Троичная логика

Недавно мы писали про двоичную логику. Она изучает высказывания, которые могут быть истинны или ложны. Можно сказать, что мы отвечаем на вопрос, выбирая из двух вариантов: истина или ложь, да или нет, жарко или холодно, положительно или отрицательно.

Но подождите… Бывает же «ну не то чтобы жарко, но и не холодно». Или, например, число 0 — оно ни положительно, ни отрицательно.
Вот такое дополнительное состояние учитывает троичная логика. Оно бывает неопределённым или просто промежуточным. Такая концепция — это расширение двоичной логики, которая рассматривает три состояния вместо двух.

Ещё примеры троичной логики в жизни: состояние дел (плохо, ок, отлично), наполненность стакана (пуст, частично заполнен, полон) и т. д.

Троичная логика работает почти так же, как и двоичная. Три состояния можно определить, например, так: ложь — это -1, истина — это 1, неопределённость — 0.

В троичной логике можно ввести привычные операции логического «и», логического «или» и логического «не». Таблицы истинности будут иметь больший размер, смотрите картинку к следующему посту.

Запомнить таблицы можно так:
💘 результат конъюнкции («и») равен наименьшему из аргументов,
💘результат дизъюнкции («или») равен наибольшему из них.
Это верно и для двоичной логики, но для сложных троичных таблиц правило прямо выручает.

Например, для конъюнкции: Что можно сказать про истинность высказывания «Завтра Новый год и все наши подписчики любят пельмени»? Первая часть — ложна (-1), ведь сейчас октябрь, а вторая — неизвестно (0). Значит, фраза целиком ложна (-1).

Для дизъюнкции: «Сейчас октябрь или все наши подписчики любят пельмени». Первая часть истинна (+1), вторая — неизвестно (0), значит, вся фраза целиком истинна (+1).

Продолжение ⬇️

Начало ⬆️

Зачем нужна троичная логика?

Информация хранится эффективнее. Сейчас компьютеры основаны на двоичной логике: каждый бит имеет два состояния — 0 или 1. В каждом байте 8 бит, значит, один байт может хранить 2⁸ чисел.
Когда мы вводим третье состояние, в тех же 8 ячейках получится уже 3⁸ чисел!
Было доказано, что эффективность маскимальна, когда используется система счисления из е чисел. Это невозможно, ведь е — не целое, но 3 ближе к 2.7, чем 2. 😁

Повышается надёжность системы. Тот же объём информации можно хранить на меньшем количестве элементов. Значит, вероятность ошибок и поломок меньше, и надёжность системы с троичной логикой выше.

Увеличивается эффективность процессора. Троичная логика сокращает количество операций. Например, есть задача — сравнить A и B, то есть определить, A<B, A=B или A>B. В двоичной логике нам нужно сделать две проверки: сначала сравнить, не равны ли A и B, и если нет, то определить, что из них больше. В троичной логике всё это делается в одно действие.

Для других алгоритмов тоже можно найти более эффективные способы реализации. Например, сложение двух чисел — одна из основных операций процессора — в троичной логике выполняется примерно в полтора раза быстрее, а информация кодируется и передаётся на 15% эффективнее.

Сохраняется совместимость. Компьютер, работающий на троичной логике, совместим с компьютерами, которые работают на двоичной.

Так почему же человечество до сих пор не перешло на троичные компьютеры?
Дело в том, что сейчас производства заточены под создание компонентов для двоичного компьютера, а производство троичного компьютера сложнее и дороже.
К тому же, двоичная логика привычна. Переход на троичную — это не только другие транзисторы, это пересмотр алгоритмов и даже языков программирования. Такой переход требует много времени и — конечно, мотивации.

Возможно, главная причина в том, что пока нам хватает эффективности существующих устройств. Так что пока остаёмся с привычными компьютерами, но очень ждём появления новых!

Математические обнимашки

В математике есть интересная область, которая называется теория узлов (knot theory). Изучает она, собственно, узлы. 🥨
Эта теория широко применяется, например, в биологии и химии, у нас с вами ещё будет о ней серьёзный разговор. Но сегодня мы просто хотели показать вам видосик о внезапном приложении математики к жизни, а именно — о связи между узлами и обнимашками.

