Привет! Сегодня у нас снова насущная задача, мы такие любим. 😉

Коля приехал в Будапешт, ему нужно поменять евро на форинты. В обменнике около отеля курс 1€ = 380Ft.
Есть место с курсом 1€ = 383Ft, но пешком до него далеко, надо ехать на автобусе. Билетик на автобус (туда и обратно вместе) стоит 530Ft.

Выгодно ли ехать ко второму пункту ради обмена 100€?
Если нет, то начиная с какой суммы это имеет смысл?

Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Задача про четверг, 29 февраля

Привет!
Сегодня особенная дата — она бывает только раз в 4 года! В этом году 29 февраля выпало на четверг. В каком году в следующий раз эта же дата выпадет на этот же день недели?

Свои рассуждения пишите в комментариях.

Признак делимости на 7 (неофициальный)

Раньше мы уже рассказывали про несколько известных признаков делимости. Есть менее известные — например, на 7. Их даже несколько!
Но «официальный» нам никогда не нравился, поэтому сегодня поговорим про другой. Он несколько экстравагантный. 😁
Обсудим сам признак и почему он работает.

Разберём на примере
Возьмём число 672.
1. Отделим от него последнюю цифру, получим: 67 и 2. Пригодятся обе части.
2. Домножим последнюю цифру на 5: 2*5=10.
3. Сложим первый «кусочек» и результат второго действия: 67+10=77. Результат делится на 7, значит, и исходное число 672 делится на 7. Проверим: 672=7*96 — работает!

Ещё пример
Возьмём 583.
1. Отделим последнюю цифру, получаем 58 и 3.
2. Домножаем последнюю цифру на 5: 3*5=15.
3. Складываем: 58+15=73. Результат не делится на 7, значит, и 583 не делится на 7.

Что делать в более сложном случае
Проверим число 3696.
1. Отделяем последнюю цифру, получаем 369 и 6.
2. Упятеряем последнюю цифру: 6*5=30.
3. Складываем: 369+30=399.

Сложно на глаз сказать, делится ли результат на 7. Чтобы узнать, применим к нему тот же трюк! Получим: 39+9*5=39+45=84 — делится на 7, так что 399 тоже, а значит, и исходное число 3696 делится на 7. А если насчёт 84 тоже неочевидно, можно и его так проверить. ⤵️

⤴️
Почему признак работает

Любое число можно записать как 10x+y, где y — это последняя цифра, а x — это то самое число, образованное из первых цифр.
Домножим это число на 5. Если исходное число делилось на 7, то и домноженное будет делиться. И наоборот — если исходное не делится, то и домноженное не будет.

После домножения получим 50x+5y. Перезапишем его как (x+5y)+49x. Последнее слагаемое точно делится на 7. Значит, всё число целиком делится на 7 тогда и только тогда, когда (x+5y) делится на 7. Именно это мы и проверяли в алгоритме!

Другой, но похожий признак делимости на 7

Делимость на 7 можно проверить а так: взять первый «кусок» числа и вычесть из него последнюю цифру, умноженную на 2. Например, для 672 получим: 67-2*2=63 — делится на 7. В комментариях предлагаем вам под скрытым текстом доказать, почему такой вариант тоже работает 😉

Привет!
Весна пришла, поэтому…
Количество подписчиков приближается к 10 тысячам, поэтому…

На самом деле у нас просто было хорошее настроение, и мы подготовили для вас промокод со скидкой. Он распространяется на все курсы «с нуля» двух направлений в Практикуме: «Анализ данных» и «Программирование».

По традиции этого канала, промокод — математический.
Чтобы получить скидку, нужно:
1. Решить задачу ниже и получить ответ в виде числа.
2. Это число нужно записать вместо X в коде “PRAKTICHESKIX” (но без кавычек). Например, если получится 99, то код будет PRAKTICHESKI99. Это не сам промокод, а только пример, как его записать. 😉
3. Ввести промокод на странице оплаты выбранного курса с 11 до 18 марта этого года. Скидка — 10%.

