2) Во втором пункте задачи средняя скорость равна 54 км/ч. Найдём v₃:

3 / (1/38 + 1/45 + 1/v₃) = 54;
1/38 + 1/45 + 1/v₃ = 3/54 = 1/18;
1/v₃ = 1/18 - 1/38 - 1/45 =
= (95 - 45 - 38) / 1710 = 12 / 1710 = 2 / 285.

Отсюда v₃ = 285 / 2 = 142.5 км/ч.

Ого! Даже для такой, казалось бы, небольшой средней скорости в 54 км/ч, курьеру придётся ускориться на третьем участке до фантастических 142.5 км/ч.

Забавный факт: даже если бы на третьем участке пути курьер двигался со скоростью света (она равна 1079252848.8 км/ч), его средняя скорость была бы меньше 62 км/. 🙃
Неудивительно, что в первом пункте ничего не вышло.

Для средней скорости есть готовая красивая формула — именно она приведена на иллюстрации. По ней ищут среднее гармоническое n чисел. Его используют не только для средней скорости, другие приложения можно посмотреть, например, в википедии.

Хороших вам выходных!

Формула для простых чисел

Сегодня у нас два простых вопроса про простые числа.

Для начала: сколько всего простых чисел? На этот вопрос ответил Евклид ещё в 3 веке до нашей эры: их бесконечное количество. Это легко доказать, так сделаем это!

Предположим обратное — допустим, простых чисел конечное количество. Тогда есть «самое большое простое число», пусть оно равно p. Перемножим все простые числа до p включительно, а затем прибавим к произведению 1. Результат не делится нацело ни на одно из предыдущих простых чисел, и уж тем более ни на одно из составных. Получается, что результат делится только сам на себя и на 1, а значит — это простое число. Этот способ всегда позволяет сконструировать новое простое число, которое больше «самого последнего». Значит, простых чисел бесконечное количество. Доказали.👌

Теперь второй вопрос: как найти простое число, зная только его номер?
Есть решето Эратосфена — о нём мы писали ранее. Этот алгоритм позволяет последовательно находить все простые числа. Но есть проблема: с увеличением чисел время на его реализацию растёт с огромной скоростью. Поэтому этот алгоритм неудобно использовать, чтобы найти очень большие простые числа.

Удобным вариантом была бы формула, которая по номеру простого числа помогала бы вычислить само число. К сожалению, попытки найти такую формулу не привели к успеху.

Лучшее, что получалось, — формулы, которые выдают простые числа часто, но не всегда. Одну из таких формул предложил известный математик Леонард Эйлер. Выглядит она так:
n² - n + 41. Числа, рассчитанные по ней, являются простыми для n = 0, 1, …, 40. Но при n = 41 значение обращается в 41² — а это уже составное число. При n = 42 тоже неудача.

Однако при n = 43 и дальше формула снова работает — часто, но не всегда. Определите, при каком n она ломается в следующий раз? Ответы присылайте под скрытым текстом.

И ещё раз привет!
Напоминаем, что сегодня последний день, когда вы можете решить задачу и воспользоваться скидкой на курс «Математика для анализа данных». Подробности в посте.

АПД к предыдущему посту: у нас тут были неполадки с промокодом.
Сейчас всё починили, извините за неудобства. :)

Продлили его действие на завтрашний день, чтобы все желающие точно успели. 😊

Привет!
Разберём цветочную задачу с прокомодом.
Напомним условие:

В ночь на 8 марта цветочный магазин был пуст. Утром приехала фура с тюльпанами и розами. Всего привезли 1440 цветов, из них 25% красных. Среди тюльпанов красных — 10%, а среди роз — 30%. На сколько штук тюльпанов было меньше, чем роз?

Обозначим количество тюльпанов за t, количество роз — за r. Всего цветов 1440, значит, t + r = 1440. Это наше первое уравнение.
По условию 25% от всех цветов — красные, это 0.25*1440 = 360 штук. Из тюльпанов красных 10%, в штуках это 0.1t цветов. Из роз красных 30%, то есть 0.3r штук. Всего получается 0.1t + 0.3r. Запишем второе уравнение: 0.1t + 0.3r = 360.

