Где искать корректные ответы на математические вопросы
Можно много говорить о том, что самая правильная теория — в академических учебниках. Но реальность такова, что на многие вопросы хочется получить быстрый ответ, а интернет — всегда под рукой.
Бывает, материалы на сайтах сомнительны: можно наткнуться на некорректную аналогию или неправильное решение задачи. Как пример — посмотрите иллюстрацию к посту: ChatGPT отвечает на вопрос про алгебраическое число, но потом передумывает.
Собрали для вас подборку сайтов, на которых вы найдёте корректные ответы на математические вопросы.
https://www.wolframalpha.com — калькулятор чего угодно: перевод единиц измерения, построение графиков, вычисление производных, статистические расчёты и т.д. Всё точно и с понятным интерфейсом.
https://math.stackexchange.com/ — форум, где задают вопросы и получают ответы от настоящих математических экспертов! По количеству голосов можно оценить достоверность ответа. Можно задать свой вопрос или использовать поиск по уже заданным.
https://ru.wikipedia.org/— наш опыт показывает, что в математических вопросах википедии можно верить. Английская википедия подробнее русской.
mccme.ru — русскоязычный сайт с огромной коллекцией ссылок и материалов по разным разделам математики, условно: от 5 класса школы и дальше. Можно почитать электронные версии книг, найти подробные статьи и даже занимательные математические факты. Ещё здесь можно потренироваться решать задачи, а затем свериться с готовыми решениями.
mathnet.ru — сайт с современными публикациями по математике и смежным наукам. Здесь много академических статей, так что ресурс подойдёт, скорее, математически подкованным специалистам.
Ну и конечно бесплатный тренажёр по математике и курс «Математика для анализа данных» от Яндекс Практикума — здесь собрана необходимая база для специалистов в анализе данных и Data Science. Курс постоянно дополняется, материалы остаются с вами навсегда.
А какие ресурсы помогают вам найти ответы на математические вопросы?
Можно много говорить о том, что самая правильная теория — в академических учебниках. Но реальность такова, что на многие вопросы хочется получить быстрый ответ, а интернет — всегда под рукой.
Бывает, материалы на сайтах сомнительны: можно наткнуться на некорректную аналогию или неправильное решение задачи. Как пример — посмотрите иллюстрацию к посту: ChatGPT отвечает на вопрос про алгебраическое число, но потом передумывает.
Собрали для вас подборку сайтов, на которых вы найдёте корректные ответы на математические вопросы.
https://www.wolframalpha.com — калькулятор чего угодно: перевод единиц измерения, построение графиков, вычисление производных, статистические расчёты и т.д. Всё точно и с понятным интерфейсом.
https://math.stackexchange.com/ — форум, где задают вопросы и получают ответы от настоящих математических экспертов! По количеству голосов можно оценить достоверность ответа. Можно задать свой вопрос или использовать поиск по уже заданным.
https://ru.wikipedia.org/— наш опыт показывает, что в математических вопросах википедии можно верить. Английская википедия подробнее русской.
mccme.ru — русскоязычный сайт с огромной коллекцией ссылок и материалов по разным разделам математики, условно: от 5 класса школы и дальше. Можно почитать электронные версии книг, найти подробные статьи и даже занимательные математические факты. Ещё здесь можно потренироваться решать задачи, а затем свериться с готовыми решениями.
mathnet.ru — сайт с современными публикациями по математике и смежным наукам. Здесь много академических статей, так что ресурс подойдёт, скорее, математически подкованным специалистам.
Ну и конечно бесплатный тренажёр по математике и курс «Математика для анализа данных» от Яндекс Практикума — здесь собрана необходимая база для специалистов в анализе данных и Data Science. Курс постоянно дополняется, материалы остаются с вами навсегда.
А какие ресурсы помогают вам найти ответы на математические вопросы?
👏21👍10🔥3💘3🥰1🏆1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Привет!
Мы давно хотели попробовать видеоформат, и вот реализуем. 📹
Ловите видео про фракталы, границы государств и береговые линии.
