💘 Математика и любовь. Теория стабильного брака

14 февраля хочется подумать о задаче, как сделать так, чтобы «с любимыми не расставались». И в математике есть на это ответ!

В 1962 году математики Дэвид Гейл и Ллойд Шепли предложили алгоритм, как составлять пары, чтобы никто не хотел расстаться со своим партнёром ради варианта получше. И именно алгоритм Гейла — Шепли до сих пор используется в сервисах онлайн-знакомств. Что внутри?

Задача максимально жизненная: есть N мужчин и N женщин, и у каждого — свой список предпочтений, где сначала те, к кому влечёт сильнее всего. Нужно создать такие пары, чтобы не осталось ситуаций, когда один партнёр или оба предпочли бы других.

⬇️ Порядок алгоритма Гейла-Шепли:

1️⃣ Каждый мужчина делает предложение первой женщине в своём списке.
2️⃣ Женщины выбирают лучшего из тех, кто сделал им предложение, отклоняя остальных.
3️⃣ Отклонённые мужчины делают предложение следующей женщине в списке.
4️⃣ Женщины снова выбирают лучшего кандидата, оставляя за собой право сменить партнёра, если им поступит более привлекательное предложение.
5️⃣ Повторяем процесс, пока все пары не будут сформированы.

В результате никто не хочет разорвать свою пару ради другого партнёра, а значит, распределение стабильно!

В 2012 году Ллойд Шепли получил Нобелевскую премию по экономике за свою теорию. А мы — возможность, чтобы наши свайпы принесли нам самый подходящий вариант 😎

Happy Valentines! ❤️

Молчать или не молчать? Дилемма заключённого.

Как вы верно догадались в комментариях, эксперимент в прошлом посте — наша версия дилеммы заключённого, концепции из теории игр, которая показывает, почему не всегда выгодно действовать в своих интересах, даже если очень хочется 😉

Напомним классический пример дилеммы:

Двоих преступников посадили в отдельные камеры без возможности общаться друг с другом. Обоим предложили сделку:

▶️Сообщники молчат и, если никто не признается, оба получат самый короткий срок.
▶️Один сдаёт другого, и тогда его отпускают на свободу, а второй получит максимальный срок.
▶️Оба сдают друг друга и получают одинаковое наказание — средний срок заключения.

Получается, если выбрать сотрудничество, а не свои интересы, заключённые получат лучший общий результат. Иными словами, лучший результат для группы из них двоих. Такие дела 🤝

Но самое интересное в дилемме, что, несмотря на выгоду сотрудничества, люди чаще действуют из своих интересов. И наш небольшой эксперимент это доказал — большинство подписчиков проголосовали за то, чтобы раскрыть изобретение в одностороннем порядке 🤷‍♀️

#эксперимент

Волшебное число е 💫

Среди всех чисел есть одно по-настоящему магическое — константа e, или число Эйлера. Оно равно ~ 2,718, и экспонента e^x — единственная функция, у которой производная равна ей самой.

Впервые число e появилось в 1690 году, когда швейцарские математики считали предельную прибыль от сложных процентов. Допустим, ваш вклад 10 000 ₽ и вы положили его под 100% годовых на один год. Если начислить проценты один раз в конце года — вы получите 20 000₽. А если начислять их непрерывно, в каждый момент времени, 10 000 ₽ в конце года превратятся в 27 182 ₽, но ни рублём больше.

Экспонента встречается везде, где что-то растёт или уменьшается. С помощью неё считают:

🙏 рост населения;
✨ сложные проценты в финансах;
🔍 концентрацию лекарств в крови;
🌞 распад радиоактивных веществ.

Ну а смысл картинки с Томом и Джерри в начале — продифференцировать экспоненту можно бесконечное количество раз, но получите вы всегда один и тот же результат 😉

#меммат

Переполох в мире математиков: как 10 лет искали женщину-гения

Подготовили для вас детективный лонгрид, который приведет к неожиданному финалу

1️⃣ Разгневанные математики

На форуме Stack Exchange математики ежедневно помогают друг другу разбираться с хитроумными задачами. Главное правило — подробно делиться своими расчетами и ходом мыслей с остальными.

Однажды участник форума задал вопрос про сложный интеграл, который не могли решить даже мощные программы. Спустя пару часов ему прилетел ответ от некого Клео без единого пояснения. Его результат выглядел очень странно, как хаотичная комбинация математических символов. Это вызвало справедливый шквал вопросов, которые Клео проигнорировал.

Через два дня один из участников не выдержал. Он решил разоблачить Клео, потратил 12 часов на решение... но доказал, что таинственный аккаунт был прав.

2️⃣ Почему все искали Клео?

Два года Клео продолжал в том же духе: появлялся, быстро выдавал верные ответы и исчезал без пояснений. Это привлекло внимание других участников: кто-то восхищался гениальностью, а кто-то злился, что Клео нарушает правила форума.

Участники пытались узнать, кто скрывается за ником, но улики вели в никуда. В какой-то момент Клео раскрыла, что она вообще-то женщина и из-за болезни не может подробно расписывать решения. Больше она ничего не рассказывала о себе и через год вовсе пропала, что только подогрело интерес.

Постепенно Клео стала местной легендой, а ее образ начал обрастать дополнительными подробностями. Сообщество терялось в догадках: может, за ником стоит иранский математик Мариам Мирзахани? Ученый Стивен Хокинг? Или это вообще суперкомпьютер?