В качестве задачи на сегодня предлагаем вам приобщиться к науке и пойти обнять близкого вам человека математически интересным образом. ⭐️

Давненько у нас не было задачек! Исправляемся и несём кофейную. ☕️

Карина отправилась в долгожданное путешествие, её план — посетить 10 стран подряд. Первым делом после приземления она покупает свой любимый карамельный латте. В пересчёте на рубли, в первой стране он стоил 250 рублей. Во второй стране стоимость латте оказалась выше — 310 рублей, а в третьей — уже 370. «Что-то не нравится мне эта закономерность…», — возмущается Карина.

1) Сколько будет стоить карамельный латте в последней стране из её списка, если закономерность сохранится?
2) Сколько денег потратит Карина на все приветственные карамельные латте вместе взятые?

Решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.

Разберём вчерашнюю задачку про приветственные карамельные латте. ☕️

В первой стране кофе стоил 250 рублей, во второй — 310 рублей, а в третьей 370.
В последовательности 250, 310, 370 разница между соседними числами одинаковая:
310 - 250 = 370 - 310 = 60.
Такая последовательность является арифметической прогрессией.
Для неё всё можно посчитать через первый член a₁ и шаг d (часто он называется разность прогрессии). Здесь a₁ = 250 и d = 60.

1) Тогда a₁₀ = a₁ + 9d = 250 + 9*60 = 790 рублей.
Надеемся, что за такую цену кофе хотя бы будет вкусным! 😅

2) Здесь нужно было найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Это можно сделать по формуле: S₁₀ = 0.5(a₁ + a₁₀)*n = 0.5(250 + 790)*10 = 5200 рублей. Столько денег потратит Карина на приветственные латте.

И напоследок — абсолютно нематематический вопрос: какой самый дорогой кофе покупали вы и где это было?

Отрицательный дискриминант — не приговор

В школе нас учат: если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней. Это верно с поправкой в одно слово: не имеет действительных корней. Зато имеет другие корни — комплексные. Разберёмся, что это такое.

Сначала вспомним, что такое действительные числа. Это любые числа, которые можно представить в виде a.b — то есть они имеют целую часть и дробную (конечную или бесконечную).

Комплексные числа
Введём новый объект — квадратный корень из числа -1, обозначается i. Это значит, что i²=-1. Такого числа не существует среди действительных, поэтому для него и придумали специальное обозначение.
Число i позволяет извлекать корни из любых отрицательных чисел. Используем обычные свойства корней, например: √(-4)=√4*√(-1)=2i.

Все числа вида a+b*i, где a и b — действительные, называют комплексными. Например, 1+i, -2i, 3-0.5*i и так далее.
При этом никто не запрещает сделать b=0 и оставить только a. Так что множество действительных чисел — это подмножество комплексных. И все привычные числа вроде 5, -7.9, π и т. д. — тоже комплексные.

Первым известным исследователем комплексных чисел был Джероламо Кардано, ещё в 16 веке!

Части комплексного числа
Комплексное число состоит из двух частей: действительной и мнимой. Например, у числа 2+3*i части такие: 2 — действительная, 3 — мнимая.
В англоязычной терминологии эти части называют real и imaginary, что можно перевести как «реальная» и «воображаемая». Это служит предметом для математических каламбуров про воображаемых-мнимых друзей. 😄
Например, как на комиксе ниже.

Продолжение ⭐️

Начало ⭐️

Действия с комплексными числами
При сложении и умножении комплексные числа ведут себя как многочлены. Например, сложим 2+3i и 1-2i, получим: 2+3i+1-2i = 3+i.
Теперь умножим: (2+3i)*(1-2i) = 2-4i+3i-6*i² = 2-i+6 = 8-i. Здесь мы использовали тот факт, что i²=-1.
И напоследок разберёмся с квадратным уравнением.

Корни уравнения с отрицательным дискриминантом
У квадратного уравнения x²-6x+34=0 дискриминант отрицательный: D=6²-4*1*34=-100.

Теперь нам это не мешает, просто найдём корни уравнения по обычной формуле: x = (-b ± √D) / 2a. Получим:
x₁=(6+10i) / 2 = 3+5i,
x₂=(6-10i) / 2 = 3-5i.
Вот и два корня уравнения с отрицательным дискриминантом!

