Задача о разборчивой невесте, ч1

Сегодня разберём одну из классических задач на оптимальный выбор — «задачу о разборчивой невесте», она же «проблема секретаря», и у неё есть ещё много других имён. Сразу отметим, что условия здесь шуточные. А вот применение — реальное и широчайшее!

Итак, жила-была прекрасная принцесса, и захотела она выбрать себе достойного мужа. Разнеслась весть по окрестным королевствам, и съехалось к ней N принцев разной степени прекрасности. Мы понимаем, что прекрасность — вещь субъективная, у принцессы на этот счёт свои соображения. Но будем считать, что она всегда может однозначно сказать, какой из кандидатов лучше, без ситуаций «этот добрый, но зато этот красивый». Например, каждому она мысленно присваивает какой-то балл и потом сравнивает их друг с другом.

Отбор устроен следующим образом: принц заходит в тронный зал, они общаются, она всё про него понимает и отвечает ему «да» или «нет».

Если «да» — то отбор заканчивается, играем свадьбу, остальных кандидатов даже не смотрим.

Если «нет» — принц уезжает, вернуть его назад уже будет нельзя (потому что все принцы очень гордые), а принцесса смотрит дальше. Принцы никак не отсортированы, поэтому никто не знает, все ли молодцы попадутся в начале, или наоборот, к концу самый огонь, или в среднем всё одинаково.

Какая здесь оптимальная стратегия? Понятно, что какое-то время вроде бы надо отказываться, но когда надо соглашаться? Сколько ждать? У математики есть ответ!

Если N достаточно велико (хотя бы больше 100), тогда количество людей, которых вам надо отсмотреть, говоря им «нет», стремится к N/e (где е примерно равно 2.7). А потом надо выбрать первого, кто окажется лучше всех предыдущих. То есть примерно 37% процентов смотрим, запоминаем и отказываем, а уже потом решаем. Если N меньше 100, то процент чуть выше. Например, для 10 кандидатов отбраковать надо первые 40%.

Доказательство того, что именно эта стратегия является наилучшей, достаточно сложное, его мы здесь приводить не будем. Однако это не мешает нам пользоваться самим методом!

Завтра мы расскажем, какие у этой задачи могут быть приложения, а также о сложностях её применения к своей личной жизни. :)

Какие сложности видите вы?

Задача о разборчивой невесте, ч2

Привет! Вчера говорили про задачу о разборчивой невесте (посмотрите пост выше, если пропустили), а сегодня — о проблемах переложения этой задачи на жизнь.

1) Сказано, что нужно выжидать и говорить «нет» первым N/e кандидатам. Но чему равно N?

В реальной жизни нам не дано общее количество принцев. Мы можем только как-то экстраполировать, исходя из наших текущих темпов знакомства с людьми. Или просто мысленно определить какой-то тотал и придерживаться его.

2) Кого вообще считать за кандидатов?

Мы постоянно знакомимся с людьми. Они все кандидаты? Или только те, кто нам хоть немного приглянулся? Или только те, кто проявил к нам какое-то внимание? Или с кем сходили на свидание? Непонятно. Но окей, можно выбрать для себя какой-то признак и провести по нему условную линию.

3) Сама стратегия не уберегает от неудачи, которая может всегда всплыть из-за случайной расстановки принцев, поэтому ей нельзя слепо верить.

Например, представьте, что первые 37% вам не очень понравились, а сразу после них попался хороший человек. И правило говорит, что его надо тут же выбирать, даже если не случилось бабочек в животе. Звучит как-то не очень вдохновляюще, да? Там же могут в конце быть самые великолепные. Но могут и не быть!

Или ещё хуже: вы встретили прекрасного человека почти сразу, но правило требует отказать ему и идти дальше. Шекспир отдыхает!

4) Данная стратегия является оптимальной, но она не гарантирует успеха лично вам. То есть если у нас есть 1000 принцесс, к каждой из которых съехалось по 1000 принцев, и все эти дамы придерживаются данной стратегии, то тогда максимальное количество из них будут счастливы. Но не все. И нет никакой гарантии, что вы окажетесь в числе «успешных». Это правило — не панацея, оно просто лучшее из того, что можно придумать.

Тем не менее, такую стратегию можно аккуратно использовать в некоторых жизненных ситуациях. Из самых очевидных — если нужно быстро найти кандидата на вакансию, выбрать квартиру для покупки/аренды или отель для путешествия. Ваши варианты ждём в комментариях!

Хо-хо-хо! 🥳
Привет, друзья!