Десятилетняя охота за Клео вышла далеко за пределы форума: про нее записывали подкасты и видео на YouTube, выпускали расследования.

3️⃣ Наконец, кто такая Клео?

Шаг за шагом блогеры сузили круг подозреваемых и вычислили два аккаунта, которые подозрительно совпадали по активности с Клео: Vladimir Reshetnikov и Laila Podlesny. С последнего аккаунта был, кстати, задан тот самый вопрос про интеграл, после которого Клео впервые привлекла внимание.

Зацепившись за эти находки, один зритель догадался проверить резервную почту профиля Лейлы. Первые буквы адреса совпали с e-mail, указанным в профиле Владимира Решетникова (второй аккаунт, который как раз пересекался с Клео). Оказалось, что Клео это... и есть Владимир, который признался во всем блогерам. За ником таинственной женщины-математика скрывался разработчик из Узбекистана, который переехал в США и работал в Microsoft.

Решетников объяснил, что его задачи никто не замечал, пока он не создал загадочного персонажа: через аккаунт Клео математик отвечал на свои же вопросы. Если честно, логика немного странная, но отрицать нельзя — эффект получился мощный. Еще одно доказательство, каким удивительным и непредсказуемым может быть мир математики — здесь разворачиваются истории не хуже, чем в сериалах Netflix.

😍😠 Один за всех или каждый сам за себя?

В жизни многое завязано на доверии: примеры мы часто видим в бытовых ситуациях. Например, на торговых площадках вроде «Авито» всегда находятся продавцы-обманщики. Но добросовестных продавцов там все же больше. Они ведут себя честно, последовательно зарабатывают доверие покупателей и высокий рейтинг.

Этот феномен отражен в игре «Эволюция доверия», которую выпустила в 2017 году ресерчер из Бостона Ники Кейс. В ней игрок попадает в ситуацию повторяющейся дилеммы заключенного. Подробно о дилемме мы уже писали (и даже вместе с вами ставили эксперимент!) — а сейчас коротко напомним суть:

если игроки выбирают предать друг друга, это помогает им достичь приемлемого личного результата; 
а вот чтобы получить лучший результат для всех, нужно сотрудничать.

В «Эволюции доверия» встречаются персонажи с разными моделями поведения:

1️⃣ Честные всегда сотрудничают.
2️⃣ Предатели всегда обманывают.
3️⃣ Злопамятные отвечают тем же, что сделали с ними (если их предали, они предадут в ответ).
4️⃣ Остальные действуют хаотично.

Игра учит выстраивать долгосрочную стратегию, запоминая действия персонажей. Самое интересное: пока экспериментируешь со стратегиями, начинаешь замечать важные паттерны, логику в поведении других людей.

Например, стратегия «око за око» работает, когда персонажи прощают друг друга и снова сотрудничают. А если игрок увлекается предательством и полностью разрушает доверие, вернуть его практически невозможно — особенно когда игровое поле заполнено другими «предателями».

Если хочется разобраться в базовых принципах теории игр и понять, как устроена математика взаимоотношений, скоротать вечер за «Эволюцией доверия» — отличный выбор. Заодно можно научиться видеть те самые паттерны из игры в реальной жизни — и не только на «Авито».

#рекомендуем

❄️ Геометрия снежинок: как математик сделал открытие глядя на снег

Каждый хотя бы раз задумывался, почему снежинки такие красивые. Математики тоже задаются похожими вопросами, но смотрят вглубь. Зимой 1611 года астроном Иоганн Кеплер опубликовал работу «Новогодний подарок, или О шестиугольных снежинках». Он попытался ответить на вопрос, почему снежинки имеют именно такую форму.

🔵 О чем был трактат

Не только о снежинках! Кеплер рассмотрел разные природные формы, например пчелиные соты и зерна граната, и сделал вывод, что природа следует принципам экономии и эффективности. В будущем это стало фундаментом нескольких областей науки: от кристаллографии до исследований молекулярной упаковки.

Кстати, микроскопов еще не было: все предположения Кеплер делал благодаря интуиции.

🔵 Какую гипотезу предложил Кеплер

По Кеплеру образование снежинок — это процесс упорядоченного соединения частиц воды. Частицы он представлял как маленькие одинаковые сферы. Сферы, упакованные максимально эффективно, имеют шестиугольное расположение: образуют гексагональную решетку. Кеплер предположил, что это справедливо для трехмерного пространства так же, как для плоскости. Он не только оказался прав, но и нашел несколько оптимальных способов упаковки.

Представьте коробку, в которую нужно упаковать как можно больше апельсинов одинакового размера. Гипотеза гласит, что сложить их максимально плотно позволяют две упаковки: гексагональная и гранецентрированная кубическая. На картинке апельсины сложены вторым способом.

🔵 Как это используют

Доказать гипотезу Кеплера смогли в 1998 году, а спустя годы алгоритмы, разработанные для доказательства, нашли применение в цифровом мире. Например, для сжатия изображений в форматах JPEG и MPEG используют методы, которые напоминают оптимальную упаковку данных в многомерных пространствах.

✨ Сегодня мы знаем, что форма снежинок обусловлена строением молекулы воды. Но в следующий раз, когда поймаете снежинку, вспомните об астрономе, который увидел математический порядок в красоте зимы.

#как_устроено