Лайфхаки устного счёта
Способность быстро посчитать в уме и прикинуть ответ — ценное математическое умение.
Во-первых, это экономит время.
Во-вторых, позволяет оценить километровые вычисления и быстро понять, похожи они на правду или что-то пошло не так.
В-третьих, просто классно обойтись иногда без калькулятора.
Сегодня поговорим про устные вычисления и поделимся лайфхаками, как быстро делить и умножать на 5.
Для этого нам пригодятся деление и умножение на 10, которое вы, конечно же, знаете. Когда мы умножаем на 10, мы просто дописываем к числу 0 справа или сдвигаем запятую правее, если число оказалось дробным. Когда мы делим на 10, то стираем самый правый 0 или двигаем запятую влево, если нуля в конце числа не оказалось.
Умножаем на 5. Умножить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 10 (дописать 0) и разделить результат на 2.
Почему это работает? Если записывать в буквенном виде, получим n*5=n*(10/2)=n*10/2. Свойства умножения позволяют умножить и разделить в удобном нам порядке.
Например,
17*5 = 17*10/2 = 170/2 = 85,
2164*5 = 2164*10/2 = 21640/2 = 10820,
555*5 = 5550/2 = 2775.
Произвести эти две операции в уме — часто быстрее, чем одну исходную.
Делим на 5. Разделить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 2 и разделить на 10.
Тут всё аналогично: n/5=n/(10/2)=n*2/10.
115/5 = 115*2/10 = 230/10 = 23,
875/5 = 875*2/10 = 1750/10 = 175,
112/5 = 224/10 = 22.4.
Потренируйтесь:
а) 77*5 = ?
б) 134*5 = ?
в) 570/5 = ?
г) 1815/5 = ?
Только чур, считать устно! 😎
Ради интереса можно засечь, сколько времени у вас уйдёт на эти 4 примерчика.
Способность быстро посчитать в уме и прикинуть ответ — ценное математическое умение.
Во-первых, это экономит время.
Во-вторых, позволяет оценить километровые вычисления и быстро понять, похожи они на правду или что-то пошло не так.
В-третьих, просто классно обойтись иногда без калькулятора.
Сегодня поговорим про устные вычисления и поделимся лайфхаками, как быстро делить и умножать на 5.
Для этого нам пригодятся деление и умножение на 10, которое вы, конечно же, знаете. Когда мы умножаем на 10, мы просто дописываем к числу 0 справа или сдвигаем запятую правее, если число оказалось дробным. Когда мы делим на 10, то стираем самый правый 0 или двигаем запятую влево, если нуля в конце числа не оказалось.
Умножаем на 5. Умножить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 10 (дописать 0) и разделить результат на 2.
Почему это работает? Если записывать в буквенном виде, получим n*5=n*(10/2)=n*10/2. Свойства умножения позволяют умножить и разделить в удобном нам порядке.
Например,
17*5 = 17*10/2 = 170/2 = 85,
2164*5 = 2164*10/2 = 21640/2 = 10820,
555*5 = 5550/2 = 2775.
Произвести эти две операции в уме — часто быстрее, чем одну исходную.
Делим на 5. Разделить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 2 и разделить на 10.
Тут всё аналогично: n/5=n/(10/2)=n*2/10.
115/5 = 115*2/10 = 230/10 = 23,
875/5 = 875*2/10 = 1750/10 = 175,
112/5 = 224/10 = 22.4.
Потренируйтесь:
а) 77*5 = ?
б) 134*5 = ?
в) 570/5 = ?
г) 1815/5 = ?
Только чур, считать устно! 😎
Ради интереса можно засечь, сколько времени у вас уйдёт на эти 4 примерчика.
👍40❤2🔥1🥰1
Нормы вектора
Привет!
Мы тут готовили пост о нормах вектора — получилась целая статья! Что это такое,с чем едят, зачем нужно и как использовать в анализе данных. Садитесь поудобнее и читайте. ☺️🍿
Привет!
