Роботы и масло

Сегодня предлагаем вам классическую задачу с собеседований, но в нашем прочтении. :)

Есть 15 роботов, которые работают на масле. Если заправить робота хоть капелькой испорченного масла, то через 10 минут он выйдет из строя.

Есть 30 000 канистр с маслом. В одной канистре масло испорченное, но в какой именно — неизвестно.

В роботов одновременно заливают масло (способ для этого есть), при этом масло из разных канистр можно предварительно смешивать. Можно ли найти испорченную канистру за 1 раз?

- Если да, то как это сделать?
- Если нет, то какое минимальное количество роботов позволит её найти?

Ваши варианты ждём в комментариях под скрытым текстом. Разбор задачи опубликуем в четверг в комментариях.

Если вы узнали задачу, поставьте 👀 и — тсссс! — позвольте и другим получить удовольствие от её решения ;)

Интересный счёт в ресторане

Алиса и её друзья ужинали в ресторане. Счёт получился пятизначным числом. Пока они выясняли, кто сколько должен, Алиса от скуки умножила счёт на 9 и обнаружила, что полученное число — тоже пятизначное и состоит из тех же цифр, только записаны они в обратном порядке.
Чему был равен счёт за ужин?

Ваши ответы и, самое главное, рассуждения ждём в комментариях под скрытым текстом.
Разбор задачи опубликуем в четверг.

Главный утренний выбор

Аня выбирает напиток в кофейне.
В меню:
- 7 видов кофе,
- 2 вида горячего шоколада,
- 5 видов чая.

Кофе и горячий шоколад готовят на обычном, соевом или овсяном молоке. Кофе может быть и без молока (а горячий шоколад всегда с молоком).
Ещё в кофейне есть 8 сиропов, по желанию можно 1 или 2 разных добавить в кофе.

1) Аня берёт каждый день разные варианты напитков. Сможет ли она за три года перепробовать все возможные?
2) Бариста сказал, что теперь любой из напитков можно сделать горячим или холодным. Сколько времени теперь понадобится Ане, чтобы попробовать все варианты?

Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым тестом.

Задача об утреннем напитке вызвала бурные обсуждения! 😇
Разберём её решение.

1) Для любого кофе доступны 4 варианта: без молока, на обычном молоке, на соевом молоке, на овсяном молоке.

Варианты напитка в принципе:
кофе без сиропа, с одним сиропом или с двумя сиропами; горячий шоколад на молоке; чай.
Всего вариантов:
- кофе без сиропа: 4·7=28,
- кофе с одним сиропом: 8·4·7=224,
- кофе с двумя разными сиропами: (7·8)/2·4·7=784,
- горячего шоколада: 3·2=6,
- чая: 5.

Итого получаем: 28+224+784+6+5=1047. Столько дней понадобится Ане, чтобы перепробовать все возможные варианты напитков.

Посчитаем количество дней в 3 годах: 3·365=1095. Это не на много, но всё же больше, чем 1047, значит, за 3 года Аня справится!

2) Предыдущий ответ нужно умножить на два: 1047·2 = 2094 дня, это примерно 5 лет и 9 месяцев. Долгосрочная задача!

Кристина нашла интересный рецепт блинчиков — на кокосовом молоке.

Правда, по рецепту нужно 300 мл молока с концентрацией 2%. А у Кристины упаковка всего 120 мл, но зато оно 18%-ное.
Ну ничего, разбавим водой!

1) Хватит ли Кристине такой упаковки?
2) Сколько мл 18%-го молока надо взять и сколько воды долить, чтобы получилось ровно 300 мл двухпроцентного?


Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем в пятницу.

Привет!
На этой неделе задачка была несложная, но родилась из настоящей кулинарной ситуации, так что не могли ею не поделиться. :)
Итак, разберём оба пункта.

