Привет!
Если в вашей жизни не хватало иррационального, то мы принесли целую коробку!🥡
Держите подборку постов про иррациональные числа👇
Про e
🟢 Битва с числом e
🟢 Зачем число e принцессе
🟢 Как e пытается навести порядок в беспорядках (хотя бы посчитать их количество)
🟢 Число e помогает выбрать туалет на фестивале
Про π
🟡 Число пи и ваш день рождения
🟡 Как искали знаки числа пи
🟡 Как в 2024 году 200 человек считали знаки числа пи вручную (и зачем)
🟡 Пи и взаимно простые числа
Про другие
🟣 Иррациональная константа фи в золотом сечении
🟣 Где мы каждый день сталкиваемся с √2
Если в вашей жизни не хватало иррационального, то мы принесли целую коробку!
Держите подборку постов про иррациональные числа
Про e
Про π
Про другие
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤14✍4❤🔥2
Почему нельзя делить на ноль
Возможно, ответ на этот вопрос интересует вас ещё со школы.
А может быть, вы уже знаете ответ — тогда можете познакомиться с другими.
Ответить можно на нескольких уровнях:
1) через общее понимание операции деления,
2) через понятие дроби,
3) алгебраически через связь деления и умножения,
4) через понятие предела и с помощью графика,
5) с помощью теории групп и полей через обратный элемент.
Эти пункты можно использовать как подсказки и подумать над доказательством самостоятельно 😉
А можно пойти коротким путём — посмотреть видео, в котором подробно объясняют все пять уровней ответов.
Возможно, ответ на этот вопрос интересует вас ещё со школы.
А может быть, вы уже знаете ответ — тогда можете познакомиться с другими.
Ответить можно на нескольких уровнях:
1) через общее понимание операции деления,
2) через понятие дроби,
3) алгебраически через связь деления и умножения,
4) через понятие предела и с помощью графика,
5) с помощью теории групп и полей через обратный элемент.
Эти пункты можно использовать как подсказки и подумать над доказательством самостоятельно 😉
А можно пойти коротким путём — посмотреть видео, в котором подробно объясняют все пять уровней ответов.
✍17👍11🤝6
Заговорил на одном языке с дата-сайентистами, стал решать рабочие задачи быстрее, а ещё так заинтересовался анализом текстов, что нашёл новую классную работу, связанную с ними.
Звучит как история успеха, а это только часть результатов выпускника курса «Математика для анализа данных» Азата Хакимова.
Подробнее о том, зачем Азат пришёл на курс, как учился и какую пользу получил, читайте в лонгриде-отзыве на скриншотах. Благодарим за душевный отзыв!
---
Если вы тоже хотите говорить с дата-сайентистами на одном языке, присоединяйтесь к курсу «Математика для анализа данных». Старт ближайшей когорты — в четверг, 20 июня.
Звучит как история успеха, а это только часть результатов выпускника курса «Математика для анализа данных» Азата Хакимова.
Подробнее о том, зачем Азат пришёл на курс, как учился и какую пользу получил, читайте в лонгриде-отзыве на скриншотах. Благодарим за душевный отзыв!
---
Если вы тоже хотите говорить с дата-сайентистами на одном языке, присоединяйтесь к курсу «Математика для анализа данных». Старт ближайшей когорты — в четверг, 20 июня.
❤10🔥9🤝4
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Математика в Питерском дворе-колодце
Что примечательного именно в этом дворе-колодце и какую математику обнаружила там Диана смотрите в видео.👆
А доказательнство — пишите в комментариях подскрытым текстом
Что примечательного именно в этом дворе-колодце и какую математику обнаружила там Диана смотрите в видео.
А доказательнство — пишите в комментариях под
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤10🔥10❤🔥3👍2🐳1
Докажем формулы площади восьмугольника из романтичного питерского видео.
1) Докажем, что S₈=a²-b².
На иллюстрации видно, что правильный восьмиугольник — это квадрат, в котором отрезаны одинаковые уголки. Каждый уголок — прямоугольный треугольник.
Значит, площадь восьмиугольника — это площадь квадрата без площади уголков-треугольников.
Площадь квадрата равна a².
Площадь каждого треугольника равна 0.5⋅(b/√2)⋅(b/√2)=b²/4.
Отсюда S₈=a²-4⋅(b²/4)=a²-b². Вуаля — доказано!
2) Докажем вторую формулу: S₈=2ab.
Снова пригодятся треугольники! Проведём отрезки из центра восьмиугольника (он совпадает с центром квадрата) во все вершины восьмиугольника. Получим 8 треугольников. Они все равнобедренные и одинаковые!
