 рублей выгодно!

2) Миндаль + Фундук + Фисташки
Здесь все орехи дорогие, дешевле остальных — миндаль.
100г миндаля — 0.1*1000 = 100 руб,
50г фундука — 0.05*1100 = 55 руб,
50г фисташек — 0.05*1400 = 70 руб.

Итоговая стоимость микса равна 100+55+70 = 225 руб.

Такую смесь магазину совсем не выгодно продавать за 200 рублей, надо дороже.

3) Кешью + Фундук + Грецкий
Тут самый дешёвый орех — грецкий.

100г грецкого стоят 0.1*800 = 80 руб,
50г кешью — 0.05*1200 = 60 руб,
50г фундука — 0.05*1100 = 55 руб.
Стоимость микса равна 80+60+55 = 195 руб.

Продавать его за 200 рублей магазину выгодно, но прям на грани. Там же наверняка ещё упаковка сколько-то стоит… В общем, сомнительно, но окэй. 😁

Итого
Наиболее выгодно продавать за 200 рублей первый микс, наименее выгодно — второй.
Зато с точки зрения покупателя второй микс будет удачной покупкой!

Бывает, идёте вы по улице, видите большое здание и думаете: «О, про него можно сделать математическую задачу!»
Знакомо? Авторам нашего канала — да, с нами это происходит постоянно. 😁

Что из этого вышло — смотрите в видео.
Ответы на вопросы, как обычно, присылайте под скрытым текстом.

Математика в Футураме

По сюжету главный герой, Фрай, случайно был заморожен в криогенной камере на 1000 лет. И вот он идёт проверять свой счёт в банке.
До заморозки там лежали скромные 93 цента под 2.25% годовых. Сотрудница банка сообщает, что сейчас на его счету… 4.3 миллиарда долларов. 😅

Но это же просто мультик, вряд ли там корректные вычисления. Или нет? Проверим!

Разберёмся с терминами
Счёт Фрая был с капитализацией. Это распространённый случай, когда сумму на счету вычисляют по формуле сложного процента.

Есть расчётный период — обычно это год, но может быть месяц или день. Закончился расчётный период — начисленные деньги добавляются к сумме вклада, и дальше проценты начисляются на возросшую сумму. И так каждый раз!

Считаем
Формула для расчёта итоговой суммы в общем виде выглядит так:
Sₙ = S⋅(1+ p/100)ⁿ,
где n — это количество лет,
p — процентная ставка.

Подставим числа:
S₁₀₀₀ = 0.93⋅(1+ 2.25/100)¹⁰⁰⁰ = 0.93⋅1.0225¹⁰⁰⁰ ≈ 4 283 508 450.

Переведём в миллиарды и округлим до десятых — получим 4.3 миллиарда. Именно эту сумму и назвала сотрудница банка в мультфильме! Немного неправдоподобно, что банк округляет вверх, но опустим эту деталь. :)

Мы очень обрадовались корректным математическим расчётам в мультфильме. Как будто давнишнего знакомого случайно встретили на улице — не ожидали, но приятно. ☺️

Объясним происходящее
Сумма на счету здесь описывается показательной функцией y=k•aᕽ. Её основание a=1.0225, это больше 1, а значит, функция — возрастающая. Поэтому чем больше x, тем больше будет ответ. Показатель 1000 даёт впечатляющие результаты.

Подробный урок про банковские проценты есть в нашем бесплатном тренажёре в модуле «Дроби», тема «Проценты».
А научиться исследовать поведение функций можно в платном курсе «Математика для анализа данных».

Между праздниками несём вам 🧳 туристическую задачку!

Арина шьет и продает чехлы для чемоданов.
Сегодня сшила такой: высота 60см, ширина 45. Ткань чехла тянется: на 10% вверх и на столько же вбок. Форма чехла такова, что закрывает только боковые стороны чемодана.

Но чехол плоский, а чемодан трёхмерный! Поэтому когда надеваешь его на чемодан — ширины должно хватить на два измерения: ширину и глубину.

Каким будет максимальный объём чемодана с целыми сторонами? Ответ округлите вниз до целых литров.