Если нравится такой формат — ставьте лайки и пишите комментарии, будем делать ещё! 🥰
А вот пост про фракталы, который упоминаем в видео.
Мы давно хотели попробовать видеоформат, и вот реализуем. 📹
Ловите видео про фракталы, границы государств и береговые линии.
Если нравится такой формат — ставьте лайки и пишите комментарии, будем делать ещё! 🥰
А вот пост про фракталы, который упоминаем в видео.
❤62👍18🔥15👎3
Как векторы помогают находить похожие данные
В недавнем посте про векторы мы уже упоминали вот такую формулу из школьной программы:
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b), где |a|, |b| — это длины векторов.
Вообще она помогает вычислить скалярное произведение, но чаще её используют для другого. Из неё можно выразить косинус, получится:
cos∠(a, b) = a*b / (|a|*|b|).
Скалярное произведение и длины можно вычислить, зная только координаты. Получается, что можно без чертежа,регистрации и смс, из одних только числовых данных вдруг получить косинус угла между векторами, то есть вполне себе геометрическую характеристику.
Пример вычисления косинусного сходства для разных векторов ловите в комментах 👇
⬇️
В недавнем посте про векторы мы уже упоминали вот такую формулу из школьной программы:
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b), где |a|, |b| — это длины векторов.
Вообще она помогает вычислить скалярное произведение, но чаще её используют для другого. Из неё можно выразить косинус, получится:
cos∠(a, b) = a*b / (|a|*|b|).
Скалярное произведение и длины можно вычислить, зная только координаты. Получается, что можно без чертежа,
Пример вычисления косинусного сходства для разных векторов ловите в комментах 👇
⬇️
❤11👍8🔥2
⬆️
Для чего нам нужен этот косинус?
По косинусу можно найти сам угол. А по углу можно определить, насколько близки векторы друг к другу: угол маленький — близки, угол большой — далеки.
В анализе данных есть понятие косинусного сходства (это по сути просто косинус). Для углов от 0° до 180° чем меньше угол, тем больше косинус. Значит, чем больше косинус, тем больше векторы схожи. Сходство максимально, когда векторы сонаправлены, и минимально, когда направлены противоположно.
Где всё это применяют?
Классический пример применения косинусного сходства — анализ текстов, заголовков статей и новостей. Каждый заголовок — это вектор. Вычисляем косинус и понимаем, какие новости говорят о чём-то похожем, а какие — о разном. Это помогает избежать дублирования новостей на агрегаторах и относить статью в подходящую рубрику.
Другой пример. Каждый автомобиль можно описать вектором его характеристик: год выпуска, пробег, тип кузова, тип двигателя, привод, мощность, количество мест и т.д. Косинусное сходство поможет усмирить разнообразие характеристик и подскажет, какие автомобили похожи.
И напоследок — пельмешки! Представьте, что математик зашёл в магазин и не обнаружил любимых пельмешек. Какие другие пельмени ему выбрать? Можно описать каждый вид пельменей вектором — например, по количеству калорий, белков, жиров и углеводов. Косинус между векторами поможет математику найти пельмени, наиболее похожие по пищевой ценности на его любимые! 🥰
Для чего нам нужен этот косинус?
По косинусу можно найти сам угол. А по углу можно определить, насколько близки векторы друг к другу: угол маленький — близки, угол большой — далеки.
В анализе данных есть понятие косинусного сходства (это по сути просто косинус). Для углов от 0° до 180° чем меньше угол, тем больше косинус. Значит, чем больше косинус, тем больше векторы схожи. Сходство максимально, когда векторы сонаправлены, и минимально, когда направлены противоположно.
Где всё это применяют?
Классический пример применения косинусного сходства — анализ текстов, заголовков статей и новостей. Каждый заголовок — это вектор. Вычисляем косинус и понимаем, какие новости говорят о чём-то похожем, а какие — о разном. Это помогает избежать дублирования новостей на агрегаторах и относить статью в подходящую рубрику.