Площадь такого треугольника можно найти разными способами, например, через основание и высоту. Основание каждого равно b, высота — a/2. Отсюда площадь каждого треугольника равна 0.5⋅b⋅a/2=0.25ab. И тогда S₈=8⋅0.25ab=2ab. Доказано!
3) Мы вошли в раж, поэтому не остановимся и докажем ещё раз вторую формулу — другим способом!
Формулу S₈=2ab, можно доказать алгебраически, связав её с первой. Другими словами, надо убедиться, что a²-b²=2ab.
Переменные a и b связаны. Выразим первую через вторую, опираясь на чертёж:
a=b/√2+b+b/√2=b+2b/√2=b√2+b.
Теперь возьмём выражение a²-b² и попытаемся превратить его в 2ab. Подставим вместо a формулу выше и раскроем скобки:
a²-b²=(b√2+b)²-b²=(2b²+2√2b²+b²)-b²=2√2b²+2b²=2b(b√2+b)=2ba.
Что и требовалось доказать!
1) Докажем, что S₈=a²-b².
На иллюстрации видно, что правильный восьмиугольник — это квадрат, в котором отрезаны одинаковые уголки. Каждый уголок — прямоугольный треугольник.
Значит, площадь восьмиугольника — это площадь квадрата без площади уголков-треугольников.
Площадь квадрата равна a².
Площадь каждого треугольника равна 0.5⋅(b/√2)⋅(b/√2)=b²/4.
Отсюда S₈=a²-4⋅(b²/4)=a²-b². Вуаля — доказано!
2) Докажем вторую формулу: S₈=2ab.
Снова пригодятся треугольники! Проведём отрезки из центра восьмиугольника (он совпадает с центром квадрата) во все вершины восьмиугольника. Получим 8 треугольников. Они все равнобедренные и одинаковые!
Площадь такого треугольника можно найти разными способами, например, через основание и высоту. Основание каждого равно b, высота — a/2. Отсюда площадь каждого треугольника равна 0.5⋅b⋅a/2=0.25ab. И тогда S₈=8⋅0.25ab=2ab. Доказано!
3) Мы вошли в раж, поэтому не остановимся и докажем ещё раз вторую формулу — другим способом!
Формулу S₈=2ab, можно доказать алгебраически, связав её с первой. Другими словами, надо убедиться, что a²-b²=2ab.
Переменные a и b связаны. Выразим первую через вторую, опираясь на чертёж:
a=b/√2+b+b/√2=b+2b/√2=b√2+b.
Теперь возьмём выражение a²-b² и попытаемся превратить его в 2ab. Подставим вместо a формулу выше и раскроем скобки:
a²-b²=(b√2+b)²-b²=(2b²+2√2b²+b²)-b²=2√2b²+2b²=2b(b√2+b)=2ba.
Что и требовалось доказать!
👍13❤4✍3
Продолжим разговор о статистике!
Статистика помогает проанализировать большие наборы данных. Для этого можно описать данные одним числом — например, средним. Но не всегда одного показателя достаточно. Рассмотрим пример.
Когда среднего недостаточно
Пусть мы исследуем массы капибар, живущих в двух национальных парках. Средняя масса особи в обоих парках одинакова. Значит ли это, что наборы данных похожи? Иллюстрация к посту показывает, что нет.
В парке «Капи» большинство значений держится недалеко от среднего, а вот в парке «Бара» — значения масс «разбросаны» широко.
Разброс данных помогает оценить новая статистическая характеристика — дисперсия.
Что такое дисперсия
Дисперсия Var(X) — это статистический показатель, который описывает разброс значений в наборе данных X относительно среднего значения. Она показывает, насколько похожи или, наоборот, — разнообразны между собой значения в наборе данных.
Как вычислить дисперсию
1) Вычисляем среднее арифметическое.
2) Находим разность между средним арифметическим и каждым отдельным значением. Эту разность называют отклонением. Возводим каждое отклонение в квадрат.
3) Складываем все квадраты отклонений.
4) Делим сумму на n-1, где n — количество наблюдений.
Пример
Для простоты вычислений представим, что в парках всего по 4 особи, а средняя масса и там, и там равна 50 кг. В парке «Капи» массы равны 45, 50, 51, 54 кг, а в парке «Бара» — 20, 30, 70, 80 кг.
Посчитаем дисперсию для «Капи»:
Var(B)=((45-50)²+(50-50)²+(51-50)²+(54-50)²)/3=(25+0+1+16)/3=14.
