Признаки делимости на 3 и на 9
Признаки делимости помогают быстро определить, делится одно число на другое или нет.
Мы уже обсуждали признаки делимости на 2, 4 и 8 — там мы смотрели на последние цифры числа.
Сегодня пришла очередь делимости на 3 и 9, и здесь уже последние цифры не важны. Нужно смотреть на сумму цифр числа:
Простой пример
Это верно даже для двузначных чисел. Например, сумма цифр числа 36 равна 9. Она делится на 3 — и само число 36 делится на 3. А сумма цифр числа 40 равна 4. Она не делится на 3 — и само число 40 не делится на 3.
Пример посложнее
Например, проверим число 275. Сумма его цифр: 2+7+5=14 не делится ни на 3, ни на 9 — значит, и само число не делится ни на 3, ни на 9.
Число 915246 (9+1+5+2+4+6=27) делится и на 3, и на 9. И действительно: 915246=305082*3, и 915246=101694*9.
А число 57012 (5+7+0+1+2=15) делится на 3, но не делится на 9.
Интересный факт
Если вы знаете, что число делится на 3, то любое число из этой же комбинации цифр будет делиться на 3 — ведь сумма останется той же! То же верно и для 9.
Например, раз 57012 делится на 3 и не делится на 9, то и 12057, 70512, 17520 и т. д. — тоже делятся на 3 и не делятся на 9.
Как бы мы ни переставляли цифры в числах, делимость на 3 и 9 не изменится.
Задача
Найдите наибольшее пятизначное число, которое состоит из разных цифр и делится на 3, но не делится на 9.
Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях подскрытым текстом .
Признаки делимости помогают быстро определить, делится одно число на другое или нет.
Мы уже обсуждали признаки делимости на 2, 4 и 8 — там мы смотрели на последние цифры числа.
Сегодня пришла очередь делимости на 3 и 9, и здесь уже последние цифры не важны. Нужно смотреть на сумму цифр числа:
Если сумма цифр числа делится на 3, то и всё число делится на 3.
А если сумма цифр числа делится на 9, то и всё число делится на 9.
Простой пример
Это верно даже для двузначных чисел. Например, сумма цифр числа 36 равна 9. Она делится на 3 — и само число 36 делится на 3. А сумма цифр числа 40 равна 4. Она не делится на 3 — и само число 40 не делится на 3.
Пример посложнее
Например, проверим число 275. Сумма его цифр: 2+7+5=14 не делится ни на 3, ни на 9 — значит, и само число не делится ни на 3, ни на 9.
Число 915246 (9+1+5+2+4+6=27) делится и на 3, и на 9. И действительно: 915246=305082*3, и 915246=101694*9.
А число 57012 (5+7+0+1+2=15) делится на 3, но не делится на 9.
Интересный факт
Если вы знаете, что число делится на 3, то любое число из этой же комбинации цифр будет делиться на 3 — ведь сумма останется той же! То же верно и для 9.
Например, раз 57012 делится на 3 и не делится на 9, то и 12057, 70512, 17520 и т. д. — тоже делятся на 3 и не делятся на 9.
Как бы мы ни переставляли цифры в числах, делимость на 3 и 9 не изменится.
Задача
Найдите наибольшее пятизначное число, которое состоит из разных цифр и делится на 3, но не делится на 9.
Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях под
❤15🔥12👍6
Задача про музеи Амстердама
Алиса приехала в Амстердам и проведёт там 6 полных дней: с понедельника по субботу. Она хочет посетить 4 музея. Алиса знает, что одного музея в день ей достаточно, а больше — уже перебор впечатлений. Осталось придумать, что в какой день посетить!
1) Сколько есть способов распределить 4 музея по 6 дням с учётом порядка?
2) Возможно, три музейных дня подряд — тоже перебор. Сколько есть способов распределить музеи, если у Алисы не будет более двух музейных дней подряд?
