Всем весенний привет!

Завтра на календаре уже 1 апреля, но мы люди серьёзные, нам не до шуток 😎

А серьёзным людям - серьёзные задачки, конечно же! Ловите очередную подборку задач от нашего невероятного Артёма @Artem_Rembo:

https://forms.yandex.ru/u/6426bb27068ff00f7db0503a/

Делитесь впечатлениями в этом чате, погружайтесь в решение с головой и обязательно приходите посмотреть разбор, который будет 13.04 в 19:00 по ссылке: https://yandex.zoom.us/j/3329047761


Ну и раз уж тут всё так серьёзно, то давайте вспомним, что для серьёзных ребят есть серьёзный курс по Математике для анализа данных 🤌 Там и алгебра, и математический анализ, и статистика, и теория вероятности... Полный набор!
Переходите по ссылке, чтобы узнать подробнее о том, какие ещё крутые штуки есть на курсе 🔥

До встречи на разборе, друзья!
Хороших вам выходных❤️

Периодические дроби

Все мы в школе проходили дроби и помним, что они бывают обыкновенными и десятичными. Каждую дробь можно записать в обоих видах.

Записать десятичную дробь в виде обыкновенной обычно легко: в числитель записываем всё, что после запятой, а в знаменатель — единичку с таким же количеством нулей, сколько цифр было после точки. Например: 0.045=45/1000.

Записать обыкновенную дробь в виде десятичной сложнее. Можно разделить числитель на знаменатель и иногда это закончится хорошо (потому что вообще закончится). Например, 3/8 = 0.375.
А вот с дробью 2/3 фокус не вполне удастся: представить эту дробь в виде конечной десятичной, как выше, не получится.
При делении 2 на 3 калькулятор выдаст 0.6666… или 0.6666666667, в зависимости от модели.
И это тоже десятичная дробь, но немного другая — она относится к бесконечным десятичным дробям. В её дробной части бесконечное количество шестёрок.

Этот бесконечный хвост из цифр хорошо видно при делении уголком. Разделим так 5 на 12, как на первой иллюстрации выше. Видно, что начиная с какого-то момента остаток всегда будет 8, и он будет порождать цифру 6 в ответе.
Есть удобный способ записать бесконечную дробь: повторяющееся число указать в скобках. В этом случае получится 0.41(6). Повторяющееся число называют периодом дроби, а саму дробь — бесконечной периодической дробью.
В периоде может быть и больше одной цифры. Например, 14/11 = 1.272727… = 1.(27).

Итак, если просто делить числитель на знаменатель, случится одно из двух:
- деление закончится — и мы получим конечную десятичную дробь;
- остатки от деления начнут повторяться — тогда получим бесконечную периодическую дробь.
Значит, с помощью деления уголком можно любую обыкновенную дробь записать в виде какой-то десятичной дроби. Приятно, когда что-то работает всегда!

Бесконечные периодические дроби тоже можно переводить в обыкновенные. Тут основная сложность — избавиться от периода. Разберём, как это делать, на примере, см. вторую иллюстрацию выше.

Запишем в виде обыкновенной дроби 0.(38). Для этого обозначим нашу дробь x, а затем умножим её на 100, так как в периоде два знака: 100x = 38.(38).
Мы как бы вытащили один период из скобок, но избавиться от него целиком не удалось. Зато если вычесть из полученного произведения исходную дробь, разностью будет целое число! А дальше дело техники — это наглядно видно на иллюстрации. На самом деле после вычитания ответ не всегда будет целым, но уже хотя бы без периодического «хвоста».

Алгоритм перевода периодических дробей в обыкновенные:
1. Обозначить исходную дробь за x.
2. Умножить её на 10ⁿ, где n — количество знаков в периоде.
3. Вычесть из полученной дроби исходную.
4. Выразить x.

Предлагаем вам поупражняться!
1) Переведите дробь 3/7 в десятичную периодическую.
2) Переведите 2.73(4) в обыкновенную дробь.
Ответы ждём под скрытым текстом.

Проблемы карт Земли

С давних времён люди пытались создать модели нашей планеты — карты и глобусы. Форма Земли очень похожа на шар, поэтому шарообразный глобус — действительно хорошая модель. Правда, глобус объёмный, его неудобно хранить и носить. Поэтому хорошо бы иметь карту, она покомпактнее. :)

Но и карта не будет идеальным решением — она плоская, и информация с глобуса переносится с искажениями. Это просто представить, если подумать о кожуре мандарина, который тоже очень похож на шар. Если почистить мандарин и попытаться расправить кожуру на столе, она никогда не будет лежать идеально ровно, всегда будут появляться искривления или зазоры между «дольками». Карл Гаусс математически доказал, что поверхность сферы нельзя представить плоскостью без искажений. Поэтому, если мы хотим получить карту, приходится жертвовать точностью.

Решение, которое стало популярным, предложил картограф Герард Меркатор. Он спроецировал сферу на цилиндр, после чего «разрезал» цилиндр по вертикали, применил некоторые преобразования и получил карту. У этой модели есть достоинства, которые есть далеко не у всех других карт:
- формы стран соответствуют реальным;
- углы между объектами тоже сохраняются. Если мы соединим две точки линией и пойдём по компасу в полученном направлении, то в итоге доберёмся туда, куда нужно. До изобретения GPS это было особенно ценно!