А теперь дисперсия для «Бары»:
Var(K)=((20-50)²+(30-50)²+(70-50)²+(80-50)²)/3=(900+400+400+900)/3≈866.7.
Дисперсия массы капибар в парке «Капи» меньше, то есть в нём результаты более стабильны, чем в парке «Бара».
Особенности интерпретации дисперсии
Дисперсия измеряется в квадрате единиц исходных данных, и это может затруднить интерпретацию результатов. Например, дисперсия массы капибар измеряется в квадратных килограммах. Сложно представить, что такое квадратный килограмм. 😅
Статистика помогает проанализировать большие наборы данных. Для этого можно описать данные одним числом — например, средним. Но не всегда одного показателя достаточно. Рассмотрим пример.
Когда среднего недостаточно
Пусть мы исследуем массы капибар, живущих в двух национальных парках. Средняя масса особи в обоих парках одинакова. Значит ли это, что наборы данных похожи? Иллюстрация к посту показывает, что нет.
В парке «Капи» большинство значений держится недалеко от среднего, а вот в парке «Бара» — значения масс «разбросаны» широко.
Разброс данных помогает оценить новая статистическая характеристика — дисперсия.
Что такое дисперсия
Дисперсия Var(X) — это статистический показатель, который описывает разброс значений в наборе данных X относительно среднего значения. Она показывает, насколько похожи или, наоборот, — разнообразны между собой значения в наборе данных.
Как вычислить дисперсию
1) Вычисляем среднее арифметическое.
2) Находим разность между средним арифметическим и каждым отдельным значением. Эту разность называют отклонением. Возводим каждое отклонение в квадрат.
3) Складываем все квадраты отклонений.
4) Делим сумму на n-1, где n — количество наблюдений.
Пример
Для простоты вычислений представим, что в парках всего по 4 особи, а средняя масса и там, и там равна 50 кг. В парке «Капи» массы равны 45, 50, 51, 54 кг, а в парке «Бара» — 20, 30, 70, 80 кг.
Посчитаем дисперсию для «Капи»:
Var(B)=((45-50)²+(50-50)²+(51-50)²+(54-50)²)/3=(25+0+1+16)/3=14.
А теперь дисперсия для «Бары»:
Var(K)=((20-50)²+(30-50)²+(70-50)²+(80-50)²)/3=(900+400+400+900)/3≈866.7.
Дисперсия массы капибар в парке «Капи» меньше, то есть в нём результаты более стабильны, чем в парке «Бара».
Особенности интерпретации дисперсии
Дисперсия измеряется в квадрате единиц исходных данных, и это может затруднить интерпретацию результатов. Например, дисперсия массы капибар измеряется в квадратных килограммах. Сложно представить, что такое квадратный килограмм. 😅
🔥19👍6❤3
Выход есть — извлечь корень. Так мы получим ещё одну статистическую характеристику.
Стандартное отклонение
Обозначается Sₓ. Это квадратный корень из дисперсии.
Для парка «Капи» Sₖ≈3.7, то есть большинство масс капибар отклоняется примерно на 3.7 кг в большую или меньшую сторону от среднего значения. Понятная интерпретация!
Для парка «Бара» Sᵦ≈29.4, то есть большинство масс капибар отклоняется от среднего значения примерно на 29.4 кг.
Стандартное отклонение позволяет оценить разнообразие данных и сравнить наборы по этому показателю. В примере с капибарами зоологи могут поизучать причины, почему особи в одном парке более разнообразны, а в другом — более похожи по массе.
А если бы мы, например, сравнивали погоду в течение недели в двух разных городах, то большее стандартное отклонение означало бы, что для поездки в этот город нужно взять больше вариантов одежды.
Задача для вас: откройте приложение погоды и вычислите стандартное отклонение недельной погоды в вашем городе. Делитесь результатами в комментариях! 😎
Стандартное отклонение
Обозначается Sₓ. Это квадратный корень из дисперсии.
Для парка «Капи» Sₖ≈3.7, то есть большинство масс капибар отклоняется примерно на 3.7 кг в большую или меньшую сторону от среднего значения. Понятная интерпретация!
Для парка «Бара» Sᵦ≈29.4, то есть большинство масс капибар отклоняется от среднего значения примерно на 29.4 кг.
Стандартное отклонение позволяет оценить разнообразие данных и сравнить наборы по этому показателю. В примере с капибарами зоологи могут поизучать причины, почему особи в одном парке более разнообразны, а в другом — более похожи по массе.