3) Оказалось, что в музей Ван Гога есть билеты только с понедельника по среду. А ещё хочется оставить всю субботу на прогулки по городу. Сколько теперь вариантов у Алисы, если все предыдущие условия тоже сохраняются?
_____
Как всегда — ждём ваши решения и ответы в комменариях подскрытым текстом .
Разбор опубликуем в понедельник, а в выходные призываем вас тоже сходить в музей! 😊
Алиса приехала в Амстердам и проведёт там 6 полных дней: с понедельника по субботу. Она хочет посетить 4 музея. Алиса знает, что одного музея в день ей достаточно, а больше — уже перебор впечатлений. Осталось придумать, что в какой день посетить!
1) Сколько есть способов распределить 4 музея по 6 дням с учётом порядка?
2) Возможно, три музейных дня подряд — тоже перебор. Сколько есть способов распределить музеи, если у Алисы не будет более двух музейных дней подряд?
3) Оказалось, что в музей Ван Гога есть билеты только с понедельника по среду. А ещё хочется оставить всю субботу на прогулки по городу. Сколько теперь вариантов у Алисы, если все предыдущие условия тоже сохраняются?
_____
Как всегда — ждём ваши решения и ответы в комменариях под
Разбор опубликуем в понедельник, а в выходные призываем вас тоже сходить в музей! 😊
❤🔥11👍5🔥5❤2🤔2👌2
Решим пятничную задачу про музеи.
1) Алисе нужно распределить 4 разных музея на 6 дней — это количество размещений из 6 по 4. Вспомнить отличие размещений от сочетаний можно в этом посте. Итак, выбрать 4 элемента из 6 с учётом порядка можно n! / (n-k)! способами. Подставим числа: 6! / 2! = 6*5*4*3 = 360 способов.
2) Появилось новое ограничение — теперь не подойдут способы, в которых Алиса посещает больше 2 музеев подряд.
Обозначим дни с музеем за 1, а дни без — за 0. Тогда шестизначная комбинация единичек и нулей покажет, в какие дни Алиса посещает музеи, а в какие — нет. Например, 111010 соответствует музейным дням: пн, вт, ср и пт.
У нас не может быть трёх единичек подряд, а нулей в принципе всего два. Значит, из шестизначных чисел подойдут:
011011,
101011,
101101,
110011,
110101,
110110.
Всего 6 подходящих наборов. В каждом на место единичек нужно расставить музеи — получится 4! комбинаций для каждого из 6 наборов. Значит, Алисе подойдут 6*4! = 144 варианта.
3) Тут условия ещё более строгие (а на самом деле реалистичные):
🔵 Хочется оставить субботу под прогулки — значит, нужны схемы с 0 на конце, а такая только одна — 110110.
🔵 Билеты в музей Ван Гога есть только на пн-ср, нашей комбинации это не противоречит, у Алисы два варианта дней для этого музея — пн или вт. Остальные музеи надо распределить по трём оставшимся дням — это 3! комбинаций. Итого получаем 2*3! = 12 вариантов. Это из исходных 360 штук. 🙃
Так обычно и бывает в жизни: кажется, что вариантов очень много, но если учесть все условия — остаётся наперечёт.
Ставьте:
❤️, если вы тоже пытаетесь посетить максимум достопримечательностей в короткий срок,
🌚, если ваши отпуска — с запасом по времени.
1) Алисе нужно распределить 4 разных музея на 6 дней — это количество размещений из 6 по 4. Вспомнить отличие размещений от сочетаний можно в этом посте. Итак, выбрать 4 элемента из 6 с учётом порядка можно n! / (n-k)! способами. Подставим числа: 6! / 2! = 6*5*4*3 = 360 способов.
2) Появилось новое ограничение — теперь не подойдут способы, в которых Алиса посещает больше 2 музеев подряд.
Обозначим дни с музеем за 1, а дни без — за 0. Тогда шестизначная комбинация единичек и нулей покажет, в какие дни Алиса посещает музеи, а в какие — нет. Например, 111010 соответствует музейным дням: пн, вт, ср и пт.