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
t + r = 1440;
0.1t + 0.3r = 360.

Домножим второе уравнение на 10:
t + r = 1440;
t + 3r = 3600.

Вычтем из второго уравнения первое, результат запишем на второй строчке:
t + r = 1440;
2r = 2160.

Из второго уравнения получаем r = 1080. Тогда из первого уравнения t = 1440 - 1080 = 360.
Значит, в магазин привезли 1080 роз и 360 тюльпанов. Роз на 1080 - 360 = 720 штук больше.

Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курс «Математика для анализа данных» идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов нового потока. ☺️

Недавно мы писали, что привычная нам геометрия Евклида — не единственная из возможных, а есть ещё геометрии Лобачевского и Римана. Сегодня продолжим эту тему.

Давайте ещё раз посмотрим на «прямые» в каждой из геометрий. В геометрии Евклида прямые действительно прямые. 😅
А вот в других геометриях объекты, которые называют прямыми, на самом деле изогнутые: ведь сами поверхности, на которых они находятся, имеют изгиб. Из-за этого возникает неожиданное свойство у треугольников.

В геометрии Евклида сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, а в других геометриях это утверждение неверно.
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°. Конкретное значение не зафиксировано — оно может меняться в зависимости от того, как изогнута поверхность и от места расположения треугольника на поверхности.
В геометрии Римана сумма углов в треугольнике больше 180°, но меньше 540°, фиксированного значения тоже нет. Конечно, сфера сама по себе меняться не может, но сумма углов зависит от выбранного треугольника. Поэтому в геометрии Римана существует, например, треугольник, все углы которого — прямые, то есть, по 90°. Ну очень прямоугольный треугольник!

Эти свойства интересны не только в теоретическом смысле, но и имеют практическое применение — например, в астрономии. Планеты по форме близки к шару, поэтому удобно изучать их с помощью геометрии Римана. Находить радиус планеты помогает именно сферический треугольник на её поверхности. Для этого используют формулу: R² = S / (∠A + ∠B + ∠C - π). Здесь R — радиус планеты, S — площадь этого треугольника, ∠A, ∠B, ∠C — его углы в радианах.

Мы ещё поговорим о применении неевклидовых геометрий в следующих постах!

Вокруг изучения математики витает много вопросов, например:

• Зачем студенты поступают на математические специальности и как они там учатся?
• Чем занимаются люди, которые закончили такие специальности?
• Где именно в Data Science нужна математика?
• В каком возрасте стоит учить математику и не поздно ли уже?
• Почему сложно учить математику одному?
• Как учить и всё-таки выучить?
• В чём смысл учить математику кроме собственно знаний?

Эти и другие вопросы обсуждают в подкасте факультета компьютерных наук ВШЭ. На наш взгляд, он получился полезный, при этом позитивный и недушный. Поэтому и делимся с вами. 😊

Бонус от гостя подкаста — подборка книг, которые помогут изучить математику для машинного обучения и анализа данных. Книги в подборке разделены по уровням подготовки. Если хотите подступиться к математике, но не знаете как — рекомендуем заглянуть.

О словах

Бывают понятия, которые встречаются в разных науках. Сегодня поговорим о словах — их изучают и лингвистика, и математика.

Слова состоят из букв, набор всех букв данного языка в лингвистике называют алфавитом. Например, бывает русский, английский, арабский, кхмерский и другие алфавиты. С помощью букв алфавита люди образуют слова, а слова образуют язык.

В математике же алфавитом может быть любое множество букв. Например, {ж, у, к} — это некоторый алфавит. В математическом алфавите необязательно должны быть только буквы одного языка. Более того, буквой здесь может быть любой символ. Например, {ф, j, +} — это тоже алфавит, в нём три буквы, из них можно составлять слова.

С точки зрения лингвистики, слова должны иметь смысл. Например, «конь» — это слово, а вот «окнь» уже нет. В математике слово — это просто любая упорядоченная последовательность букв: «конь», «окнь», «ьььнько» и любое другое. Буквы могут идти в любом порядке и повторяться любое количество раз — каждое изменение порождает новое слово. В англоязычной терминологии вместо «слова» используют термин «строка» (string).