Новый год уже стучится в двери, подарки куплены, планы на новогоднюю ночь построены и все ждут, что Новый год принесёт только лучшее!
А я решила порадовать вас новогодним подарком не дожидаясь боя курантов и принесла вам чудесный праздничный квиз🥂

https://forms.yandex.ru/u/63ae3a9884227cec36bd30de/

Устраивайтесь поудобнее и после того, как все прошлогодние салаты будут съедены, шампанское выпито и важные слова будут сказаны, разомните ум порцией задач от нашего Деда Мороза @Artem_Rembo, он постарался на славу🔥

Разбор решения задач будет 12 января в 19:00 мск по ссылке: https://yandex.zoom.us/j/3329047761


С наступающим вас Новым годом, пусть этот год принесёт столько счастья, сколько способны вместить наши сердца! 🌲

А вот и математический квиз от команды курса «Математика для анализа данных». Присоединяйтесь!

Разгадка праздничных ребусов
На каникулах мы опубликовали несколько ребусов. Один из них был довольно сложным, но это не помешало нашим читателям всё разгадать. И это здорово!

Итак, за валенками, бантиками и ёлками скрывались:

1) 18969
+ 18969
------------
37938

2) 8126
+ 8126
-------------
16252

3.1) 364501
+ 364501
506
----------------
729508

3.2) 463501
+ 463501
506
----------------
927508

Да-да, у третьего ребуса было целых два верных ответа, и оба они прозвучали!

Как решать ребусы?

Алгоритм следующий:
1. Найти повторяющиеся картинки и определить, какие цифры могут за ними скрываться. Обычно вариантов немного.
2. Посмотреть, есть ли «выступающий» разряд слева в ответе. Если сумма была из двух чисел, то в этом дополнительном разряде обязательно будет единица (именно так у нас было во втором примере).
3. Ну а дальше — перебирать оставшиеся цифры для каждого из неразгаданных символов.

Основы математики для аналитиков: специальный курс

В тренажёре по основам математики появился новый модуль — сборный курс для студентов, которые планируют работать в сфере анализа данных.

В него вошли уроки по теории множеств, комбинаторике и теории вероятностей. Именно эти темы из основ математики проверяют на собеседованиях, и они же нужны, чтобы лучше разобраться в статистике.

Особенности модуля:
1️⃣ Начинается с короткого теста на проверку знаний.
2️⃣ Содержит только самые необходимые уроки из других частей тренажёра.
3️⃣ Уроки адаптированы и сокращены: нет сюжета и занимательных фактов.
4️⃣ Можно пройти за 15-20 часов вместо 60.

Если вы планируете стать аналитиком данных, специалистом по Data Science, системным, продуктовым или бизнес-аналитиком — приходите!

Ну а если вы уже изучили отдельные модули по теории множеств, комбинаторике и теорверу, то в новый модуль можно не заглядывать, разве что во входной тест.

Как и всё в тренажёре, спецкурс для аналитиков доступен бесплатно.

Посмотреть

Теорема о четырёх красках
Теоремы в математике бывают самые разные и порой возникают из вполне практических задач.

В 1852 Фрэнсис Гутри составлял карту графств Англии и заметил, что хватает всего четырёх красок. Из этого факта родилась теорема:

Всякую расположенную на плоскости или на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы имели разный цвет.

Уточнения:
- область не может состоять из нескольких отдельных «кусков», каждый из них будет считаться отдельной областью;
- в теореме речь про области, у которых есть общая граница ненулевой длины; если у двух областей только одна общая точка границы, то они могут быть и одноцветными.

Переводя на язык географии: никаких эксклавов и никакой воды (под неё бы потребовался ещё один цвет).

Точно ли хватит четырёх красок?
Доказать теорему долгое время не удавалось. В конце XIX века доказали, что всегда будет достаточно пяти цветов, но для четырёх дело шло туго.

В итоге доказательство нашли лишь в 1976 году, причём с помощью компьютера. Кстати, это была первая большая теорема, доказанная таким образом.

На первом шаге доказательства авторы продемонстрировали набор из 1936 карт, ни одна из которых не могла содержать карту меньшего размера (которая опровергала бы теорему). Авторы использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из 1936 карт.

Далее шёл вывод, что раз для этих карт нет контрпримера, то его не будет и дальше, так как любая бóльшая карта по сути является лишь склейкой из данных 1936 видов.

Доказательство теоремы заняло несколько сотен страниц! Многие математики были недовольны: это вам не тёплое ламповое «человеческое» доказательство, да и вручную его не проверишь. А ещё в нём потом были найдены ошибки. 😇

К 2005 году ошибки устранили, всё перепроверили несколько раз и сконструировали более простое доказательство, основанное на том же принципе. Количество видов карт удалось сократить до 633. Так что сейчас всё в порядке, теоремой можно пользоваться!

