Недавно мы рассказывали про последовательности. Выделяют несколько видов последовательностей, у которых есть полезные свойства. Сегодня расскажем про арифметическую и геометрическую прогрессии.
У них два полезных свойства:
- можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый;
- можно быстро найти сумму любого количества первых элементов.
А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет!

Арифметическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число.
Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2.
Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2.

Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d.
В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть!
А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63.

Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них:
Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2.
Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста.

Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии:
1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024.

Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.

Геометрическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются в одно и то же число раз.
Например: 1, 2, 4, 8, 16, … — здесь каждое следующее больше предыдущего в 2 раза.
Такую последовательность тоже можно задать двумя числами: первым членом b₁ и знаменателем прогрессии q. В примере выше b₁=1 и q=2.

Другие элементы. Элемент с номером n можно найти по формуле bₙ = b₁*qⁿ⁻¹. В примере выше 4-й член равен: b₄ = 1*2³ = 8. А 12-й элемент получится b₁₂ = 1*2¹¹ = 2048.

Сумма первых n членов вычисляется по формуле: Sₙ = b₁(1-qⁿ)/(1-q). Например, сумма первых 12 членов нашей геометрической прогрессии будет равна
S₁₂ = 1*(1-2¹²) / (1-2) = 4095.

Прогрессии в жизни
Прогрессии часто встречаются нам в реальной жизни. Например:
- Большинство живых существ размножается в геометрической прогрессии.
- Страшное словосочетание «сложные банковские проценты» — это тоже геометрическая прогрессия.
- Литературный пример. Ямб и хорей — это два стихотворных размера, в каждом из которых ударение ставится на каждый второй слог. При этом, в ямбе номера ударных слогов — 2, 4, 6, 8, …, а в хорее — 1, 3, 5, 7, … — это арифметические прогрессии.

Напоследок — несколько задач
1. Пусть есть арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 3, а пятый равен 11. Посчитайте сумму первых десяти членов этой прогрессии.
2. Теперь возьмем геометрическую прогрессию. Пусть b₁=4 и q=-2. Чему равна сумма первых шести членов такой прогрессии? А чему равна сумма членов с пятого по десятый включительно?

В математике встречаются теоремы с пафосными названиями. 😅
Сразу приходит на ум Великая теорема Ферма — не просто «теорема Ферма о решениях такого-то вида», а именно Великая теорема Ферма.

Есть и другие, не менее величественно звучащие. Например, основная теорема алгебры — не просто «теорема о количестве корней многочлена», а вот прям «основная(!) теорема алгебры (всей!)». Кажется, некоторые математики — прирождённые маркетологи. 😎
Ведь невозможно удержаться, чтобы не узнать, что же это за теорема такая. Не будем вас томить — расскажем.

Немножко вспомним про комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида a+b*i, где i — это √(-1), a и b — действительные числа (это все наши обычные числа с любым количеством знаков после запятой).
Действительные числа — тоже являются комплексными. Просто подставляем в определение b=0 и у нас остаётся только a.

Формулировка теоремы
Возьмём многочлен с комплексными коэффициентами.
Основная теорема алгебры гласит, что если он имеет первую степень или выше — у него всегда существует по крайней мере один комплексный корень. Корень этот не всегда просто найти — но это уже детали. 🙃

Например, многочлены x²-2 и x⁶+x³+1 точно имеют хотя бы один комплексный корень. Да и вообще любые многочлены. :)

Следствие
У этой теоремы есть очень важное следствие, чаще всего используют именно его.
Возьмём многочлен степени n — это значит, что максимальная степень переменной в нём равна n.
Сколько у него корней? Хороший вопрос, на который чётко отвечает следствие основной теоремы алгебры: ровно n комплексных.
Например, у любого многочлена третьй степени будет ровно 3 комплексных корня.

В алгебре вообще часто ищут корни. Так что знать их количество — полезно, ведь так мы понимаем, когда точно можно остановиться в поисках!

Нюанс
В следствии теоремы есть небольшая хитрость. Например, рассмотрим многочлен x²-2x+1. Его коэффициенты — действительные, а значит, и комплексные тоже, так что к нему можно применить основную теорему алгебры и её следствие.

Степень этого многочлена — вторая, значит, у него должны быть два корня. Чтобы найти их, разложим его на множители:
x²-2x+1=(x-1)².
Приравняем к нулю: (x-1)²=0, получим x=1, и всё, других нет.

Следствие теоремы не верно? Верно, просто есть нюанс. 😁
Никто не говорит о том, что корни должны быть разные. Они могут совпадать! Всё потому, что у каждого корня есть кратность.

