Задача про мюзиклы

Мюзиклы «Заснеженные» и «Мышки» номинированы на премию Тони в 12 категориях каждый. Причём это одни и те же категории.
В каждой из категорий — по 4 номинанта и может быть только 1 победитель.

1) Какова вероятность, что «Заснеженные» выиграет хотя бы 3 Тони?
2) Какова вероятность, что оба мюзикла выиграют ровно по 3 Тони?
3) Какова вероятность, что мюзикл «Мышки» выиграет больше премий, чем «Заснеженные»?

Задача выглядит несложной, но тут есть, над чем подумать! 
Ждём ваших решений в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем во вторник.

🎶 Решим пятничную задачу про мюзиклы.

Вероятности выигрыша и проигрыша в каждой номинации
Так как у нас нет дополнительной информации, считаем, что вероятности выиграть одинаковы для всех претендентов. Всего их 4 в каждой номинации, значит:
• вероятность выигрыша для каждого участника равна 1/4=0.25,
• вероятность проигрыша равна 0.75.

1) Ситуация «выиграть хотя бы 3 Тони»
Сделать это можно многими способами: можно одержать 3, 4 или любое другое большее число побед. А вот НЕ сделать это — проще: нам не подойдут ситуации только с 0, 1 и 2 победами. Так что исключим неподходящие варианты:

P(выиграть хотя бы 3) =
= 1 - Р(выиграть 0) - Р(выиграть 1) - Р(выиграть 2).

Посчитаем каждое вычитаемое
❄️ Не выиграть ничего можно только одним способом — проиграть во всех номинациях. Вероятность 0.75¹².
❄️ Выиграть 1 премию можно 12 способами — выиграть в какой-то одной и проиграть во всех остальных. Вероятность 12⋅0.25⋅0.75¹¹
❄️ Взять 2 награды — разными способами. Их количество — это число сочетаний из 12 по 2. Оно равно: (12⋅11)/2 = 66. Вероятность: 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰.

Соберём всё вместе
P(выиграть хотя бы 3) =
= 1 - 0.75¹² - 12⋅0.25⋅0.75¹¹ - 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰ ≈ 0.609.

Вероятность взять хотя бы 3 Тони — примерно 61%. Неплохо!
И звучит логично: если у мюзикла 12 номинаций, то вряд ли он выиграет мало или вообще ничего. Но это в абстрактном математическом мире, конечно же.

- - -
Остальные случаи разобрали в комментариях.
Подробнее о сочетаниях — в посте.

Раскрасить ёлочку по-математически 🎄
Как вы, в дедлайнах?

Предлагаем отвлечься на несколько минут и зарядиться новогодним духом — раскрасить ёлочку!

Условия:
1) Любые две области с общей стороной должны быть разного цвета. Если у областей общая только одна точка, их можно раскрасить одинаково.
2) Фон картины — это тоже область, которую нужно закрасить.
3) Самое интересное — используйте не больше 4 цветов. Меньше — можно!

Причём тут математика
К раскраске есть теорема — теорема о четырёх красках. Она гарантирует, что для раскрашивания карты по этим условиям четырёх цветов будет достаточно. В теореме есть несколько формальных ограничений, но на вид карты — нет! Так что ёлочка — это вполне себе математическая карта.

Сколькими цветами получится раскрасить её у вас?

Раскрашенными елями делитесь в комментариях под спойлером.
Ждём ваши ёлочки 🥰

На прошлой неделе мы предложили вам раскрасить математическую ель, следуя условиями теоремы о чётырёх красках. Рисунков было не очень много, зато все правильные. Спасибо тем, кто поучаствовал! Сегодня делимся нашей версией.

Если вы ещё не раскрасили, не подглядывайте — попробуйте сами: это настоящее математическое удовольствие, не лишайте себя его! :)

Подробнее о теореме о четырёх красках и её связи с графствами читайте в нашем посте.

Математическая неоднозначность «Тайного Санты»
Скорее всего, вы пользуетесь сайтами, чтобы распределить, кто кому дарит. Здесь всё в порядке. 👍🏻

А мы обсудим олдовую и
уютную версию «Тайного Санты». В ней люди пишут имена на листочках, кладут их в шапку, а затем по очереди вытаскивают из неё имена. Кого вытянули — тому и будете дарить подарок.

Главная фишка «Тайного Санты» — анонимность, он же должен быть тайным! Вы не знаете, кто вам подарит, и вы не выбираете, кому подарите вы сами.
И вроде всё выглядит довольно анонимно, но...

Подключаются душные математики 🤓
Они всё анализируют и доказывают, что анонимность здесь не такая уж и анонимность! Потому что вероятности разных итоговых раскладов — не одинаковы.

Подробности
Почему так получается и что делать, чтобы восстановить анонимность, — смотрите в видео.

Ещё по теме
Задача про Тайного Санту

Привет! Как ваши праздники? Предлагаем остановиться в бурном праздновании (или лежании, или чём бы то ни было) и подвести промежуточные итоги. Наше математическое бинго в помощь! 😁
Делитесь своими результатами в комментариях — удалось собрать целую строчку или столбец?

Не-новогодний не-фильм, но про математику 😇

Если вам надоели все новогодние фильмы и даже любимый сериал уже наскучил, то предлагаем посмотреть не новогодний, не фильм и не сериал 😉

Это интервью, которое взяла выпускница курса по математике Анна Лебединец у одного из авторов этого же курса — Дианы Миронидис.