Мы тут готовили пост о нормах вектора — получилась целая статья! Что это такое,
Telegraph
L₂ и L₁ нормы вектора
Вектор — это направленный отрезок, и для действий с ним хорошо бы знать его длину. В линейной алгебре длину вектора называют нормой. Норм у вектора несколько, и все они вычисляются разными способами, давая на выходе разные значения. Сегодня мы расскажем про…
❤16🔥11👍5👌2
Кстати, как вам формат поста со статьёй?
Anonymous Poll
73%
Супер, можно глубже изучить вопрос
4%
Слишком длинно
22%
Ок-норм
1%
Свой ответ, напишу в комменты
❤2👍1
Математика, которая помогает вам каждый день (а вы, возможно, и не догадываетесь)
Признаемся честно: есть вопрос, от которого у всех математиков дёргается глаз. И вопрос этот: «Ой, да зачем вообще нужна ваша математика? Мне вот она после школы так и не пригодилась». И мы верим, что часто это правда.
Большинство математиков — это увлечённые теоретики, им не так важно, будет ли у изучаемых ими объектов практическое приложение. Так что в математике действительно полно абстрактных теоретических концепций.
Но поверьте, есть в математике кое-что, что помогает делать лучше и безопаснее каждый ваш день. И это… простые числа. Да-да, те самые, которые делятся только на 1 и на себя.
Дело было так. В 17 веке Пьер Ферма сформулировал свою малую теорему, там как раз про простые числа. Это красивая, элегантная и удивительная теорема. Триста лет ею восхищались только математики. А потом в 1970-х годах на её основе криптографы создали алгоритмы шифрования. И понеслось! Сейчас они защищают электронные письма, банковские транзакции и вообще любую информацию, которой мы пользуемся каждый день.
Вряд ли Пьер Ферма мог предположить, что его теорема станет такой полезной на практике, но жизнь математических абстракций бывает непредсказуемой.
Чтобы узнать больше об алгоритмах шифрования, предлагаем посмотреть видео:
⭐️ коротенькое о сути шифрования с открытым, или ассиметричным, ключом;
⭐️ подлиннее — здесь весь алгоритм разобран по шагам, и становится понятно, при чём тут простые числа;
⭐️ для математических гурманов — тут во второй половине можно подсмотреть ещё примеры применения алгоритма вручную и попробовать свои силы.
И пусть вся ваша информация всегда будет надёжно зашифрована!❤️
Признаемся честно: есть вопрос, от которого у всех математиков дёргается глаз. И вопрос этот: «Ой, да зачем вообще нужна ваша математика? Мне вот она после школы так и не пригодилась». И мы верим, что часто это правда.
Большинство математиков — это увлечённые теоретики, им не так важно, будет ли у изучаемых ими объектов практическое приложение. Так что в математике действительно полно абстрактных теоретических концепций.
Но поверьте, есть в математике кое-что, что помогает делать лучше и безопаснее каждый ваш день. И это… простые числа. Да-да, те самые, которые делятся только на 1 и на себя.
Дело было так. В 17 веке Пьер Ферма сформулировал свою малую теорему, там как раз про простые числа. Это красивая, элегантная и удивительная теорема. Триста лет ею восхищались только математики. А потом в 1970-х годах на её основе криптографы создали алгоритмы шифрования. И понеслось! Сейчас они защищают электронные письма, банковские транзакции и вообще любую информацию, которой мы пользуемся каждый день.
Вряд ли Пьер Ферма мог предположить, что его теорема станет такой полезной на практике, но жизнь математических абстракций бывает непредсказуемой.
Чтобы узнать больше об алгоритмах шифрования, предлагаем посмотреть видео:
И пусть вся ваша информация всегда будет надёжно зашифрована!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤37👍14🔥6
Математика и зомби
Бууууу! 👻💀
Испугались? 🎃
Если нет, то представьте, что наступил зомби-апокалипсис! 🧟♂️
Теперь испугались? Если нет, то поздравляем: вы — настоящий математик! Математик даже в такой ситуации не испугается, а начнёт изучать и исследовать. Например, какие есть стратегии выжить, какая из них лучшая… не мешайте, зомби, мы тут заняты!
