Когда мы имеем дело с обыкновенными дробями, в числителе и знаменателе часто получаются очень большие числа, с которыми не очень удобно работать. На помощь приходит основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, тогда дробь упростится, а значение её не изменится.

Но как узнать, на что можно сократить нацело? На помощь приходит наибольший общий делитель этих чисел, или, сокращенно, НОД.

Есть довольно много способов найти НОД, сегодня мы разберем довольно простой и, на первый взгляд, магический способ: алгоритм Евклида.

Работает этот алгоритм так:
1) Пусть есть два числа, a и b, причем a<b, и мы хотим посчитать НОД(a, b). Посчитаем значение b-a, пусть оно равняется числу r. Алгоритм утверждает, что НОД(a, b) = НОД(a, r).
2) Дальше поступаем аналогичным образом: из большего числа вычитаем меньшее, и заменяем большее число на эту разность.
3) Остановиться нужно в тот момент, когда одно из чисел будет нацело делиться на другое — вот меньшее из этих двух и будет являться НОДом для исходной пары чисел.

На словах сложновато, давайте рассмотрим пример. Каждый раз заменяем большее число на разность.
НОД(1955, 714) = НОД(1241, 714) = НОД(527, 714) = НОД(527, 187) = НОД(340, 187) = НОД(153, 187) = НОД(153, 34) = НОД(119, 34) = НОД(85, 34) = НОД(51, 34) = НОД(17, 34) = 17. И действительно, 1955 = 5*17*23, а 714 = 2*3*7*17.

Но как же это работает? У каждого числа существует разложение на простые множители. Мы его тут явно не используем, но оно есть. Давайте скажем, что у чисел a и b наибольший общий делитель равен k. Тогда пусть a=k*x, b=k*y. Если b-a=r, то можно выразить r так: r = k*y - k*x = k*(y-x). Получается, при такой операции мы сохраняем НОД чисел в качестве одного из множителей на каждом шаге. А вот разность y-x дойдёт до нуля, просто мы заканчиваем алгоритм раньше.

Этот алгоритм работает не только для пар чисел: если их больше, то можно вычислить НОД первых двух, а потом НОД первого НОДа и третьего числа — и так далее.
На прикладном уровне это нужно, к примеру, для решения диофантовых уравнений, а также для цепных дробей. А они используются в криптографических алгоритмах: защищают данные вашей банковской карты и фотографии в смартфоне. Про цепные дроби мы ещё расскажем подробнее.

Задачка для вас — посчитать НОД(3105, 2254). Ответы пишите в комментарии под скрытым текстом.

Друзья, у нас отличные новости! 🎉

С 15 мая по 30 мая мы запускаем бесплатный марафон по математике для подписчиков нашего канала. Это значит, что в течение двух недель у вас будет возможность в интенсивном режиме проходить задания тренажёра — с поддержкой наших преподавателей и в классной компании!

Это отличный способ получить мотивацию для изучения новых тем, если вы ещё не знакомы с тренажёром по основам математики для цифровых профессий, сомневаетесь в своих знаниях и хотите подтянуть их для использования в таких областях, как анализ данных.

На марафоне мы рассмотрим тему множеств, комбинаторику и теорию вероятностей в базовом понимании. Правда, если вы уже хорошо в них ориентируетесь, или проходили уроки из тренажёра «Основы математики для цифровых профессий», модуля «Спецкурс для аналитиков», много нового, возможно, на марафоне вы не узнаете. 🧠

Каждый день, включая выходные, вы будете проходить по одному уроку в специальном тренажёре. Участие потребует примерно 1,5 часа свободного времени каждый день. Отложить уроки на потом не получится — если вы не успеете в один день сделать урок, марафон придётся покинуть. Участникам марафона можно будет делиться ходом решения задач в чате, а команда преподавателей и куратор будут помогать вам на всех этапах.

Во время марафона мы проведём несколько закрытых эфиров с разбором тем, и участники смогут задавать вопросы по урокам. Отвечать будут наши преподаватели, которые занимались составлением тренажёра. Самые упорные участники, которые пройдут марафон до конца, получат скидку на курсы по математике и анализу данных. 🏆

Хотите участвовать? Оставьте свои контакты в форме для сбора заявок. И мы добавим вас в закрытую группу для участников марафона.

