Вы когда-нибудь задумывались, что кружка очень похожа на пончик? Или что куб и шар — это одно и то же? Сошли ли с ума авторы канала? На все эти вопросы может дать ответ героиня сегодняшнего поста — топология.

Что такое топология
Топология — это очень интересный вид геометрии. Интересен он тем, что в нём не имеют значения количественные характеристики: расстояние, углы и т.д.

В топологии мы считаем одинаковыми (эквивалентными) все объекты, которые можно превратить друг в друга с помощью гомеоморфных преобразований, или непрерывных деформаций. К ним относятся растягивание или сжатие фигуры без образования разрывов и склеек.

Гомеоморфное преобразование в быту
Самое понятное гомеоморфное преобразование: взять комочек теста и раскатать его в блин. Потом из блина ещё и колбаску можно сделать — это тоже годится. Блин и колбаска с точки зрения топологии — одинаковые объекты.
А вот замкнуть колбаску в кольцо — это склейка, уже не гомеоморфное преобразование. Проковырять в блине дырку — тоже не гомеоморфное преобразование, оно образует объект, неэквивалентный исходному.

То есть с точки зрения топологии, блин больше похож на колбаску, чем на блин с дыркой.
А если взять тор (пончик) и порастягивать его — главное, не рвать и не склеивать! — то вполне можно получить кружку. Так что авторы канала не сошли с ума 😅

Названия теорем в топологии
Топология примечательна ещё и тем, что в ней встречаются необычные названия теорем. Например, теорема о такой сложной штуке, как векторное поле на сфере, называется теоремой о причёсывании ежа.
Ещё есть теорема о натягивании барабана на обод.

Сразу заметно, что математики стараются привязать теорию к практике!

Зачем это надо
Такая, казалось бы, абстрактная наука оказывается невероятно полезной во вполне практических применениях. Кроме ежей и барабанов 😉
Например, топология:
- изучает узлы,
- помогает узнать много новой информации о наборе данных (можно погуглить запрос «персистентные гомологии»),
- применяется в механике, биологии, экономике, машинном обучении и других науках.

Напоследок — задача
Топология открывает новый взгляд на некоторые задачи. Вот, к примеру, известная задача. Заметьте, вполне практическая!

В деревне есть три дома и три компании: одна поставляет газ, вторая — воду, третья — электричество. Нужно к каждому дому провести все три ресурса, но при этом пути, по которым продукт поставляется в дом, не могут пересекаться. Как это сделать?

Решать задачу вам не предлагаем.
Уже известно, что в нашем мире, на сфере, эта задача не имеет решений. На плоскости — тоже. А вот на торе, который изучает топология, задача вполне решаема. Предлагаем убедиться в этом, посмотрев видео.

А в комментариях пишите собственные примеры эквивалентных объектов с точки зрения топологии! 😎

Сегодня мы будем делать вычисления проще и быстрее.
Ведь чем больше в числе значащих цифр (те, которы не нули на конце числа), тем больше неудобств оно создаёт при вычислениях. Например, сравните 83 264 117 и 83 000 000 — второе число воспринимается гораздо проще, а они не так уж далеко друг от друга (отличаются всего на 0.3%).

Такой переход от одного числа к другому называют округлением и записывают через знак ≈, он читается как «приближённо равно». Вспомним, как округлить правильно с точки зрения математики.

Алгоритм
1) Сначала определимся, до какого разряда мы округляем. Иногда это указано в задаче, а иногда нам самим надо решить, после какого разряда нам уже не так важна точность.
Например, при расчёте скидки на чайник нам поможет округление до сотен. А если мы хотим прикинуть размер налогового вычета за ипотеку, можно округлить до сотен тысяч или десятков тысяч. 😉

2) Теперь смотрим на первую цифру справа от округляемого разряда, она решает всё! Например, если мы округляем 4316 до сотен, то смотрим на десятки — в этом числе там стоит 1.
• Если эта решающая цифра меньше 5, то цифра округляемого разряда не меняется. В нашем примере как раз такой случай.
• Если же в десятках была бы цифра 5 или больше, тогда цифру разряда сотен увеличиваем на единицу.

Мы как бы разделяем множество всех цифр пополам, и первая пятёрка (0-4) тянет число в меньшую сторону, вторая (5-9) — в большую.

3) Все цифры справа от округляемого разряда заменяем нулями. Получим: 4316≈4300.

Ещё примеры
1) Округлим до сотен число 61235. В разряде десятков стоит 3, значит, цифра в разряде сотен останется прежней: 61235≈61200.
2) А если хотим округлить 15860 до тысяч — смотрим на сотни, там стоит 8. Значит, округлять нужно с прибавлением единички: 15860≈16000.
3) Число из начала поста 83 264 117 округлим до миллионов: 83 000 000.

Округляем — в один этап!
Частая ошибка в округлении: совершение его в несколько этапов. Смотрите ⤵️
1446 округлим до сотен:
• В один этап: 1446≈1400 (и это верно).
• В два этапа. Сначала до десятков: 1446≈1450. Теперь до сотен: 1450≈1500. Ой, у нас получилась лишняя сотня!

