Кристина нашла интересный рецепт блинчиков — на кокосовом молоке.

Правда, по рецепту нужно 300 мл молока с концентрацией 2%. А у Кристины упаковка всего 120 мл, но зато оно 18%-ное.
Ну ничего, разбавим водой!

1) Хватит ли Кристине такой упаковки?
2) Сколько мл 18%-го молока надо взять и сколько воды долить, чтобы получилось ровно 300 мл двухпроцентного?


Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем в пятницу.

Привет!
На этой неделе задачка была несложная, но родилась из настоящей кулинарной ситуации, так что не могли ею не поделиться. :)
Итак, разберём оба пункта.

1) Да, Кристине хватит упаковки! В молоке, которое есть, содержится 120*0.18=21.6 мл «кокосового концентрата». А по рецепту нужно всего 300*0.02=6 мл этого концентрата.

2) Посчитаем, как получить нужный объём с нужной концентрацией.
Выше мы выяснили, что нужно 6 мл «концентрата». Обозначим за x нужное для этого количество 18%-го молока. Тогда:

x*0.18=6, отсюда x=6:0.18=33.(3) мл. Округлим до 33.3 — столько мл 18%-го молока пригодится Кристине.

Всего по рецепту нужно 300 мл кокосового молока, значит, доливаем примерно 300-33.3=266.7 мл воды.

🐉 Задача о драконьих наездниках

К дракону Вермитору привели группу потенциальных драконьих наездников (предварительно надев на них огнеупорные доспехи). Наездники подходят к дракону по одному. Каждого кандидата Вермитор либо отвергает, делая «дракарис», либо принимает — и тогда миссия заверена успешно!

Известно (не спрашивайте, откуда), что Вермитор отвергает кандидата c вероятностью 90%. Сколько потребуется попыток, чтобы гарантировать успешное нахождение наездника с вероятностью хотя бы 95%?

Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Дракарис!
Решим задачу про драконьих наездников.

Общая концепция

Мы не знаем, с какого раза всё получится удачно, и искомая вероятность успеха будет равна сумме вероятностей успеха с разных попыток. То есть нам нужно понять, когда сумма всех вероятностей достигнет нужных нам 95%.

Начнём расчёты

• Может повезти прямо в первый раз, но вероятность этого всего 10% или 0.1.

• Может не повезти в первый, но повезти во второй — эта вероятность равна 0.9·0.1=0.09.
А общая сумма — 0.1+0.09=0.19. Это вероятность того, что повезло в первый или второй раз.

• Если удачной была только третья попытка — это 0.9·0.9·0.1.
Общая сумма 0.19+0.081=0.271 и так далее.

Не так уж быстро растёт суммарная вероятность...
Считать вручную можно, но долго.

Ускоримся

Лучше сказать, что вероятность смэтчиться при попытке номер n равна 0.9ⁿ⁻¹·0.1.
Тогда нужно решить неравенство:
0.1 + 0.9·0.1 + …+ 0.9ⁿ⁻¹·0.1 ⩾ 0.95.
Вынесем 0.1 за скобки, получим:
0.1·(1 + 0.9 + …+ 0.9ⁿ⁻¹) ⩾ 0.95.

Внутри скобок находится сумма геометрической прогрессии!
Её первый член равен единице, а каждый следующий получается умножением на 0.9. Сумма её первых n членов находится по формуле:
1(1-0.9ⁿ)/(1-0.9)=
(1-0.9ⁿ)/0.1=10(1-0.9ⁿ).

Тогда наше неравенство будет иметь вид
0.1·10(1-0.9ⁿ) ⩾ 0.95,
что великолепно упрощается до
1-0.9ⁿ ⩾ 0.95 🥰

Отсюда 0.9ⁿ ⩽ 0.05.
Нам надо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. Здесь мы рекомендуем остановиться на несколько секунд и попробовать прикинуть, чему равно это число. :)

Чтобы найти его формально, прологарифмируем по основанию 0.9. Поскольку основание меньше 1, знак неравенства изменится. Получим:
n ⩾ log₀̣₉0.05,
n ⩾ 28.433.
Значит, 29 попыток дадут нам мэтч с уверенностью 95%.

А сколько попыток нужно для 100% уверенности?

Здесь упс — никакое конечное количество попыток не может стопроцентно гарантировать драконье-человечий мэтч. Предлагаем вам обосновать этот факт. 😇

Хорошая новость — мы знаем, как будут выглядеть вероятности всех последующих удачных попыток.
Например, для 99% уверенности потребуется уже 44 человека.

Не посещала ли вас когда-нибудь мысль, что операция извлечения квадратного корня из случайного числа и операция выбора максимума из двух случайных чисел — это одно и то же?
Вот и нас не посещала, а это правда…

Звучит абсурдно!
Но видео-коллаб двух наших любимых математиков-популяризаторов, Мэтта Паркера и Грэнта Сандерсона, покажет, что с точки зрения теории вероятностей дела обстоят ровно так.

А ещё это видео понравится всем любителям настольных ролевых игр. 🐲🎲

Приятного просмотра!

Ситуация
Магазин «Всем по велику» продаёт детские велосипеды.
Сейчас в наличии есть 11 велосипедов, они одинаковые на вид, но с разной массой: 1, 2, 3 кг и так далее до 11.