Недавно мы говорили про алгоритм Евклида, который используется для поиска наибольшего общего делителя. Сегодня расскажем вам про концепцию, которая появилась как раз благодаря этому алгоритму.
Давайте для начала немного переформулируем сам алгоритм. Для этого заметим такой факт: если мы вычитаем из числа b число a n раз, пока не получится, что 0<b-n*a<a, то фактически мы находим остаток при делении числа b на число a:
b = n*a + r.

Итак, предположим, что мы хотим найти наибольший общий делитель двух чисел a и b, где a<b.

1. Если b делится на a без остатка, то наибольший общий делитель равен a.
2. Если нет, то мы делим b на a с остатком и получаем новую пару чисел (a, r), где r — это остаток от деления b на a.
3. Затем мы повторяем шаги 1 и 2 для пары (a, r).
4. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим пару чисел (d, 0), где d — это наибольший общий делитель.

Попробуем применить алгоритм Евклида для чисел a=5 и b=8:
8 = 5*1 + 3
5 = 3*1 + 2
3 = 2*1 + 1
2 = 1*2

А теперь разделим первую строку на a, вторую на r₁ (оно равно 3),третью строку разделим на r₂=2, а четвертую — на r₃=1. Получим:
8/5 = 1 + 3/5
5/3 = 1+2/3
3/2 = 1+1/2
2=2

Оказывается, последнее число в строке всегда равно выражению (1 / первое число в следующей строке). Тогда можно постепенно сократить записанное:
8/5 = 1 + 3/5, 5/3 = 1 + 1/(1 + 1/2) ⇒
8/5 = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)).
Обычно это выражение записывают как многоэтажную дробь.

Такое представление называется непрерывная дробь или цепная дробь — и действительно, итоговую дробь мы получили, как бы собирая по цепочке все промежуточные результаты.
Через цепную дробь можно выразить любое(!) действительное число, но для рациональных чисел последовательность дробей будет конечной, а вот для иррациональных — бесконечной.

Цепную дробь вида a₁ + 1/(a₂+1/(a₃+...)) можно коротко записать так: [a₁; a₂, a₃, a₄, ...] — гораздо более читаемая и компактная запись.

С помощью цепных дробей можно находить достаточно точные приближения иррационалных чисел: например, если рассмотреть всего лишь первые два символа бесконечной цепной дроби, которая равняется числу π (то есть, дробь [3; 7]), получится число 22/7, которое приближает первые три знака числа π — достаточно хорошая точность.

Приближения иррациональных чисел — не единственная задача, с которой помогают цепные дроби. Они применяются в комплексном анализе и в криптографии. Одним словом, полезная и красивая вещь!

Чтобы закрепить, предлагаем вам посчитать представление двух рациональных чисел в виде цепных дробей: 415/93 и 740785/516901. Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

Вот и подошла к концу короткая рабочая неделя.
В честь этого мы принесли вам торт! Или, скорее, кекс.

Точнее, видео с алгоритмом его справедливой делёжки на троих человек. Алгоритм несложный, можно брать и применять в жизни, хотя в комментариях к видео люди шутят, что если дейтвительно начать, все уйдут и торт достанется вам целиком… Что ж, тоже неплохо!

В общем случае для n человек алгоритм тоже есть, но максимальное количество разрезов будет ну очень большим. Но приятно, что решение есть. :)

Подобные задачи на построение стратегий и алгоритмов относятся к теории игр. Это область математики на стыке с экономикой, у неё есть масса очень полезных практических приложений. Про них обязательно расскажем в будущих постах!

Парадокс двух конвертов

Сегодня поговорим об одной из классических задач, в которых математика помогает принять решение. Или не очень помогает. 😅

Есть два конверта с деньгами. Известно, что в одном из них в два раза большая сумма, чем в другом. Но неизвестно, какой из них какой. Конверты непрозрачные и по весу тоже ничего угадать нельзя.

