Привет!
Разберём задачу с прокомодом про Аркадия Стекова.
Напомним условие:

Аркадий Стеков откликается на вакансии на позицию «Аналитик данных». Каждая компания даёт ответ сразу же после собеседования. Аркадий прекращает ходить по собеседованиям, как только получает первый оффер.

Вероятность успешно пройти собеседование в первой же компании — 0.35. На всех следующих собеседованиях вероятность получить работу — уже 0.65. Результат каждого собеседования не зависит от других.
На какое количество собеседований должен сходить Аркадий, чтобы получить работу с вероятностью не менее 99%?

Вероятность события «Получить оффер» складывается из вероятностей событий «Получить оффер с первого раза», «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз», «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» и так далее.

Вероятность «Получить оффер с первого раза» по условию задачи равна 0.35.

Вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна произведению вероятности получить отказ в первый раз (1-0.35=0.65) и вероятности преуспеть во второй (0.65). В результате вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна 0.65*0.65.

Вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» опять же равна произведению вероятностей, но теперь уже трёх: вероятности получить отказ в первый раз (0.65), вероятности получить отказ во второй раз (1-0.65=0.35) и вероятности преуспеть в третий (0.65). В итоге вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» равна 0.65*0.35*0.65.
И так далее.
Значит, вероятность события «Получить оффер» — это вот такая сумма:
0.35 + 0.65*0.65 + 0.65*0.35*0.65 + 0.65*0.35²*0.65 + 0.65*0.35³*0.65 + …

Итак, нам нужно определить, на каком слагаемом эта сумма станет не менее, чем 0.99.
Посчитаем вручную, постепенно добавляя слагаемые и проверяя сумму после каждой итерации.

1) 0.65 < 0.99,
2) 0.35 + 0.4225 = 0.7725 < 0.99,
3) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 = 0.920375 < 0.99,
4) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 = 0.97213125 < 0.99,
5) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 + 0.0181146875 = 0.9902459375 ⩾ 0.99.
Потребовалось пять слагаемых — значит, пяти собеседований хватит, чтобы получить оффер с 99% вероятностью.

Есть и другие способы решить задачу. Например, можно пойти от обратного и вычислить вероятность того, что Аркадий не получит работу за n собеседований.

Вероятность неудачи в первый раз равна 0.65, а во все остальные разы — наоборот, по 0.35.
Эти события независимые, поэтому вероятность неуспеха во все эти разы равна произведению вероятностей неудач. Значит, вероятность не получить работу за n собеседований равна 0.65*0.35ⁿ⁻¹, и нам нужно, чтобы она была меньше 1%. Решаем:
0.65*0.35ⁿ⁻¹ < 0.01;
0.35ⁿ⁻¹ < 0.015385
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства. Оно впервые достигается при n-1=4, то есть при n=5.

Ответ: 5 собеседований

Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курсы направления анализа данных идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов!

Наверняка многие из подписчиков нашего канала слышали про область математики, которая называется «математические игры». Обычно это задачи, которые формулируются в виде правил игры, в которую могут играть несколько человек, цель — придумать выигрышную стратегию и стать победителем.

Но это не единственные игры, в которые играют математики. Некоторые математические игры вообще без игроков! Сегодня мы расскажем вам об одной такой игре. Она называется эффектно — «Жизнь».

Придумал её английский математик Джон Конвей. Сеттинг такой: есть бесконечная клетчатая плоскость, каждая её клетка может быть либо «живой» (состояние 1), либо «мёртвой» (состояние 0). У каждой клетки есть ровно 8 соседей, которые соприкасаются с ней, они все расположены вокруг неё на расстоянии «шага короля», если говорить в шахматной терминологии.

В самом начале игры задаётся какой-то набор «живых» клеток, после чего игра запускается и далее процесс идёт итерационно по правилам:
- Если у «мёртвой» клетки есть ровно 3 «живых» соседа, то на следующем ходе она тоже «оживает». В других случаях «мёртвая» клетка не меняет состояние.
- Если у «живой» клетки 2 или 3 «живых» соседа, то она остаётся жить. В остальных случаях «живая» клетка умирает: либо от одиночества, либо от перенаселённости.

Игра останавливается в трёх случаях: если все клетки умрут (то есть «жизнь» закончится), если происходит зацикливание некоторых конфигураций или если возникает статичная картинка.
Получается, игрок влияет только на стартовую позицию, дальше на игру уже нельзя повлиять — можно только смотреть.

