А ещё мы вчера внезапно увидели Citroën 2CV — автомобиль, который когда-то прославил французский автопром! В Citroën трудился Поль де Кастельжо: тот самый конкурент Пьера Безье, который одновременно с ним придумал способ строить плавные кривые — об обоих мы уже рассказывали.

Дизайн этой легендарной модели годами делали вручную, пока не пришёл де Кастельжо. Он придумал свой знаменитый алгоритм, благодаря которому процесс производства стал сильно проще. Плавные линии, такие как на фото, теперь можно было создавать в программе.

Увидеть Citroën 2CV своими глазами — везение. Когда изучаешь математику, удивительные совпадения и открытия случаются каждый день 🔅

Мемы про математику изучены на 1%: оказывается, про кривые Безье тоже есть...

Ставьте 🏆, если считаете, что парикмахер справился с задачей 🥲

#меммат

🎮 Играли когда-нибудь в стратегии вроде Cities: Skylines, Planet Zoo или SimCity (2013)?

Если да, вы уже сталкивались с кривыми Безье в геймдеве. Да-да, теми же, что рисуют шрифты и управляют анимациями.

В геймдизайне они повсюду! И зачастую буквально вшиты в возможности движка.

🏃‍➡️Движение не по линейке
Игровые персонажи редко двигаются по прямой. Им нужно избегать препятствий, ускоряться, тормозить и так далее, и кривые Безье позволяют сделать движения реалистичными и плавными. Вместо того, чтобы описывать движение пошагово, разработчик задаёт контрольные точки, а кривая Безье строит на их основе естественный маршрут.

Это особенно полезно для:

🟠юнитов в RTS (реалтайм-стратегиях);

🟠NPC (неигровых персонажей) в RPG;

🟠кат-сцен и интро, когда нужно показать плавное движение камеры;

🟠траекторий заклинаний, снарядов и эффектов.

Плавные движения не только про красоту: они экономят вычисления, повышают читаемость и улучшают игровой опыт. Игрок не замечает математику, но чувствует её результат. Например, когда кривые задают не только маршруты, но и «поведение» движения: ускорение, инерцию или отскок. Именно они определяют, как камера «ныряет» в подземелье или облетает башню.

🏔 Горы и реки
Ещё одно яркое применение кривых Безье — редактирование ландшафта. Когда игрок мышкой рисует дорогу или береговую линию, движение руки редко идеально ровное. Но игра аппроксимирует, то есть сглаживает этот жест кривой Безье, и результат получается гладким.

В градостроительных играх и песочницах контуры дорог и рек сглаживаются автоматически, а высотные профили участков (склоны и холмы) строятся по кубическим кривым. Игроку достаточно вести мышью: игра сама достроит из этого красивую форму.

Так работают, например:

🔴в Cities: Skylines — плавные дороги;

🔴в Planet Zoo — точные профили для загонов и ландшафта;

🔴в SimCity (2013) — формирование ландшафта без сетки, на свободных кривых.

Если в играх всё кажется плавным, красивым и живым — это не магия, а, с большой вероятностью, кривые Безье.

А вы во что любите поиграть?

#как_устроено

🎥Бонус: очень красивое (и полезное) видео о кривых Безье

Нашли отличное видео по теме и не можем не поделиться им с вами. Это ролик от Фреи Холмэр, и мы советуем его всем, кто интересуется геймдизайном, математикой или анимацией.

В видео Фрея:

✅объясняет, как устроены базовые типы кривых: линейные, квадратичные и кубические (у нас был пост об этом);

✅показывает, как они применяются в играх для трасс, камер и эффектов;

✅разбирает важные темы вроде касательных, нормалей и равномерного движения по кривой (мы бы объяснили, о чем речь, но Фрея сделала это за нас);

✅показывает, что «под капотом» у Unity и как с его помощью создается движение в играх.

Оцените масштаб проделанной работы: всё сделано в Unity (код на C#), а всего на создание ролика ушло 33 дня!

Кстати, видео сделано в рамках конкурса от 3Blue1Brown — пожалуй, самого известного YouTube-канала о математике (рассказывали о нём тут). Грант Сандерсон, создатель проекта, лично похвалил Фрею и сказал, что её видео задаёт слишком высокую планку для остальных участников. И он прав: это не просто объяснение, а настоящий арт-проект. В общем, очень советуем!

#рекомендуем

🌀Сериал про кривые Безье подошёл к концу.

Знаем, тема не из лёгких. Но если вы дочитали до финала, то это уже большая победа. И, возможно, теперь вы будете смотреть на графику и анимацию в любимых мультфильмах и играх совсем иначе.

Закрепляем список предыдущих эпизодов:
✅пролог с рекомендацией полезной игры
✅откуда взялись кривые Безье
✅какие формулы их описывают
✅как они повлияли на современные шрифты
✅как им удаётся управлять анимацией
✅чем они полезны в геймдеве
✅бонус видео о кривых Безье

А теперь — финальный выпуск. Показываем, где ещё можно неожиданно столкнуться с этими кривыми. Будет много ссылок: советуем сохранить и походить по ним, когда будет время.