Вы открываете один из конвертов, в нём 1000 рублей. Значит, во втором либо 500, либо 2000.
После этого вам делают предложение: вы можете забрать эту тысячу прямо сейчас или сменить конверт на другой. Но тогда уже всё, отправляетесь домой со вторым, что бы там ни оказалось.

Что же здесь выгоднее: не менять исходный конверт или всё же рискнуть и сменить? Что на этот счёт говорит математика?
В реальной жизни люди принимают решения исходя из того, насколько они вообще азартны и является ли первая сумма достаточно большой. Если в первом конверте окажется миллион — то, скорее всего, вы заберёте его, потому что это уже отлиычный выигрыш. Но если там всего 100 рублей, то почему бы не рискнуть? Разница между 50, 100 и 200 психологически не очень большая.

Но ведь математика бессердечна, у неё должен быть один ответ для любых сумм. Есть версия, что ответ этот такой: всегда меняйте конверт на второй.

Почему так? Если в первом конверте x рублей, то содержимое второго конверта описывается случайной величиной, которая может принимать лишь два значения: 0.5x или 2x. И вероятность каждого из них равна 0.5. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно 0.5x*0.5 + 2x*0.5 = 0.25x + x = 1.25x. Это больше, чем исходный x.
Значит, если в первом конверте было 1000 рублей, то во втором конверте в среднем будет 1250 рублей, что больше. А значит, этот вариант выигрышнее, надо брать!

На самом деле — нет. 👀
Потому что если вдруг вам дадут возможность сменить конверт сколько угодно раз, то вы как будто всегда должны это делать, ведь это обещает прирост в 25%. И снова, и снова, и конца этому не видно…

Или вот пусть есть два человека, и каждому из них дали по конверту из исходной задачи. Стоит ли им оставлять свои конверты или обменяться ими? Стратегия гласит, что каждому из них выгоднее совершить обмен. Однако обмен не может быть выгоден сразу обоим игрокам, это противоречит здравому смыслу. Да что, чёрт побери, не так с этой задачей?! Поверьте, очень многое. :))) Проблем там в итоге больше, чем пользы.

Лучшее (хоть и очень эмоциональное) видео на эту тему можно посмотреть здесь.

Спойлер решения: всё тлен, разницы нет, можно не менять конверт. Дебаты всё ещё ведутся, но они скорее о том, почему всё плохо, и считать матожидание тут вообще некорректно.

В общем, это был плохой парадокс. А скоро расскажем про хороший, где теория вероятностей работает нормально и даёт однозначный ответ.

Привет еще раз! 📣

Напоминаем, что 15 мая стартует наш бесплатный двухнедельный марафон по математике.
За две недели мы пройдём темы множеств, комбинаторику и теорию вероятностей. Задачи, которые мы разберём, помогут вам в освоении цифровых профессий. Вам не потребуются специальные знания для участия — главное, ваше желание развиваться и открытость новому. 🥳

Для участия в марафоне понадобится примерно 1.5 часа ежедневно. Это отличная возможность интенсивно погрузиться в тему с головой — вас ждёт поддержка наших преподавателей и эфиры с разборами задач, а ещё сообщество других участников!

Подробные условия — в этом посте.
А вот форма для записи.

Ждём вас! 😊
ПС: Если вы уже подали заявку, то вас добавят в специальный чат завтра, 12 мая.

Мы обещали рассказать про логарифмы в рубрике #объясняем_школьное, и вот этот день настал!

Начнём немножко издалека. Квадратными, кубическими и прочими уравнениями никого не удивить. Например, бывает нужно решить что-то такое: x⁵ = 20.
Но х может быть не только основанием степени, но и показателем. Такие уравнения закономерно называют показательными, в простейшем виде они выглядят примерно так: 2^x=16. Они встречаются повсеместно, особенно много их, например, в биологии и ядерной физике.

И вопрос к такому уравнению звучит как «в какую степень нужно возвести число слева, чтобы получить из него число справа».
Решим же его! Обычно рецепт прост: представить обе части как степени с одинаковым основанием. Так как 16 — это 2^4, правую часть можно перезаписать, получим 2^x=2^4. Значит, x=4.

