Признак делимости на 11

Этот признак не похож на другие, поэтому расскажем сразу на примере!
Проверим, делится ли число 47938 на 11.

1) В исходном числе проставим перед цифрами знаки + и — по очереди:
+ 4 — 7 + 9 — 3 + 8.
2) Такое выражение — знакопеременная сумма. Вычислим её результат: +4-7+9-3+8=11.
3) Получилось 11 — это число делится на 11, а значит, и исходное 47938 делится на 11.

Проверим: 47938 / 11 = 4358, сработало!

И так всегда: если знакопеременная сумма цифр числа делится на 11, то и исходное число делится на 11. Сумма, равная нулю тоже подходит — ведь ноль делится на 11. 😊
А вот если в знакопеременной сумме получится число, которое не делится на 11, то и исходное число не делится на 11.

Нюансы
На этапе проставления знаков важно поставить знак перед всеми цифрами, в том числе перед первой.
А вот с какого знака начинать — неважно. Начнём теперь с минуса:
-4+7-9+3-8=-11.
Знак суммы изменился, но она всё так же делится на 11 — признак работает!

Потренируемся
С помощью признака делимости определите, делятся ли на 11 числа:
5000006, 454545 и 88888.

Привет! Сегодня у нас снова насущная задача, мы такие любим. 😉

Коля приехал в Будапешт, ему нужно поменять евро на форинты. В обменнике около отеля курс 1€ = 380Ft.
Есть место с курсом 1€ = 383Ft, но пешком до него далеко, надо ехать на автобусе. Билетик на автобус (туда и обратно вместе) стоит 530Ft.

Выгодно ли ехать ко второму пункту ради обмена 100€?
Если нет, то начиная с какой суммы это имеет смысл?

Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Задача про четверг, 29 февраля

Привет!
Сегодня особенная дата — она бывает только раз в 4 года! В этом году 29 февраля выпало на четверг. В каком году в следующий раз эта же дата выпадет на этот же день недели?

Свои рассуждения пишите в комментариях.

Признак делимости на 7 (неофициальный)

Раньше мы уже рассказывали про несколько известных признаков делимости. Есть менее известные — например, на 7. Их даже несколько!
Но «официальный» нам никогда не нравился, поэтому сегодня поговорим про другой. Он несколько экстравагантный. 😁
Обсудим сам признак и почему он работает.

Разберём на примере
Возьмём число 672.
1. Отделим от него последнюю цифру, получим: 67 и 2. Пригодятся обе части.
2. Домножим последнюю цифру на 5: 2*5=10.
3. Сложим первый «кусочек» и результат второго действия: 67+10=77. Результат делится на 7, значит, и исходное число 672 делится на 7. Проверим: 672=7*96 — работает!

Ещё пример
Возьмём 583.
1. Отделим последнюю цифру, получаем 58 и 3.
2. Домножаем последнюю цифру на 5: 3*5=15.
3. Складываем: 58+15=73. Результат не делится на 7, значит, и 583 не делится на 7.

Что делать в более сложном случае
Проверим число 3696.
1. Отделяем последнюю цифру, получаем 369 и 6.
2. Упятеряем последнюю цифру: 6*5=30.
3. Складываем: 369+30=399.

Сложно на глаз сказать, делится ли результат на 7. Чтобы узнать, применим к нему тот же трюк! Получим: 39+9*5=39+45=84 — делится на 7, так что 399 тоже, а значит, и исходное число 3696 делится на 7. А если насчёт 84 тоже неочевидно, можно и его так проверить. ⤵️

⤴️
Почему признак работает

Любое число можно записать как 10x+y, где y — это последняя цифра, а x — это то самое число, образованное из первых цифр.
Домножим это число на 5. Если исходное число делилось на 7, то и домноженное будет делиться. И наоборот — если исходное не делится, то и домноженное не будет.

После домножения получим 50x+5y. Перезапишем его как (x+5y)+49x. Последнее слагаемое точно делится на 7. Значит, всё число целиком делится на 7 тогда и только тогда, когда (x+5y) делится на 7. Именно это мы и проверяли в алгоритме!

Другой, но похожий признак делимости на 7

Делимость на 7 можно проверить а так: взять первый «кусок» числа и вычесть из него последнюю цифру, умноженную на 2. Например, для 672 получим: 67-2*2=63 — делится на 7. В комментариях предлагаем вам под скрытым текстом доказать, почему такой вариант тоже работает 😉

Привет!
Весна пришла, поэтому…
Количество подписчиков приближается к 10 тысячам, поэтому…

На самом деле у нас просто было хорошее настроение, и мы подготовили для вас промокод со скидкой. Он распространяется на все курсы «с нуля» двух направлений в Практикуме: «Анализ данных» и «Программирование».