Несмотря на простоту правил, эта игра остаётся интересной уже более 50 лет: всегда можно придумать новый стартовый порядок, при котором получится интересный результат. Например, можно создать бесконечную бегущую строку с настоящей надписью или огромный космолёт, который будет бесконечно двигаться в одном направлении.
Для визуализации игры «живые» и «мёртвые» клетки раскрашивают в разные цвета. Например, в гифке к посту выше «живые» клетки — красные, «мёртвые» — белые.

У «Жизни» есть много вариаций: можно менять условия появления и выживания «живой» клетки, сделать похожую конструкцию в трёхмерном пространстве, добавить клетки других цветов — и много что ещё.

«Жизнь» — это пример клеточного автомата. Теория клеточных автоматов начала своё существование раньше, чем придумали эту игру. Но именно «Жизнь» — самый известный клеточный автомат. Причина — в его простоте и вариативности.

Изучение этой игры повлияло на развитие других разделов математики и имеет множество аналогий в других науках. Например, изменение конфигураций игрового поля очень похоже на размножение бактерий и простейших микроорганизмов.

В химии иногда встречаются молекулярные связи, которые ведут себя как простейшая самоповторяющаяся фигура игры, «глайдер». Именно глайдер повторяется на гифке из верхнего поста. Эта фигура важна не только в химии — она считается — внезапно! — эмблемой хакерского сообщества.

А в этом видео сам создатель игры Джон Конвей рассказывает про клеточные автоматы и колонизацию Марса. 👽

В комментариях приложим ещё несколько примеров развития игры при разных стартовых позициях. Изучить коллекцию готовых вариантов или создать свой можно, например, на сайте.

От игры «Жизнь» — к реальной жизни. К жизни балерин 🩰

Пять балерин танцевали на сцене независимо друг от друга. Постановщик заметил, что за прошедшую минуту любые две из них вместе станцевали корректно не более девяти фуэте. Каким в этом случае может быть самое большее количество верно исполненных фуэте на всех пятерых?

Ваши решения и ответы традиционно ждём в комментариях под скрытым текстом. А разбор мы опубликуем в понедельник.

Привет!
Разберём пятничную задачу про балерин.

Мы хотим найти самое большое общее количество верных фуэте. Это число складывается из верных фуэте всех балерин, значит, у каждой их должно быть как можно больше.

Пусть одна балерина сделала корректно 5 фуэте. По условию задачи любые две балерины вместе сделали правильно не более 9 фуэте. Значит, всем остальным удались не более 4. Нам нужен максимум, поэтому берём ровно 4.

В таком случае вместе все балерины станцуют правильно 4*4+5=21 фуэте.

Рассмотрим общий случай и проверим, есть ли другие варианты, при которых общая сумма получится больше.

Пусть одна балерина сделала верно n фуэте. Тогда любая другая станцевала корректно максимум 9-n.

Если n меньше 5, то 9-n⩾5. Получается, есть две балерины с 5 или более верными фуэте, и тогда вместе они сделали верно более 9 фуэте. Это противоречит условию задачи. Значит, n⩾5.

Теперь посчитаем суммарное количество верных фуэте для общего случая: получится n+4(9-n)=36-3n.

Это выражение уменьшается при увеличении n. Например, если n=6, то 36-3n=18 — это меньше, чем найденное нами 21. И дальше будет всё меньше.

Итак, n не может быть меньше 5, но и не должно быть больше 5. Значит, комбинация, которая приведёт к максимуму такая: один балерина правильно станцевала 5 фуэте, остальные — по 4, а все вместе — 21.

В данной формулировке задачу также можно решить перебором, так как числа небольшие.

Ответ: 21

При изучении математики вы могли заметить, что в куче ситуаций и формул встречается число e.
С ним можно столкнуться ну просто всюду!
А, может, у вас не было такого ощущения — тогда сегодня оно точно возникнет. 😎

Мы принесли вам видео, которое вот уже месяц является хитом интернета. Это космически красивая анимационная история о том, как человечек боролся с числом e (а зря!), но в итоге всё закончилось хорошо.

Если вы его уже видели, предлагаем пересмотреть — настолько оно замечательное.

Видео классное не только своей красотой, но и математической глубиной. Всё начинается с довольно невинной математики, но потом она становится всё сложнее и сложнее. В одном из верхних комментариев к видео есть тайм-коды с тем, что же именно происходит.

А ещё появилось много видео с разборами исходного ролика — в них подробнее объясняется происходящее.
Предлагаем вам, например, вот это.

