Математическая неоднозначность «Тайного Санты»
Скорее всего, вы пользуетесь сайтами, чтобы распределить, кто кому дарит. Здесь всё в порядке. 👍🏻

А мы обсудим олдовую и
уютную версию «Тайного Санты». В ней люди пишут имена на листочках, кладут их в шапку, а затем по очереди вытаскивают из неё имена. Кого вытянули — тому и будете дарить подарок.

Главная фишка «Тайного Санты» — анонимность, он же должен быть тайным! Вы не знаете, кто вам подарит, и вы не выбираете, кому подарите вы сами.
И вроде всё выглядит довольно анонимно, но...

Подключаются душные математики 🤓
Они всё анализируют и доказывают, что анонимность здесь не такая уж и анонимность! Потому что вероятности разных итоговых раскладов — не одинаковы.

Подробности
Почему так получается и что делать, чтобы восстановить анонимность, — смотрите в видео.

Ещё по теме
Задача про Тайного Санту

Привет! Как ваши праздники? Предлагаем остановиться в бурном праздновании (или лежании, или чём бы то ни было) и подвести промежуточные итоги. Наше математическое бинго в помощь! 😁
Делитесь своими результатами в комментариях — удалось собрать целую строчку или столбец?

Не-новогодний не-фильм, но про математику 😇

Если вам надоели все новогодние фильмы и даже любимый сериал уже наскучил, то предлагаем посмотреть не новогодний, не фильм и не сериал 😉

Это интервью, которое взяла выпускница курса по математике Анна Лебединец у одного из авторов этого же курса — Дианы Миронидис.

Узнаете про:
• внутреннюю кухню создания курсов,
• методистов-балагуров,
• вторые математические глаза,
• человечную математику,
• смешную непонятную рыбу и кричащих куриц,
• разные шапочки,
• 3800 строк обратной связи.

Более вменяемое содержание (если оно нужно) — в описаниях и метках видео.
В ютубе: часть 1, часть 2
В вк: часть 1, часть 2

Задача про послепраздничные рабочие реалии

После затяжных новогодних праздников разработчик Анатолий заметил, что его рабочий день делится на три ключевых активности:
1. Страдание — это период, когда он с тоской смотрит на код и пытается понять, что вообще происходит. Это занимает x минут.
2. Поедание мандаринов — приятные перерывы, когда он восстанавливает силы, каждый занимает y минут.
3. Написание кода — редкие моменты продуктивности, которые занимают по z минут.

У Анатолия гибкий график, и в разные дни его время распределялось на блоки так, как в таблице на иллюстрации к посту. Там же указана общая продолжительность каждого рабочего дня в минутах.

Найдите, сколько минут длится один блок страдания, поедания мандаринов и написания кода.
Решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Разберём насущную задачу про разработчика Анатолия и его послепраздничные будни.

По условиям задачи можно составить систему из трёх уравнений, как на иллюстрации к посту. Здесь x — это длина блока страдания, y — длина блока поедания мандаринов, z — блока написания кода.

Если решать эту систему вручную, то удобно выразить из первого уравнения переменную y и подставить результат в оставшиеся уравнения. Получим:
y=238-4x-2z.

Подставим в первое и третье уравнения:
2x+3(238-4x-2z)+4z=260,
3x+2(238-4x-2z)+5z=303.

Дальше упростим нижние уравнения. А затем можно или снова выразить одну из переменных, подставив это выражение в оставшееся уравнение, либо использовать метод сложения.

В любом случае в результате получим:
x=40 минут длится блок страданий,
y=24 минуты Анатолий непрерывно ест мандарины,
z=27 минут занимает блок написания кода.

Другие способы решения
В комментариях к исходному посту также предложили использовать массив в экселе и удобный метод устного вычисления! А ещё можно представить систему в виде матрицы и решать уже через её преобразования. Например, с помощью метода Крамера.

Спасибо вам за активное участие в решении!

Что ещё
• Подробнее о простых, но эффективных методах решения систем можно посмотреть в нашем бесплатном тренажёре.
• Ещё больше методов, а также практическое применение решения систем можно изучить в платном курсе.

Биномиальное распределение

Продолжаем разговор о распределениях!
Мы уже обсуждали дискретное равномерное и распределение Бернулли, второе нам сегодня и пригодится.

Погода на день и на неделю
Представим, что нас интересует, пойдёт ли снег.
Пусть вероятность того, что в каждый день на неделе пойдёт снег, равна 0.2. Значит, вероятность, что снег не пойдёт, равна 0.8. Пока мы говорим об одном дне — это распределение Бернулли.