Что такое кратность
Каждый многочлен можно разложить на множители. Количество скобок, которые обнуляет корень, и называется его кратностью.
Например, в уравнении (x-1)²=(x-1)(x-1)=0 корень x=1 обнуляет две скобки — значит, его кратность равна 2.

В таких случаях математики считают, что исходный многочлен имеет два совпадающих корня. Так ничего не поломается!

Ещё пример
Многочлен четвёртой степени (x+i)(x-2)³ имеет такие корни:
• x=-i — этот корень обнуляет одну скобку и имеет кратность 1,
• x=2 — обнуляет три одинаковые скобки и поэтому имеет кратность 3.

Итого степень у многочлена четвёртая, различных корней — два, но с учётом кратности — четыре корня, всё хорошо.

Для желающих поупражняться
Предлагаем найти все три комплексных корня многочлена x³-4x²+9x-36. Решения и ответы пишите под скрытым текстом.

Почти-сфера в Вегасе

Признаемся вам по секрету — мы тут немножко душнилы. Иногда любим докопаться до какой-нибудь мелочи. Если вы тоже, то сегодняшнее видео вам понравится. 😉 

В Вегасе есть концертный зал в форме сферы, очень красивый и эффектный.
Так вот
Вообще-то
Строго говоря
С точки зрения математики
Форма этого концертного зала — это не сфера, а только 79% от сферы.

Более того, на сайте концертного зала в научном разделе(!) есть парочка ошибок. Например, в записи числа π верны только первые 20 знаков после запятой! Начиная с 21-го — идут какие-то странные цифры…

Познакомиться с подробностями можно в захватывающем видео-расследовании. Его провёл Мэтт Паркер, один из наших любимых популяризаторов математики.

Кстати, после этого видео ошибки на сайте исправили. А ещё говорят, что математика не нужна! Как минимум, она позволяет подушнить. 😁

Привет!
Сегодня у нас задачка про игру, даже в двух вариантах: обычном и коварном.

———————————————
Обычный вариант
Представьте, что ваш друг загадал число от 1 до 100 включительно и просит вас его найти. Вы называете версию, а друг на каждую отвечает либо «моё число больше», либо «моё число меньше». Если вы угадали — он об этом тоже сообщает, и игра заканчивается. Ваш друг отвечает правдиво.

Какая стратегия поможет угадывать число за минимальное количество попыток? Сколько попыток при такой стратегии вам точно хватит, чтобы угадать число?

Коварный вариант
Ваш друг снова загадал число из этого диапазона, и снова будет давать такие же правдвые ответы на ваши версии.
Но теперь он будет мысленно перезагадывать число до тех пор, пока может это делать, не обращая в ложь все произнесённые ответы. Как те люди, что меняют положение кораблей в морском бое по ходу игры. 😅

Какая стратегия будет для вас эффективной в этом случае? Какое максмальное количество попыток понадобится теперь, чтобы загнать друга в угол и угадать последнее перезагаданное число?
———————————————

Ответы и решения ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.
Разбор задачи опубликуем в понедельник.

Разберёмся, как быстро угадать число из пятничной задачи.

Честный вариант
Здесь оптимальной стратегией будет «Бинарный поиск», он же метод деления пополам.
При каждой попытке нужно называть середину диапазона, тогда после ответа, новый диапазон будет в два раза меньше (не всегда ровно в два, но это мелочи).

Например, друг загадал число 30. Диалог получится такой. Начинаем всегда с 50 — это середина исходного диапазона от 1 до 100:
— 50?
— Моё число меньше.
Новый диапазон — от 1 до 50, спрашиваем про середину:
— 25?
— Моё число больше.
Новый диапазон — от 25 до 50. Его середина — 37.5, так что можно назвать 37 или 38. И так далее.

Сколько раз 100 можно нацело делить пополам, пока диапазон не сузится до одного числа? Семи раз точно хватит, так как 2⁷>100.

Коварный вариант
Особенное коварство этого варианта в том, что он совсем не коварный!
Друг может перезагадывать число сколько хочет — пока его ответы правдивы, это не имеет значения. С помощью бинарного поиска вы всё так же будете идти по половинным диапазонам. В худшем случае вам понадобится так же 7 попыток — потом диапазон сузится до 1 числа и перезагадывать будет уже некуда 👌

***

Идеей этой задачи с нами поделился дружественный Практикумовский телеграм-канала «Программирование и тестирование». В нём публикуют полезные материалы для начинающих разработчиков и тестировщиков, погружают в профессии и отвечают на вопросы.
Заглядывайте в канал к ребятам, у них полезно, уютно и дружелюбно! ☺️

Вы когда-нибудь задумывались, что кружка очень похожа на пончик? Или что куб и шар — это одно и то же? Сошли ли с ума авторы канала? На все эти вопросы может дать ответ героиня сегодняшнего поста — топология.

