Дебет с кредитом не сходится

В ресторанах нам явно везёт на математику. После задачек про шатающийся стол и странный счёт — новая история про деньги.

✅Условие: трое коллег тяжело работали над общим проектом всю рабочую неделю и в пятницу вечером, вместо того чтобы идти домой, решили наградить себя за труды совместным походом в ресторан.

После плотного ужина официант принёс чек. В нём была сумма 15 тысяч рублей. Поскольку каждый из друзей заказывал одно и то же, они, недолго думая, поделили счёт поровну — по 5 тысяч с каждого.

Гарсон уже успел их рассчитать, как вдруг чек увидел старший менеджер и упрекнул официанта: «Ты что, забыл, что у нас сегодня акция „Три по цене двух“? Срочно верни им 5 тысяч наличными!»

Официант не знал, как делить 5 тысяч на троих, но не растерялся. Он отдал каждому из гостей ресторана по тысяче рублей, а две — просто оставил себе в качестве «заслуженных» чаевых.

Каждый из друзей в итоге заплатил по 4 тысячи рублей. Посчитаем: 3 × 4 = 12. Плюс ещё 2 тысячи лежат у официанта в кармане. Итого — 14 тысяч рублей.

✅Вопрос: куда делась ещё тысяча рублей?

#задача

Должен был косарь отдать…

Вчерашняя задача — ловушка на основе интерпретации арифметики и причинно-следственных связей.

Ошибкой здесь является неуместное сложение: когда мы считаем 3 × 4 = 12, то эти 12 уже включают в себя 2 тысячи рублей, которые забрал официант.

Из этих 12:
✅ 10 ушли на оплату счёта,
✅ 2 остались у официанта.

Нельзя добавлять 2 тысячи к этим 12 — тогда мы как бы дважды учитываем «чаевые».

Прелесть задачи в том, что арифметика начинает казаться невозможной, когда мы неправильно «ставим скобки» в логике повествования. Это отличный пример того, как ошибка в интерпретации создаёт иллюзию математического парадокса.

Накидайте подобные головоломки в комменты, если встречали.

Решить рандомную задачу из канала ➡️ тык.

#задача

Сюрреальные числа: мир, который придумали Кнут и Конвей🌀

Возможно, вы слышали об авторе системы компьютерной вёрстки и типографии TeX. Её разработал Дональд Кнут. Он же является автором фундаментального труда The Art of Computer Programming — одной из самых влиятельных работ в истории информатики.

Ещё один человек, о котором сегодня пойдёт речь, — Джон Конвей. Он известен в первую очередь как создатель игры «Жизнь». Однако его вклад в математику весьма многообразен. В частности, Конвей придумал особый вид чисел — сюрреальные. Они включают:

✅привычные нам целые и действительные числа;
✅бесконечно большие (больше любого целого);
✅бесконечно малые (меньше любого положительного действительного).

Об этих числах мало кто слышал до тех пор, пока Дональд Кнут не написал целую книгу Surreal Numbers (1974). Это художественно-математическая повесть, герои которой начинают диалог с простых рассуждений о пустоте. Шаг за шагом в ней возникает ноль, единицы, дроби, действительные числа и Вселенная сюрреальных чисел.

Почему стоит прочитать?

✅Математическая идея преподносится как красивое литературное произведение.
✅Будет интересно и математикам, и человеку, далёкому от формул.
✅Поможет иначе взглянуть на привычные числа 1, 2, 3.

Повесть хороша тем, что её можно читать на разных уровнях: как притчу, как учебник или как введение в совершенно новую числовую систему. А после неё вам, возможно, захочется углубиться в работы Конвея.

Ставьте 👀, если интересно узнать больше о его теориях и, конечно, об игре «Жизнь».

Пост с предыдущей рекомендацией➡️здесь

#рекомендуем

Мини-QR-викторина✅

Билет на киносеанс, афиша, меню в ресторане, а некогда даже пропуск на улицу, — QR-коды давно стали частью нашей реальности. И развитие этой технологии тоже не обошлось без математики.

Внутри простых «узоров из квадратиков» скрыт целый мир чисел. Предлагаем проверить, насколько хорошо вы в нём разбираетесь.

Проходите мини-опрос, а завтра мы расскажем, какая математика прячется в чёрно-белых узорах ⤵️

Как устроены QR-коды❓

Спасибо всем, кто вчера прошёл нашу мини-викторину! Было приятно видеть много правильных ответов. Теперь рассказываем подробнее, какая математика скрывается в чёрно-белых квадратиках.