1) Да, Кристине хватит упаковки! В молоке, которое есть, содержится 120*0.18=21.6 мл «кокосового концентрата». А по рецепту нужно всего 300*0.02=6 мл этого концентрата.

2) Посчитаем, как получить нужный объём с нужной концентрацией.
Выше мы выяснили, что нужно 6 мл «концентрата». Обозначим за x нужное для этого количество 18%-го молока. Тогда:

x*0.18=6, отсюда x=6:0.18=33.(3) мл. Округлим до 33.3 — столько мл 18%-го молока пригодится Кристине.

Всего по рецепту нужно 300 мл кокосового молока, значит, доливаем примерно 300-33.3=266.7 мл воды.

🐉 Задача о драконьих наездниках

К дракону Вермитору привели группу потенциальных драконьих наездников (предварительно надев на них огнеупорные доспехи). Наездники подходят к дракону по одному. Каждого кандидата Вермитор либо отвергает, делая «дракарис», либо принимает — и тогда миссия заверена успешно!

Известно (не спрашивайте, откуда), что Вермитор отвергает кандидата c вероятностью 90%. Сколько потребуется попыток, чтобы гарантировать успешное нахождение наездника с вероятностью хотя бы 95%?

Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Дракарис!
Решим задачу про драконьих наездников.

Общая концепция

Мы не знаем, с какого раза всё получится удачно, и искомая вероятность успеха будет равна сумме вероятностей успеха с разных попыток. То есть нам нужно понять, когда сумма всех вероятностей достигнет нужных нам 95%.

Начнём расчёты

• Может повезти прямо в первый раз, но вероятность этого всего 10% или 0.1.

• Может не повезти в первый, но повезти во второй — эта вероятность равна 0.9·0.1=0.09.
А общая сумма — 0.1+0.09=0.19. Это вероятность того, что повезло в первый или второй раз.

• Если удачной была только третья попытка — это 0.9·0.9·0.1.
Общая сумма 0.19+0.081=0.271 и так далее.

Не так уж быстро растёт суммарная вероятность...
Считать вручную можно, но долго.

Ускоримся

Лучше сказать, что вероятность смэтчиться при попытке номер n равна 0.9ⁿ⁻¹·0.1.
Тогда нужно решить неравенство:
0.1 + 0.9·0.1 + …+ 0.9ⁿ⁻¹·0.1 ⩾ 0.95.
Вынесем 0.1 за скобки, получим:
0.1·(1 + 0.9 + …+ 0.9ⁿ⁻¹) ⩾ 0.95.

Внутри скобок находится сумма геометрической прогрессии!
Её первый член равен единице, а каждый следующий получается умножением на 0.9. Сумма её первых n членов находится по формуле:
1(1-0.9ⁿ)/(1-0.9)=
(1-0.9ⁿ)/0.1=10(1-0.9ⁿ).

Тогда наше неравенство будет иметь вид
0.1·10(1-0.9ⁿ) ⩾ 0.95,
что великолепно упрощается до
1-0.9ⁿ ⩾ 0.95 🥰

Отсюда 0.9ⁿ ⩽ 0.05.
Нам надо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. Здесь мы рекомендуем остановиться на несколько секунд и попробовать прикинуть, чему равно это число. :)

Чтобы найти его формально, прологарифмируем по основанию 0.9. Поскольку основание меньше 1, знак неравенства изменится. Получим:
n ⩾ log₀̣₉0.05,
n ⩾ 28.433.
Значит, 29 попыток дадут нам мэтч с уверенностью 95%.

А сколько попыток нужно для 100% уверенности?

Здесь упс — никакое конечное количество попыток не может стопроцентно гарантировать драконье-человечий мэтч. Предлагаем вам обосновать этот факт. 😇

Хорошая новость — мы знаем, как будут выглядеть вероятности всех последующих удачных попыток.
Например, для 99% уверенности потребуется уже 44 человека.