У нас не может быть трёх единичек подряд, а нулей в принципе всего два. Значит, из шестизначных чисел подойдут:
011011,
101011,
101101,
110011,
110101,
110110.
Всего 6 подходящих наборов. В каждом на место единичек нужно расставить музеи — получится 4! комбинаций для каждого из 6 наборов. Значит, Алисе подойдут 6*4! = 144 варианта.
3) Тут условия ещё более строгие (а на самом деле реалистичные):
Так обычно и бывает в жизни: кажется, что вариантов очень много, но если учесть все условия — остаётся наперечёт.
Ставьте:
❤️, если вы тоже пытаетесь посетить максимум достопримечательностей в короткий срок,
🌚, если ваши отпуска — с запасом по времени.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤22🌚5👍1
Альтернатива секстиллионам
Помните ли вы, как читается число 1 000 000 000? А 1 000 000 000 000? А одной какой будет 0.00000000000000000000001? Если вы в команде нелюбителей запоминания секстиллионов и им подобных, то этот пост для вас. А если вы обожаете такие названия, то пост поможет вам общаться с теми, кто в первой команде.
Стандартный вид числа
Чем больше знаков в записи числа, тем неудобнее его записывать. Более того — совершать с ним операции тоже неудобно. Например, от количества нулей в произведении 13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 немного начинает кружиться голова!
Поэтому математики и физики договорились приводить такие числа к единому виду.
Стандартный вид числа — это запись вида a∙10ⁿ, где 1≤|a|<10 и n — целое. При этом a называют мантиссой, а n — порядком числа.
Условие «1≤|a|<10 и n — целое» означает, что в целой части числа a остаётся одна цифра от 1 до 9, а все остальные переносятся в дробную часть.
Примеры
1) Масса Луны 7.3477∙10²² кг. Тут мантисса — это 7.3477, а порядок числа равен 22.
Без приведения к стандартному виду это число было бы записано как 73 477 000 000 000 000 000 000. Когда мы это записывали, мы два раза пересчитали нули, чтобы не ошибиться. А уж совершать арифметические действия с таким числом совсем не тянет.
2) Записывать в стандартом виде можно не только очень большие, но и очень маленькие величины. В таком случае степень десятки будет отрицательной. Например, 0.00000075=7.5∙10⁻⁷.
3) А вот запись 12∙10² — нестандартный вид, потому что мантисса больше 10. Стандартно — вот так: 1.2∙10³.
Как записать число в стандартном виде
Для больших чисел (если число |k|>1):
1. Поставить точку после первой цифры числа.
2. Посчитать количество знаков после точки — его мы запишем как n в показатель к десятке.
3. Приписать к полученному числу ∙10ⁿ.
Для большего удобства числа округляют до трёх-четырёх знаков после точки — обычно этой точности достаточно.
Например, -134560126=-1.34560126∙10⁸≈-1.346∙10⁸.
Для маленьких чисел (если число |k|<1):
1. Сдвинуть точку вправо, чтобы она оказалась после первой цифры, отличной от нуля.
2. Посчитать количество знаков, на которое пришлось сдвинуть точку — это и будет наше n.
3. Приписать к полученному числу ∙10⁻ⁿ.
Например, 0.0000045625963=4.5625963∙10⁻⁶≈4.563∙10⁻⁶.
Проверим удобство в расчётах
Посчитаем пример из начала поста:
13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 = 1.3∙10¹⁹∙7.5∙10⁻⁷=9.75∙10¹².
И никакого головокружения!
Помните ли вы, как читается число 1 000 000 000? А 1 000 000 000 000? А одной какой будет 0.00000000000000000000001? Если вы в команде нелюбителей запоминания секстиллионов и им подобных, то этот пост для вас. А если вы обожаете такие названия, то пост поможет вам общаться с теми, кто в первой команде.
Стандартный вид числа
Чем больше знаков в записи числа, тем неудобнее его записывать. Более того — совершать с ним операции тоже неудобно. Например, от количества нулей в произведении 13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 немного начинает кружиться голова!
