Задание
Поэкспериментируйте с топологическими объектами в быту!

1) Склейте две ленты Мёбиуса. Одну из них разрежьте ровно посередине (вдоль), а вторую — примерно на 1/3 ширины. Посмотрите, что получится! Фото выкладывайте в комментариях 🙂 Спойлер: результаты будут разные!
2) Вспомните, кто из ваших знакомых вяжет: бабушка, мама или, может быть, вы сами? Предложите им связать вам шарф в виде ленты Мёбиуса или шапку в форме бутылки Клейна. :))
Кстати, такому подарку будет рад любой математик!

Привет, друзья!
Нас тут уже захватило новогоднее настроение🎄
Так что мы официально объявляем, что до конца декабря у нас тут будет математический адвент!
Как всегда: будем писать задачки и рассказы, но они будут тематическими — новогодними.

Сегодня первый день, и мы расскажем о том, чем функциональная зависимость (или попросту функция) отличается от уравнения. У функций много хороших свойств, и их рассматривают чаще других. Именно поэтому полезно уметь распознавать функцию.

Что такое зависимость в математике

Зависимость — это связь между двумя величинами. Длина ребра куба и его объём, стоимость каждого товара и сумма в чеке, рост и длина стопы — всё это примеры зависимостей.

Чаще всего работают с зависимостями, которые можно записать формулами. Обычно говорят о зависимости переменной y от переменной x.

Функции
Функция — это такая зависимость y от x, где каждому допустимому x соответствует только одно значение y.

Примеры функций: y=5x-7, 4y-x²=8, y=tgx-2ˣ. Если мы подставим какой-то x в каждую из формул, то однозначно посчитаем y. При этом для разных x могут получаться одинаковые y. Поэтому, скажем, y=sinx — это функция.

Уравнения
Уравнения описывают формулами разные зависимости: и функциональные, и не очень. В них одному x может соответствовать сколько угодно y, совсем необязательно один. То есть это более общий класс с менее строгими ограничениями.

Например, x=y². Возьмём значение x=4, ему соответствуют два разных y: это 2 и -2.
Или рассмотрим уравнение x=5 — тут вообще одному-единственному x подходит бесконечно много y. Эти примеры — не функции, но уравнения.

Новогодняя аналогия
Пусть x — это подарки, а y — это люди.

Удачный новый год — когда зависимость функциональная: у каждого подарка есть один будущий хозяин. При этом у людей может быть и по несколько подарков.

Новый год не удался — когда зависимость не функциональная: какой-то подарок оказался сразу для нескольких людей. Пусть с вами такого не случится :)

Отличаем по графику
Выяснить, функция перед нами или нет, поможет график! Проведём воображаемую вертикальную линию, подвигаем её вдоль графика функции и посмотрим на точки пересечения. Если везде одна, то перед нами функция. А если хоть где-то больше, то нет.
Посмотреть, как это происходит, можно на интерактивной объяснялке из курса «Математика для анализа данных».

В комментариях предлагаем привести ещё новогодние примеры функций и не-функций.

Сегодня открываем второе окошко нашего новогоднего адвент-календаря!
В нём — задача.

Образовательная онлайн-платформа «Учим всему подряд» поздравляет студентов с наступающим Новым Годом. Нейросеть генерирует уникальные поздравления каждому студенту. В её распоряжении 20 слов: 10 прилагательных, 7 существительных и 3 глагола. В осмысленном поздравлении должно быть хотя бы 2 прилагательных и 1 существительное, слова не должны повторяться. Будем считать, что порядок слов в поздравлении не важен, смысл зависит только от набора.

1) Получится ли сгенерировать уникальное сообщение для каждого из 150 000 студентов?
2) Сколько всего уникальных осмысленных поздравлений сможет сгенерировать нейросеть?

Решения ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Разберём вчерашнюю задачу про поздравления от нейросети.

Сначала посчитаем по отдельности количество вариантов выбрать только прилагательные, только существительные и только глаголы. Пойдём по возрастанию.

Глаголы
Глаголов 3, и каждый из них мы можем либо использовать в сообщении, либо не использовать. То есть есть два сценария относительно каждого из глаголов. Итого 2*2*2=2³=8 сценариев наличия/отсутствия глаголов.