По традиции этого канала, промокод — математический.
Чтобы получить скидку, нужно:
1. Решить задачу ниже и получить ответ в виде числа.
2. Это число нужно записать вместо X в коде “PRAKTICHESKIX” (но без кавычек). Например, если получится 99, то код будет PRAKTICHESKI99. Это не сам промокод, а только пример, как его записать. 😉
3. Ввести промокод на странице оплаты выбранного курса с 11 до 18 марта этого года. Скидка — 10%.

А вот и сама задача для промокода:

В магазине подарков продаются конфеты «Моргунов» в красивой коробке.
До 13 февраля в день в среднем продавали 104 коробки таких конфет, потом это число возросло на 75%.
После этого продажи упали на 45%, а к 8 марта снова возросли — уже на 120%. Каковы были средние продажи 8-го марта? Ответ округлите до целых.

Важно! На этот раз ответ к задаче не нужно писать в комментариях. В комментариях можете задать вопросы по курсам, или оставить отзыв, если вы уже прошли какой-то из них. 😇

• Курсы по анализу данных,
• Курсы по программированию.
В обоих направлениях промокод действует на курсы «с нуля».

Скидка 10% на курсы

Привет!
Напоминаем: с сегодняшнего дня действует промокод со скидкой 10% на все курсы «с нуля» направлений программирования и анализа данных.

Чтобы получить промокод, решайте задачу из предыдущего поста. Успехов!

- Курсы по анализу данных,
- Курсы по программированию.

Польза формальной математики на примере одной теоремы

Иногда мы совершаем какие-то математические действия как что-то очевидное.
Например, приведём дробь 8/12 к несократимой.

Алгоритм такой:
1) Разложим 8 на простые множители: 8 = 2⋅2⋅2.
2) Проделаем то же со знаменателем: 12 = 2⋅2⋅3.
3) Возьмём общую часть: 2⋅2 и сократим на неё:
8/12 = (2⋅2⋅2)/(2⋅2⋅3) = 2/3.

Подключаются дотошные математики

Казалось бы, всё логично. Но дотошные математики всегда сомневаются: а почему мы решили, что это единственно верный вариант? Может быть, можно разложить 8 и 12 на простые множители по-другому, получится другая общая часть и в результате сокращения выйдет не 2/3, а например, 1/2?

Как ни крути, разложить 8 и 12 по-другому нельзя. Но что насчёт чисел побольше? Можно брать их, пробовать и убеждаться, что разложение на простые множители всегда единственно (только порядок множителей может быть разный, это ок).

Но проверить все числа мы не можем. Остаётся вопрос: если взять какие-то огромные числа — там точно получится так же?

Основная теорема арифметики

И пока математики размышляют над такими вещами, они убеждаются, что:

любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до перестановки).

Это значит, что разложения 8 = 2⋅2⋅2, 12 = 2⋅2⋅3 — единственные. Никаких других простых множителей в разложении быть не может, но и убрать из записи какой-то множитель нельзя.

Теорема называется основной теоремой арифметики. Её сформулировал Евклид ещё в 3 веке до н.э. Она как будто простая и логичная, но, повторимся, математики такое доказывают — чтобы не просто верить, а знать, что всё, что мы делаем в арифметике, правильно всегда, то есть в общем случае. Ну душнилы, чо.

Когда появилась

Эта теорема занимала умы математиков две тысячи лет: похожие формулировки встречаются ещё в «Началах» Евклида, потом у многих других математиков, но полное строгое доказательство привёл Гаусс лишь в начале 19 века.

Зачем это надо

Основная теорема арифметики даёт нам право делать разные действия и приходить к единственному результату, например:
• сокращать дроби;
• выносить множитель за скобки;
• находить делители числа;
• находить наибольший общий делитель чисел;
• находить наименьшее общее кратное.

А ещё не ломается криптография

Криптография прям держится на основной теореме арифметики!
Вся история с шифрованием с открытым ключом построена на поиске простых множителей числа. Если бы это разложение числа на простые множители было не единственным, то закодировать что-то мы бы могли, а вот однозначно расшифровать — нет.

Спасибо математикам за их дотошность и наши защищённые данные! ☺️

Подробнее о работе криптографических ключей смотрите в посте.