Проблема в том, что число справа не обязательно будет таким классным. Например, посмотрим на 2^x=10.
Уравнение есть, а рационального решения у него нет. Но иррациональное — есть, просто работать с ним неудобно: это же бесконечная непериодическая десятичная дробь. Значит, нужен математический объект, который позволит это решение как-то коротко назвать и записать.

Собственно, логарифм — это и есть нужный нам математический объект.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается как logₐb. То есть для уравнения вида a^x=b логарифм — это тот самый показатель x, превращатель числа из левой части (a) в число из правой части (b).

В записи x=logₐb числа a и b должны быть строго положительным, при этом основание a ещё и не равно 1 (так как единичка в любой степени остаётся единичкой, ничего другого из неё всё равно не получится).

Равенство 2⁴=16 можно также воспринимать как «логарифм 16 по основанию 2 равен 4», то есть log₂16=4. У этого логарифма хорошее целое значение — четвёрка. Ну а логарифм 10 по основанию 2 — это иррациональное число, поэтому его так и оставляют: log₂10. Именно это число будет решением уравнения 2^x=10 (потому что превращает 2 в 10).

Значение логарифма не обязательно будет целым или положительным, ведь и показатель степени тоже не всегда красивый. Вычислим, например, log₃(1/9). Чтобы получить 1/9, тройку нужно возвести в степень -2, значит, log₃(1/9)=-2.

А теперь следите за руками! Так как логарифм — это показатель степени, то его можно в этот самый показатель и записать: a^{logₐb}=b. Полученное выражение называют основным логарифмическим тождеством, оно также есть внизу иллюстрации. Степень logₐb обещает превратить число a в число b — так и происходит!

А вот примерчики для вас: вычислите log₄64, log₈₁9, log₅(1/125).
Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

В посте с вашими запросами было несколько как раз про логарифмы. Надеемся, что смогли прояснить картину. :)
Если нет — то пишите в комменты, что ещё рассказать про логарифмы.

Короткое объявление для участников марафона по математике: если вас ещё не добавили в группу — проверьте почту, которую оставляли при регистрации. Не всех удалось добавить через телеграм, поэтому некоторым участникам разослали приглашения на почту.

Продолжим разбираться с векторами.
В прошлый раз мы говорили о том, что вектор — это не только направленный отрезок, но и список каких-то числовых данных. Предположим, вы решили вести бюджет и записывать траты на еду и проезд. Каждый вектор будет отвечать за конкретный день недели, а каждая его координата будет отдельной категорией, например, «транспорт», «кафе», «продукты».

За неделю вы получите 7 векторов:
Mo=(150, 200, 700),
Tu=(0, 0, 0),
We=(600, 400, 120),
Th=(100, 0, 2000),
Fr=(200, 950, 300),
Sa=(1000, 1600, 0),
Su=(0, 0, 0).

Первая операция, которая позволит подвести итоги недели, — это сложение векторов. Оно выполняется покоординатно: первой координатой вектора суммы будет сумма первых координат, второй координатой — сумма вторых координат каждого дня, и так далее. Сложив все векторы, мы получим новый вектор Week₁=(2050, 3150, 3120). Его координаты наглядно отражают суммарные траты в каждой категории.

С точки зрения геометрии всё это тоже имеет смысл. Чтобы сложить векторы геометрически, нужно совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго — с началом третьего и так по цепочке дойти до конца. Начало вектора суммы совпадёт с началом самого первого вектора, а конец — с концом последнего. Это наглядно продемонстрирует нам, с чего мы начали и где закончили.

Чтобы поговорить о вычитании, нам нужно понятие противоположного вектора: у него будет такая же длина, как у исходного, но строго противоположное направление. Для вектора We=(600, 400, 120) противоположным будет вектор
-We=(-600, -400, -120). У всех координат поменяли знак!