Существительные
Существительных 7, вариантов включить в сообщение сколько-то из них — 2⁷. Здесь учтены все варианты: и когда выбрано 7 существительных, и когда 5, и даже когда ни одного.
Но последний нам не подходит, поэтому его нужно вычесть. Итого 2⁷-1 или 127 вариантов относительно наличия/отсутствия существитльных.

Прилагательные
Прилагательных 10, вариантов включить в сообщение сколько-то из них — 2¹⁰. По условию задачи прилагательных в сообщении должно быть как минимум два, поэтому нам не подходит набор поздравительных слов, в котором прилагательных нет совсем, а также если оно там только одно. Значит, нужно вычесть 1 варинт без прилагательных и 10 вариантов с одним прилагательным, то есть 11 вариантов.
Итого выходит 2¹⁰-11 = 1013 вариантов относительно наличия/отсутствия прирлагательных.

Поздравления целиком
Чтобы понять общее количество поздравлений, перемножим полученные числа: 1013*127*8 = 1 029 208.

Больше миллиона разных поздравлений! Точно хватит на всех студентов и даже останется неплохой запас на следующий год!

Эту задачу также можно было решать через суммы различных сочетаний: там проще рассуждения, но сложнее вычисления. 😊

Привет!
Мы думали, что вчерашняя задача будет с подвохом, но — все ответы были правильные! Это очень классно, мы этому рады даже больше, чем удачному подвоху 🥰
Теперь разберём решение.

Про подвох
Среднее что-нибудь (цену, температуру, объём) обычно считают как среднее арифметическое: всё сложить и разделить на количество. Но средняя скорость — исключение! Чтобы её найти, нужно разделить всё пройденное расстояние на всё потраченное время.

Решение
У нас на каждом отрезке что-то дано, и нам из этого нужно получить путь и время. Всё время из минут будем переводить в часы. Поехали!

1) На первом отрезке мы знаем расстояние и скорость — так что ищем время: это 20/80=1/4 часа.
2) На втором отрезке мы знаем время и скорость, так что найдём расстояние: 90*1/3=30 км.
3) На третьем участке опять знаем время и скорость, так что ищем расстояние: 150*2/3=100 км.
4) На последнем участке известны расстояние и скорость, поэтому вычислим время: 4/8=1/2 часа.

Общее пройденное расстояние равно 20+30+100+4=154 км.
Общее затраченное время составило 1/4 + 1/3 + 2/3 + 1/2 = 7/4 часа.

Разделим общее расстояние на общее время и получим: 154/(7/4)=154*4/7 = 88 километров в час! С такой средней скоростью двигался Дед Мороз в тот день.
Как будто не так уж и много для волшебства, но тут и подарка всего 4 😉

Привет!
У вас уже включился режим «давайте после праздников»? Понимаем тех, у кого уже да, и обнимаем тех, у кого ещё нет.

В общем, до праздников есть, что поделать. После праздников — тоже. А на праздниках хочется побездельничать. Иногда так, что даже идею для безделья не хочется придумывать.

Поэтому в этом окошке календаря у нас… другой календарь! Который даёт идеи для безделья на каждый день праздника. 🎄
Бездельничайте всласть, остальное — подождёт.

В последний день нашего математического адвент-календаря — наряжаем ёлочку! 🎄

В компании «Анализируй то и это» очень много игрушек, и все они — с числами. Весёлые аналитики решили нарядить ёлочку по определённому алгоритму, но отвлеклись на корпоратив.

Наутро аналитики не могут вспомнить свой алгоритм. Помогите бедолагам и подскажите, сосульки с какими числами нужно развесить на нижних ярусах.

Тут прям большая просьба писать ответы под скрытым текстом,
этот ребус стоит того, чтобы быть разгаданным самостоятельно. 😇

Привет!
Бывает, в новогодних праздниках наступает момент, когда фейерверки кажутся ежедневной рутиной, а общение с оливье хочется отложить уже до следующего декабря.
Может быть, настала пора подвести промежуточные итоги праздников?
Наше математическое бинго в помощь! 😁

Делитесь своими результатами в комментариях — удалось собрать целую строчку или столбец?

