Не посещала ли вас когда-нибудь мысль, что операция извлечения квадратного корня из случайного числа и операция выбора максимума из двух случайных чисел — это одно и то же?
Вот и нас не посещала, а это правда…

Звучит абсурдно!
Но видео-коллаб двух наших любимых математиков-популяризаторов, Мэтта Паркера и Грэнта Сандерсона, покажет, что с точки зрения теории вероятностей дела обстоят ровно так.

А ещё это видео понравится всем любителям настольных ролевых игр. 🐲🎲

Приятного просмотра!

Ситуация
Магазин «Всем по велику» продаёт детские велосипеды.
Сейчас в наличии есть 11 велосипедов, они одинаковые на вид, но с разной массой: 1, 2, 3 кг и так далее до 11.

Продавец знает, сколько весит каждый велосипед. А покупатель — только то, что они имеют такие массы, но не знает, какой из них какой.

Покупатель хочет взять 1-килограммовый, но не уверен, что предлагаемый велосипед весит именно столько.

Дополнительные условия
Весов и инструкций нет, брать велосипеды в руки может только продавец.

Но в распоряжении есть мини-грузовик для доставки велосипедов! Он выдерживает общий груз до 11 кг включительно. Если разместить больше, то у грузовика отваливаются колёса (так делать нельзя!).
Покупатель торопится, и продавцу нужно сделать минимальное количество «взвешиваний» с помощью грузовика.

Вопрос
Как продавцу доказать, что выбранный велосипед весит именно 1 кг?
--------

Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом, а полный разбор опубликуем в понедельник.

Решим пятничную задачу про велосипеды. 🚲
И сразу же отметим классную альтернативную формулировку, предложенную в комментариях!

Логичный максимум взвешиваний
Велосипед, массой 1 кг можно ставить в пару с любым велосипедом кроме самого тяжёлого — и автомобиль не сломается. Значит, за за 9 взвешиваний (в паре с каждым со 2-го по 10-й) точно получится доказать то, что нужно. Ну это-то понятно.

А можно ли как-то побыстрее?
Можно и нужно!
Поставим на автомобиль сразу четыре велосипеда: массой 1, 2, 3 и 5 кг, а потом сразу три – 1, 4 и 6 кг. Обе суммы по 11, так что в обоих случаях машина не сломается.
Заметим, что повторялся только один велосипед — его масса как раз 1 кг.

Казалось бы, на этом всё. Но нет!
Для исчерпывающего решения нужно также доказать, что провернуть такое другим способом не получится.

Пусть в первый раз был использован набор с весами a, b, с, d и во второй — a, e, f. Эти переменные должны удовлетворять системе неравенств:
a+b+c+d⩽11,
a+e+f⩽11.

Сложим неравенства – получим третье, которое тоже будет верным:
2a+b+c+d+e+f⩽22.
Здесь шесть натуральных чисел, одно из них задвоено.

Минимальная сумма шести разных натуральных чисел выглядит так:
1+2+3+4+5+6=21.
И это без задвоения!
Чтобы не превысить 22, задвоить можно только 1.

Ну теперь всё, да?
Мы показали, как определить нужный велосипед за 2 взвешивания и доказали, что других вариантов нет.

Но по-хорошему ещё нужно доказать очевидный, но важный факт — что нельзя управиться за меньшее количество взвешиваний, то есть за одно. 😁

• Если мы ставим только один (любой) велосипед, то машина точно не ломается, то есть никакой велик идентифицировать не удастся.
• Пусть мы ставим два велосипеда и машина не ломается. Если среди них есть велик в 1 кг — мы не сможем узнать, какой именно, не прибегая к дополнительным взвешиваниям. Если же его там нет — то нам снова нужны доп. взвешивания, чтобы его отыскать.
Это был душный момент решения, но в математике иногда приходится доказывать очевидные вещи.

И вот теперь — доказано окончательно. И, надеемся, продано! 🚴‍♂️

Кусочки пиццы 🍕
Задача на сегодня — разделить пиццу, но ровно тремя прямыми разрезами.
Куски могут быть разного размера.

Какое максимальное количество кусков может при этом получиться? Между разрезаниями передвигать кусочки нельзя. Пиццу считаем плоским кругом. 😁

Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Новость из мира простых чисел

Для начала немного контекста, а все ссылки — в конце поста.
Математики постоянно ищут новые простые числа (те, которые делятся только на 1 и на себя).
Это настолько значимый вопрос, что о наибольшем известном простом числе даже есть статья в Википедии.

Первые простые числа можно найти обычным перебором. Потом они попадаются всё реже, а перебрать все на свете числа невозможно. Поэтому математики разрабатывают тесты простоты, улучшают их, чтобы они работали быстрее и оптимальнее.

Некоторые «поиски» организуют компании. Другие — волонтёры. Энтузиасты на своих личных компьютерах проверяют числа на простоту. А что — это весело и можно вписать своё имя в историю!

🥳 Событие 🥳
На днях было найдено новое число-рекордсмен! Оно почти в два раза длиннее предыдущего самого большого известного простого.
Это число 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹-1, в нём 41 024 320 цифр.