А вот и сама задача для промокода:

В магазине подарков продаются конфеты «Моргунов» в красивой коробке.
До 13 февраля в день в среднем продавали 104 коробки таких конфет, потом это число возросло на 75%.
После этого продажи упали на 45%, а к 8 марта снова возросли — уже на 120%. Каковы были средние продажи 8-го марта? Ответ округлите до целых.

Важно! На этот раз ответ к задаче не нужно писать в комментариях. В комментариях можете задать вопросы по курсам, или оставить отзыв, если вы уже прошли какой-то из них. 😇

• Курсы по анализу данных,
• Курсы по программированию.
В обоих направлениях промокод действует на курсы «с нуля».

Скидка 10% на курсы

Привет!
Напоминаем: с сегодняшнего дня действует промокод со скидкой 10% на все курсы «с нуля» направлений программирования и анализа данных.

Чтобы получить промокод, решайте задачу из предыдущего поста. Успехов!

- Курсы по анализу данных,
- Курсы по программированию.

Польза формальной математики на примере одной теоремы

Иногда мы совершаем какие-то математические действия как что-то очевидное.
Например, приведём дробь 8/12 к несократимой.

Алгоритм такой:
1) Разложим 8 на простые множители: 8 = 2⋅2⋅2.
2) Проделаем то же со знаменателем: 12 = 2⋅2⋅3.
3) Возьмём общую часть: 2⋅2 и сократим на неё:
8/12 = (2⋅2⋅2)/(2⋅2⋅3) = 2/3.

Подключаются дотошные математики

Казалось бы, всё логично. Но дотошные математики всегда сомневаются: а почему мы решили, что это единственно верный вариант? Может быть, можно разложить 8 и 12 на простые множители по-другому, получится другая общая часть и в результате сокращения выйдет не 2/3, а например, 1/2?

Как ни крути, разложить 8 и 12 по-другому нельзя. Но что насчёт чисел побольше? Можно брать их, пробовать и убеждаться, что разложение на простые множители всегда единственно (только порядок множителей может быть разный, это ок).

Но проверить все числа мы не можем. Остаётся вопрос: если взять какие-то огромные числа — там точно получится так же?

Основная теорема арифметики

И пока математики размышляют над такими вещами, они убеждаются, что:

любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до перестановки).

Это значит, что разложения 8 = 2⋅2⋅2, 12 = 2⋅2⋅3 — единственные. Никаких других простых множителей в разложении быть не может, но и убрать из записи какой-то множитель нельзя.

Теорема называется основной теоремой арифметики. Её сформулировал Евклид ещё в 3 веке до н.э. Она как будто простая и логичная, но, повторимся, математики такое доказывают — чтобы не просто верить, а знать, что всё, что мы делаем в арифметике, правильно всегда, то есть в общем случае. Ну душнилы, чо.

Когда появилась

Эта теорема занимала умы математиков две тысячи лет: похожие формулировки встречаются ещё в «Началах» Евклида, потом у многих других математиков, но полное строгое доказательство привёл Гаусс лишь в начале 19 века.

Зачем это надо

Основная теорема арифметики даёт нам право делать разные действия и приходить к единственному результату, например:
• сокращать дроби;
• выносить множитель за скобки;
• находить делители числа;
• находить наибольший общий делитель чисел;
• находить наименьшее общее кратное.

А ещё не ломается криптография

Криптография прям держится на основной теореме арифметики!
Вся история с шифрованием с открытым ключом построена на поиске простых множителей числа. Если бы это разложение числа на простые множители было не единственным, то закодировать что-то мы бы могли, а вот однозначно расшифровать — нет.

Спасибо математикам за их дотошность и наши защищённые данные! ☺️

Подробнее о работе криптографических ключей смотрите в посте.

Как пощупать четырёхмерное пространство

Представьте, что вы проснулись, а объекты вокруг ведут себя как-то не так. Например, подброшенный мячик улетел вдаль и пропал. От неожиданности вы споткнулись и уронили коробку. Падая, она превратилась в призму, а потом снова стала привычным параллелепипедом.

Что приключилось?
Возможно, вы просто попали в четырёхмерное пространство, но при этом продолжаете видеть в 3D.