Результаты математических исследований разных стратегий выживания можно посмотреть в шуточном видео.
Нам больше всего нравится последняя. 😅
Кто знает, возможно, именно эти знания когда-нибудь спасут вам жизнь!
Посмотреть с переводом на русский можно через Яндекс Браузер.
Бууууу! 👻💀
Испугались? 🎃
Если нет, то представьте, что наступил зомби-апокалипсис! 🧟♂️
Теперь испугались? Если нет, то поздравляем: вы — настоящий математик! Математик даже в такой ситуации не испугается, а начнёт изучать и исследовать. Например, какие есть стратегии выжить, какая из них лучшая… не мешайте, зомби, мы тут заняты!
Результаты математических исследований разных стратегий выживания можно посмотреть в шуточном видео.
Нам больше всего нравится последняя. 😅
Кто знает, возможно, именно эти знания когда-нибудь спасут вам жизнь!
Посмотреть с переводом на русский можно через Яндекс Браузер.
YouTube
Surviving the zombie apocalypse with mathematics | Mathematics and Statistics at Sheffield
What should you do if you meet a zombie this Halloween? A crack team of PhD students at the University of Sheffield have used mathematics to work out the best way to survive an uprising of the undead. The same mathematical models can be applied to viral infections…
👻13👍6🎃3🤡1🤓1🎅1
Последовательности
Последовательность в математике — это набор чисел, за каждым из которых закреплено конкретное место. Формально это звучит так: последовательность — это упорядоченный набор чисел.
Например: 1, 2, 4, 8, … — последовательность, в которой каждый следующий элемент в 2 раза больше предыдущего.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, 3, 6, 9 — конечная последовательность из трёх элементов. А если ставим многоточие в конце, то это значит, что последовательность бесконечная и будет продолжаться дальше по тому же правилу:
3, 6, 9, ….
Как задают последовательности
Есть несколько способов: поэлементно, рекуррентно и с помощью формулы.
Поэлементно. На каждое место мы ставим конкретный элемент и заранее проговариваем, какой именно.
Например: a₁ = 2, a₂ = 4321, a₃ = 15 — это последовательность из трёх чисел, заданная поэлементно. Её также можно задать просто перечислением: 2, 4321, 15.
Рекуррентно. Мы задаём один или несколько первых элементов и указываем формулу, с помощью которой можно вычислить любой элемент, зная предыдущие.
Например, a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 2. Получаем последовательность:
3, 5, 7, 9, 11, …
Знаменитую последовательность Фибоначчи, например, удобно задавать именно рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂.
Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
С помощью формулы. В таком случае записывается формула с переменной n, где n — это порядковый номер элемента. Формула помогает вычислить любой элемент, зная лишь его номер.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел удобно задать формулой: aₙ = n².
Одну и ту же последовательность можно задать разными способами. Например, последовательность чисел, делящихся на 5, можно задать:
➡️ поэлементно: 5, 10, 15, 20, 25, …
➡️ рекуррентно: a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 5
➡️ с помощью формулы: aₙ = 5n.
Чаще всего исходные данные — последовательность, заданная поэлементно, и нам надо найти логику в этой последовательности, то есть — формулу. Формула помогает, например, находить следующие элементы или вычислять сумму элементов последовательности.
Позже мы ещё расскажем об известных последовательностях. А пока предлагаем прерваться на задачки.
Задачи
Мы зададим несколько последовательностей поэлементно. Попробуйте найти формулу для каждой из них.
1) 7, 13, 19, 25, …
2) 2, 7, 14, 23, 34, …
3) 5, 1, -1, -1, 1, 5, 11, …
Ваши ответы ждём в комментариях подскрытым текстом .
Последовательность в математике — это набор чисел, за каждым из которых закреплено конкретное место. Формально это звучит так: последовательность — это упорядоченный набор чисел.