Поэтому математики и физики договорились приводить такие числа к единому виду.
Стандартный вид числа — это запись вида a∙10ⁿ, где 1≤|a|<10 и n — целое. При этом a называют мантиссой, а n — порядком числа.
Условие «1≤|a|<10 и n — целое» означает, что в целой части числа a остаётся одна цифра от 1 до 9, а все остальные переносятся в дробную часть.
Примеры
1) Масса Луны 7.3477∙10²² кг. Тут мантисса — это 7.3477, а порядок числа равен 22.
Без приведения к стандартному виду это число было бы записано как 73 477 000 000 000 000 000 000. Когда мы это записывали, мы два раза пересчитали нули, чтобы не ошибиться. А уж совершать арифметические действия с таким числом совсем не тянет.
2) Записывать в стандартом виде можно не только очень большие, но и очень маленькие величины. В таком случае степень десятки будет отрицательной. Например, 0.00000075=7.5∙10⁻⁷.
3) А вот запись 12∙10² — нестандартный вид, потому что мантисса больше 10. Стандартно — вот так: 1.2∙10³.
Как записать число в стандартном виде
Для больших чисел (если число |k|>1):
1. Поставить точку после первой цифры числа.
2. Посчитать количество знаков после точки — его мы запишем как n в показатель к десятке.
3. Приписать к полученному числу ∙10ⁿ.
Для большего удобства числа округляют до трёх-четырёх знаков после точки — обычно этой точности достаточно.
Например, -134560126=-1.34560126∙10⁸≈-1.346∙10⁸.
Для маленьких чисел (если число |k|<1):
1. Сдвинуть точку вправо, чтобы она оказалась после первой цифры, отличной от нуля.
2. Посчитать количество знаков, на которое пришлось сдвинуть точку — это и будет наше n.
3. Приписать к полученному числу ∙10⁻ⁿ.
Например, 0.0000045625963=4.5625963∙10⁻⁶≈4.563∙10⁻⁶.
Проверим удобство в расчётах
Посчитаем пример из начала поста:
13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 = 1.3∙10¹⁹∙7.5∙10⁻⁷=9.75∙10¹².
И никакого головокружения!
❤19👍12✍4🍌3😁2
Неочевидный лайфхак как учить математику
При изучении математики важна не только теория, но и её отработка. Один из способов — решать задачи. А чтобы ещё лучше понять материал, стоит обсуждать его с кем-то.
Вот и лайфхак:
Обсудим подробнее на карточках.
За примеры и разрешение на публикацию благодарим студентов курса «Математика для анализа данных».
При изучении математики важна не только теория, но и её отработка. Один из способов — решать задачи. А чтобы ещё лучше понять материал, стоит обсуждать его с кем-то.
Вот и лайфхак:
Учите математику вместе с кем-то.Обсудим подробнее на карточках.
За примеры и разрешение на публикацию благодарим студентов курса «Математика для анализа данных».
❤12🔥6👍3❤🔥1
Признак делимости на 11
Этот признак не похож на другие, поэтому расскажем сразу на примере!
Проверим, делится ли число 47938 на 11.
1) В исходном числе проставим перед цифрами знаки + и — по очереди:
+ 4 — 7 + 9 — 3 + 8.
2) Такое выражение — знакопеременная сумма. Вычислим её результат: +4-7+9-3+8=11.
3) Получилось 11 — это число делится на 11, а значит, и исходное 47938 делится на 11.
Проверим: 47938 / 11 = 4358, сработало!
И так всегда: если знакопеременная сумма цифр числа делится на 11, то и исходное число делится на 11. Сумма, равная нулю тоже подходит — ведь ноль делится на 11. 😊
А вот если в знакопеременной сумме получится число, которое не делится на 11, то и исходное число не делится на 11.
Нюансы
На этапе проставления знаков важно поставить знак перед всеми цифрами, в том числе перед первой.
А вот с какого знака начинать — неважно. Начнём теперь с минуса:
-4+7-9+3-8=-11.