🟢Двумерное кодирование

QR-код устроен как матрица из чёрных и белых модулей. Чтобы сканер не запутался, где верх и низ, в углах есть большие маркеры, а внутри — синхронизирующие линии. Каждый квадрат модуля кодирует 0 или 1. Такая система координат позволяет «поставить сетку» и правильно считать биты информации.

🟢От битов к многочленам

Чтобы хранить текст или ссылку, одних нулей и единиц мало — нужны способы защитить данные от ошибок. И здесь в дело вступает высшая математика. Информация в QR-коде представляется как последовательность чисел, а они, в свою очередь, — как коэффициенты многочлена. Приведём пример:

Сообщение «HELLO» можно легко превратить в многочлен: M(x) = 72x⁴ + 69x³ + 76x² + 76x + 79. Коэффициенты здесь — это ASCII-коды букв.

Текст «ABC» тоже может стать многочленом: 65 + 66x + 67x², в котором ASCII-коды A, B, C — 65, 66 и 67, соответственно.

В реальных QR-кодах преобразование текста выполняется не так прямолинейно. Но идея кодирования именно та. И появилась она, потому что с многочленами удобно работать в рамках конечных полей.

🟢Конечное поле

Его ещё называют полем Галуа, по имени Эвариста Галуа. Это система чисел, в которой сложение, умножение и деление замкнуты внутри ограниченного набора элементов. Например, поле из 256 элементов — GF(256) — выбирают
для работы с байтами.

В QR-кодах вычисления тоже происходят в GF(256). Из этого поля берут коэффициенты многочленов, и арифметика становится очень эффективной. Числа складываются и умножаются «по модулю», так что даже при ошибках восстанавливается строгая структура.

🟢«Страховочные» коэффициенты

Или, по-другому, контрольные символы. Их добавляют к исходному многочлену M(x), чтобы QR-код был устойчив к повреждениям. Это делают с помощью кодов Рида–Соломона:

Если у вас есть многочлен степени k–1, то для его однозначного восстановления достаточно знать его значения в k точках. А если вы знаете его значения в большем числе точек, то даже при потере части из них многочлен можно восстановить.

В QR-коде данные «записываются» в виде значений многочлена в разных точках конечного поля. А дальше сканер решает обратную задачу: восстанавливает многочлен по частично повреждённым данным.

Этот процесс напоминает интерполяцию: как если бы вы знали несколько точек на параболе и могли восстановить всю кривую. Современные QR-коды можно восстановить при повреждении до 30% площади!

🟢Комбинаторика масштабов

Даже небольшой QR-код на 21×21 модуль содержит миллиарды комбинаций. А более крупные версии уходят в масштабы чисел, сопоставимых с количеством атомов во Вселенной.

Так что каждый раз, когда ваш телефон безошибочно считывает QR-код с потрёпанной временем и погодой афиши, он фактически решает задачу алгебраической интерполяции в конечном поле.

Правда, иногда технология может оказаться избыточной. Яркий пример — QR-часы: вместо времени они показывают код, который нужно отсканировать, чтобы узнать, который час. Полезно разве что в мире без смартфонов.

По ссылке вы найдёте крутую англоязычную настолку. В ней нужно восстановить QR-коды и решить головоломку. Правила можно прочитать здесь, а скачать листы с заданиями тут.

#как_устроено

Где прячется центр круга❓

Задача сегодня будет простая, но интересная: у вас есть лист бумаги. На нём нарисована окружность. Нужно найти её центр, используя только сгибы бумаги.

❎Линейку и циркуль использовать нельзя — в вашем распоряжении только бумага, руки и смекалка.

Пробуйте и показывайте результаты в комментариях под спойлером.

🟢А если справились, здесь лежит ещё одна задача с бумагой. Решайте!

#задача

Бумага сама знает ответ…

Во вчерашнем условии мы обещали, что линейка и циркуль не понадобятся. А вы предложили много решений✅

Сформулируем нашу версию:

1️⃣ Выберите угол листа и точку на окружности, находящуюся вдали от этого угла. Согните бумагу так, чтобы выбранный угол оказался точно на выбранной точке (на рисунке это точки C’ и C).

2️⃣ Пусть стороны листа, исходящие из угла C’, пересекут окружность в точках J и K. Так как угол JC’K = 90°, отрезок JK является диаметром окружности и проходит через её центр. Сделайте сгиб вдоль линии JK.

3️⃣ Затем выберите другую точку на окружности или другой угол листа, и повторите процедуру. Две построенные таким образом линии сгиба пройдут через центр окружности, а значит, пересекутся именно в нём.

Ставьте 🤓, если разобрались без наших подсказок. И делитесь с друзьями — задачу можно решить вместе на сайте GeoGebra. Вот здесь оставили готовое решение и обоснование.

#задача