Раскрасьте ёлочку!

Предлагаем вам проверить теорему, раскрасив эту праздничную математическую ель.

Условия:
1) использовать не больше четырёх цветов,
2) любые две области с общим участком границы должны иметь разный цвет.

Расходуйте краски экономно, и, быть может, у вас получится обойтись даже меньшим числом цветов.

Раскрашенными рисунками делитесь в комментариях. Это могут быть как фотографии елей, раскрашенных вручную, так и скриншоты из графических редакторов.

Спрятать иллюстрации за скрытым текстом не выйдет, поэтому рекомендуем не заглядывать в комментарии, пока не закончите красить.

Ждём ваших рисунков до конца завтрашнего дня.

Вчера мы предложили вам раскрасить математическую ель, следуя условиями теоремы о чётырёх красках. Рисунков было не очень много, зато все правильные. Спасибо тем, кто поучаствовал! Сегодня делимся нашей версией.

Важное замечание: в задании не было указано, считать ли за область карты фон. В комментариях были разные варианты (и все они корректные). В нашей версии картой считается только сама ель, а фон — нет.

Вот такая теорема! Кстати, у неё есть применение не только в картографии, но об этом расскажем в другой раз.

Сегодня понедельник, поэтому возвращаемся к рубрике про простые числа!

Занимательный факт: любое простое число, большее 3, обязательно представимо в виде x*k+1 либо x*k-1.

Здесь k — произвольное натуральное число, а вот x — конкретное фиксированное натуральное число. Какое оно? Предлагаем вам выяснить самостоятельно перебором (это не займёт много времени).

Когда вы найдёте x, в формулах останется только одна переменная. Придавая ей разные значения, можно будет найти все простые числа.
Но будьте осторожны, утверждение работает только в одну сторону: верно, что все простые числа больше 3 описываются этими формулами, но неверно, что все числа, описываемые этими формулами — простые.

На самом деле верными будут несколько вариантов, самым точным считается последний (наибольший) подходяший вариант x. Именно он даст наименьшее количество «посторонних» чисел, которые подходят под формулу, но не будут простыми.

Также напоминаем, что универсальной формулы для поиска всех простых чисел не существует.

3 интерактива из основ математического анализа

В курсах Практикума по математике нет видео, только текст и иллюстрации. Но порой статичных изображений не хватает, и тогда в дело идут интерактивы.

Особенно много интерактивных иллюстраций в модуле по матану курса «Математика для анализа данных». Вот некоторые из них.

Советуем смотреть на большом экране.

График параболы — показывает, как изменение коэффициентов квадратичной функции влияет на положение и вид параболы. Меняйте значение коэффициентов и наблюдайте за поведением графика.

Касательная к графику — иллюстрирует идею, что чем круче наклон касательной в точке, тем быстрее в этой точке растёт или убывает функция, а значит, больше модуль значения производной. Водите курсором по параболе и смотрите за производной.

Площадь под кривой — иллюстрирует понятие определённого интеграла. Двигайте точки на оси Ox и наблюдайте, как меняется значение интеграла и площадь под кривой.

Ну а чтобы увидеть, как интерактивные иллюстрации работают вкупе с текстом, приходите на курс «Математика для анализа данных».

Ближайшая когорта стартует 23 января.

Узнать больше про курс

Задача про мышь

При найме аналитиков, а иногда и менеджеров встречаются с виду простые задачи из комбинаторики.

В тестовом задании на одну из вакансий Практикума была такая задачка про мышь. Нам она так понравилась, что мы решили добавить её в тренажёр, а теперь хотим поделиться с вами.

Попробуйте свои силы:

Мышь бежит по линиям квадратной сетки 6×9, как показано на рисунке (только вверх или вправо). Сколькими способами она может добраться до сыра?

Ответы и ход решения публикуйте в комментариях за скрытым текстом. Если видели задачу в тренажёре и знаете ответ — не раскрывайте его, пожалуйста.

Разбор опубликуем завтра.

Разбор задачи про мышь

Любой путь мышки можно записать при помощи последовательности букв П (право) и В (верх). Например, один из подходящих путей можно записать при помощи последовательности ППВПППВВВПППВВП.

Каждый путь взаимно однозначно задаётся последовательностью из 15 букв, среди которых 9 букв П и 6 букв В. Значит, различных путей столько же, сколько таких различных последовательностей.

Посчитаем способы выбрать 6 из 15 мест в последовательности для букв В, а на остальные места поставим П. Это сочетания, так как все буквы В идентичны и их перестановка внутри последовательности не влияет на результат.

По формуле для количества сочетаний: 15! / (9! * 6!) = 5005.