Другой пример. Каждый автомобиль можно описать вектором его характеристик: год выпуска, пробег, тип кузова, тип двигателя, привод, мощность, количество мест и т.д. Косинусное сходство поможет усмирить разнообразие характеристик и подскажет, какие автомобили похожи.
И напоследок — пельмешки! Представьте, что математик зашёл в магазин и не обнаружил любимых пельмешек. Какие другие пельмени ему выбрать? Можно описать каждый вид пельменей вектором — например, по количеству калорий, белков, жиров и углеводов. Косинус между векторами поможет математику найти пельмени, наиболее похожие по пищевой ценности на его любимые! 🥰
👍19🔥7👏3❤1
Мы уверены, многим знакома визуализация множеств с помощью кругов.
Этот способ изображения множеств первым начал использовать математик Леонард Эйлер. Такие круговые диаграммы помогают решать задачи теории множеств, логики, теории вероятностей и других разделов математики.
Визуализация настолько проста и наглядна, что давно вышла за пределы математики, её используют повсеместно.
И в честь пятницы мы предлагаем вместе посмеяться над самыми потешными диаграммами.
Ловите нашу подборку и делитесь в комментариях вашими любимчиками.😁
Этот способ изображения множеств первым начал использовать математик Леонард Эйлер. Такие круговые диаграммы помогают решать задачи теории множеств, логики, теории вероятностей и других разделов математики.
Визуализация настолько проста и наглядна, что давно вышла за пределы математики, её используют повсеместно.
И в честь пятницы мы предлагаем вместе посмеяться над самыми потешными диаграммами.
Ловите нашу подборку и делитесь в комментариях вашими любимчиками.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁28🔥11🤣4👍2🤔1
Кто такой этот ваш факториал
Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?
Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.
Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.
Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.
Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.
С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.
А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?
Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?
Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.
Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.
Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.
Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.
С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.
А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?
❤24🔥8👍4🍾1
Вы делаете дела всегда в одном порядке или экспериментируете?
Anonymous Poll
20%
У меня всё чётко, рутину менять нельзя
12%
Каждый день должен быть уникальным!
54%
Как получится, не принципиально
14%
Я просто люблю факториалы и хочу посмотреть ответы
👍2
Троичная логика
Недавно мы писали про двоичную логику. Она изучает высказывания, которые могут быть истинны или ложны. Можно сказать, что мы отвечаем на вопрос, выбирая из двух вариантов: истина или ложь, да или нет, жарко или холодно, положительно или отрицательно.
Но подождите… Бывает же «ну не то чтобы жарко, но и не холодно». Или, например, число 0 — оно ни положительно, ни отрицательно.
Вот такое дополнительное состояние учитывает троичная логика. Оно бывает неопределённым или просто промежуточным. Такая концепция — это расширение двоичной логики, которая рассматривает три состояния вместо двух.
Ещё примеры троичной логики в жизни: состояние дел (плохо, ок, отлично), наполненность стакана (пуст, частично заполнен, полон) и т. д.
Троичная логика работает почти так же, как и двоичная. Три состояния можно определить, например, так: ложь — это -1, истина — это 1, неопределённость — 0.
В троичной логике можно ввести привычные операции логического «и», логического «или» и логического «не». Таблицы истинности будут иметь больший размер, смотрите картинку к следующему посту.
Запомнить таблицы можно так:
💘 результат конъюнкции («и») равен наименьшему из аргументов,
💘 результат дизъюнкции («или») равен наибольшему из них.
Это верно и для двоичной логики, но для сложных троичных таблиц правило прямо выручает.
Например, для конъюнкции: Что можно сказать про истинность высказывания «Завтра Новый год и все наши подписчики любят пельмени»? Первая часть — ложна (-1), ведь сейчас октябрь, а вторая — неизвестно (0). Значит, фраза целиком ложна (-1).
Для дизъюнкции: «Сейчас октябрь или все наши подписчики любят пельмени». Первая часть истинна (+1), вторая — неизвестно (0), значит, вся фраза целиком истинна (+1).