Напоследок, как обычно, задачка. Возьмём алфавит из четырёх букв: {а, с, н, о}. Пусть множество T состоит из всех слов этого алфавита с длиной не более трёх букв.
1) Сколько элементов содержится во множестве T?
2) Какие из этих слов осмысленные в русском языке? Давайте выделим все осмысленные слова, любых частей речи и падежей.

Во вчерашней задаче нужно было составить слова: математические и осмысленные русские. Решаем!

1) Количество математических слов вычислим через правило произведения.
В нашем алфавите 4 буквы, и внутри слова они могут повторяться, так что получим:
однобуквенных слов — 4,
двухбуквенных — 4*4=16 штук,
трёхбуквенных — 4*4*4=64.
Всего получаем 4+16+64=84 слова.

2) В первом комментарии мы выпишем все эти слова и подпишем осмысленные. Стиль оформления позаимствовали у нашего подписчика Макса. Макс, спасибо вам!
Чтобы ничего не потерять, запишем слова в лексикографическом порядке. На некоторые неочевидные даём ссылки. Многие слова — аббревиатуры, но имеют значение! Мы даже не ожидали, что получим столько осмысленных слов.

Итог такой: 3 однобуквенных + 16 двухбуквенных + 48 трёхбуквенных = 67 слов уже нашли применение в русском языке, а у остальных 16 всё ещё впереди или пока википедия о них не знает. 😉

Что полезно знать коллекционерам

Что объединяет игрушки одной серии из киндеров, акцию «собери все виды стикеров и получи приз» и коллекцию вкладышей в жвачки “Love is”? Это всё модифицированные варианты одной задачи — задачи о коллекционировании купонов. Под «купонами» здесь понимают карточки, коллекцию которых нужно собрать, чтобы получить приз или просто иметь полную коллекцию. 😇

Пусть всего существует V различных купонов и каждый раз мы получаем по одному случайному купону. Будем считать условия акции честными, то есть купоны каждого вида встречаются одинаково часто, а значит, вероятности получить любой купон равны. Определим, сколько в среднем нужно купить купонов, чтобы получить хотя бы по одному купону каждого вида.

Сформулируем задачу в терминах теории вероятностей. Впереди будет много понятий, сейчас мы не будем останавливаться на них подробно. Все подробности — в нашем курсе по математике.

Неизвестно, сколько всего купонов нам придётся купить, чтобы собрать всю коллекцию. Значит, это случайная величина! Обозначим её: пусть X — случайная величина, описывающая количество купленных купонов до успеха.

Мы хотим определить, сколько в среднем нужно купить купонов, чтобы собрать всю коллекцию. Среднее значение случайной величины — это её математическое ожидание. Значит, ищем E(X).

Пусть у нас уже есть i-1 различных купонов, и нам нужен i-й новый купон. Снова неизвестно, какое количество покупок нужно совершить, чтобы его получить. Значит, это тоже случайная величина. Обозначим: xᵢ — случайная величина, описывающая количество купонов, которое нужно купить, чтобы получить i-й новый купон. Если коллекция состоит из V купонов, тогда всего у нас получится V таких случайных величин: x₁, x₂, …, xᵥ.

Запишем матожидание общего числа купонов:
E(X) = E(x₁ + x₂ + … + xᵥ) = E(x₁) + E(x₂) + … + E(xᵥ).

Случайные величины xᵢ описывают явления вида «количество попыток до первого успеха», а значит, для модели подойдёт геометрическое распределение. Посчитаем значение матожидания E(xᵢ). Вероятность получить новый купон равняется (V-i+1) / V, а матожидание для геометрического распределения обратно вероятности. Тогда E(xᵢ)=V/(V-i+1).

Запишем формулу для среднего X:
E(X) = V/V + V/(V-1) + … + V =
= V*(1/V + 1/(V-1) + … + 1) =
= V*(1/1+ 1/2 + 1/3 + … + 1/V).
Число в скобках — это частичная сумма гармонического ряда (про него подробнее ещё расскажем, он интересный).