Поэтому округляем всегда в один этап.

Описанный алгоритм помогает округлить число до ближайшего числа с нужным количеством разрядом. Округлённые числа легче воспринимаются и помогают быстро прикинуть результаты вычислений. Об этом ещё расскажем подробнее.

Нюансы реальной жизни
На практике бывает, нужно округлить не до ближайшего целого, а по-другому — вверх или вниз. Например, когда мы посчитали, сколько упаковок яиц надо купить и получили 3.3 упаковки, то очевидно, округлить нужно вверх — до 4 упаковок. Ближайшее целое здесь 3, но трёх упаковок нам не хватит!

Другая ситуация — мы рассчитываем грузоподъёмность лифта и получаем, что лифт выдержит 7.8 человек. Здесь ближайшее целое — это 8, но для надёжности разумнее округлить вниз и написать в инструкции, что лифт выдержит 7 человек.

Поэтому закончим занудной, но важной мыслью: сначала стоит подумать о задаче и только затем подбирать метод! 🖖

Задание
Округлите что-нибудь и напишите в комментариях, в какой ситуации вам пригодилось округление и какое 💪

Сегодня мы принесли вам задачу из двух частей. Первая — вполне реальная, вторая — фантастическая. Но просим вас к обеим отнестись серьёзно!

1) В город N приехал столичный чиновник. На собрании в 9.00 он по секрету рассказал важную новость двум местным сотрудникам. В течение часа каждый из них по секрету рассказал эту новость ещё троим жителям этого города. В течение следующего часа — каждый из этих новоузнавших передал эту новость ещё троим новым и т.д.

Сколько жителей города N будут по секрету знать важную новость к 21 часам этого дня?

2) Помимо секретов чиновник привёз в командировку коробку с печеньками. Они были настолько вкусные, что в первый день он съел аж 8 штук. Ему хотелось растянуть печенье до конца командировки, поэтому он решил держать себя в руках и есть каждый следующий день в полтора раза меньше печенек, чем в предыдущий (кусочки печенек тоже считаются).

Проблема в том, что чиновник попал в пространственно-временную аномалию и застрял в городе N навечно! Но это был очень последовательный чиновник — он продолжал выполнять своё обещание и каждый день ел всё меньше и меньше печенек.

Можно ли узнать, сколько всего печенек он съест за время своего бесконечного пребывания в городе N? Если да, то хватит ли ему коробки с 50 печеньками?

Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю задачу про чиновника в городе N.

Реальный вариант
Каждый час количество жителей, знающих новость по секрету, увеличивается в одинаковое количество раз — это геометрическая прогрессия.

С 9 до 21 часов произошло 12 итераций, значит, всего было 13 членов прогрессии. Нам надо найти их сумму.
Первый член равен 2, знаменатель равен 3.

Вычислим сумму по формуле:
S₁₃=b₁(1-q¹³)/(1-q)=2(1-1594323)/(1-3) = 1 594 322.
Больше полутора миллионов человек узнают по секрету новость за день! Примерно так и работают сплетни. 😄

Фантастический вариант
Здесь тоже речь о геометрической прогрессии. Но теперь её элементы не увеличиваются, а уменьшаются, причём стремительно. Каждый следующий член в 1.5 раза меньше предыдущего, значит, знаменатель q=1/1.5=10/15=2/3. Это меньше 1.

У прогрессий с |q|<1 есть уникальная особенность — для них можно найти сумму всей прогрессии! Формула выглядит вот так: S = b₁/(1-q).

В нашем случае b₁=8, q=2/3, значит, S = 8/(1-2/3) = 8*3=24. Именно столько печенек чиновник съест за бесконечно долгое время в городе N. А что, не так уж и много! Коробки с 50 печеньками ему хватит с лихвой!

***

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии встречаются не только в фантастических задачах, но и в многочиленных математических мемах и анекдотах. Например, мы рассказывали анекдот про математиков в баре. 🤓🍸

Задание
Поэкспериментируйте с топологическими объектами в быту!

1) Склейте две ленты Мёбиуса. Одну из них разрежьте ровно посередине (вдоль), а вторую — примерно на 1/3 ширины. Посмотрите, что получится! Фото выкладывайте в комментариях 🙂 Спойлер: результаты будут разные!
2) Вспомните, кто из ваших знакомых вяжет: бабушка, мама или, может быть, вы сами? Предложите им связать вам шарф в виде ленты Мёбиуса или шапку в форме бутылки Клейна. :))
Кстати, такому подарку будет рад любой математик!

Привет, друзья!
Нас тут уже захватило новогоднее настроение🎄
Так что мы официально объявляем, что до конца декабря у нас тут будет математический адвент!
Как всегда: будем писать задачки и рассказы, но они будут тематическими — новогодними.

Сегодня первый день, и мы расскажем о том, чем функциональная зависимость (или попросту функция) отличается от уравнения. У функций много хороших свойств, и их рассматривают чаще других. Именно поэтому полезно уметь распознавать функцию.