Продолжение⬇️
Недавно мы писали про двоичную логику. Она изучает высказывания, которые могут быть истинны или ложны. Можно сказать, что мы отвечаем на вопрос, выбирая из двух вариантов: истина или ложь, да или нет, жарко или холодно, положительно или отрицательно.
Но подождите… Бывает же «ну не то чтобы жарко, но и не холодно». Или, например, число 0 — оно ни положительно, ни отрицательно.
Вот такое дополнительное состояние учитывает троичная логика. Оно бывает неопределённым или просто промежуточным. Такая концепция — это расширение двоичной логики, которая рассматривает три состояния вместо двух.
Ещё примеры троичной логики в жизни: состояние дел (плохо, ок, отлично), наполненность стакана (пуст, частично заполнен, полон) и т. д.
Троичная логика работает почти так же, как и двоичная. Три состояния можно определить, например, так: ложь — это -1, истина — это 1, неопределённость — 0.
В троичной логике можно ввести привычные операции логического «и», логического «или» и логического «не». Таблицы истинности будут иметь больший размер, смотрите картинку к следующему посту.
Запомнить таблицы можно так:
Это верно и для двоичной логики, но для сложных троичных таблиц правило прямо выручает.
Например, для конъюнкции: Что можно сказать про истинность высказывания «Завтра Новый год и все наши подписчики любят пельмени»? Первая часть — ложна (-1), ведь сейчас октябрь, а вторая — неизвестно (0). Значит, фраза целиком ложна (-1).
Для дизъюнкции: «Сейчас октябрь или все наши подписчики любят пельмени». Первая часть истинна (+1), вторая — неизвестно (0), значит, вся фраза целиком истинна (+1).
Продолжение
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍13❤3🔥3
Начало ⬆️
Зачем нужна троичная логика?
Информация хранится эффективнее. Сейчас компьютеры основаны на двоичной логике: каждый бит имеет два состояния — 0 или 1. В каждом байте 8 бит, значит, один байт может хранить 2⁸ чисел.
Когда мы вводим третье состояние, в тех же 8 ячейках получится уже 3⁸ чисел!
Было доказано, что эффективность маскимальна, когда используется система счисления из е чисел. Это невозможно, ведь е — не целое, но 3 ближе к 2.7, чем 2. 😁
Повышается надёжность системы. Тот же объём информации можно хранить на меньшем количестве элементов. Значит, вероятность ошибок и поломок меньше, и надёжность системы с троичной логикой выше.
Увеличивается эффективность процессора. Троичная логика сокращает количество операций. Например, есть задача — сравнить A и B, то есть определить, A<B, A=B или A>B. В двоичной логике нам нужно сделать две проверки: сначала сравнить, не равны ли A и B, и если нет, то определить, что из них больше. В троичной логике всё это делается в одно действие.
Для других алгоритмов тоже можно найти более эффективные способы реализации. Например, сложение двух чисел — одна из основных операций процессора — в троичной логике выполняется примерно в полтора раза быстрее, а информация кодируется и передаётся на 15% эффективнее.
Сохраняется совместимость. Компьютер, работающий на троичной логике, совместим с компьютерами, которые работают на двоичной.
Так почему же человечество до сих пор не перешло на троичные компьютеры?
Дело в том, что сейчас производства заточены под создание компонентов для двоичного компьютера, а производство троичного компьютера сложнее и дороже.
К тому же, двоичная логика привычна. Переход на троичную — это не только другие транзисторы, это пересмотр алгоритмов и даже языков программирования. Такой переход требует много времени и — конечно, мотивации.
Возможно, главная причина в том, что пока нам хватает эффективности существующих устройств. Так что пока остаёмся с привычными компьютерами, но очень ждём появления новых!
Зачем нужна троичная логика?
Информация хранится эффективнее. Сейчас компьютеры основаны на двоичной логике: каждый бит имеет два состояния — 0 или 1. В каждом байте 8 бит, значит, один байт может хранить 2⁸ чисел.