Например: 1, 2, 4, 8, … — последовательность, в которой каждый следующий элемент в 2 раза больше предыдущего.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, 3, 6, 9 — конечная последовательность из трёх элементов. А если ставим многоточие в конце, то это значит, что последовательность бесконечная и будет продолжаться дальше по тому же правилу:
3, 6, 9, ….
Как задают последовательности
Есть несколько способов: поэлементно, рекуррентно и с помощью формулы.
Поэлементно. На каждое место мы ставим конкретный элемент и заранее проговариваем, какой именно.
Например: a₁ = 2, a₂ = 4321, a₃ = 15 — это последовательность из трёх чисел, заданная поэлементно. Её также можно задать просто перечислением: 2, 4321, 15.
Рекуррентно. Мы задаём один или несколько первых элементов и указываем формулу, с помощью которой можно вычислить любой элемент, зная предыдущие.
Например, a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 2. Получаем последовательность:
3, 5, 7, 9, 11, …
Знаменитую последовательность Фибоначчи, например, удобно задавать именно рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂.
Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
С помощью формулы. В таком случае записывается формула с переменной n, где n — это порядковый номер элемента. Формула помогает вычислить любой элемент, зная лишь его номер.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел удобно задать формулой: aₙ = n².
Одну и ту же последовательность можно задать разными способами. Например, последовательность чисел, делящихся на 5, можно задать:
Чаще всего исходные данные — последовательность, заданная поэлементно, и нам надо найти логику в этой последовательности, то есть — формулу. Формула помогает, например, находить следующие элементы или вычислять сумму элементов последовательности.
Позже мы ещё расскажем об известных последовательностях. А пока предлагаем прерваться на задачки.
Задачи
Мы зададим несколько последовательностей поэлементно. Попробуйте найти формулу для каждой из них.
1) 7, 13, 19, 25, …
2) 2, 7, 14, 23, 34, …
3) 5, 1, -1, -1, 1, 5, 11, …
Ваши ответы ждём в комментариях под
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍9❤5🐳3👨💻1👀1
Мемы в студенческом чате
Привет!
Студенческая жизнь у многих вызывает приятные воспоминания. Онлайн-курсы — не исключение! Например, на курсе «Математика для анализа данных» есть чудесное студенческое коммьюнити. Это чат в мессенджере, который создаёт куратор. В нём общаются студенты разных потоков: обсуждают задания, поддерживают друг друга, рассказывают о рабочих проектах, а иногда… просто делятся друг с другом мемами: математическими и айтишными. Кажется, чисто ради мемов стоит пойти учиться на курс 🙃
Спасибо студентам, которые разрешили публикацию сообщений: Владиславу Чумаченко, Алексею Сергейчуку и Алексею Витальевичу.
Всем смешных мемов и хороших выходных!
Привет!
Студенческая жизнь у многих вызывает приятные воспоминания. Онлайн-курсы — не исключение! Например, на курсе «Математика для анализа данных» есть чудесное студенческое коммьюнити. Это чат в мессенджере, который создаёт куратор. В нём общаются студенты разных потоков: обсуждают задания, поддерживают друг друга, рассказывают о рабочих проектах, а иногда… просто делятся друг с другом мемами: математическими и айтишными. Кажется, чисто ради мемов стоит пойти учиться на курс 🙃
Спасибо студентам, которые разрешили публикацию сообщений: Владиславу Чумаченко, Алексею Сергейчуку и Алексею Витальевичу.
Всем смешных мемов и хороших выходных!
😁22🥰5🦄5👍3🤣3🎉1
Математическое цветоводство
Привет! Сегодня предлагаем вам вспомнить геометрию с помощью такой задачки.
Для расчётов возьмите π≈3.14, ответ округлите до сотых.
Ваши решения и ответы ждём в комментариях подскрытым текстом.
Подсказка:литр — это кубический дециметр. Если перевести все единицы в дециметры, то ответ получится сразу в литрах.