Знак суммы изменился, но она всё так же делится на 11 — признак работает!
Потренируемся
С помощью признака делимости определите, делятся ли на 11 числа:
5000006, 454545 и 88888.
Этот признак не похож на другие, поэтому расскажем сразу на примере!
Проверим, делится ли число 47938 на 11.
1) В исходном числе проставим перед цифрами знаки + и — по очереди:
+ 4 — 7 + 9 — 3 + 8.
2) Такое выражение — знакопеременная сумма. Вычислим её результат: +4-7+9-3+8=11.
3) Получилось 11 — это число делится на 11, а значит, и исходное 47938 делится на 11.
Проверим: 47938 / 11 = 4358, сработало!
И так всегда: если знакопеременная сумма цифр числа делится на 11, то и исходное число делится на 11. Сумма, равная нулю тоже подходит — ведь ноль делится на 11. 😊
А вот если в знакопеременной сумме получится число, которое не делится на 11, то и исходное число не делится на 11.
Нюансы
На этапе проставления знаков важно поставить знак перед всеми цифрами, в том числе перед первой.
А вот с какого знака начинать — неважно. Начнём теперь с минуса:
-4+7-9+3-8=-11.
Знак суммы изменился, но она всё так же делится на 11 — признак работает!
Потренируемся
С помощью признака делимости определите, делятся ли на 11 числа:
5000006, 454545 и 88888.
❤29🔥20😱6👍4
Подборка постов про последовательности
Последовательности — они такие разные!
Но неизменно прерасные. 😊
Общее
🔵 Как задают последовательности
🔵 Арифметическая и геометрическая прогрессии
🔵 Последовательность Фибоначчи
Задачи
🟢 Про карамельные латте
🟢 Про чиновника и сплетни
🟢 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и решение задачи про сплетни.
Весёлая история,
в которой фактически вычисляется сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
🔵 Про математиков в баре
Добрых математических выходных!
Последовательности — они такие разные!
Но неизменно прерасные. 😊
Общее
Задачи
Весёлая история,
в которой фактически вычисляется сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Добрых математических выходных!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥10❤5👍1
Привет! Сегодня у нас снова насущная задача, мы такие любим. 😉
Ваши решения и ответы ждём в комментариях подскрытым текстом.
Коля приехал в Будапешт, ему нужно поменять евро на форинты. В обменнике около отеля курс 1€ = 380Ft.
Есть место с курсом 1€ = 383Ft, но пешком до него далеко, надо ехать на автобусе. Билетик на автобус (туда и обратно вместе) стоит 530Ft.
Выгодно ли ехать ко второму пункту ради обмена 100€?
Если нет, то начиная с какой суммы это имеет смысл?Ваши решения и ответы ждём в комментариях под
👍12❤6✍5
Задача про четверг, 29 февраля
Привет!
Сегодня особенная дата — она бывает только раз в 4 года! В этом году 29 февраля выпало на четверг. В каком году в следующий раз эта же дата выпадет на этот же день недели?
Свои рассуждения пишите в комментариях.
Привет!
Сегодня особенная дата — она бывает только раз в 4 года! В этом году 29 февраля выпало на четверг. В каком году в следующий раз эта же дата выпадет на этот же день недели?
Свои рассуждения пишите в комментариях.
🔥8👍3🤔1
Как представить математические абстракции
В математике много абстракций. Все эти синусы, логарифмы, векторные пространства, производные второго порядка — всё это очень сложно представить в реальной жизни.
Казалось бы, натуральные числа очень применимы в жизни: вот три яблока, а вот — четыре. А если пойти дальше, то опять могут возникнуть сложности. Представить миллион чего-нибудь может не каждый. А что представляют собой числа 10²⁷ и 10⁴²?
Ответить на этот вопрос поможет вот такой сайт. Дизайн там странноватый, но факты про большие числа — интересные. Рассказывается, что они описывают в нашем мире. Предлагаем поисследовать вместе!