Тогда можно рассматривать разность векторов как сумму первого и развёрнутого второго.
Например, вектор Mo-We=(-450, -200, 580) покажет, насколько траты понедельника превышают траты среды. В нашем случае понедельник точно прошёл экономнее!

Зная траты за неделю, можно приблизительно спрогнозировать траты по этим категориям на месяц. В месяце примерно 4.3 недели, значит, умножив траты на 4.3, можно получить какое-то представление о расходах в месяц. Это третья операция с векторами — умножение на скаляр, то есть умножение на число. Для получения результата нужно умножить скаляр на каждую координату по отдельности. Наш прогноз равен Month₁=4.3*Week₁=(4.3*2050, 4.3*3150, 4.3*3120)=(8815, 13545, 13416).

В геометрическом смысле умножение на скаляр будет либо растягивать, либо сжимать вектор, в зависимости от значения. При отрицательном скаляре вектор ещё и сменит направление.

При умножении вектора на скаляр получается новый вектор. А при умножении векторов получится, как ни странно, скаляр. Но об этом поговорим в следующий раз!

А в комментариях лежит бонусный пример, где векторы применяются к котику. :)))

Сегодня поговорим о том, как теория вероятностей может помочь в реальной жизни. Речь о так называемом парадоксе Монти Холла. Эта задача названа в честь ведущего шоу Let’s make a deal. Она похожа на парадокс двух конвертов, о котором мы писали ранее, только там всё было странно, а здесь всё нормально. 😄

Представьте: вы пришли на тв-игру, где нужно выбрать одну из трех дверей. За двумя находятся козы, а за третьей — ааавтомобиль. Вы не знаете, за какой дверью что, но ведущий знает точно. Вы выбираете одну дверь, но до её открытия ведущий открывает одну из дверей с козой. Затем он предлагает вам изменить свой выбор на другую закрытую дверь — если захотите, конечно. Как нужно действовать, чтобы с наибольшей вероятностью получить машину?

На первый взгляд, выбор двери не влияет на исход игры: как только одна дверь с козой открыта, вероятность победы становится равна 1/2, и тогда нет никакой стратегии! Как будто исходная дверь и оставшаяся дают равные шансы на победу. Но мы бы не писали пост, будь там всё так просто.
И действительно, когда ведущий открывает одну из дверей с козой, он даёт вам дополнительную информацию. То есть решение задачи не начинается с нуля, а продолжается — поэтому вероятности будут распределены иначе.

Объясним неформально.
Если вы сразу выбрали нужную дверь (вероятность этого всего 1/3), то Монти просто откроет вам любую из двух других. В этом случае менять дверь невыгодно, но вы об этом не знаете. :)
А вот если вы сначала не угадали (вероятность этого уже 2/3), то Монти откроет вам ту из двух, где машины нет. И тогда выгоднее поменять дверь. Но, опять же, вы об этом не знаете. Но видно, что второй вариант более вероятен в принципе, ведь не-угадать сразу — более вероятно, чем угадать.
Значит, именно стратегии для второго случая стоит придерживаться — и ваши шансы на выигрыш увеличатся.
Больше об этом парадоксе можно почитать на Википедии, там же есть отсылка к другой похожей задаче.

Но, на самом деле, это не парадокс в классическом понимании — просто ответ противоречит интуиции!

Все про коронацию — и мы про коронацию. :)

Вот вы, возможно, не знали, но с точки зрения математики, и Кейт Миддлтон, и Меган Маркл — королевских кровей.
Да и вы кстати тоже! У всех нас есть общие предки — и в сегодняшнем видео объясняется алгоритм, с помощью которого можно найти самого близкого общего предка для любой группы ныне живущих людей. И там обязательно найдутся царские особы.

Желаем вам королевских выходных! 😎

Если мы посмотрим на историю человечества, то увидим, что в разные периоды люди по-разному записывали числа.

Все знают, что числа 12345 и 54321 разные: они состоят из одинакового набора цифр, но порядок записи этих цифр очень сильно влияет на то, каким будет число. Это кажется нам логичным и естественным, но так было далеко не всегда. А как ещё можно? Сегодня поговорим о системах счисления и выясним ответ на этот вопрос.