Когда мы вводим третье состояние, в тех же 8 ячейках получится уже 3⁸ чисел!
Было доказано, что эффективность маскимальна, когда используется система счисления из е чисел. Это невозможно, ведь е — не целое, но 3 ближе к 2.7, чем 2. 😁
Повышается надёжность системы. Тот же объём информации можно хранить на меньшем количестве элементов. Значит, вероятность ошибок и поломок меньше, и надёжность системы с троичной логикой выше.
Увеличивается эффективность процессора. Троичная логика сокращает количество операций. Например, есть задача — сравнить A и B, то есть определить, A<B, A=B или A>B. В двоичной логике нам нужно сделать две проверки: сначала сравнить, не равны ли A и B, и если нет, то определить, что из них больше. В троичной логике всё это делается в одно действие.
Для других алгоритмов тоже можно найти более эффективные способы реализации. Например, сложение двух чисел — одна из основных операций процессора — в троичной логике выполняется примерно в полтора раза быстрее, а информация кодируется и передаётся на 15% эффективнее.
Сохраняется совместимость. Компьютер, работающий на троичной логике, совместим с компьютерами, которые работают на двоичной.
Так почему же человечество до сих пор не перешло на троичные компьютеры?
Дело в том, что сейчас производства заточены под создание компонентов для двоичного компьютера, а производство троичного компьютера сложнее и дороже.
К тому же, двоичная логика привычна. Переход на троичную — это не только другие транзисторы, это пересмотр алгоритмов и даже языков программирования. Такой переход требует много времени и — конечно, мотивации.
Возможно, главная причина в том, что пока нам хватает эффективности существующих устройств. Так что пока остаёмся с привычными компьютерами, но очень ждём появления новых!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👏20🎉5🔥2❤1
Математические обнимашки
В математике есть интересная область, которая называется теория узлов (knot theory). Изучает она, собственно, узлы. 🥨
Эта теория широко применяется, например, в биологии и химии, у нас с вами ещё будет о ней серьёзный разговор. Но сегодня мы просто хотели показать вам видосик о внезапном приложении математики к жизни, а именно — о связи между узлами и обнимашками.
В качестве задачи на сегодня предлагаем вам приобщиться к науке и пойти обнять близкого вам человека математически интересным образом.⭐️
В математике есть интересная область, которая называется теория узлов (knot theory). Изучает она, собственно, узлы. 🥨
Эта теория широко применяется, например, в биологии и химии, у нас с вами ещё будет о ней серьёзный разговор. Но сегодня мы просто хотели показать вам видосик о внезапном приложении математики к жизни, а именно — о связи между узлами и обнимашками.
В качестве задачи на сегодня предлагаем вам приобщиться к науке и пойти обнять близкого вам человека математически интересным образом.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
YouTube
Mathematical Hugs (and Chiral Knots) - Numberphile
Extra footage at: https://youtu.be/ue9LHv4XXBQ - Featuring Ayliean MacDonald.
More links & stuff in full description below ↓↓↓
More about Ayliean MacDonald: https://linktr.ee/Ayliean
Ayliean videos on Numberphile: https://bit.ly/Ayliean_Playlist
Knots…
More links & stuff in full description below ↓↓↓
More about Ayliean MacDonald: https://linktr.ee/Ayliean
Ayliean videos on Numberphile: https://bit.ly/Ayliean_Playlist
Knots…
❤13🥰6👍3🤗2
Давненько у нас не было задачек! Исправляемся и несём кофейную. ☕️
Решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях подскрытым текстом .
Карина отправилась в долгожданное путешествие, её план — посетить 10 стран подряд. Первым делом после приземления она покупает свой любимый карамельный латте. В пересчёте на рубли, в первой стране он стоил 250 рублей. Во второй стране стоимость латте оказалась выше — 310 рублей, а в третьей — уже 370. «Что-то не нравится мне эта закономерность…», — возмущается Карина.
