Повесть о двух фракталах 📘

Брошюра, которую мы хотим порекомендовать вам сегодня, — почти сборник сказок для тех, кто не боится бесконечности.

Она написана по материалам лекций для школьников и студентов, прочитанных А. А. Кирилловым в летней школе «Современная математика» в Дубне.

🔵В центре книги — два фрактала, изображенные на карточках выше: ковёр Серпинского и ковёр Аполония. Вокруг них автор строит целое введение в современную теорию фракталов: от первых определений до нерешённых задач и актуальных направлений исследований.

Причём каждая задача сформулирована как приглашение к самостоятельному исследованию. Вот что пишет сам автор во введении:

«Во многих популярных книгах читатель увидит массу цветных картинок и любопытных примеров, но не найдёт ни точных определений, ни строго доказанных результатов…

Последняя и, может быть, самая важная причина [написания этой книги] состоит в том, что самостоятельное изучение геометрии, анализа и арифметики фракталов, на мой взгляд, является одним из лучших способов для молодого математика активно и прочно овладеть основными математическими знаниями».

Александр Кириллов — один из самых ярких учеников Израиля Моисеевича Гельфанда, автор знаменитого учебника по «Теории представлений», а также целого ряда работ по функциональному анализу, геометрии и математической физике.

Его стиль — продолжение той самой «гельфандовской школы», где от лекции по алгебре можно было уйти с философским инсайтом.

Книга идеально подойдёт студентам младших курсов и старшеклассникам, но будет интересна и тем, кто хочет понять, как можно учить математике без демпинга уровня и с уважением к читателю. А главное — распространяется брошюра бесплатно!

Скачивайте и читайте, если хотите разобраться с фракталами и почувствовать, как они вплетаются в ткань современной математики.

✅А здесь вы найдёте пост с предыдущей подборкой книг от редакции канала.

#рекомендуем

Как ящерицы проникли в геометрию 🦎

Невозможный стиль Эшера не появился внезапно — за ним стояла целая цепочка событий.

✅Всё началось с того, что будущего мастера визуальных парадоксов отчислили из технического училища — подвело здоровье. Но уже через год он поступил на факультет графического искусства. Именно там начал складываться его уникальный визуальный язык.

✅А помог его становлению не кто иной, как родной брат — кристаллограф и геолог Беренд Георг Эшер. Он познакомил Маурица с ключевыми научными трудами по кристаллографии. После них Эшер всерьёз заинтересовался темой симметрии и заполняющих пространство структур.

✅В 1922 году он отправился в путешествие по Испании и впервые попал в Альгамбру — мусульманский дворец, известный как высшее достижение мавританского искусства. Узоры на стенах, уложенные в плоскость без пробелов и зазоров, заворожили Эшера так же сильно, как и некогда строение кристаллов.

✅Через 14 лет художник вернулся. Он внимательно изучал принципы построения восточных орнаментов и создал сотни набросков с тесселяциями — повторяющимися фигурами, идеально заполняющими поверхность. Позже он начал «населять» геометрические формы живыми существами — птицами, рыбами, ящерицами.

Зафиксируем: Эшер экспериментировал с симметриями интуитивно, ещё до того, как получил какие-либо математические пояснения. В работах он опирался только на своё уникальное видение и концепцию кристаллографических групп. Кстати, они до сих пор используются дизайнерами и архитекторами для создания интерьеров.

Ставьте 👀, если было интересно заглянуть за кулисы гениальности.

И рассказывайте в комментариях, был ли у вас опыт создания собственных тесселяций? Сегодня вечером покажем, как их сделать.

#история

Повторяться нельзя замостить

Когда мы писали про мозаику Пенроуза, обещали вернуться к задаче, которая мучила математиков десятилетиями.

✅Вопрос: существует ли фигура, которой можно замостить всю плоскость без пробелов и наложений, но так, чтобы рисунок никогда не повторялся?

✅Ответ: да, существует.