Разберемся с терминологией:
Система счисления — это набор правил, по которым цифры собираются в число. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными (бывают и другие, но сегодня о них не будем).

В позиционных системах счисления порядок записи цифр (то есть их позиция) влияет на результат. Например, в привычной нам десятичной системе номер цифры означает степень числа 10, на которую эта цифра умножается. Нумеруем цифры мы справа налево, при этом начинаем с номера 0. То есть, число 12345 — это сокращенная запись суммы
5*10⁰ + 4*10¹ + 3*10² + 2*10³ + 1*10⁴ или
5*1 + 4*10 + 3*100 + 2*1000 + 1*10000.

В непозиционных системах порядок записи цифр не влияет на результат, значения цифр просто складываются. Самая простая непозиционная система счисления возникла очень давно, когда торговцам нужно было считать количество проданного. Во время продажи за каждый товар одного вида (корова, мешок яблок или что угодно еще) на специальной веревочке завязывался узелок — и количество узелков в итоге равнялось количеству единиц проданного товара. Такая система счисления, как можно догадаться, получила название «узелковая». Чтобы выразить ее математически, можно договориться, что числа могут состоять только из единиц (без десяток, сотен, дюжин и чего-то ещё). Тогда количество единиц и равняется самому числу.

В этой системе счисления 11 — это два, 111 — это три, 11 + 111 = 11111 (два плюс три равно пяти) и так далее. Можно заметить, что этот способ записи чисел не очень удобен: занимает много места и быстро отличить 1111111111 от 111111111111 «на глаз» уже непросто.
Поэтому для больших чисел стали придумывать отдельные символы и использовать принцип сложения. Например, в древнеегипетской системе символ | означал единичку, а символ ⋂ — десять. Число 13 можно было записать и как ⋂|||, и как |||⋂. Это сильно сокращает запись, ведь теперь для записи нам нужно всего 4 символа вместо 13 палочек. :) На этой идее построены все древние непозиционные системы счисления, отличаются лишь обозначения.

А вот римская система уже не является чисто непозиционной, ведь там XI и IX — это уже разные числа, зато это ещё экономнее, ведь запись IX короче, чем VIIII.
Но и тут возникают проблемы: мы можем придумать 5 новых цифр для больших чисел, можем придумать 10, но делать так бесконечно не выйдет, и, чтобы записать число «десять тысяч» нам опять придется писать многабукав много букв: MMMMMMMMMM.

Действительно, экономность и наглядность — не сильные стороны таких способов записи чисел. Но они были удобны для простейшего бытового счета, а их изучение заставляет ценить привычный нам способ обозначения чисел: позиционные системы счисления.

Теорема Байеса

Жизнь не всегда непредсказуема. Сложно сказать, пойдет ли завтра дождь, вырастет ли стоимость портфеля на бирже, отведаете ли вкусный ужин в ресторане, в котором никогда не были. В таких случаях мы часто прикидываем шансы событий:
— кажется, завтра будет дождь, ведь он шёл всю последнюю неделю;
— акции дорожали последние три дня, я рассчитываю и сегодня увидеть рост;
— мои друзья остались довольны едой в том ресторане, поэтому мне там точно понравится.

А замечали, как мы адаптируем наши оценки на основе новых данных? За день до долгожданного похода в ресторан, вы прочитали о нём разгромную рецензию от ресторанного критика. Как это повлияет на вероятность вкусно покушать в этом месте?

Математик Томас Байес не просто подметил, как люди оценивают шансы событий и корректируют их, но и формализовал эти мысли в целое направление в статистике. Мы обсудим ключевую теорему этого направления, формулу Байеса, которая объясняет с точки зрения математики, как обновляются наши представления о вероятностях на основе новой информации. Это одна из важнейших теорем в терии вероятностей!
Спойлер: там фигурирует условная вероятность! Часто она дана в задаче, но если нет, то вычислить её можно по определению:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B), эта формула есть на иллюстрации ниже.
Она обозначает вероятность события А, при условии, что произошло событие B.