Привет! Сегодня предлагаем вам вспомнить геометрию с помощью такой задачки.
Ирина растила фикус, и теперь его пора пересаживать. Когда она вынула растение с землёй из старого горшка, оказалось, что ком земли вокруг корней имеет вид шара c радиусом 10 см. Ирина планирует посадить фикус в новый горшок и засыпать свежей землёй до краёв. Новый горшок имеет форму цилиндра: высота 25 см, радиус основания 12 см.
1) Сколько литров свежей земли нужно Ирине?
2) Сколько пакетов земли нужно купить Ирине, если в одном пакете — 5 литров земли? Для расчётов возьмите π≈3.14, ответ округлите до сотых.
Ваши решения и ответы ждём в комментариях под
Подсказка:
🔥8👍6❤2
Решим вчерашнюю задачку о земле для пересадки растения.
Литр — это кубический дм, так что переведём все данные из см в дм:
10 см = 1 дм,
25 см = 2.5 дм,
12 см = 1.2 дм.
Ком земли имеет форму шара. Объём шара вычисляют по формуле:
V₁ = 4/3*π*r³.
Подставим наши данные:
V₁ ≈ 4/3*3.14*(1дм)³ ≈ 4.19 дм³, то есть 4.19 литров земли перейдёт в новый горшок.
Горшок имеет форму цилиндра, его объём:
V₂ = h*π*r².
Подставим числа:
V₂ ≈ 2.5дм*3.14*(1.2дм)² ≈ 11.30 дм³, то есть 11.3 литров — это объём нового горшка.
Значит, Ирине нужно 11.3 - 4.19 = 7.11 литра земли.
Если в одном пакете 5 литров, то Ире пригодятся 2 пакета.
Литр — это кубический дм, так что переведём все данные из см в дм:
10 см = 1 дм,
25 см = 2.5 дм,
12 см = 1.2 дм.
Ком земли имеет форму шара. Объём шара вычисляют по формуле:
V₁ = 4/3*π*r³.
Подставим наши данные:
V₁ ≈ 4/3*3.14*(1дм)³ ≈ 4.19 дм³, то есть 4.19 литров земли перейдёт в новый горшок.
Горшок имеет форму цилиндра, его объём:
V₂ = h*π*r².
Подставим числа:
V₂ ≈ 2.5дм*3.14*(1.2дм)² ≈ 11.30 дм³, то есть 11.3 литров — это объём нового горшка.
Значит, Ирине нужно 11.3 - 4.19 = 7.11 литра земли.
Если в одном пакете 5 литров, то Ире пригодятся 2 пакета.
👍9❤5
Пифагоровы тройки и комплексные числа
Если спросить у прохожего: «Какую теорему из математики вы знаете?», то кажется, первое, что придёт на ум практически любому человеку, — это теорема Пифагора. Та самая, про прямоугольный треугольник. Это очень прикладная теорема, прямой угол — это объект, который каждый день встречается нам в реальной жизни. Но ещё она интересна и с точки зрения алгебры.
Итак, есть тройка чисел a, b и с, которые связаны равенством: a²+b²=c².
В некоторых случаях эти числа — целые, причём все три!
Например, 3²+4²=5², 5²+12²=13².
Такие целые тройки настолько впечатлили математиков, что им даже дали особое название — пифагоровы тройки.
Найти пифагоровы тройки — увлекательная задача, а решить её помогают… комплексные числа! Да, те, которые основаны на квадратном корне из -1. Вспомнить основное про них можно в посте.
Комплексные числа могут казаться абстрактной сущностью, но помогают решать вполне прикладные и понятные задачи.
И, оказывается, комплексные числа помогают найти пифагоровы тройки! Как именно — смотрите в видео. В нём так красиво визуализируется происходящее, что даже если ничего не понятно — можно просто полюбоваться картинками.
Нам кажется, такие взаимосвязи делают математику захватывающей!