Кое-что ещё
Сейчас комплексные числа прочно лежат в основах математики: часто задачу, которую очень сложно или невозможно решить «в лоб» получается изящно посчитать, выйдя в комплексную плоскость. Комплексные числа также применяются в картографии, авиа- и ракетостроении, гидродинамике, квантовой механике и других областях науки.
А ещё с их помощью можно рисовать красивые картинки! ⭐️

Математика, которая помогает вам каждый день (а вы, возможно, и не догадываетесь)

Признаемся честно: есть вопрос, от которого у всех математиков дёргается глаз. И вопрос этот: «Ой, да зачем вообще нужна ваша математика? Мне вот она после школы так и не пригодилась». И мы верим, что часто это правда.
Большинство математиков — это увлечённые теоретики, им не так важно, будет ли у изучаемых ими объектов практическое приложение. Так что в математике действительно полно абстрактных теоретических концепций.

Но поверьте, есть в математике кое-что, что помогает делать лучше и безопаснее каждый ваш день. И это… простые числа. Да-да, те самые, которые делятся только на 1 и на себя.

Дело было так. В 17 веке Пьер Ферма сформулировал свою малую теорему, там как раз про простые числа. Это красивая, элегантная и удивительная теорема. Триста лет ею восхищались только математики. А потом в 1970-х годах на её основе криптографы создали алгоритмы шифрования. И понеслось! Сейчас они защищают электронные письма, банковские транзакции и вообще любую информацию, которой мы пользуемся каждый день.
Вряд ли Пьер Ферма мог предположить, что его теорема станет такой полезной на практике, но жизнь математических абстракций бывает непредсказуемой.

Чтобы узнать больше об алгоритмах шифрования, предлагаем посмотреть видео:
⭐️ коротенькое о сути шифрования с открытым, или ассиметричным, ключом;
⭐️ подлиннее — здесь весь алгоритм разобран по шагам, и становится понятно, при чём тут простые числа;
⭐️ для математических гурманов — тут во второй половине можно подсмотреть ещё примеры применения алгоритма вручную и попробовать свои силы.

И пусть вся ваша информация всегда будет надёжно зашифрована! ❤️

Последовательности

Последовательность в математике — это набор чисел, за каждым из которых закреплено конкретное место. Формально это звучит так: последовательность — это упорядоченный набор чисел.
Например: 1, 2, 4, 8, … — последовательность, в которой каждый следующий элемент в 2 раза больше предыдущего.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, 3, 6, 9 — конечная последовательность из трёх элементов. А если ставим многоточие в конце, то это значит, что последовательность бесконечная и будет продолжаться дальше по тому же правилу:
3, 6, 9, ….

Как задают последовательности
Есть несколько способов: поэлементно, рекуррентно и с помощью формулы.

Поэлементно. На каждое место мы ставим конкретный элемент и заранее проговариваем, какой именно.
Например: a₁ = 2, a₂ = 4321, a₃ = 15 — это последовательность из трёх чисел, заданная поэлементно. Её также можно задать просто перечислением: 2, 4321, 15.

Рекуррентно. Мы задаём один или несколько первых элементов и указываем формулу, с помощью которой можно вычислить любой элемент, зная предыдущие.
Например, a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 2. Получаем последовательность:
3, 5, 7, 9, 11, …
Знаменитую последовательность Фибоначчи, например, удобно задавать именно рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂.
Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….

С помощью формулы. В таком случае записывается формула с переменной n, где n — это порядковый номер элемента. Формула помогает вычислить любой элемент, зная лишь его номер.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел удобно задать формулой: aₙ = n².

Одну и ту же последовательность можно задать разными способами. Например, последовательность чисел, делящихся на 5, можно задать:
➡️поэлементно: 5, 10, 15, 20, 25, …
➡️рекуррентно: a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 5
➡️с помощью формулы: aₙ = 5n.

Чаще всего исходные данные — последовательность, заданная поэлементно, и нам надо найти логику в этой последовательности, то есть — формулу. Формула помогает, например, находить следующие элементы или вычислять сумму элементов последовательности.
Позже мы ещё расскажем об известных последовательностях. А пока предлагаем прерваться на задачки.

Задачи
Мы зададим несколько последовательностей поэлементно. Попробуйте найти формулу для каждой из них.
1) 7, 13, 19, 25, …
2) 2, 7, 14, 23, 34, …
3) 5, 1, -1, -1, 1, 5, 11, …

Ваши ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.