Долгое время считалось, что такую фигуру построить нельзя. Но в 2023 году случилось невероятное.

Дэвид Смит, самопровозглашённый «любитель фигур» из Англии, открыл тринадцатиугольник, составленный из восьми одинаковых четырёхугольников. За характерную форму плитку прозвали «шляпой». Математики доказали её апериодичность и наплодили целое семейство подобных фигур.

Кстати, здесь вы можете даже открыть собственную «шляпу» — выбирайте форму, цвет и получите бесконечный неповторяющийся орнамент.

Парадоксально, но даже неповторяющийся узор идеально укладывается в шестиугольную решётку — одну из самых регулярных структур в природе.

❗️Получается, концепция апериодических фигур тоже выросла из строгих эшеровских замощений.

Играя с образами животных, художник разработал целую систему категоризации симметричных свойств, которая ранее рассматривалась только кристаллографами. Эшер классифицировал группы по тому, какие виды симметрии они допускают: параллельный перенос, повороты на 180°, 120°, 90° и 60°, зеркальные отражения.

🔵Нарисовать такую тесселяцию не так уж и сложно. В карточках собрали мини-гайд по созданию орнамента от руки. А если не хочется долго корпеть над эскизом — вот сайт, где можно всё сделать на экране.

Результаты ждём в комментариях!

#задача

Манифест бесконечности ♾️

Как мы уже писали, Мауриц Эшер не имел математического образования. Но почему его работы цепляют именно математиков?

Сегодня расскажем три истории о том, как эшеровские образы стали вдохновением для больших научных открытий.

🟢Начнём с лестницы Пенроуза — самой известной невозможной фигуры. Кто первым её придумал — Пенроуз или всё-таки Эшер? История похожа на саму лестницу — начало и конец сливаются в парадоксальной петле причинности:

Математический физик Роджер Пенроуз был настолько очарован эшеровской гравюрой «День и ночь». Вдохновившись идеей, он создал невозможный треугольник и показал наброски отцу — психиатру Лайонелу Пенроузу. Вместе они разработали невозможную лестницу и опубликовали по ней статью. Копию, безусловно, отправили Эшеру.

В ответном письме художник написал, что действительно работает над лестницей и с удивлением отметил, что о приёме он узнал из статьи, в которой его самого уже назвали автором невозможных объектов. Как Эшер и Пенроузы одновременно пришли к одной идее — загадка.

🟢Но не только фигуры, нарушающие логику пространства, вдохновляли математиков. Иногда вопросы крылись в самом построении картин — и здесь на сцену выходит эффект Дросте:

Это особая техника, при которой внутри изображения размещается его уменьшенная копия — получается некая оптическая матрёшка. Одну из таких литографий — «Галерея эстампов» — Эшер будто специально оставил незаконченной. Достроить центральный кусок смогли лишь через 44 года. Это сделал математик Хендрик Ленстра.

Он применил теорию эллиптических кривых для изучения искажений и обнаружил, что недостающую сцену можно описать с помощью комплексной экспоненциальной функции. Открытие получило освещение в «Нью-Йорк Таймс», на голландском телевидении и в нескольких газетах.

🟢Рекурсивный мотив в работе Эшера стал поводом для серьёзного математического анализа. Но влияние художника выходит за рамки геометрии:

Например, физик Дуглас Хофштадтер рассматривал его работы как примеры глубоких идей самореференции, бесконечности и парадокса в своей знаменитой книге «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда». За неё автор, кстати, получил Пулитцеровскую премию.

Хофштадтер неоднократно подчёркивает, что Эшер исследует границы формальных систем и создаёт «видимые» парадоксы, которые ставят под вопрос наши интуитивные представления о пространстве и логике.

Склонность Эшера визуализировать абстрактные математические идеи и делать их доступными для интуитивного восприятия восхищает. Из его попыток поймать логику в парадоксе родился целый язык.

И самое удивительное — на нём до сих пор говорят мировые математики, философы и художники✨

#как_устроено