Ждём ваши ответы в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем в понедельник.

Решение задачи про чемодан

В пятницу мы опубликовали задачу. Спасибо за отклик и комментарии!

Разберём, как её можно решить. Напомним, нужно было найти максимальный объём чемодана, который поместится в чехол заданного размера.

Найдём максимальные параметры чехла

Исходные параметры — 60х45 см.
Добавим по 10% за счёт растяжения ткани — получим 60*1.1=66 и 45*1.1=49.5 см. На такие высоту и ширину можно растянуть чехол.

Определимся со сторонами чемодана

По условию задачи высота чехла «покрывает» только высоту чемодана. Мы ищем максимальный объём чемодана, так что и длину возьмём наибольшую — 66 см.
Ширина чехла «покрывает» два измерения: ширину и глубину. Какие соотношения сторон дадут наибольший объём — неизвестно. Значит, введём переменные!

Пусть ширина чемодана равна х, тогда глубина будет 49.5-х.
Значит, объём чемодана равен V=66•х•(49.5-x).

Способы найти максимум

Получилась квадратичная функция. Узнать, где она будет наибольшей, можно разными способами:

• Вычислить производную и приравнять её к нулю, чтобы найти экстремум.

• Найти вершину параболы. Здесь при раскрытии скобок в функции коэффициент при х² будет отрицательным. Поэтому график — парабола с ветвями вниз, в её вершине функция как раз максимальна.

Посчитаем через вершину

Парабола симметрична, и вершина находится строго между нулями функции. Функция V=66•х•(49.5-x) записана в виде произведения.

Она обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Значит, нули функции — 0 и 49.5.
Вершина посередине, значит, это число 24.75.

Число получилось нецелое, а у нас есть условие на целые длины сторон чемодана. Значит, либо x=24 и тогда вторая сторона равна 25 см, либо наоборот.

В обоих случаях объём будет V = 66•24•25 = 39 600 см³. В литрах это 39.6, округляем вниз — 39 литров.

Не очень-то большой в итоге чемодан 😅
Вам бы его хватило?

Функции и шашлык

Показываем отличия основных видов функций на шашлыках. Ведь это именно та математика, которая так нужна на майских праздниках. 😋

Представьте, что вы выезжаете за город на шашлыки компанией из х человек. Сколько кусков мяса будет съедено? Зависит от ситуации.

Простой случай
Предположим, каждый съест по 2 куска и ещё 3 съедят разные люди в качестве добавки. Итого y=2x+3 кусков. Это линейная функция.

За компанию вкуснее
Часто бывает, что чем больше компания, тем дольше длится застолье и тем больше все в итоге съедают. Например, один человек съел бы 1 кусок, двое – уже по 2, трое — по 3 и так далее.

Такую ситуацию описывает функция y=х², она называется квадратичной. Здесь 10 человек съедят 100 кусков, что ж, бывает. 🙃

Шашлык оказался не очень
Если шашлык оказался не очень — есть его будут без энтузиазма. Да, чем больше людей, тем больше кусков съедят, но каждый новый человек не сильно меняет ситуацию.

Например, 4 человека съедят 2 куска, 8 человек — 3, а чтобы съесть 4 куска понадобится целых 16 человек. Это функция y=log₂х. Такая функция называется логарифмической, и её отличительная особенность как раз в том, что она растёт, но медленно.

Шашлычное безумие
Добавим немножко фантастики, эдакий шашлыко-апокалипсис. По графику последняя функция как будто не сильно отличается от квадратичной, но, поверьте, это только поначалу.

Один человек съел 2 куска и разрекламировал следующему, поэтому тот тоже съел 2. Третьему нахваливали шашлык уже двое и он так впечатлился, что съел 4 куска. Четвёртый — вообще 8. Такими темпами десятый съест 512 кусков (не спрашивайте, как!) и конца этому не видно…

Все вместе съедят
y=2+2+4+8+…+2ᕽ⁻¹=2ᕽ
кусков мяса. Функция y=аᕽ называется показательной, при а>1 она быстро разгоняется и улетает в космос.
—————————

А какой вариант развития шашлычных посиделок случился с вами в последний раз? 😁