Продавец знает, сколько весит каждый велосипед. А покупатель — только то, что они имеют такие массы, но не знает, какой из них какой.

Покупатель хочет взять 1-килограммовый, но не уверен, что предлагаемый велосипед весит именно столько.

Дополнительные условия
Весов и инструкций нет, брать велосипеды в руки может только продавец.

Но в распоряжении есть мини-грузовик для доставки велосипедов! Он выдерживает общий груз до 11 кг включительно. Если разместить больше, то у грузовика отваливаются колёса (так делать нельзя!).
Покупатель торопится, и продавцу нужно сделать минимальное количество «взвешиваний» с помощью грузовика.

Вопрос
Как продавцу доказать, что выбранный велосипед весит именно 1 кг?
--------

Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом, а полный разбор опубликуем в понедельник.

Решим пятничную задачу про велосипеды. 🚲
И сразу же отметим классную альтернативную формулировку, предложенную в комментариях!

Логичный максимум взвешиваний
Велосипед, массой 1 кг можно ставить в пару с любым велосипедом кроме самого тяжёлого — и автомобиль не сломается. Значит, за за 9 взвешиваний (в паре с каждым со 2-го по 10-й) точно получится доказать то, что нужно. Ну это-то понятно.

А можно ли как-то побыстрее?
Можно и нужно!
Поставим на автомобиль сразу четыре велосипеда: массой 1, 2, 3 и 5 кг, а потом сразу три – 1, 4 и 6 кг. Обе суммы по 11, так что в обоих случаях машина не сломается.
Заметим, что повторялся только один велосипед — его масса как раз 1 кг.

Казалось бы, на этом всё. Но нет!
Для исчерпывающего решения нужно также доказать, что провернуть такое другим способом не получится.

Пусть в первый раз был использован набор с весами a, b, с, d и во второй — a, e, f. Эти переменные должны удовлетворять системе неравенств:
a+b+c+d⩽11,
a+e+f⩽11.

Сложим неравенства – получим третье, которое тоже будет верным:
2a+b+c+d+e+f⩽22.
Здесь шесть натуральных чисел, одно из них задвоено.

Минимальная сумма шести разных натуральных чисел выглядит так:
1+2+3+4+5+6=21.
И это без задвоения!
Чтобы не превысить 22, задвоить можно только 1.

Ну теперь всё, да?
Мы показали, как определить нужный велосипед за 2 взвешивания и доказали, что других вариантов нет.

Но по-хорошему ещё нужно доказать очевидный, но важный факт — что нельзя управиться за меньшее количество взвешиваний, то есть за одно. 😁

• Если мы ставим только один (любой) велосипед, то машина точно не ломается, то есть никакой велик идентифицировать не удастся.
• Пусть мы ставим два велосипеда и машина не ломается. Если среди них есть велик в 1 кг — мы не сможем узнать, какой именно, не прибегая к дополнительным взвешиваниям. Если же его там нет — то нам снова нужны доп. взвешивания, чтобы его отыскать.
Это был душный момент решения, но в математике иногда приходится доказывать очевидные вещи.

И вот теперь — доказано окончательно. И, надеемся, продано! 🚴‍♂️

Кусочки пиццы 🍕
Задача на сегодня — разделить пиццу, но ровно тремя прямыми разрезами.
Куски могут быть разного размера.

Какое максимальное количество кусков может при этом получиться? Между разрезаниями передвигать кусочки нельзя. Пиццу считаем плоским кругом. 😁

Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Новость из мира простых чисел

Для начала немного контекста, а все ссылки — в конце поста.
Математики постоянно ищут новые простые числа (те, которые делятся только на 1 и на себя).
Это настолько значимый вопрос, что о наибольшем известном простом числе даже есть статья в Википедии.

Первые простые числа можно найти обычным перебором. Потом они попадаются всё реже, а перебрать все на свете числа невозможно. Поэтому математики разрабатывают тесты простоты, улучшают их, чтобы они работали быстрее и оптимальнее.

Некоторые «поиски» организуют компании. Другие — волонтёры. Энтузиасты на своих личных компьютерах проверяют числа на простоту. А что — это весело и можно вписать своё имя в историю!

🥳 Событие 🥳
На днях было найдено новое число-рекордсмен! Оно почти в два раза длиннее предыдущего самого большого известного простого.
Это число 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹-1, в нём 41 024 320 цифр.

Подробности
Посмотреть на это число (да, на весь 41 миллион цифр) можно в видео. А ещё в нём немного рассказывается о том, как это число нашли.
Спойлер: здесь замешана малая теорема Ферма. А в качестве вычислительных мощностей использовали 24 сервера с gpu — графическими процессорами, находящихся в 15 разных странах, объединённых в своеобразный облачный суперкомпьютер.
И да, это тот случай, когда найденное число впечатляет, но сама технология организации поиска, возможно, даже интереснее. 🤓

Ссылки
- Видео о новом событии
- Статья о наибольшем известном простом числе в Википедии (её уже обновили)
- Подборка постов о простых числах (в том числе о малой теореме Ферма)
- Сайт, с помощью которого волонтёры ищут простые числа