На первый взгляд может показаться, что результат не очень большой. Для маленьких наборов так и есть. Например, чтобы собрать комплект из 5 купонов, нужно, в среднем, сделать около 11 покупок — примерно в два раза больше размера коллекции.
Но значение быстро растёт. Например, для V = 10 матожидание E(X) примерно равно 30 — в три раза больше размера коллекции. А для V= 30 его значение уже приближается к 120. Получается, чтобы собрать набор из 30 разных купонов, нужно в среднем совершить аж 120 покупок — в 4 раза больше, чем хотелось бы. 😅

Быть коллекционером непросто! Если задумали собрать полную коллекцию, то запасайтесь терпением. :)

Лучшее завершение поста — это задача. Пусть в киндер-сюрпризах спрятана коллекция бегемотиков из 8 штук. Будем считать, что это единственная серия в продаже и вероятность встретить каждую игрушку одинакова.
Посчитайте, сколько в среднем киндеров надо купить, чтобы собрать весь набор?
Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Как автоматически создать мем

Существуют так называемые боты-мемезаторы. Отправляете им картинку — они подбирают к ней подпись и автоматически создают из неё мем. Мы сгенерировали мем с котиком, положим его в комментарии к посту.
Некоторые мемы получаются удачные, другие — не очень, но в целом мемезатор неплохо подбирает подпись к картинке. Как ему это удаётся? «На пальцах» объясняет разработчик программы курса «Математика для анализа данных» Георгий Кожевников.

***

На просторах интернета собирают большой датасет картинок и описаний к ним. Размер датасета — сотни миллионов пар картинка-подпись.
Дальше обучают модель типа CLIP, которая умеет связывать текст и картинки. Она состоит из двух нейросетей: одна превращает картинки в векторы, вторая — текст в векторы.

Идея в том, чтобы измерить схожесть изображения и текста. В качестве меры используют расстояние между векторами: схожие векторы расположены близко друг к другу, а отличающиеся — далеко.
Обучение происходит так: берут картинку и подпись к ней из датасета, затем берут ещё около 30 000 случайных подписей. Нейросети превращают всё в векторы и строят модель так, чтобы вектор настоящей подписи был ближе всего к вектору картинки, а векторы всех остальных подписей — дальше.
Такой способ обучения называется contrastive learning, в переводе на русский — контрастное обучение (но русский вариант используют редко).

Со временем модель выучивает общее векторное пространство «смыслов» для картинок и текстов. В результате любой текст и любую картинку можно перевести в это пространство и измерить расстояние между ними.
Тут уже можно начать догадываться, как работает мемезатор. Заводят базу мемных фраз, вроде «Алло, это пожарная? Пожарьте картошечку» и с помощью нашей нейронной сети вычисляют расстояния между входной картинкой и каждой такой фразой в базе. Затем выбирают фразу, которая находится ближе всех к картинке, и приклеивают её на фотку.
Вуаля — мемезатор готов! Никакой ловкости рук, только наша любимая математика.

Систему можно улучшить, например, так:
1) Добавить вероятность. Чтобы каждый раз не выбиралась одна и та же фраза, можно сделать выбор случайным, с учётом расстояний. Чем ближе фраза к картинке, тем вероятнее она будет выбрана, но всегда есть шанс выбрать другую фразу. Иногда получается нелепо, а в других случаях появляется удивительный сарказм.
2) Дообучить модель на «мемном» датасете. Для этого нужно собрать датасет мемов: пары картинка + смешная подпись текстом + количество положительных реакций. Таким образом, мемы должны получаться более точными и смешными. Но чувство юмора — тонкая штука, поэтому оценить объективно, конечно, сложно.

***

В предыдущих постах Георгий советовал учебники по математике для Data Sience, ещё книги по математике для Data Science и рассказывал о математике в компьютерной графике. Заглядывайте, если интересно. 😇

Привет!
Как ваш вторник? Если тяжеловато, мы знаем, что всегда бодрит — это интересные задачи!
А если неделя началась активно, то задачи помогут поддержать активность. ;)
Присоединяйтесь к решению квиза от команды курса «Математика для анализа данных». В нём 10 задачек — типа тех, которые встречаются на олимпиадах или собеседованиях. Некоторые из них могут быть вам знакомы. 😇
Если есть вопросы — заходите в чат квиза.