А если бы мы, например, сравнивали погоду в течение недели в двух разных городах, то большее стандартное отклонение означало бы, что для поездки в этот город нужно взять больше вариантов одежды.
Задача для вас: откройте приложение погоды и вычислите стандартное отклонение недельной погоды в вашем городе. Делитесь результатами в комментариях! 😎
👏13🔥11✍5❤4
Выбираем лучшую квартиру
Денис планирует поездку в Суздаль на Праздник огурца и хочет арендовать квартиру на несколько дней.
Денис оценивает жильё по нескольким параметрам: близость к центру, свежесть ремонта, рейтинг на сайте. Каждый параметр он оценивает баллами от 1 до 5, где 1 — плохо, а 5 — отлично. На иллюстрации к посту — таблица с баллами квартир, которые понравились Денису по фотографиям.
Какая квартира будет лучшей и почему? Ждём ваши версии и обоснования в комментариях подскрытым текстом.
Денис планирует поездку в Суздаль на Праздник огурца и хочет арендовать квартиру на несколько дней.
Денис оценивает жильё по нескольким параметрам: близость к центру, свежесть ремонта, рейтинг на сайте. Каждый параметр он оценивает баллами от 1 до 5, где 1 — плохо, а 5 — отлично. На иллюстрации к посту — таблица с баллами квартир, которые понравились Денису по фотографиям.
Какая квартира будет лучшей и почему? Ждём ваши версии и обоснования в комментариях под
❤6
Разберём пятничную задачу про подбор лучшей квартиры в Суздале для Дениса.
Мы рады вашему активному отклику!
Сразу уточним, что названия квартир вымышлены, все совпадения с реальностью случайны. 😅
Поехали!
Мы рады вашему активному отклику!
Сразу уточним, что названия квартир вымышлены, все совпадения с реальностью случайны. 😅
Поехали!
👍3❤1
Про веса
Иногда какие-то параметры более важны, чем другие, и тогда каждый признак имеет свой вес. Об этом много говорили в комментариях, и это верно. В нашей задаче ничего неизвестно про приоритеты Дениса — в таких случаях можно считать все параметры равнозначными.
Простой способ решения
Самое простое — посчитать для каждой квартиры среднее арифметическое её баллов и сравнить значения. Можно сравнивать и суммы баллов, это примерно то же самое. Такой критерий обычно приходит в голову первым, и он вполне валидный!
Посчитаем средний балл для каждой квартиры.
Две квартиры имеют одинаковый средний балл.
Уже не плохо, определили финалистов. 😊
Анализируем дальше
Используем векторы! Каждую квартиру характеризует вектор с тремя координатами. Нужно выбрать самый большой вектор, ведь чем выше баллы — тем лучше. Сделать это поможет норма!
Считать нормы можно разными способами, у нас про это была целая статья. В ней мы разбирали популярные нормы — L₁ и L₂.
Норма L₁ — это просто сумма модулей всех координат, именно её мы и посчитали выше (до того, как делить каждый результат на 3). Вторая и четвёртая квартиры имеют одинаковый суммарный балл, так что посчитаем и норму L₂.
Норма L₂
Это классика, именно её изучают в школе — так в геометрии считают длину вектора.
Её формула — корень из суммы квадратов всех координат. Квадраты очень чувствительны к изменениям, то есть большие слагаемые вносят больший вклад. В этом есть смысл, ведь получить очень высокий балл (выше 4.5) — сложно.
Вычислим нормы L₂ для всех квартир.
В упорной борьбе победила Лакшери Апарт.
Пожалуй, пора принимать решение, до праздника огурца осталось три недели!
Иногда какие-то параметры более важны, чем другие, и тогда каждый признак имеет свой вес. Об этом много говорили в комментариях, и это верно. В нашей задаче ничего неизвестно про приоритеты Дениса — в таких случаях можно считать все параметры равнозначными.
Простой способ решения
Самое простое — посчитать для каждой квартиры среднее арифметическое её баллов и сравнить значения. Можно сравнивать и суммы баллов, это примерно то же самое. Такой критерий обычно приходит в голову первым, и он вполне валидный!
Посчитаем средний балл для каждой квартиры.
Cozy Suzdal (3.7+4.6+4.1)/3=12.4/3=4.1(3).
Best квартира в городе! (4.7+4.3+4.2)/3=13.2/3=4.4.
Домашний уют (4.4+3.8+4.5)/3=12.7/3=4.2(3).
Лакшери Апарт (4.2+4.1+4.9)/3=13.2/3=4.4.Две квартиры имеют одинаковый средний балл.