Подробности
Посмотреть на это число (да, на весь 41 миллион цифр) можно в видео. А ещё в нём немного рассказывается о том, как это число нашли.
Спойлер: здесь замешана малая теорема Ферма. А в качестве вычислительных мощностей использовали 24 сервера с gpu — графическими процессорами, находящихся в 15 разных странах, объединённых в своеобразный облачный суперкомпьютер.
И да, это тот случай, когда найденное число впечатляет, но сама технология организации поиска, возможно, даже интереснее. 🤓

Ссылки
- Видео о новом событии
- Статья о наибольшем известном простом числе в Википедии (её уже обновили)
- Подборка постов о простых числах (в том числе о малой теореме Ферма)
- Сайт, с помощью которого волонтёры ищут простые числа

Задача про плейлист на сон грядущий 🎶

Три часа ночи. Валя не может уснуть, все овцы уже пересчитаны. Последняя надежда — успокаивающий плейлист.

Онлайн-сервис музыки предлагает подборку расслабляющих плейлистов, популярных на этой неделе.
• 100 человек лайкнули «Звуки воды»;
• 85 человек — «Треск камина»;
• 90 человек — «Шум леса».

При этом часть пользователей лайкнули больше одного плейлиста:
• 48 человек и за «Звуки воды», и за «Треск камина»;
• 15 человек и за «Треск камина», и за «Шум леса»;
• 39 человек и за «Звуки воды», и за «Шум леса»;
• 10 человек за все три плейлиста.

Те, кто лайкнул все три, обязательно лайкнули и какие-то два, то есть входят в каждую из перечисленных выше групп.

Валя задумалась, а сколько всего пользователей попали в эту статистику?

Ждём ваши решения под скрытым текстом, разбор опубликуем в понедельник.

Решим пятничную задачу про успокаивающий плейлист.

Пользователи образуют множества, их можно представить диаграммой — как на иллюстрации к посту. Нам известны какие-то фрагменты данных, но они пересекаются! Надо найти общее количество пользователей без пересечений.

С формулой
Задачу легко решить с помощью формулы включений-исключений!
Понадобится обозначение: через |X| обозначается мощность множества X, в данном случае это просто количество элементов в этом множестве.

Для трёх множеств формула включений-исключений выглядит так:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|.
По ней общее количество пользователей в статистике равно:
100+85+90-48-15-39+10=183.

Без формулы тоже можно!
Нужно найти общее число пользователей. Посмотрим ещё раз, сколько их всего.
100 человек лайкнули «Звуки воды», 85 — «Треск камина», 90 человек — «Шум леса».

При этом часть пользователей лайкнули больше одного плейлиста:
48 — и за «Звуки воды», и за «Треск камина»;
15 — и за «Треск камина», и за «Шум леса»;
39 — и за «Звуки воды», и за «Шум леса»;
10 — за все три плейлиста.

10 человек — это пересечение трёх множеств сразу. Эта десятка учтена в каждом попарном пересечении множеств. Значит, ровно два плейлиста лайкнули 48-10=38, 15-10=5 и 39-10=29 человек соответственно.

Чтобы найти, сколько человек лайкнули ровно один плейлист, нужно вычесть все пересечения.
Только «Звуки воды»: 100-29-38-10=23 человека.
Только «Треск камина»: 85-38-5-10=32 человека.
Только «Шум леса»: 90-29-5-10=46 человек.

Чтобы найти общее количество пользователей, нужно сложить все фрагменты.
46+32+23+29+38+5+10=183.

Именно столько человек обрели спокойный сон благодаря плейлистам.
Приятных сновидений и вам!

Бесконечная или конечная?
В математике немало парадоксов — ситуаций, когда вычисления на первый взгляд расходятся со здравым смыслом.

🥦 Вот, например, фракталы. Их периметр бесконечен. Казалось бы, и площадь должна быть бесконечной — а вот нет! Она ограничена конечным числом.

📊 Или несобственные интегралы. Страшные звери, но красиво парадоксальные. Если простым языком — это когда кривая бесконечна, а площадь под ней — внезапно конечна.

В 3D тоже есть такие парадоксы
📯 Пусть есть длинная объёмная фигура, похожая на горн (чего только не изучают эти математики 😅). Площадь этой фигуры бесконечна, то есть покрасить её — никакой краски не хватит! А вот объём конечен, более того — он равен… числу пи.

Подробнее об этом горне — в замечательном видео.

Небольшое уточнение
Если вы такие же душнилы, как и мы у вас возникнет вопрос, почему мы во второй раз не интегрируем снова по dx, отвечаем: так тоже можно, это чуть грубее (так как мы будем рассматривать ровные куски цилиндра), но ответ всё равно будет бесконечный.

Дружественные ссылки
• Наше видео про фрактальность береговой линии Великобритании,
• Платный курс «Математика для анализа данных», в котором вы подробно разберётесь во всяких интегралах (в том числе несобственных!) и научитесь применять их в анализе данных и Data Science.