Но как посчитать вероятность, что снег пойдёт в три дня на неделе? Здесь мы работаем с несколькими испытаниями Бернулли.
Будем считать, что погода в один день не влияет на погоду в другие, то есть наши испытания в нашей серии — независимы.

Определим количество исходов
В неделе 7 дней, значит, в произведении будет 7 множителей.
Нам не важно, в какие именно дни будет снег, а важно общее количество снежных дней на неделе. Подойдут и варианты пн-вт-ср, и ср-сб-вс, и пн-чт-сб и т.д.

Другими словами, нам надо «расставить» 3 снежных дня по 7 слотам. Снежные дни для нас одинаковы, так что их порядок не важен. Значит, рассчитать общее количество подходящих вариантов поможет формула для количества сочетаний:
С³₇=7!/((7-3)!⋅3!)=35.

Вероятность каждого исхода
В каждом подходящем случае в неделе будет 3 снежных дня и 4 бесснежных. Раз наши испытания Бернулли независимы, то вероятности каждодневных исходов перемножаются:
0.2³⋅0.8⁴.

Теперь соберём итоговую формулу — перемножим количество исходов и вероятность каждого исхода.
Получаем: 35⋅0.2³⋅0.8⁴ ≈ 0.11.

Значит, вероятность того, что снег будет ровно 3 дня на неделе, — около 11%.

Новое распределение
Последовательность величин Бернулли даёт новую случайную величину, равную количеству «успехов» в серии из n попыток. Такое распределение называют биномиальным и обозначают X~Binomial(n, p) или X~Binom(n, p).

Распределение так называется потому, что в формуле для расчёта вероятностей используются одноимённые коэффициенты!

Ещё примеры биномиального распределения
1) Классический пример — количество брака в партии. Например, известна вероятность, что кричащая резиновая курица не будет кричать, и нужно найти вероятность, что помалкивающих куриц в партии будет 10.
2) Известна вероятность, с которой пользователь кликает на рекламный баннер. Нужно определить вероятность, с которой заданное количество человек из ста кликнут на баннер.
3) Студент угадывает правильный ответ с заданной вероятностью. Нужно рассчитать вероятность, что студент сдаст тест без подготовки, то есть просто угадывая ответ.
4) Любимый телеграм-канал публикует пост с известной вероятностью. Какова вероятность, что он порадует публикациями 5 дней в неделю?

Задачка для вас
Пусть вероятность, что каждый день этой недели будет солнечным, равна 0.4. Какова вероятность, что солнечными окажутся ровно два дня этой недели?

Полуночные задачи, придуманные во время бессонных ночей

Автор «Алисы в стране чудес» Льюис Кэрролл (он же Чарльз Доджсон) не только писал сказки, но и преподавал в Оксфорде, занимался евклидовой геометрией, алгеброй, математическим анализом и логическими головоломками.

Задача ниже — из его сборника «Полуночные задачи, придуманные во время бессонных ночей». Кэрролл рекомендовал их, как средство успокоить навязчивые мысли, унять тревогу и отвлечься от неприятностей. «Стоит лишь сосредоточить свое внимание на задаче, — писал он, — и неприятная тема, от которой вам хотелось избавиться, практически исчезает из ваших мыслей».

Предлагаем вам тоже успокоить мысли и попробовать решить задачу:

Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и тд. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй — 2 шиллинга третьему и тд. Каждый отдаёт следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4 раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?

Делитесь решением в комментариях под спойлером. А решение и ответ опубликуем завтра!

А если вдруг от неприятных мыслей вы избавились, а задача никак не решается — ставьте реакцию 🦄 и мы опубликуем подсказку.

#задача

Как и обещали, подсказки для решения задачи под спойлером:

Подсказка #1: как решить задачу в общем виде

Задачу Кэрролла можно решить в общем виде. Пусть за столом будет m людей за столом, а у самого бедного из них будет k шиллингов. Теперь попробуйте представить, в какой момент (то есть на каком игроке) прекратится игра. Сколько шиллингов будет у первого и последнего игрока в этот момент? Именно их «состояния» могут относиться друг к другу как 4:1, потому что у всех остальных игроков может быть лишь на один шиллинг больше или меньше, чем у соседей.

Подсказка #2: как решить задачу перебором

Найти количество людей за столом можно простым перебором. Только для этого нужно знать половину ответа: сколько шиллингов у самого бедного игрока. Их всего два.