Есть у карты Меркатора и недостатки, и они кроются как раз в её неточности. У Земли есть параллели, и они разного диаметра: на экваторе — длиннее, на полюсе — короче. Когда мы преобразуем сферу в цилиндр, то как бы «растягиваем» параллели и делаем их равной длины — как экватор. Вблизи экватора преобразование получается точным, а вот ближе к полюсам сильно искажает размеры.
Поэтому на привычной нам карте Меркатора размеры разных объектов соотносятся не всегда так, как в реальности. Например, Гренландия не больше Австралии, как могло казаться, а наоборот — в несколько раз меньше. В комментариях приложим гифку, на которой площади стран мира уменьшаются до настоящих соотношений.

Ещё одна проблема искажения в проекции Меркатора: если две точки соединить прямой линией, то эта линия окажется не самым коротким путём. Вспомните, как выглядит маршрут самолёта на карте. Это кратчайший путь из возможных, но отображается не как прямая, а как дуга. Самолёт летит над объёмной планетой по Римановской прямой, но проекция Меркатора её искажает.

Конечно, эта проекция — не единственная попытка перенести трёхмерный глобус в плоскость. Есть множество других проекций, каждая из них решает конкретную задачу. Самая точная сейчас — двусторонняя карта, на которой каждое полушарие представлено кругом. Однако самое точное представление о масштабах, формах и маршрутах можно получить только с помощью глобуса.

***
Ещё по теме:
- Подробнее о проекции Меркатора
- Интерактив, на котором можно перетаскивать страны к другим и сравнивать их реальные размеры
- Короткое видео про самую точную карту
- Видео про маршруты самолётов
- Карта маршрутов самолётов

Привет!

Мы знаем, что не у всех в школе сложилось с математикой. Кто-то не понял, как вычислять логарифмы, а кого-то до сих пор с ужасом вспоминает задачи на смеси.
Бывает, осталось неясным, как считать площади разных многоугольников. А кто-то не разобрался, как меняется объём конуса при изменении его высоты.

Если у вас остались непонятки по школьному материалу, напишите нам прямо здесь, в комментариях. А мы объясним (там же или отдельными постами) через что-то милое.
Например, на котиках! Или на пельмешках.

Спасибо вам за отклик под вчерашним постом!
Мы обдумаем, как лучше раскрыть предложенные вами темы: какие-то ответы уложатся в пост, где-то сможем дать ссылки на наши бесплатные уроки, а что-то станет темой вебинара.

В чём есть определённость — благодаря вашим ответам теперь появится постоянная рубрика #объясняем_школьное.

Число пи и ваш день рождения

Вокруг числа π ходит так много легенд! Причина понятна — оно является бесконечной непериодической дробью (что уже непросто осознать), но при этом регулярно вылезает в геометрии, теории чисел и вообще почти любой области математики. Людям настолько нравится число π, что у него вычислены уже первые 100 триллионов знаков. Говорят, в нём сокрыт смысл всего мироздания… Насчёт этого не подскажем, но что точно спряталось в знаках после запятой, так это ваш день рождения! Не верите? Всё уже посчитано!

Любой день рождения можно записать в формате шестизначного числа как ДДММГГ. И вот дело в том, что среди уже вычисленных триллионов знаков числа π встречается абсолютно любое шестизначное число. Это узнали скучным перебором (не вручную, конечно). А раз там есть любое шестизначное число — и ваш день рождения тоже найдётся! Узнать, где же именно спрятана ваша знаменательная дата, можно на сайте.

Например, сегодня 12 апреля 2023 года (кстати, с Днём Космонавтики!). Число 120423 находится на позиции номер
734 470 после запятой.

А что будет, если брать не шестизначные числа, а более длинные? Все ли они встретятся среди «хвоста» числа π? Никто не знает — пока не доказано, содержит ли десятичная запись π любое конечное число. Впрочем, не доказано и обратное.

Привет!
Сегодня в 19:00 состоится разбор задач из первоапрельского квиза. Разбирать их будет Артём, преподаватель курса
«Математика для анализа данных».

Приходите послушать, даже если вы не решали задачи — всегда приятно поговорить о математике. К тому же, Артём классный и понятно объясняет. 😇

Вход по ссылке.

Есть учёные, которые занимаются математикой из любопытства. Их увлекают теоретические исследования, абстракции и доказательства.
Другие больше интересуются применением математики и моделируют реальные явления математическими инструментами.

Но все вместе они создают огромный математический мир — прекрасный в своём многообразии. 🥰
Посмотрите видео, в котором рассказывают о карте математики, и убедитесь сами. 😇

Всем классных выходных!

Нецелая размерность фракталов

Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.

Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.

Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.

Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.

Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.

Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.

Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.

Знакомьтесь, на иллюстрации — треугольник Серпинского. Этот фрактал строят так:
- из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника;
- потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅

Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту.
На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки…
Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585.

Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.