Адаптироваться и разобраться, что и почему происходит, поможет видео. В нём объясняется и показывается, как ведут себя четырёхмерные объекты в трёхмерном пространстве. И это действительно наглядно! Это презентация игры, при желании её можно скачать и попробовать свои силы в удивительном 4D-мире.

С днём пи (прошедшим, но всё же)!
Вчерашняя дата 14 марта на западный манер записывается как 3.14. Это приближённое значение числа π. Поэтому математики и все желающие в этот день празднуют День числа π 🥰

Как празднуют
Можно по-разному. Например, популяризатор математики Мэтт Паркер ежегодно вручную вычисляет значение числа π каким-нибудь новым экстравагантным способом. Способов много, так что есть, где развернуться. Начинал он один, потом собралась небольшая команда, а потом…

Великое празднование 2024
В этот раз взяли такую формулу:

π/4 = 1587⋅arctg(1/2852) + 295⋅arctg(1/4193) + 593⋅arctg(1/4246) + 359⋅arctg(1/39307) + 481⋅arctg(1/55603) + 625⋅arctg(1/211050) - 708⋅arctg(1/390112).

Каждый арктангенс тоже считают вручную — с помощью ряда Тейлора.
Вычислений много, поэтому мероприятие получилось масштабным:
- участвовали 200 человек;
- считали 7 дней;
- вычислили 140 знаков вручную!

Видеоотчёт
О том, как это было, можно посмотреть в видео. Там и про процесс, и про распараллеливание, проверку, перепроверку, менеджмент, ну и про детали вычисления.
Видео очень гиковское, а ещё — милое, трогательное и эмоциональное. Оно сразу и про науку, про веру в человечество и вот это всё.

Зачем люди это делают
Потому что могут. И хотят. Ну и чтобы доказать себе, что они всё ещё умеют делать длинные вычисления без калькулятора. И чтобы получить классные эмоции и побыть среди близких по духу людей.

В общем, зря математику считают «сухой», она бывает разной.
Всех с праздником!

Привет!
Сегодня у нас по плану был другой пост, но! Мы нашли очень классную задачу и бурно решали её всей командой. Она похожа на судоку, только лучше.
Так что теперь несём задачу вам — чтобы вы так же здорово провели время. 😇

Дизайнер городской среды Андрей проектирует новый район города и чертит план. По его задумке:

• Район представляет собой квадрат 6 на 6, в каждой клеточке стоит дом.
• В каждой горизонтальной и вертикальной линии квадрата все дома разной этажности: от 1 до 6.
• Если посмотреть на район со стороны, то более высокие дома загораживают более низкие. Числа по сторонам квадрата показывают, сколько домов видно в этом направлении. Для некоторых «линий» есть требования по количеству видимых домов, а для некоторых — нет.
• Каждый этаж — одинаковой высоты и ширины, дома имеют форму параллелепипедов.

Помогите Андрею спроектировать современное городское пространство — определите, где должен стоять какой дом.

Ваши варианты присылайте в комментарии скрытым текстом или скрытой картинкой.

Немного стратегии и ответ задачи про дома

Привет!
В понедельник у нас была задача про дизайн городского квартала. Спасибо вам за отклик, мы рады, что задача понравилась!

Если вы не придумали, как к ней подступиться, вот несколько соображений, которые помогут это сделать.

🏬 Начните с четвёртой строчки. Раз слева направо видны все 6 домов, значит, они просто идут по порядку от 1 к 6, никто никого не блокирует.

🏬 Видны не всегда самые высокие дома в линии, но 6-этажный дом виден всегда со всех сторон. Например, если видны три дома, то это могут быть и 126, и 246, и 456.

🏬 Некоторые из этих вариантов могут стоять только в начале линии. Например, если видны 126, то эта комбинация стоит в начале ряда, а все остальные дома спрятались за 6-этажным.
Иногда одни дома загораживают другие. Например, в варианте 214365 видно только 246, а остальные дома прячутся.