Приятной мозговой разминки!

↓↓↓

Всем весенний привет!

Завтра на календаре уже 1 апреля, но мы люди серьёзные, нам не до шуток 😎

А серьёзным людям - серьёзные задачки, конечно же! Ловите очередную подборку задач от нашего невероятного Артёма @Artem_Rembo:

https://forms.yandex.ru/u/6426bb27068ff00f7db0503a/

Делитесь впечатлениями в этом чате, погружайтесь в решение с головой и обязательно приходите посмотреть разбор, который будет 13.04 в 19:00 по ссылке: https://yandex.zoom.us/j/3329047761


Ну и раз уж тут всё так серьёзно, то давайте вспомним, что для серьёзных ребят есть серьёзный курс по Математике для анализа данных 🤌 Там и алгебра, и математический анализ, и статистика, и теория вероятности... Полный набор!
Переходите по ссылке, чтобы узнать подробнее о том, какие ещё крутые штуки есть на курсе 🔥

До встречи на разборе, друзья!
Хороших вам выходных❤️

Периодические дроби

Все мы в школе проходили дроби и помним, что они бывают обыкновенными и десятичными. Каждую дробь можно записать в обоих видах.

Записать десятичную дробь в виде обыкновенной обычно легко: в числитель записываем всё, что после запятой, а в знаменатель — единичку с таким же количеством нулей, сколько цифр было после точки. Например: 0.045=45/1000.

Записать обыкновенную дробь в виде десятичной сложнее. Можно разделить числитель на знаменатель и иногда это закончится хорошо (потому что вообще закончится). Например, 3/8 = 0.375.
А вот с дробью 2/3 фокус не вполне удастся: представить эту дробь в виде конечной десятичной, как выше, не получится.
При делении 2 на 3 калькулятор выдаст 0.6666… или 0.6666666667, в зависимости от модели.
И это тоже десятичная дробь, но немного другая — она относится к бесконечным десятичным дробям. В её дробной части бесконечное количество шестёрок.

Этот бесконечный хвост из цифр хорошо видно при делении уголком. Разделим так 5 на 12, как на первой иллюстрации выше. Видно, что начиная с какого-то момента остаток всегда будет 8, и он будет порождать цифру 6 в ответе.
Есть удобный способ записать бесконечную дробь: повторяющееся число указать в скобках. В этом случае получится 0.41(6). Повторяющееся число называют периодом дроби, а саму дробь — бесконечной периодической дробью.
В периоде может быть и больше одной цифры. Например, 14/11 = 1.272727… = 1.(27).

Итак, если просто делить числитель на знаменатель, случится одно из двух:
- деление закончится — и мы получим конечную десятичную дробь;
- остатки от деления начнут повторяться — тогда получим бесконечную периодическую дробь.
Значит, с помощью деления уголком можно любую обыкновенную дробь записать в виде какой-то десятичной дроби. Приятно, когда что-то работает всегда!

Бесконечные периодические дроби тоже можно переводить в обыкновенные. Тут основная сложность — избавиться от периода. Разберём, как это делать, на примере, см. вторую иллюстрацию выше.

Запишем в виде обыкновенной дроби 0.(38). Для этого обозначим нашу дробь x, а затем умножим её на 100, так как в периоде два знака: 100x = 38.(38).
Мы как бы вытащили один период из скобок, но избавиться от него целиком не удалось. Зато если вычесть из полученного произведения исходную дробь, разностью будет целое число! А дальше дело техники — это наглядно видно на иллюстрации. На самом деле после вычитания ответ не всегда будет целым, но уже хотя бы без периодического «хвоста».

Алгоритм перевода периодических дробей в обыкновенные:
1. Обозначить исходную дробь за x.
2. Умножить её на 10ⁿ, где n — количество знаков в периоде.
3. Вычесть из полученной дроби исходную.
4. Выразить x.

Предлагаем вам поупражняться!
1) Переведите дробь 3/7 в десятичную периодическую.
2) Переведите 2.73(4) в обыкновенную дробь.
Ответы ждём под скрытым текстом.