Но, возможно, в оригинальном видео гораздо большо смыслов и аллюзий, чем нашли все обозревающие.
А какой ваш любимый момент?

Сегодня мы принесли вам непростую задачку! Решить её помогут посты о модульной арифметике
и малой теореме Ферма.

Напомним формулировку малой теоремы Ферма:
Если p — простое число и a — целое число, которое не делится на p, то aᵖ⁻¹-1 нацело делится на p.

Сегодняшняя задача: найдите остаток от деления числа 300³⁰⁰⁰–1 на 1001.

Эта задача отличается от задач из предыдущих постов на эту тему. Загвоздка в том, что 1001 — не простое число. Значит, сразу применить малую теорему Ферма не удастся. На этом мы замолкаем и предлагаем дальше вам порассуждать самостоятельно. Решения и ответы ждём традиционно под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Онлайн-день открытых дверей в Яндекс Практикуме

Привет!
29 августа, во вторник, в 15:00 по Москве эксперты в прямом эфире расскажут, чем отличаются профессии в сфере технологий, как сменить профессию на IT, чего ждут работодатели от кандидатов на разные вакансии, а также ответят на вопросы.

Мероприятие бесплатное, регистрация — по ссылке.
Приходите, будет содержательно, полезно и интересно!

Исходный анонс в телеграм-канале Яндекс Практикума.

Привет!
Разберём четверговую задачу — найдём остаток от деления числа 300³⁰⁰⁰–1 на 1001.

Для решения нам пригодятся три факта:
1) Малая теорема Ферма:
Если p — простое число и a — целое число, которое не делится на p, то aᵖ⁻¹-1 нацело делится на p.
2) Если два числа сравнимы по модулю третьего, то их натуральные степени также сравнимы. То есть если a ≡ b (mod c), то для любого натурального k верно, что aᵏ ≡ bᵏ (mod c).
3) Если a ≡ b (mod c), n ≡ m (mod c), то a*n ≡ b*m (mod c).

Решение

Число 1001 — составное, раскладывается на множители как 7*11*13. Эти множители простые — то, что нужно для применения теоремы.

Посмотрим, что с остатками от деления 300³⁰⁰⁰ на каждый из множителей.

Возьмём p=7. Теперь представим число 300³⁰⁰⁰ в таком виде, чтобы в степени было p-1=6. Для этого разложим степень на множители:
300³⁰⁰⁰ = (300⁵⁰⁰)⁶.
К такой записи уже можно применить теорему: p=7, a=300⁵⁰⁰,
и значит (300⁵⁰⁰)⁶ ≡ 1 (mod 7). 

Теперь возьмём p равным следующему множителю. Для p=11 имеем:
300³⁰⁰⁰ = (300³⁰⁰)¹⁰ ≡ 1 (mod 11).
Для p=13 будет:
300³⁰⁰⁰ = (300²⁵⁰)¹² ≡ 1 (mod 13).

Получается, что число 300³⁰⁰⁰ сравнимо с 1 по всем трём модулям: и по 7, и по 11, и по 13.
Отсюда 300³⁰⁰⁰ ≡ 1 (mod 7*11*13). Такое верно только при если модули были взаимно просты: у нас 7, 11 и 13 как раз такие.
И тогда 300³⁰⁰⁰ – 1  ≡ 0 (mod 1001), то есть это число делится на 1001 нацело!

Ответ: 0.

Если у вас остались вопросы по решению, задавайте их в комментариях.

Привет!

Напоминаем, что через час начнётся онлайн-день открытых дверей в Яндекс Практикуме.

Чтобы попасть, зарегистрируйтесь.

Подробный анонс в телеграм-канале Яндекс Практикума

Есть в математике тема, которая по каким-то причинам никого не оставляет равнодушными — это комплексные числа. И даже ударение в термине — повод для обсуждения. Мы ставим ударение на е: компле́ксные.
Эти числа позволяют делать запретное — извлекать корни из отрицательных чисел и решать уравнения, у которых как будто не должно быть корней.

Мы ещё ни разу не говорили о них в нашем канале и хотим, чтобы первое знакомство запомнилось.
Поэтому представляем вам сайт, который объединил лучшее — комплексные числа и красивые картинки с фракталами. Ему уже больше пяти лет, а он всё ещё занимает особое место в нашем сердечке. Картинка к этому посту — как раз оттуда.

Знакомьтесь: сайт «Медузы и жопы». 😁
Название вирусное, но в этом, кажется, и был успех.