1) Сколько будет стоить карамельный латте в последней стране из её списка, если закономерность сохранится?
2) Сколько денег потратит Карина на все приветственные карамельные латте вместе взятые?Решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях под
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍13✍4❤1❤🔥1👏1😍1
Разберём вчерашнюю задачку про приветственные карамельные латте. ☕️
В первой стране кофе стоил 250 рублей, во второй — 310 рублей, а в третьей 370.
В последовательности 250, 310, 370 разница между соседними числами одинаковая:
310 - 250 = 370 - 310 = 60.
Такая последовательность является арифметической прогрессией.
Для неё всё можно посчитать через первый член a₁ и шаг d (часто он называется разность прогрессии). Здесь a₁ = 250 и d = 60.
1) Тогда a₁₀ = a₁ + 9d = 250 + 9*60 = 790 рублей.
Надеемся, что за такую цену кофе хотя бы будет вкусным! 😅
2) Здесь нужно было найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Это можно сделать по формуле: S₁₀ = 0.5(a₁ + a₁₀)*n = 0.5(250 + 790)*10 = 5200 рублей. Столько денег потратит Карина на приветственные латте.
И напоследок — абсолютно нематематический вопрос: какой самый дорогой кофе покупали вы и где это было?
В первой стране кофе стоил 250 рублей, во второй — 310 рублей, а в третьей 370.
В последовательности 250, 310, 370 разница между соседними числами одинаковая:
310 - 250 = 370 - 310 = 60.
Такая последовательность является арифметической прогрессией.
Для неё всё можно посчитать через первый член a₁ и шаг d (часто он называется разность прогрессии). Здесь a₁ = 250 и d = 60.
1) Тогда a₁₀ = a₁ + 9d = 250 + 9*60 = 790 рублей.
Надеемся, что за такую цену кофе хотя бы будет вкусным! 😅
2) Здесь нужно было найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Это можно сделать по формуле: S₁₀ = 0.5(a₁ + a₁₀)*n = 0.5(250 + 790)*10 = 5200 рублей. Столько денег потратит Карина на приветственные латте.
И напоследок — абсолютно нематематический вопрос: какой самый дорогой кофе покупали вы и где это было?
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥11🐳3👍1
Отрицательный дискриминант — не приговор
В школе нас учат: если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней. Это верно с поправкой в одно слово: не имеет действительных корней. Зато имеет другие корни — комплексные. Разберёмся, что это такое.
Сначала вспомним, что такое действительные числа. Это любые числа, которые можно представить в виде a.b — то есть они имеют целую часть и дробную (конечную или бесконечную).
Комплексные числа
Введём новый объект — квадратный корень из числа -1, обозначается i. Это значит, что i²=-1. Такого числа не существует среди действительных, поэтому для него и придумали специальное обозначение.
Число i позволяет извлекать корни из любых отрицательных чисел. Используем обычные свойства корней, например: √(-4)=√4*√(-1)=2i.
Все числа вида a+b*i, где a и b — действительные, называют комплексными. Например, 1+i, -2i, 3-0.5*i и так далее.
При этом никто не запрещает сделать b=0 и оставить только a. Так что множество действительных чисел — это подмножество комплексных. И все привычные числа вроде 5, -7.9, π и т. д. — тоже комплексные.
Первым известным исследователем комплексных чисел был Джероламо Кардано, ещё в 16 веке!
Части комплексного числа
Комплексное число состоит из двух частей: действительной и мнимой. Например, у числа 2+3*i части такие: 2 — действительная, 3 — мнимая.
В англоязычной терминологии эти части называют real и imaginary, что можно перевести как «реальная» и «воображаемая». Это служит предметом для математических каламбуров про воображаемых-мнимых друзей. 😄
Например, как на комиксе ниже.
Продолжение⭐️
В школе нас учат: если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней. Это верно с поправкой в одно слово: не имеет действительных корней. Зато имеет другие корни — комплексные. Разберёмся, что это такое.