Что такое топология
Топология — это очень интересный вид геометрии. Интересен он тем, что в нём не имеют значения количественные характеристики: расстояние, углы и т.д.

В топологии мы считаем одинаковыми (эквивалентными) все объекты, которые можно превратить друг в друга с помощью гомеоморфных преобразований, или непрерывных деформаций. К ним относятся растягивание или сжатие фигуры без образования разрывов и склеек.

Гомеоморфное преобразование в быту
Самое понятное гомеоморфное преобразование: взять комочек теста и раскатать его в блин. Потом из блина ещё и колбаску можно сделать — это тоже годится. Блин и колбаска с точки зрения топологии — одинаковые объекты.
А вот замкнуть колбаску в кольцо — это склейка, уже не гомеоморфное преобразование. Проковырять в блине дырку — тоже не гомеоморфное преобразование, оно образует объект, неэквивалентный исходному.

То есть с точки зрения топологии, блин больше похож на колбаску, чем на блин с дыркой.
А если взять тор (пончик) и порастягивать его — главное, не рвать и не склеивать! — то вполне можно получить кружку. Так что авторы канала не сошли с ума 😅

Названия теорем в топологии
Топология примечательна ещё и тем, что в ней встречаются необычные названия теорем. Например, теорема о такой сложной штуке, как векторное поле на сфере, называется теоремой о причёсывании ежа.
Ещё есть теорема о натягивании барабана на обод.

Сразу заметно, что математики стараются привязать теорию к практике!

Зачем это надо
Такая, казалось бы, абстрактная наука оказывается невероятно полезной во вполне практических применениях. Кроме ежей и барабанов 😉
Например, топология:
- изучает узлы,
- помогает узнать много новой информации о наборе данных (можно погуглить запрос «персистентные гомологии»),
- применяется в механике, биологии, экономике, машинном обучении и других науках.

Напоследок — задача
Топология открывает новый взгляд на некоторые задачи. Вот, к примеру, известная задача. Заметьте, вполне практическая!

В деревне есть три дома и три компании: одна поставляет газ, вторая — воду, третья — электричество. Нужно к каждому дому провести все три ресурса, но при этом пути, по которым продукт поставляется в дом, не могут пересекаться. Как это сделать?

Решать задачу вам не предлагаем.
Уже известно, что в нашем мире, на сфере, эта задача не имеет решений. На плоскости — тоже. А вот на торе, который изучает топология, задача вполне решаема. Предлагаем убедиться в этом, посмотрев видео.

А в комментариях пишите собственные примеры эквивалентных объектов с точки зрения топологии! 😎

Сегодня мы будем делать вычисления проще и быстрее.
Ведь чем больше в числе значащих цифр (те, которы не нули на конце числа), тем больше неудобств оно создаёт при вычислениях. Например, сравните 83 264 117 и 83 000 000 — второе число воспринимается гораздо проще, а они не так уж далеко друг от друга (отличаются всего на 0.3%).

Такой переход от одного числа к другому называют округлением и записывают через знак ≈, он читается как «приближённо равно». Вспомним, как округлить правильно с точки зрения математики.

Алгоритм
1) Сначала определимся, до какого разряда мы округляем. Иногда это указано в задаче, а иногда нам самим надо решить, после какого разряда нам уже не так важна точность.
Например, при расчёте скидки на чайник нам поможет округление до сотен. А если мы хотим прикинуть размер налогового вычета за ипотеку, можно округлить до сотен тысяч или десятков тысяч. 😉

2) Теперь смотрим на первую цифру справа от округляемого разряда, она решает всё! Например, если мы округляем 4316 до сотен, то смотрим на десятки — в этом числе там стоит 1.
• Если эта решающая цифра меньше 5, то цифра округляемого разряда не меняется. В нашем примере как раз такой случай.
• Если же в десятках была бы цифра 5 или больше, тогда цифру разряда сотен увеличиваем на единицу.

Мы как бы разделяем множество всех цифр пополам, и первая пятёрка (0-4) тянет число в меньшую сторону, вторая (5-9) — в большую.

3) Все цифры справа от округляемого разряда заменяем нулями. Получим: 4316≈4300.

Ещё примеры
1) Округлим до сотен число 61235. В разряде десятков стоит 3, значит, цифра в разряде сотен останется прежней: 61235≈61200.
2) А если хотим округлить 15860 до тысяч — смотрим на сотни, там стоит 8. Значит, округлять нужно с прибавлением единички: 15860≈16000.
3) Число из начала поста 83 264 117 округлим до миллионов: 83 000 000.