🔜 Представить большие числа
Наш любимый факт: в обозримую вселенную влезает 10¹⁸⁵ планковских объёмов, и это самое большое число, которое что-то значит именно физически.
В математике много абстракций. Все эти синусы, логарифмы, векторные пространства, производные второго порядка — всё это очень сложно представить в реальной жизни.
Казалось бы, натуральные числа очень применимы в жизни: вот три яблока, а вот — четыре. А если пойти дальше, то опять могут возникнуть сложности. Представить миллион чего-нибудь может не каждый. А что представляют собой числа 10²⁷ и 10⁴²?
Ответить на этот вопрос поможет вот такой сайт. Дизайн там странноватый, но факты про большие числа — интересные. Рассказывается, что они описывают в нашем мире. Предлагаем поисследовать вместе!
Наш любимый факт: в обозримую вселенную влезает 10¹⁸⁵ планковских объёмов, и это самое большое число, которое что-то значит именно физически.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥17🥴4👍2
Признак делимости на 7 (неофициальный)
Раньше мы уже рассказывали про несколько известных признаков делимости. Есть менее известные — например, на 7. Их даже несколько!
Но «официальный» нам никогда не нравился, поэтому сегодня поговорим про другой. Он несколько экстравагантный. 😁
Обсудим сам признак и почему он работает.
Разберём на примере
Возьмём число 672.
1. Отделим от него последнюю цифру, получим: 67 и 2. Пригодятся обе части.
2. Домножим последнюю цифру на 5: 2*5=10.
3. Сложим первый «кусочек» и результат второго действия: 67+10=77. Результат делится на 7, значит, и исходное число 672 делится на 7. Проверим: 672=7*96 — работает!
Ещё пример
Возьмём 583.
1. Отделим последнюю цифру, получаем 58 и 3.
2. Домножаем последнюю цифру на 5: 3*5=15.
3. Складываем: 58+15=73. Результат не делится на 7, значит, и 583 не делится на 7.
Что делать в более сложном случае
Проверим число 3696.
1. Отделяем последнюю цифру, получаем 369 и 6.
2. Упятеряем последнюю цифру: 6*5=30.
3. Складываем: 369+30=399.
Сложно на глаз сказать, делится ли результат на 7. Чтобы узнать, применим к нему тот же трюк! Получим: 39+9*5=39+45=84 — делится на 7, так что 399 тоже, а значит, и исходное число 3696 делится на 7. А если насчёт 84 тоже неочевидно, можно и его так проверить. ⤵️
Раньше мы уже рассказывали про несколько известных признаков делимости. Есть менее известные — например, на 7. Их даже несколько!
Но «официальный» нам никогда не нравился, поэтому сегодня поговорим про другой. Он несколько экстравагантный. 😁
Обсудим сам признак и почему он работает.
Разберём на примере
Возьмём число 672.
1. Отделим от него последнюю цифру, получим: 67 и 2. Пригодятся обе части.
2. Домножим последнюю цифру на 5: 2*5=10.
3. Сложим первый «кусочек» и результат второго действия: 67+10=77. Результат делится на 7, значит, и исходное число 672 делится на 7. Проверим: 672=7*96 — работает!
Ещё пример
Возьмём 583.
1. Отделим последнюю цифру, получаем 58 и 3.
2. Домножаем последнюю цифру на 5: 3*5=15.
3. Складываем: 58+15=73. Результат не делится на 7, значит, и 583 не делится на 7.
Что делать в более сложном случае
Проверим число 3696.
1. Отделяем последнюю цифру, получаем 369 и 6.
2. Упятеряем последнюю цифру: 6*5=30.
3. Складываем: 369+30=399.
Сложно на глаз сказать, делится ли результат на 7. Чтобы узнать, применим к нему тот же трюк! Получим: 39+9*5=39+45=84 — делится на 7, так что 399 тоже, а значит, и исходное число 3696 делится на 7. А если насчёт 84 тоже неочевидно, можно и его так проверить. ⤵️
❤19🔥8👍7