Приятного вам просмотра 🥰
Если спросить у прохожего: «Какую теорему из математики вы знаете?», то кажется, первое, что придёт на ум практически любому человеку, — это теорема Пифагора. Та самая, про прямоугольный треугольник. Это очень прикладная теорема, прямой угол — это объект, который каждый день встречается нам в реальной жизни. Но ещё она интересна и с точки зрения алгебры.
Итак, есть тройка чисел a, b и с, которые связаны равенством: a²+b²=c².
В некоторых случаях эти числа — целые, причём все три!
Например, 3²+4²=5², 5²+12²=13².
Такие целые тройки настолько впечатлили математиков, что им даже дали особое название — пифагоровы тройки.
Найти пифагоровы тройки — увлекательная задача, а решить её помогают… комплексные числа! Да, те, которые основаны на квадратном корне из -1. Вспомнить основное про них можно в посте.
Комплексные числа могут казаться абстрактной сущностью, но помогают решать вполне прикладные и понятные задачи.
И, оказывается, комплексные числа помогают найти пифагоровы тройки! Как именно — смотрите в видео. В нём так красиво визуализируется происходящее, что даже если ничего не понятно — можно просто полюбоваться картинками.
Нам кажется, такие взаимосвязи делают математику захватывающей!
Приятного вам просмотра 🥰
👍19❤🔥4❤2👏1
Привет!
Герои сегодняшней подборки — простые числа, то есть те, что длятся только на 1 и на себя.
Они простые с точки зрения математики, но не простые в общепринятом смысле! Несколько фактов⬇️
1) Доказано, что простых чисел — бесконечно много. Так что не существует самого вот прямо большого простого числа. Есть только самое большое, известное на сегодня, — это 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1 (уже найдено новое!). В нём более 24 миллионов цифр.
2) Найти простые числа (особенно большие) — непросто.
3) Простые числа применяются в сложных сферах — криптографии и шифровании.
Собрали для вас подборку с простыми и непростыми, но интересными фактами про простые числа и их применение:
▶️ Простые числа (определение, решето Эратосфена)
▶️ Как проверить число на простоту
▶️ Проблема Гольдбаха
▶️ Общий вид простого числа (загадка)
▶️ С какой вероятностью число — простое?
▶️ Формула для простых чисел
▶️ Малая теорема Ферма
▶️ Непростая задача про простые числа и её решение
▶️ Как простые числа помогают нам каждый день
Будет, чем заняться в выходные 😉
Герои сегодняшней подборки — простые числа, то есть те, что длятся только на 1 и на себя.
Они простые с точки зрения математики, но не простые в общепринятом смысле! Несколько фактов
1) Доказано, что простых чисел — бесконечно много. Так что не существует самого вот прямо большого простого числа. Есть только самое большое, известное на сегодня, — это 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1 (уже найдено новое!). В нём более 24 миллионов цифр.
2) Найти простые числа (особенно большие) — непросто.
3) Простые числа применяются в сложных сферах — криптографии и шифровании.
Собрали для вас подборку с простыми и непростыми, но интересными фактами про простые числа и их применение:
Будет, чем заняться в выходные 😉
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤14👍4
Сегодня мы принесли вам задачу про торт. Мы вообще любим задачки про еду. 😁 🍰
Решения и ответы ждём в комментариях подскрытым текстом.
В честь важного события в офис принесли торт. Артём и Полина съели по 10% от этого торта. Потом пришла Вика и сама не заметила, как съела 2/7 от того, что осталось. Несколько часов спустя Диана отрезала себе кусок, который составлял 6/11 от оставшейся части. А в конце рабочего дня Майя с аппетитом доела торт.
Кто съел больше всего торта и сколько примерно процентов от целого торта составлял этот кусок?Решения и ответы ждём в комментариях под
👍15🌭4
Привет!
Раскрываем секрет
Понедельнечная задача не просто так была про торт, и свечка на нём — не просто так в форме единички.