Про комплексные числа и фракталы мы ещё расскажем, а сегодня предлагаем просто насладиться великолепием, которое можно получить с помощью визуализации комплексных чисел.

Три лайфхака, которые помогают всё-таки выучить

Ни в школе, ни в институте не учат тому, как правильно изучать материал. Студенты в основном решают однообразные задачи, чтобы лучше сдать тест, но чаще всего это в итоге не дает реального знания. Зубрёжка быстро выветривается и не приносит пользы.
Вывод: учиться тоже нужно уметь.

Делимся тремя простыми техниками, которые помогут сделать обучение эффективным и захватывающим!

1) Вспоминайте материал в ванной и на прогулке. Подойдут и другие места — чем неожиданнее, тем лучше.
2) Рассказывайте материал друзьям. А ещё лучше — детям. Чтобы рассказать простыми словами, нужно глубоко понять тему.
3) Придумывайте вопросы по материалу. Если вы учитесь с преподавателем, задайте ему. Если вы учитесь самостоятельно, придумайте вопрос и ответьте на него — двойная польза.

Помните: чем больше усилий приходится тратить на создание нейронных связей, тем дольше они продержатся. Поэтому если сейчас у вас что-то трудно идёт, то когда всё-таки получится — знания будут глубже.

Попробовать применить техники можно вы знаете где! 😉

На курсах «Аналитик данных», «Специалист по Data Science» и «Системный аналитик» действует акция: если вы пройдёте бесплатную часть за неделю с момента подписки, то получите скидку 7% на оплату курса.

В комментариях предлагаем поделиться лайфхаками, которые помогают вам учиться быстрее и эффективнее. 🧠

Хинкальная задача

Математик Георгий приехал в Грузию и зашёл в местное кафе. Оно оказалось очень маленьким, в меню всего три позиции: хинкали по 3 лари за штуку, хачапури за 8 лари и лимонад за 5 лари.

Георгий задумался: а что будет, если он потратит все деньги на что-то одно? Согласно вычислениям у него останется:
• 1 лари, если он потратит всё на хинкали;
• 6 лари, если он потратит всё на хачапури;
• 4 лари, если он потратит всё на лимонады.

Сколько денег у Георгия, если эта сумма меньше 100 лари?

---

Ответы и решения присылайте под скрытым текстом.
Разбор задачи опубликуем в четверг.

Разберём недавнюю задачу про меню в грузинском ресторане.
Решить её можно несколькими способами.

1) Первый и самый «лобовой» из них — перебор. Для небольших чисел вполне сработает, в нашей случае он был бы долгим, но опишем его алгоритм.

В этой задаче есть ограничение — у Георгия было меньше 100 лари.
Все подходящие числа, дающие остаток 1 при делении на 3 можно записать как множество:
A = {1, 4, 7, 10, 13, 16, …, 94, 97}.
Те, что дают остаток 6 при делении на 8 можно записать как такое множество
B = {6, 14, 22, 30, 38, 46, …, 86, 94}.
Числа, имеющие остаток 4 при делении на 5:
С = {4, 9, 14, 19, 24, 29, …, 94, 99}.

Дальше нужно найти пересечение этих множеств. И хоть мы и не выписывали все множества целиком, уже видно, что все три содержат число 94. Оно и будет ответом! На самом деле в пересечении может быть несколько чисел, тогда нужно смотреть, какое из них подходит под условия задачи. Нам повезло: 94 — минимальное число, подходящее под эти условия, следующим будет только 214.
Но видно, что если бы мы действительно выписывали все элементы в каждом множестве, получилось бы ну очень не оптимально.

2) Поэтому здесь очень удобно воспользоваться признаками делимости!
Вот, например, отличное решение в комментариях к исходному посту. Оно построено на исключении неподходящих вариантов. В данной задаче мы рекомендуем именно такой способ.

3) Но существует ещё один метод, который позволяет решать похожие задачи для большего числа уравнений, для более громоздких чисел или в общем виде.
Он основан на Китайской теореме об остатках. По её условию у любой системы уравнений, в которых модули сравнения попарно взаимно просты, существует бесконечное количество решений, причем они отличаются на произведение модулей (например, тут они будут отличаться на 3*5*8 = 120). Именно поэтому после 94 следующим подходящим числом будет 94+120 = 214, а потом 334 и так далее.

