Число пи и ваш день рождения

Вокруг числа π ходит так много легенд! Причина понятна — оно является бесконечной непериодической дробью (что уже непросто осознать), но при этом регулярно вылезает в геометрии, теории чисел и вообще почти любой области математики. Людям настолько нравится число π, что у него вычислены уже первые 100 триллионов знаков. Говорят, в нём сокрыт смысл всего мироздания… Насчёт этого не подскажем, но что точно спряталось в знаках после запятой, так это ваш день рождения! Не верите? Всё уже посчитано!

Любой день рождения можно записать в формате шестизначного числа как ДДММГГ. И вот дело в том, что среди уже вычисленных триллионов знаков числа π встречается абсолютно любое шестизначное число. Это узнали скучным перебором (не вручную, конечно). А раз там есть любое шестизначное число — и ваш день рождения тоже найдётся! Узнать, где же именно спрятана ваша знаменательная дата, можно на сайте.

Например, сегодня 12 апреля 2023 года (кстати, с Днём Космонавтики!). Число 120423 находится на позиции номер
734 470 после запятой.

А что будет, если брать не шестизначные числа, а более длинные? Все ли они встретятся среди «хвоста» числа π? Никто не знает — пока не доказано, содержит ли десятичная запись π любое конечное число. Впрочем, не доказано и обратное.

Привет!
Сегодня в 19:00 состоится разбор задач из первоапрельского квиза. Разбирать их будет Артём, преподаватель курса
«Математика для анализа данных».

Приходите послушать, даже если вы не решали задачи — всегда приятно поговорить о математике. К тому же, Артём классный и понятно объясняет. 😇

Вход по ссылке.

Есть учёные, которые занимаются математикой из любопытства. Их увлекают теоретические исследования, абстракции и доказательства.
Другие больше интересуются применением математики и моделируют реальные явления математическими инструментами.

Но все вместе они создают огромный математический мир — прекрасный в своём многообразии. 🥰
Посмотрите видео, в котором рассказывают о карте математики, и убедитесь сами. 😇

Всем классных выходных!

Нецелая размерность фракталов

Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.

Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.

Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.

Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.

Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.

Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.

Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.

Знакомьтесь, на иллюстрации — треугольник Серпинского. Этот фрактал строят так:
- из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника;
- потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅

Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту.
На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки…
Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585.

Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.

Заходит как-то бесконечное число математиков в бар. Первый просит кружку… скажем, яблочного сока. Второй — половину кружки. Третий просит четверть кружки. Бармен решил с этим не разбираться, налил им две кружки на всех и пошел обслуживать других клиентов.

К чему был этот математический анекдот? К теме нашего сегодняшнего поста — ряды или, как их ещё называют, бесконечные суммы. Когда мы хотим найти сумму двух, трех, четырех, … — в общем, конечного числа слагаемых, все понятно: берём числа, по очереди прибавляем, ничего необычного. А что делать, если слагаемых бесконечное количество? Как посчитать их сумму? Так вообще можно делать? Давайте разбираться.

Сегодня поговорим про два ряда: тот, что из анекдота и ещё один — он называется гармоническим.
Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук!

Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых.

Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, ….

Если просуммировать все эти числа (которых бесконечное количество!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке.
Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность!

А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали.
Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅

Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте!

Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️

Сложные раскраски

В январе мы рассказывали вам про теорему о четырёх красках и предлагали раскрасить ёлочку. Сегодня продолжим и снова предложим порисовать.

В Америке с 19 века и по сей день выпускается научно-популярный журнал Scientific American. В него писал заметки математик-любитель Мартин Гарднер, великий популярзатор. Вы можете знать его по комментариям к Кэрролловской «Алисе», но его вклад в математику поистине огромен: своими статьями он взрастил интерес к науке у целого поколения читателей. Его заметки выходили на протяжении 25 лет.

Гарднер был большим фанатом теоремы о четырёх красках, у него даже есть фантастический рассказ «Остров пяти красок». Однажды в качестве первоапрельской шутки он опубликовал в журнале карту, которую якобы нельзя раскрасить лишь в 4 цвета. На самом деле, конечно, можно, хоть задачка эта и не из простых. Предлагаем вам раскрасить её и другие карты на сайте «Математических Этюдов». Там вас ждут пять несложных карт, затем та самая от Мартина Гарднера, и потом ещё одна — карта звёздного неба. Рекомендуем раскрашивать с компьютера.

Присылайте свои варианты последних двух карт в комментарии (картинки тоже можно прятать под спойлер) — потом сравним результаты. :)

Другой взгляд на векторы

Выходя из дома, вы делаете выбор, в какую сторону пойти. С точки зрения ног разницы, куда идти, нет. С точки зрения конечной цели — ещё какая. Чтобы дойти из пункта A в пункт B, нужно определить не только длину маршрута, но и его направление. В математике за это отвечают векторы.

В частности, в геометрии вектором называют направленный отрезок, для которого известно, где его начало, а где конец. Такое представление о векторах вам, скорее всего, хорошо знакомо. Для обозначения вектора используют латинские буквы со стрелочкой над ними: либо одной строчной a, либо двумя заглавными AB, где первая буква означает начало, вторая конец. В отличие от отрезков, AB и BA — это разные векторы.

Итак, вы стоите в пункте A. Как и любое другое место на плоскости или другой двумерной поверхности, его можно описать с помощью координат. Пункт B — другое место со своим набором координат. А разность координат этих двух точек — это координаты вектора AB. В некотором смысле, координаты вектора — это рассказ о том, чего этот вектор «добился»: куда и насколько сильно его конечная точка сместилась относительно начальной. Значит, вектор AB — это ещё и набор чисел, который описывает ваш путь.

Так мы получаем ещё одно определение вектора. В алгебре вектор — это упорядоченный набор числовых данных, например: (5, 7, 18). Этими данными может быть что угодно: и координаты Марса в космосе, и время будильников, и оценки по математике, и закодированные с помощью чисел слова из отзывов на плюшевого мишку. Любая информация кодируется в наборы чисел — то есть в векторы.

Почему же векторы так удобны? Во-первых, превращение данных в наборы чисел позволяет структурировать информацию. А во-вторых — с ними можно выполнять различные математические операции: складывать, вычитать, умножать, находить их длину и расстояние между разными векторами. Это бывает полезно. :)

Именно поэтому векторы лежат в основе всего анализа данных! А про операции с векторами мы ещё поговорим в следующих постах.
С вами была рубрика #объясняем_школьное

Когда мы имеем дело с обыкновенными дробями, в числителе и знаменателе часто получаются очень большие числа, с которыми не очень удобно работать. На помощь приходит основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, тогда дробь упростится, а значение её не изменится.

Но как узнать, на что можно сократить нацело? На помощь приходит наибольший общий делитель этих чисел, или, сокращенно, НОД.