Это была такая настроенческая подводка к сегодняшнему празднику: cегодня у телеграм-канала «Практически математически» день рождения! 🎉
Немного сантиментов
Год назад мы опубликовали первый пост, и было много сомнений: будет ли нам о чём писать, будет ли кто-то это читать. А теперь здесь уютная математическая тусовка! Мы очень рады каждому подписчику. Вы любознательные, умные, отзывчивые и просто классные! Без вас и ваших реакций так здорово бы не получилось.
Спасибо вам ❤️
Если хотите нас поздравить
Не сдерживайте себя, нам будет очень приятно! Например, можете рассказать о нас своим знакомым — это замечательный подарок для телеграм-канала ;)
Ну и мы, конечно, всегда рады лайкам, комментариям и репостам.
Раскрываем секрет
Понедельнечная задача не просто так была про торт, и свечка на нём — не просто так в форме единички.
Это была такая настроенческая подводка к сегодняшнему празднику: cегодня у телеграм-канала «Практически математически» день рождения! 🎉
Немного сантиментов
Год назад мы опубликовали первый пост, и было много сомнений: будет ли нам о чём писать, будет ли кто-то это читать. А теперь здесь уютная математическая тусовка! Мы очень рады каждому подписчику. Вы любознательные, умные, отзывчивые и просто классные! Без вас и ваших реакций так здорово бы не получилось.
Спасибо вам ❤️
Если хотите нас поздравить
Не сдерживайте себя, нам будет очень приятно! Например, можете рассказать о нас своим знакомым — это замечательный подарок для телеграм-канала ;)
Ну и мы, конечно, всегда рады лайкам, комментариям и репостам.
🎉70❤26👍1🍓1
Недавно мы рассказывали про последовательности. Выделяют несколько видов последовательностей, у которых есть полезные свойства. Сегодня расскажем про арифметическую и геометрическую прогрессии.
У них два полезных свойства:
- можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый;
- можно быстро найти сумму любого количества первых элементов.
А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет!
Арифметическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число.
Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2.
Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2.
Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d.
В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть!
А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63.
Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них:
Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2.
Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста.
Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии:
1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024.
Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.
У них два полезных свойства:
- можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый;
- можно быстро найти сумму любого количества первых элементов.
А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет!
Арифметическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число.
Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2.
Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2.
Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d.
В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть!
А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63.
Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них:
Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2.
Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста.
Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии:
1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024.
Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.
👍12❤3
Геометрическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются в одно и то же число раз.
Например: 1, 2, 4, 8, 16, … — здесь каждое следующее больше предыдущего в 2 раза.
Такую последовательность тоже можно задать двумя числами: первым членом b₁ и знаменателем прогрессии q. В примере выше b₁=1 и q=2.
Другие элементы. Элемент с номером n можно найти по формуле bₙ = b₁*qⁿ⁻¹. В примере выше 4-й член равен: b₄ = 1*2³ = 8. А 12-й элемент получится b₁₂ = 1*2¹¹ = 2048.
Сумма первых n членов вычисляется по формуле: Sₙ = b₁(1-qⁿ)/(1-q). Например, сумма первых 12 членов нашей геометрической прогрессии будет равна
S₁₂ = 1*(1-2¹²) / (1-2) = 4095.
Прогрессии в жизни
Прогрессии часто встречаются нам в реальной жизни. Например:
- Большинство живых существ размножается в геометрической прогрессии.
- Страшное словосочетание «сложные банковские проценты» — это тоже геометрическая прогрессия.
- Литературный пример. Ямб и хорей — это два стихотворных размера, в каждом из которых ударение ставится на каждый второй слог. При этом, в ямбе номера ударных слогов — 2, 4, 6, 8, …, а в хорее — 1, 3, 5, 7, … — это арифметические прогрессии.
Напоследок — несколько задач
1. Пусть есть арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 3, а пятый равен 11. Посчитайте сумму первых десяти членов этой прогрессии.
2. Теперь возьмем геометрическую прогрессию. Пусть b₁=4 и q=-2. Чему равна сумма первых шести членов такой прогрессии? А чему равна сумма членов с пятого по десятый включительно?