Твиттер, чайники и абстрактное искусство
Знали ли вы, что культовая птичка Twitter буквально собрана из кривых Безье? В этом материале автор разбирает, как её построить — от круга до крыла. Да, логотипы — тоже программируемые формы, и дизайнеры работают с кривыми почти так же, как инженеры.

А вот проект, где с помощью кривых Безье… анимируют чайник. Utah Teapot — легендарный объект в истории компьютерной графики. Его поверхность описывается Безье-патчами — аналогом кривых в 3D. Вот подробный разбор для тех, кто не боится формул.

Здесь вы найдёте вдохновляющий пост, где автор изучает кривые просто из любви к геометрии и делает из них визуальные паттерны. Красота невероятная.

Интерактивная подборка:
🔴Завораживающая анимация кривых: можно сделать гифку или просто залипнуть
🔴Изящный визуальный гайд по кривым: от математики до движения
🔴Сумасшедший эксперимент по комбинированию кривых
🔴Bezier Playground — приложение для Mac и iOS, в котором можно «рисовать» кривые и наблюдать, как они трансформируются в фигуры

На этом всё! Спасибо, что следили за постами про кривые Безье. Как они вам? В математике много тем, которые ну никак не помещаются в один пост, поэтому мы планируем иногда постить вот такие серии.

#рекомендуем

Геймдев всё чаще появляется в нашем канале — и не просто так❗️

Индустрия набирает обороты, профессии становятся популярнее, а интерес к внутренней кухне игр только увеличивается.

Для тех, кто хочет погрузиться в тему глубже — нашли отличный канал: Не рисуем и не кодим — Гейм-дизайн. Автор даёт советы новичкам и делится полезными заметками с теми, кто уже в теме.

Здесь вы узнаете о всех тонкостях работы геймдизайнера, получите теоретическую базу и сами начнёте подмечать интересные детали в играх.

Вот несколько постов, с которых можно начать:
✅ Подборка постов, которая поможет стать гейм-дизайнером
✅ Ссылки для гейм-дизайнеров
✅ Как сделать хороший туториал в игре
✅ Почти все термины и понятия гейм-дизайнеров
✅ Сочность в играх и как её добиться

Подписывайтесь и ставьте ❤️‍🔥, если чужих игр вам уже мало, а руки чешутся создать свою.

#рекомендуем

Достаём двойные листочки!

Возвращаемся к вам с задачами. В прошлый раз вы показали отличные результаты. Но то были сухие вычисления. Сегодня переходим в практическую плоскость и считаем… деньги.

✅Условие: вы устраиваетесь на новую работу, и начальник предлагает вам выбор между:

А — 200 тыс. ₽ в месяц за первый год работы и повышение на 30 тыс. ₽ за каждый последующий год
B — 170 тыс. ₽ за первые шесть месяцев работы и повышение на 25 тыс. ₽ каждые последующие шесть месяцев

✅Вопрос: какое предложение вы бы приняли и почему?

Голосуйте в опросе ниже и делитесь решением в комментариях — вечером проверим, насколько вас выгодно нанимать работодателю❤️

#задача

Русская пирамида или американский пул❓

Мы выбираем математические бильярды! Эта модель рассматривает движение точки (бильярдного шара) внутри ограниченной области (бильярдного стола) по закону «угол падения равен углу отражения».

В отличие от реального бильярда, в математической модели нет трения, вращения и других физических факторов — только чистые законы геометрии. Так, например, двигается скринсейвер с DVD, о котором мы писали здесь и здесь. Но это лишь частный случай общей концепции!

Дело в том, что движение точки определяется не только правилами отражения, но и формой области, в которой она заключена. В зависимости от геометрии пространства путь точки будет меняться:

🔳 в прямоугольных и круглых формах движение предсказуемо и поддаётся точному анализу — матемематики называют его интегрируемым, т.е. полностью описываемым формулами;

🌀 сложные формы с изгибами и дугами, например, как стенка стадиона, делают траекторию хаотичной — даже небольшое изменение начальных условий может привести к непредсказуемому результату.

Сочетание простоты и сложности этой модели даёт возможность подступиться к систематическому изучению… хаоса!

Но об этом чуть позже. А пока загибайте пальцы, где мы встречаемся с моделью в реальной жизни:

1️⃣ Оптика и акустика
Поведение лучей или звуковых волн моделируется стенками замкнутого пространства. Бильярды нужны архитекторам, чтобы понять акустические свойства помещений, а в оптике они помогают предсказывать отражения света в сложных системах, таких как лазеры, камеры, световоды.

2️⃣ Компьютерная графика и геймдев
Бильярды могут применяться в игровых физических движках, например, для моделирования столкновений и отражений, или визуализаций хаотических систем.