А теперь теорема Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

Поясним её, обратившись к примеру с рестораном. Для наглядности заменим абстрактные события A и B на рассматриваемые:
P(будет вкусно|негативная рецензия) = (P(негативная рецензия|будет вкусно) / P(негативная рецензия)) * P(будет вкусно).

По формуле уже можно заметить, что изначальная вероятность P(будет вкусно) превращается в вероятность при условии негативной рецензии P(будет вкусно|негативная рецензия), и делает она это с помощью домножения на некоторый дробный коэффициент. Этот коэффициент и отражает обновление нашей исходной вероятности.

Предположим, на основании отзывов друзей у вас сложились некоторые убеждения насчёт качества кухни этого ресторана. Вы уверены в том, что еда понравится с вероятностью P(будет вкусно) = 80%.
И вот вы встречаете негативную рецензию ресторанного критика, к мнению которого прислушиваетесь, и уже не так уверены в кухне. Вы вспоминаете, что на 10% ресторанов, где вам нравится кухня, критик оставил негативную рецензию.
А в целом, у него 40% всех рецензий — негативные.
Это и есть искомые числитель и знаменатель в нашем коэффициенте! Когда мы получили информацию о том, что вышла негативная рецензия, коэффициент корректирует наши планы вкусно покушать: они изменятся в (10% / 40%) раз или попросту станут в 4 раза ниже. Сопоставим наши размышления с формулой Байеса:
P(будет вкусно|негативная рецензия) = (0.1 / 0.4)*0.8 = 0.2.

Вот так можно уточнять вероятность событий с помощью новых данных! Нужно только аккуратно определить, чему равен каждый элемент формулы.

А теперь задачка для вас!
Панк-группа записывает новый трек, и сегодня на очереди вокал. Обычно вокалист фальшивит на 26% всех дублей, но накануне вечером он громко спорил про анархию в шумном клубе. Это могло повлиять на его голос! Известно, что каждый третий вечер вокалист проводит за жаркими дискуссиями про анархию и что 70% всех случаев фальши — как раз из-за вечерних споров накануне.
Какова вероятность фальши сегодня, если вчера был как раз такой вечер?

Разберём вчерашнюю задачу про вокалиста панк-группы.
В ней применяется формула Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

Определим наши события и их вероятности.
А — вокалист фальшивит при записи,
B — вечером накануне вокалист громко спорил про анархию.
Тогда найти нам нужно P(A|B) — вероятность фальши при условии, что вчера вечером он громко спорил.

Для этого нам потребуются три другие вероятности.
P(A) — вероятность того, что вокалист в принципе фальшивит, она по условию равна 26% или 0.26.
Для любого случайного дня зададим P(B) — вероятность того, что вокалист громко спорил накануне. Известно, что он проводит за этим занятием каждый третий вечер, значит, вероятность равна 1/3.
И самое тонкое: P(B|A) — вероятность споров накануне, при условии, что сейчас вокалист фальшивит. Она по условию равна 0.7, хотя формулировка там чуть другая: «Известно, что 70% всех случаев фальши — как раз из-за вечерних споров накануне». То есть дан факт фальши (она — уже произошедшее условие, поэтому пишется справа от вертикальной черты), и вероятность вчерашних споров при условии сегодняшней фальши — те самые 70% или 0.7.

Подставим всё в формулу:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A) = (0.7 / (1/3)) * P(0.26) = 0.546 или 54.6%.
Что выше, чем обычная вероятность фальши этого вокалиста.
Ответ вполне закономерный: если громко спорить вечером, петь на следующий день будет тяжелее. 😆

Желаем вам хороших выходных без последствий для голоса!

Лето уже совсем близко, поэтому сегодняшнюю тему будем разбирать на примере с мороженным. У моря. Потому что ну очень хочется!

Вы наверняка слышали про математика Джона Нэша, а может даже смотрели фильм «Игры разума». Нэш — лауреат нобелевской премии по экономике и премии Абеля (её неофициально называют «Нобелевской премией по математике»). Результаты его работ широко используются в экономике, а основополагающим в его теории является понятие равновесия Нэша.