🏬 Интересен четвёртый столбец — в нём с одной стороны видно 3 дома, а с другой — 4. Тут можно сразу расположить 6-этажный дом — на третьей клетке сверху. Иначе требования по видимости домов не выполнятся.

Начните с этого, а дальше рассуждайте. Картинку с правильным расположением домов прикладываем в комментариях.

Привет!
Мы обычно не публикуем здесь научные исследования. Но тут случилось очень крутое событие — невозможно не рассказать!

Команда исследователей, среди которых двое имеют отношение к курсам направления данных Практикума, опубликовала предварительные результаты своей научной работы. Ребята исследовали процессы коммуникации в клетках с помощью нейросетей.

Результаты работы помогают лучше понять, как молекулярные изменения в белках влияют на работу клетки, а также разрабатывать более эффективные методы лечения.

Об авторах
Эрнест Глухов — наставник курса «Математика для анализа данных». Наставник — это эксперт в анализе данных и Data Science. Он проводит семинары, на которых разбирает дополнительные темы и делится своим опытом.

Вероника Аверкова — выпускница курсов Практикума «Специалист по Data Science» и «Математика для анализа данных».

Очень коротко об исследовании
Ребята взяли большую и умную нейросеть и дообучили её на специализированном датасете. Исходная нейросеть не умела хорошо работать с определёнными типами белков, а новая — умеет и делает это эффективно. В результате получился практический инструмент, который позволяет моделировать процессы обмена информацией внутри клеток нашего организма.
Подробнее о процессе и результатах.

Такой процесс дообучения нейросетей для конкретных задач в терминах Data Science называется Fine-Tuning. Ещё он используется, например, в компьютерном зрении и NLP.

Если вам очень интересно и хочется заниматься таким же, но пока мало чего понятно, то первым шагом могут быть курсы Практикума. 😊

Как выгодно заказать пиццу: не реклама, а математика

Одна большая или две маленьких — кто не думал над этим вопросом? Посчитаем!

Для примера возьмём меню «Пиццы-шмиццы»:
🍕 большая пицца диаметром 35 см — 880 рублей,
🍕маленькая пицца диаметром 23 см — 460 рублей.

Предлагаем вам тут остановиться и сделать прогноз, а потом проверить, верен ли он оказался.

Немного важных формальностей
Нам надо найти объём пицц в каждом варианте. На практике в рамках одной пиццерии толщину любой пиццы можно считать одинаковой, поэтому можно не учитывать объём и считать, что пицца — плоская. Тогда всё зависит от площадей, их и будем сравнивать.

Будем считать, что пицца — это роовный круг.
Диаметр пиццы — это отрезок от одного её конца до другого, проходящий через центр окружности.
Расстояние от центра до точки окружности — это радиус. Он равен половинке диаметра.

Площадь круга ищут по формуле S=πr².

Большая пицца
Диаметр — 35 см, значит, радиус 17.5 см.
Площадь:
S = 17.5∙17.5π = 306.25π см².
Не будем подставлять значение пи, а оставим прямо так — для большей точности.

Две маленьких пиццы
Диаметр каждой — 23 см, значит, радиус 11.5 см.
Площадь одной пиццы:
S = 11.5∙11.5π = 132.25π см².

Домножим на 2 площадь и стоимость: 264.5π см² за 920 руб.

Результаты
Для большой пиццы: 306.25π см² за 880 руб.,
для двух маленьких: 264.5π см² за 920 руб.

Теперь выбор очевиден — надо брать одну большую! Она и дешевле, и по площади больше двух маленьких.
Можно также вычислить стоимость одного см² и убедиться, что для большой пиццы она ниже.

Совпал ли результат с вашим прогнозом?

А что в других пиццериях?
Когда мы составляли задачу, мы изучили предложения пиццерий и поняли, что нет в жизни стандарта. Диаметры пицц везде разные, цены тоже. А ещё бывают пиццы среднего размера! Так что универсального вывода нет, нужно считать для каждого меню.
Теперь вы знаете как 😉

В комментариях предлагаем проверить вашу любимую пиццерию и разобраться, что брать выгоднее: две маленьких или одну большую?