3️⃣ Квантовые бильярды
Физики используют квантовые бильярды, чтобы моделировать поведение микрочастиц — молекул, атомов, электронов и т.д. Роль шаров здесь играют волновые функции. Их поведение определяется не только границами, но и тем, что на них происходит — отражается волна или затухает.

И это далеко не всё. Завтра расскажем, как бильярды помогают современной науке изучать границы вычислимого, и поделимся крутыми ресурсами для погружения в тему.

С вас 👍, если захотелось разобраться в законах рикошета!

#как_устроено

🎱 Что почитать о математических бильярдах

Вчера мы говорили о более-менее прикладных историях: оптика, акустика, геймдев. Но математические бильярды давно вышли за пределы физического пространства и заняли своё место в серьёзной науке.

Через них изучают динамические системы, энтропию, эргодичность, фрактальную геометрию и даже парадокс потери предсказуемости. Это редкий случай, когда простая модель помогает исследовать границы вычислимости и порядка.

Если хотите разобраться, что к чему — собрали пару понятных и полезных источников на русском:

➡️Григорий Гальперин и Александр Земляков «Математические бильярды»
Книга формально рассчитана на школьников 9-10 классов (хотя, если честно, оценка довольно оптимистичная). Но подойдёт и взрослым, интересующимся математикой. В книге есть и теория, и задачи и объяснение междисциплинарных связей математических бильярдов.

➡️Сергей Табачников «Математический дивертисмент»
Этот сборник уже мелькал у нас в рекомендациях. Но тогда мы не упоминали, что целая глава в нём посвящена бильярдам в эллипсах. А на личном сайте математика можно найти ещё две книги по этой теме.

Настоящим эскапистам советуем также заглянуть в наши прошлые подборки: книги полегче, но с изюминкой — вот тут, а если хочется напрячь извилины — вам вот сюда 📕

#рекомендуем

Магия приближения на бесконечности ✨

Некоторые функции бывают настолько сложными, что в математике едва ли найдётся способ с ними работать. Учёные всегда стремились сделать их более управляемыми — такими, чтобы их можно было дифференцировать, интегрировать, приближать и использовать в вычислениях.

Поэтому огромным достижением математического анализа стало открытие степенных рядов Тейлора.

Идея оказалась гениально проста: строить функцию в виде бесконечного многочлена. Используя значения производных всего в одной точке, расписывать выражение, которое очень точно восстанавливает полное поведение и форму функции.

Ряд Тейлора — это способ разложения функции в степенной ряд. Благодаря формуле, которую мы вынесли на картинку, можно:

✅ вычислять синусы, логарифмы, eˣ и другие функции на компьютерах — через простую арифметику (сложение, умножение, вычитание, деление), доступную ПО;
✅ решать уравнения с неявно заданными функциями;
✅ упрощать сложные модели в физике, экономике и инженерии.

Но ряды Тейлора — это не просто формула, а способ мыслить. Искать путь от локального к глобальному: ты знаешь, как функция ведёт себя в одной точке, и можешь восстановить весь её облик. В этом точно есть что-то поэтическое!

Тем не менее идея Брука Тейлора долгое время оставалась в тени. У учёного не было привычки громко заявлять о своих достижениях. Пока он занимался вибрациями струн, оптикой и изучением живописи, его главное открытие пылилось в книге Methodus Incrementorum Directa et Inversa.

Через 17 лет математик Маклорен обнаружил его. Тогда формула и раскрылась во всей своей силе. А для разложения в окрестности нуля даже выделили отдельный термин — ряд Маклорена. С ним формулы стали короче, а вычисления быстрее.

Ну как, теперь мем про книгу стал понятнее?😇

#как_устроено

Математика вообще существует ⁉️

Недавно в сети завирусилось одно неоднозначное видео. На нём преподаватель утверждает, что математика — вовсе не точная наука, а искусство.

Слова спикера — не просто красивая метафора, а буквальное представление философской школы фикционизма. Приверженцы этого направления считают, что числа — это не универсальные константы, а лишь удобное изобретение человека.

Им оппонируют реалисты: их концепция строится на том, что любое натуральное, иррациональное или даже комплексное число описывает что-то реально существующее в мире. Есть ещё и платоники, которые полагают, что числа и структуры вшиты в само устройство Вселенной.

Так кто из них прав?

Если знаете точный ответ — пишите в комментарии. Мы пока не решились спорить с философами 🥲

Но вот что знаем точно: всё, что люди считают, доказывают и моделируют, опирается на фундаментальные понятия — основания математики. Без них не будет ни айтишки, ни инженерии, ни экономики.

Именно поэтому мы хотим заглянуть вглубь философских концептов. Делать это будем раз в пару недель в новой рубрике #это_база.

Разберём базовые понятия, покажем, как менялся взгляд на их определения, и объясним, как математические абстракции становятся реальностью.

Начнём уже сегодня с… точки 🔵