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются в одно и то же число раз.
Например: 1, 2, 4, 8, 16, … — здесь каждое следующее больше предыдущего в 2 раза.
Такую последовательность тоже можно задать двумя числами: первым членом b₁ и знаменателем прогрессии q. В примере выше b₁=1 и q=2.
Другие элементы. Элемент с номером n можно найти по формуле bₙ = b₁*qⁿ⁻¹. В примере выше 4-й член равен: b₄ = 1*2³ = 8. А 12-й элемент получится b₁₂ = 1*2¹¹ = 2048.
Сумма первых n членов вычисляется по формуле: Sₙ = b₁(1-qⁿ)/(1-q). Например, сумма первых 12 членов нашей геометрической прогрессии будет равна
S₁₂ = 1*(1-2¹²) / (1-2) = 4095.
Прогрессии в жизни
Прогрессии часто встречаются нам в реальной жизни. Например:
- Большинство живых существ размножается в геометрической прогрессии.
- Страшное словосочетание «сложные банковские проценты» — это тоже геометрическая прогрессия.
- Литературный пример. Ямб и хорей — это два стихотворных размера, в каждом из которых ударение ставится на каждый второй слог. При этом, в ямбе номера ударных слогов — 2, 4, 6, 8, …, а в хорее — 1, 3, 5, 7, … — это арифметические прогрессии.
Напоследок — несколько задач
1. Пусть есть арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 3, а пятый равен 11. Посчитайте сумму первых десяти членов этой прогрессии.
2. Теперь возьмем геометрическую прогрессию. Пусть b₁=4 и q=-2. Чему равна сумма первых шести членов такой прогрессии? А чему равна сумма членов с пятого по десятый включительно?
👍14❤5👏1
Узнайте, какая профессия вам подходит, и получите скидку на обучение
«Почему вы работаете в этой профессии?» На этот вопрос люди отвечают по-разному. Один пошёл туда, где казалось престижнее. Второй последовал настойчивому совету родителей. Третий пошёл за компанию с другом. Четвёртый родился в семье потомственных врачей, и тут всё понятно.
А что насчёт собственных желаний и способностей? Разобраться в них бывает ох как непросто.
Упорядочить мысли и понять, на что стоит обратить внимание, помогают профориентационные тесты. Да, их проходят не только подростки, но и люди с опытом работы.
Предлагаем пройти бесплатный тест, который разработан методистами Практикума и МГУ. В результате вы получите отчёт с анализом профессиональных интересов и рекомендации по выбору профессий.
Попробовать себя в новой профессии можно в бесплатной части подходящего курса в Яндекс Практикуме. До конца ноября в честь Чёрной Пятницы действует скидка 20% на все курсы, в том числе на курсы направления анализа данных:
📌 «Математика для анализа данных»,
📌 «Аналитик данных»,
📌 «Специалист по Data Science».
В комментариях можно поделиться своими результатами теста и тем, что вы о них думаете. 😁
«Почему вы работаете в этой профессии?» На этот вопрос люди отвечают по-разному. Один пошёл туда, где казалось престижнее. Второй последовал настойчивому совету родителей. Третий пошёл за компанию с другом. Четвёртый родился в семье потомственных врачей, и тут всё понятно.
А что насчёт собственных желаний и способностей? Разобраться в них бывает ох как непросто.
Упорядочить мысли и понять, на что стоит обратить внимание, помогают профориентационные тесты. Да, их проходят не только подростки, но и люди с опытом работы.
Предлагаем пройти бесплатный тест, который разработан методистами Практикума и МГУ. В результате вы получите отчёт с анализом профессиональных интересов и рекомендации по выбору профессий.
Попробовать себя в новой профессии можно в бесплатной части подходящего курса в Яндекс Практикуме. До конца ноября в честь Чёрной Пятницы действует скидка 20% на все курсы, в том числе на курсы направления анализа данных:
В комментариях можно поделиться своими результатами теста и тем, что вы о них думаете. 😁
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤6🥰2