Уже не плохо, определили финалистов. 😊
Анализируем дальше
Используем векторы! Каждую квартиру характеризует вектор с тремя координатами. Нужно выбрать самый большой вектор, ведь чем выше баллы — тем лучше. Сделать это поможет норма!
Считать нормы можно разными способами, у нас про это была целая статья. В ней мы разбирали популярные нормы — L₁ и L₂.
Норма L₁ — это просто сумма модулей всех координат, именно её мы и посчитали выше (до того, как делить каждый результат на 3). Вторая и четвёртая квартиры имеют одинаковый суммарный балл, так что посчитаем и норму L₂.
Норма L₂
Это классика, именно её изучают в школе — так в геометрии считают длину вектора.
Её формула — корень из суммы квадратов всех координат. Квадраты очень чувствительны к изменениям, то есть большие слагаемые вносят больший вклад. В этом есть смысл, ведь получить очень высокий балл (выше 4.5) — сложно.
Вычислим нормы L₂ для всех квартир.
Cozy Suzdal √(3.7²+4.6²+4.1²)≈7.19.
Best квартира в городе! √(4.7²+4.3²+4.2²)≈7.63.
Домашний уют √(4.4²+3.8²+4.5²)≈7.35.
Лакшери Апарт √(4.2²+4.1²+4.9²)≈7.65.В упорной борьбе победила Лакшери Апарт.
Пожалуй, пора принимать решение, до праздника огурца осталось три недели!
👍25❤3🤔3😁1🤗1
Математика — наука серьёзная, но мы любим похихикать
Как вы знаете (знаете ведь?) у нас есть классный курс «Математика для анализа данных». Мы постоянно его совершенствуем и актуализируем, чтобы курс был ещё лучше и полезнее.
Недавно был большой апдейт: мы добавили практических задач, дополнили уроки, подробнее пояснили непростые фрагменты и так далее.
А ещё мы добавили побольше весёлого! Потому что знаем: смех помогает учиться и справляться с трудностями.
Делимся с вами примерами забавных задач из обновлённых фрагментов курса.
Если у вас тоже есть примеры смешных математических задач, делитесь ими в комментариях! Ну и наши можно порешать. ☺️
Как вы знаете (знаете ведь?) у нас есть классный курс «Математика для анализа данных». Мы постоянно его совершенствуем и актуализируем, чтобы курс был ещё лучше и полезнее.
Недавно был большой апдейт: мы добавили практических задач, дополнили уроки, подробнее пояснили непростые фрагменты и так далее.
А ещё мы добавили побольше весёлого! Потому что знаем: смех помогает учиться и справляться с трудностями.
Делимся с вами примерами забавных задач из обновлённых фрагментов курса.
Если у вас тоже есть примеры смешных математических задач, делитесь ими в комментариях! Ну и наши можно порешать. ☺️
🔥32👍7😁3
Роботы и масло
Сегодня предлагаем вам классическую задачу с собеседований, но в нашем прочтении. :)
Есть 15 роботов, которые работают на масле. Если заправить робота хоть капелькой испорченного масла, то через 10 минут он выйдет из строя.
Есть 30 000 канистр с маслом. В одной канистре масло испорченное, но в какой именно — неизвестно.
В роботов одновременно заливают масло (способ для этого есть), при этом масло из разных канистр можно предварительно смешивать. Можно ли найти испорченную канистру за 1 раз?
- Если да, то как это сделать?
- Если нет, то какое минимальное количество роботов позволит её найти?
Ваши варианты ждём в комментариях под скрытым текстом. Разбор задачи опубликуем в четверг в комментариях.
Если вы узнали задачу, поставьте 👀 и — тсссс! — позвольте и другим получить удовольствие от её решения ;)
Сегодня предлагаем вам классическую задачу с собеседований, но в нашем прочтении. :)
Есть 15 роботов, которые работают на масле. Если заправить робота хоть капелькой испорченного масла, то через 10 минут он выйдет из строя.
Есть 30 000 канистр с маслом. В одной канистре масло испорченное, но в какой именно — неизвестно.
В роботов одновременно заливают масло (способ для этого есть), при этом масло из разных канистр можно предварительно смешивать. Можно ли найти испорченную канистру за 1 раз?
- Если да, то как это сделать?
- Если нет, то какое минимальное количество роботов позволит её найти?
Ваши варианты ждём в комментариях под скрытым текстом. Разбор задачи опубликуем в четверг в комментариях.
Если вы узнали задачу, поставьте 👀 и — тсссс! — позвольте и другим получить удовольствие от её решения ;)
👏9👀6👍5✍3❤1