А если у вас под рукой есть треугольник Паскаля, то можно посчитать ряды в прямоугольнике и увидеть, что сыр стоит на шестом месте 15-го ряда (ряды и места в каждом ряду нумеруются с нулевого). Поэтому искомый коэффициент равен 2002+3003, то есть всё те же 5005.

Научиться решать подобные задачи можно в модуле «Комбинаторика» бесплатного тренажёра по математике. Задачам на сочетания посвящен специальный урок.

Математика и компьютерная графика

Один из подписчиков тренажёра по математике задал вопрос о практическом применении математики в компьютерной графике. Разработчик программы курса «Математика для анализа данных» Георгий Кожевников подробно на него ответил, а мы делимся ответом с вами.

Продолжение ↓↓↓

2D-графика

В 2D-графике сегодня основные инструменты — это графические редакторы и нейронные сети с текстовым интерфейсом. И там, и там вся математика находится под капотом удобных интерфейсов, и чтобы повернуть картинку, совсем не нужно думать о матрицах, а чтобы сгенерировать концепт-арт, не нужно думать о математике нейронных сетей.

Есть направления creative coding/генеративное искусство/процедурная генерация, в которых графика создаётся через программирование. Вот здесь математика всплывает сразу.

Как правило, в генеративном искусстве работа ведётся с различными примитивами: прямыми, точками, многоугольниками, каждый из которых задаётся наборами координат, которыми нужно манипулировать вручную. Нет кисточки, нельзя разместить объект, просто ткнув на экран — всё происходит через код. Объект создаётся, и ему выставляются просчитанные вами координаты, которые располагают его так, чтобы в итоге возник какой-то красивый арт.

Чтобы рассчитать эти координаты, нужно применять разную математику в зависимости от желаемого расположения объектов. Поэтому, чтобы реализовывать свои идеи, может быть очень полезно понимать операции над векторами, уравнение прямой, полярные координаты, тригонометрию.

Например, для генерации приложенной картинки понадобилось параметрическое уравнение спирали, синусы и косинусы, с помощью которых выставлялись координаты точек, к которым затем прибавлялся определённый уровень шума.

Продолжение ↓↓↓

3D-графика

В 3D всё зависит от используемого инструмента. Для создания 3D-моделей в редакторе вам вряд ли понадобится оперировать матрицами. Однако, если вы делаете какую-то игру, симуляцию или процедурную анимацию, то потребность в математике значительно возрастает.

Из-за третьей координаты мы не можем просто так отобразить 3D-мир на экране, так как экран двумерный. Нужно как-то проецировать 3D в 2D. Для этого, как и в реальном мире, используется камера, только виртуальная — через неё мы «снимаем» виртуальный 3D-мир, и получаем 2D-картинку. Этот процесс называется рендерингом. 

Как правило, рендеринг уже реализован в 3D-редакторах, но иногда для создания некоторых эффектов камеры требуется разбираться в его математике, которая построена на матричных операциях.

Из-за появления камеры возникает ещё одна точка отсчёта — теперь 3D-объекты можно рассматривать как от какой-то фиксированной точки в пространстве (начало отсчёта), так и от положения камеры. В результате появляется необходимость говорить о базисе: у каждого объекта несколько наборов координат в зависимости от того, в каком базисе мы его рассматриваем.

В 3D-редакторах базис обозначен осями, вдоль которых можно двигать и масштабировать объект, часто есть функция переключения между базисами. Иногда работать с координатами в одном базисе гораздо удобнее, чем в другом.

В коде с базисами приходится работать исследователям компьютерного зрения, которые создают 3D-модели по фото и видео — например, эта задача возникает при разработке беспилотных автомобилей и роботов, а также оцифровке помещений.

Вращение объектов в 3D и кватернионы, это отдельный большой топик и камень, о который бьются мизинцем многие начинающие артисты.

Вкратце, для описаний вращений в 3D недостаточно трёх углов, как это может показаться (см. gimbal lock), требуется вводить понятие кватерниона, объекта, который задаётся 4-х мерным вектором и очень плохо интерпретируется человеком. Зато это позволяет легко производить любые вращения и повороты. Например, плавный поворот камеры для записи сцены.

В основном необходимость напрямую взаимодействовать с кватернионами возникает при создании игр или какой-то процедурной графики — там, где приходится управлять 3D-объектами с помощью кода.

Конечно, есть ещё много применений математики в 2D и 3D-графике, которые я не описал, но боюсь что попытка это сделать потребует отдельного блога 🙂

Отдельные богатые математикой смежные направления, на которые я могу указать: симуляции (физики, жидкости, плавучести, объёмного тумана, ...), генерация 3D-моделей через код, создание шейдеров, управление персонажем в играх.