Сначала вспомним, что такое действительные числа. Это любые числа, которые можно представить в виде a.b — то есть они имеют целую часть и дробную (конечную или бесконечную).
Комплексные числа
Введём новый объект — квадратный корень из числа -1, обозначается i. Это значит, что i²=-1. Такого числа не существует среди действительных, поэтому для него и придумали специальное обозначение.
Число i позволяет извлекать корни из любых отрицательных чисел. Используем обычные свойства корней, например: √(-4)=√4*√(-1)=2i.
Все числа вида a+b*i, где a и b — действительные, называют комплексными. Например, 1+i, -2i, 3-0.5*i и так далее.
При этом никто не запрещает сделать b=0 и оставить только a. Так что множество действительных чисел — это подмножество комплексных. И все привычные числа вроде 5, -7.9, π и т. д. — тоже комплексные.
Первым известным исследователем комплексных чисел был Джероламо Кардано, ещё в 16 веке!
Части комплексного числа
Комплексное число состоит из двух частей: действительной и мнимой. Например, у числа 2+3*i части такие: 2 — действительная, 3 — мнимая.
В англоязычной терминологии эти части называют real и imaginary, что можно перевести как «реальная» и «воображаемая». Это служит предметом для математических каламбуров про воображаемых-мнимых друзей. 😄
Например, как на комиксе ниже.
Продолжение
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤14👍6
Начало ⭐️
Действия с комплексными числами
При сложении и умножении комплексные числа ведут себя как многочлены. Например, сложим 2+3i и 1-2i, получим: 2+3i+1-2i = 3+i.
Теперь умножим: (2+3i)*(1-2i) = 2-4i+3i-6*i² = 2-i+6 = 8-i. Здесь мы использовали тот факт, что i²=-1.
И напоследок разберёмся с квадратным уравнением.
Корни уравнения с отрицательным дискриминантом
У квадратного уравнения x²-6x+34=0 дискриминант отрицательный: D=6²-4*1*34=-100.
Теперь нам это не мешает, просто найдём корни уравнения по обычной формуле: x = (-b ± √D) / 2a. Получим:
x₁=(6+10i) / 2 = 3+5i,
x₂=(6-10i) / 2 = 3-5i.
Вот и два корня уравнения с отрицательным дискриминантом!
Кое-что ещё
Сейчас комплексные числа прочно лежат в основах математики: часто задачу, которую очень сложно или невозможно решить «в лоб» получается изящно посчитать, выйдя в комплексную плоскость. Комплексные числа также применяются в картографии, авиа- и ракетостроении, гидродинамике, квантовой механике и других областях науки.
А ещё с их помощью можно рисовать красивые картинки!⭐️
Действия с комплексными числами
При сложении и умножении комплексные числа ведут себя как многочлены. Например, сложим 2+3i и 1-2i, получим: 2+3i+1-2i = 3+i.
Теперь умножим: (2+3i)*(1-2i) = 2-4i+3i-6*i² = 2-i+6 = 8-i. Здесь мы использовали тот факт, что i²=-1.
И напоследок разберёмся с квадратным уравнением.
Корни уравнения с отрицательным дискриминантом
У квадратного уравнения x²-6x+34=0 дискриминант отрицательный: D=6²-4*1*34=-100.
Теперь нам это не мешает, просто найдём корни уравнения по обычной формуле: x = (-b ± √D) / 2a. Получим:
x₁=(6+10i) / 2 = 3+5i,
x₂=(6-10i) / 2 = 3-5i.
Вот и два корня уравнения с отрицательным дискриминантом!
Кое-что ещё
Сейчас комплексные числа прочно лежат в основах математики: часто задачу, которую очень сложно или невозможно решить «в лоб» получается изящно посчитать, выйдя в комплексную плоскость. Комплексные числа также применяются в картографии, авиа- и ракетостроении, гидродинамике, квантовой механике и других областях науки.
А ещё с их помощью можно рисовать красивые картинки!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤17👍3