Не посещала ли вас когда-нибудь мысль, что операция извлечения квадратного корня из случайного числа и операция выбора максимума из двух случайных чисел — это одно и то же?
Вот и нас не посещала, а это правда…

Звучит абсурдно!
Но видео-коллаб двух наших любимых математиков-популяризаторов, Мэтта Паркера и Грэнта Сандерсона, покажет, что с точки зрения теории вероятностей дела обстоят ровно так.

А ещё это видео понравится всем любителям настольных ролевых игр. 🐲🎲

Приятного просмотра!

Ситуация
Магазин «Всем по велику» продаёт детские велосипеды.
Сейчас в наличии есть 11 велосипедов, они одинаковые на вид, но с разной массой: 1, 2, 3 кг и так далее до 11.

Продавец знает, сколько весит каждый велосипед. А покупатель — только то, что они имеют такие массы, но не знает, какой из них какой.

Покупатель хочет взять 1-килограммовый, но не уверен, что предлагаемый велосипед весит именно столько.

Дополнительные условия
Весов и инструкций нет, брать велосипеды в руки может только продавец.

Но в распоряжении есть мини-грузовик для доставки велосипедов! Он выдерживает общий груз до 11 кг включительно. Если разместить больше, то у грузовика отваливаются колёса (так делать нельзя!).
Покупатель торопится, и продавцу нужно сделать минимальное количество «взвешиваний» с помощью грузовика.

Вопрос
Как продавцу доказать, что выбранный велосипед весит именно 1 кг?
--------

Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом, а полный разбор опубликуем в понедельник.

Решим пятничную задачу про велосипеды. 🚲
И сразу же отметим классную альтернативную формулировку, предложенную в комментариях!

Логичный максимум взвешиваний
Велосипед, массой 1 кг можно ставить в пару с любым велосипедом кроме самого тяжёлого — и автомобиль не сломается. Значит, за за 9 взвешиваний (в паре с каждым со 2-го по 10-й) точно получится доказать то, что нужно. Ну это-то понятно.

А можно ли как-то побыстрее?
Можно и нужно!
Поставим на автомобиль сразу четыре велосипеда: массой 1, 2, 3 и 5 кг, а потом сразу три – 1, 4 и 6 кг. Обе суммы по 11, так что в обоих случаях машина не сломается.
Заметим, что повторялся только один велосипед — его масса как раз 1 кг.

Казалось бы, на этом всё. Но нет!
Для исчерпывающего решения нужно также доказать, что провернуть такое другим способом не получится.

Пусть в первый раз был использован набор с весами a, b, с, d и во второй — a, e, f. Эти переменные должны удовлетворять системе неравенств:
a+b+c+d⩽11,
a+e+f⩽11.

Сложим неравенства – получим третье, которое тоже будет верным:
2a+b+c+d+e+f⩽22.
Здесь шесть натуральных чисел, одно из них задвоено.

Минимальная сумма шести разных натуральных чисел выглядит так:
1+2+3+4+5+6=21.
И это без задвоения!
Чтобы не превысить 22, задвоить можно только 1.

Ну теперь всё, да?
Мы показали, как определить нужный велосипед за 2 взвешивания и доказали, что других вариантов нет.

Но по-хорошему ещё нужно доказать очевидный, но важный факт — что нельзя управиться за меньшее количество взвешиваний, то есть за одно. 😁

• Если мы ставим только один (любой) велосипед, то машина точно не ломается, то есть никакой велик идентифицировать не удастся.
• Пусть мы ставим два велосипеда и машина не ломается. Если среди них есть велик в 1 кг — мы не сможем узнать, какой именно, не прибегая к дополнительным взвешиваниям. Если же его там нет — то нам снова нужны доп. взвешивания, чтобы его отыскать.
Это был душный момент решения, но в математике иногда приходится доказывать очевидные вещи.

И вот теперь — доказано окончательно. И, надеемся, продано! 🚴‍♂️