Узнаете про:
• внутреннюю кухню создания курсов,
• методистов-балагуров,
• вторые математические глаза,
• человечную математику,
• смешную непонятную рыбу и кричащих куриц,
• разные шапочки,
• 3800 строк обратной связи.

Более вменяемое содержание (если оно нужно) — в описаниях и метках видео.
В ютубе: часть 1, часть 2
В вк: часть 1, часть 2

Задача про послепраздничные рабочие реалии

После затяжных новогодних праздников разработчик Анатолий заметил, что его рабочий день делится на три ключевых активности:
1. Страдание — это период, когда он с тоской смотрит на код и пытается понять, что вообще происходит. Это занимает x минут.
2. Поедание мандаринов — приятные перерывы, когда он восстанавливает силы, каждый занимает y минут.
3. Написание кода — редкие моменты продуктивности, которые занимают по z минут.

У Анатолия гибкий график, и в разные дни его время распределялось на блоки так, как в таблице на иллюстрации к посту. Там же указана общая продолжительность каждого рабочего дня в минутах.

Найдите, сколько минут длится один блок страдания, поедания мандаринов и написания кода.
Решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Разберём насущную задачу про разработчика Анатолия и его послепраздничные будни.

По условиям задачи можно составить систему из трёх уравнений, как на иллюстрации к посту. Здесь x — это длина блока страдания, y — длина блока поедания мандаринов, z — блока написания кода.

Если решать эту систему вручную, то удобно выразить из первого уравнения переменную y и подставить результат в оставшиеся уравнения. Получим:
y=238-4x-2z.

Подставим в первое и третье уравнения:
2x+3(238-4x-2z)+4z=260,
3x+2(238-4x-2z)+5z=303.

Дальше упростим нижние уравнения. А затем можно или снова выразить одну из переменных, подставив это выражение в оставшееся уравнение, либо использовать метод сложения.

В любом случае в результате получим:
x=40 минут длится блок страданий,
y=24 минуты Анатолий непрерывно ест мандарины,
z=27 минут занимает блок написания кода.

Другие способы решения
В комментариях к исходному посту также предложили использовать массив в экселе и удобный метод устного вычисления! А ещё можно представить систему в виде матрицы и решать уже через её преобразования. Например, с помощью метода Крамера.

Спасибо вам за активное участие в решении!

Что ещё
• Подробнее о простых, но эффективных методах решения систем можно посмотреть в нашем бесплатном тренажёре.
• Ещё больше методов, а также практическое применение решения систем можно изучить в платном курсе.

Биномиальное распределение

Продолжаем разговор о распределениях!
Мы уже обсуждали дискретное равномерное и распределение Бернулли, второе нам сегодня и пригодится.

Погода на день и на неделю
Представим, что нас интересует, пойдёт ли снег.
Пусть вероятность того, что в каждый день на неделе пойдёт снег, равна 0.2. Значит, вероятность, что снег не пойдёт, равна 0.8. Пока мы говорим об одном дне — это распределение Бернулли.

Но как посчитать вероятность, что снег пойдёт в три дня на неделе? Здесь мы работаем с несколькими испытаниями Бернулли.
Будем считать, что погода в один день не влияет на погоду в другие, то есть наши испытания в нашей серии — независимы.

Определим количество исходов
В неделе 7 дней, значит, в произведении будет 7 множителей.
Нам не важно, в какие именно дни будет снег, а важно общее количество снежных дней на неделе. Подойдут и варианты пн-вт-ср, и ср-сб-вс, и пн-чт-сб и т.д.

Другими словами, нам надо «расставить» 3 снежных дня по 7 слотам. Снежные дни для нас одинаковы, так что их порядок не важен. Значит, рассчитать общее количество подходящих вариантов поможет формула для количества сочетаний:
С³₇=7!/((7-3)!⋅3!)=35.

Вероятность каждого исхода
В каждом подходящем случае в неделе будет 3 снежных дня и 4 бесснежных. Раз наши испытания Бернулли независимы, то вероятности каждодневных исходов перемножаются:
0.2³⋅0.8⁴.

Теперь соберём итоговую формулу — перемножим количество исходов и вероятность каждого исхода.
Получаем: 35⋅0.2³⋅0.8⁴ ≈ 0.11.

Значит, вероятность того, что снег будет ровно 3 дня на неделе, — около 11%.

Новое распределение
Последовательность величин Бернулли даёт новую случайную величину, равную количеству «успехов» в серии из n попыток. Такое распределение называют биномиальным и обозначают X~Binomial(n, p) или X~Binom(n, p).

Распределение так называется потому, что в формуле для расчёта вероятностей используются одноимённые коэффициенты!

Ещё примеры биномиального распределения
1) Классический пример — количество брака в партии. Например, известна вероятность, что кричащая резиновая курица не будет кричать, и нужно найти вероятность, что помалкивающих куриц в партии будет 10.
2) Известна вероятность, с которой пользователь кликает на рекламный баннер. Нужно определить вероятность, с которой заданное количество человек из ста кликнут на баннер.
3) Студент угадывает правильный ответ с заданной вероятностью. Нужно рассчитать вероятность, что студент сдаст тест без подготовки, то есть просто угадывая ответ.
4) Любимый телеграм-канал публикует пост с известной вероятностью. Какова вероятность, что он порадует публикациями 5 дней в неделю?

Задачка для вас
Пусть вероятность, что каждый день этой недели будет солнечным, равна 0.4. Какова вероятность, что солнечными окажутся ровно два дня этой недели?