Теорема достаточно сложна в ручном применении, для её использования нужно ловко жонглировать операциями в модульной арифметике. Зато она позволяет найти все подходящие числа!
Если у вас есть вопросы по этому алгоритму, можете задавать их в комментариях.


Как видите, хачапури — это лучший повод поговорить о чём угодно! 💪

Поможет ли «корочка» в работе?

В СССР был важен диплом. А Марк Цукерберг так и не закончил вуз, но стал миллиардером. Где же правда: наличие диплома — это стереотип или до сих пор важно? Можно долго размышлять, а можно обратиться к исследованиям.

ВШЭ исследовала влияние степени магистра на успехи. Результаты показали, что для таких специалистов:
• Выше вероятность трудоустроиться. Наличие диплома магистра увеличивает вероятность занятости на 3—8% среди мужчин и на 10—16% среди женщин.
• Выше заработная плата. Магистерская степень ассоциирована с зарплатной премией среди женщин в размере 5—21% и среди мужчин в размере 2—11%.

Получить степень магистра можно онлайн. Яндекс Практикум совместно с Томским государственным университетом организовал магистратуру «Дата-аналитика для бизнеса». Вы учитесь онлайн, а по окончании получаете диплом государственного образца и степень магистра.

Набор на этот год идёт до 18 сентября. Приходите за новыми возможностями! 🖖

Вебинар «Разбор задач с собеседований»

Когда студент Практикума заканчивает курс, он не отправляется в свободное плавание сразу. Выпускников поддерживают специалисты карьерного центра. Они помогают составить резюме и подготовиться к собеседованию. Например, недавно проводили вебинар, на котором разбирали задачи с математической секции собеседований.

Ну а где математика, там и мы! 😎
Спикеркой вебинара была Диана Миронидис, одна из создательниц контента этого канала и математических курсов Практикума.
Мероприятие было закрытым, но мы подумали, что нашим замечательным подписчикам тема тоже может быть интересна. Поэтому Диана проведёт ещё один вебинар — специально для подписчиков этого канала.


Когда: четверг 14.09, в 19.00 по Москве.
Что будет: разберём алгоритмы решения задач.
Где: в зуме по этой ссылке, запись тоже сделаем.

Заносите в свои календари, и до встречи в четверг! 🥳

Пример задачи с собеседования

А пока предлагаем решить одну задачу с вебинара. Её решение разберём завтра в посте.

В школе необычных языков можно изучать клингонский, эсперанто и синдарин. Каждый студент изучает только один язык.
Собранные данные — на картинке выше.

Известно, что сегодня все учащиеся находятся в школе. Если вы случайно встретите в коридоре школы студента мужского пола, какова вероятность того, что он учит эсперанто?

Ваши ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю задачу про студентов в языковой школе.
Покажем два способа.

Первый способ — просто по количествам.
Посчитаем
мужчин, изучающих клингонский: 0.5*150 = 75,
мужчин, изучающих эсперанто: 0.6*100 = 60,
мужчин, изучающих синдарин: 0.3*50 = 15.
Итого мужчин-студентов: 75+60+15 = 150.
Если в коридоре встретили студента мужского пола, то вероятность того, что он изучает эсперанто равна 60/150 = 2/5 = 0.4.
Здесь в числителе количество интересующих нас студентов (мужчин, изучающих эсперанто), а в знаменателе — общее количество мужчин-студентов (ведь известно, что мы встретили именно мужчину).

Второй способ — через условную вероятность.
На самом деле в задаче нужно найти именно её, однако данный способ конкретно здесь будет более долгим, чем просто посчитать «в лоб».
В этом случае нам пригодится общее количество студентов: 150+100+50 = 300 человек.

Теперь введём события и посчитаем их вероятности:
Пусть B — «случайно встреченный/ая студент/ка изучает эсперанто».
Пусть M — «случайно встреченный в коридоре студент — мужского пола».

Нужно найти P(B|M). По определению условной вероятности
P(B|M) = P(B⋂M) / P(M). Вычислим обе нужные нам вероятности.
P(M) найти легко: (75+60+15) / 300 = 0.5.
B⋂M — это событие «случайно встреченный студент — мужского пола и изучает эсперанто». Значит, P(B⋂M) = (0.6*100) / 300 = 0.2.
Тогда по определению условной вероятности имеем
P(B|M) = P(B⋂M) / P(M) = 0.2 / 0.5 = 0.4.

Мы двумя способами получили один ответ — значит, он (скорее всего) правильный. 😁
В комментариях было много верных решений, это очень здорово!