Прикидка

Как быстро умножить 938 на 27? Есть секрет, который поможет прикинуть ответ быстрее, чем достать телефон и ввести цифры на калькуляторе.

Секрет в том, что точный ответ во многих ситуациях нам не нужен — достаточно примерно понимать результат.
Например, 938*27 ≈ 900*30 = 27000. Реальный ответ будет, конечно, немного другим, но если вы видите 6150 или 340200, то что-то точно пошло не так — значения отличаются от приблизительного на порядок.

Разберёмся в деталях
В примере первое число мы округлили до сотен, а второе до десятков. Почему округления до разных разрядов?

• Если округлять оба значения до десятков, вычисления будут точнее, но станут менее удобны. Смотрите: 938*27≈940*30 — стало удобнее, но ненамного!
• Если округлять оба множителя до сотен, то второй округлится до 0, и полученный ответ будет бесполезен.

Повышаем точность прикидки
Округление — это вечный баланс между точностью и лёгкостью вычислений. Один из способов справиться с этим — прикидывать с двух сторон.

Например, вы рассматриваете месячный проездной на общественный транспорт и хотите оценить стоимость проезда в день. Пусть проездной стоит 3665 рублей, а рабочих дней в месяце в среднем 22.
Делить 3665 на 22 непросто, так что прикинем результат:
• Сначала округлим делимое в меньшую сторону, а делитель — в большую.
3600/30 = 120 руб.
• Теперь наоборот — округлим делимое в большую сторону, а делитель — в меньшую. 3700/20 = 185 руб.

Значит, стоимость поездки в день — где-то между 120 и 185 руб.
Например, можно взять серединку интервала: (120+185)/2 = 305/2 = 152.5. Сравним с точным ответом: 3665/22 ≈ 166.7 руб. А что, неплохо! Без столбиков, калькулятора и с пользой для мозга!

Задание
Предлагаем вам понаблюдать за своим днём и подумать, где будет полезна прикидка. Своими идеями делитесь в комментариях. 😇

Привет!
Сегодня у нас задача на основе реальной истории с длинных каникул. 😇

Пятеро друзей собрались на новогодних праздниках — попить какао и поиграть в настолки. Чтобы ничто не отвлекало их от общения, они сложили свои айфоны в корзинку и пообещали не трогать их до конца вечера. И им удалось!

Когда вечер подошёл к концу, друзья вытащили телефоны наугад и обнаружили, что никому не достался его собственный телефон! Какова вероятность такого события?

Ваши решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Решим пятничную задачу про перепутанные телефоны.

Нам нужно найти вероятность того, что никому из друзей не достался нужный телефон. Будем действовать так:
1) посчитаем общее количество возможных вариантов, кто что может вытащить;
2) посчитаем количество вариантов, которые нас интересуют;
3) разделим второе число на первое — получим нужную нам вероятность! Профит!

Общее количество вариантов, кто что вытащит
Начинаем с количества всех возможных вариантов вытаскивания телефонов компанией из 5 человек. С точки зрения комбинаторики речь идёт о перестановках. Всего перестановок длины 5 существует 5!=120 вариантов.

Количество интересных нам вариантов
Среди этих 120 перестановок есть те, в которых ни один элемент не стоит на своём месте — они называются беспорядки.
Для множества из n элементов количество беспорядков — это субфакториал, он обозначается как !n. Да, это похоже на факториал — в нём тоже есть восклицательный знак. Разница в том, что в факториале он стоит после числа, а в субфакториале — до. Иногда математики очень экономно используют символы 😅

Вычисляем субфакториал
Есть несколько формул для вычиления !n, одна другой краше, чаще всего используют вот такую приблизительную: !n ≈ n! / e, где e ≈ 2.72. Если интересно, откуда она берётся, то вот небольшое видео.

Для небольших n количество беспорядков уже вычислено. Можно посмотреть результаты, например, в таблице.
По формуле или по таблице получаем: !5=44. Это количество вариантов, в которых никому не достался его собственный телефон.

Возвращаемся в нашу задачу!

Рассчитываем вероятность
Получается, всего возможны 120 ситуаций, в 44 из них ни один из друзей не вытянет свой телефон. Значит, искомая вероятность равна 44/120≈0.37.

Вероятность достаточно высока! Вывод очевиден — давайте будем внимательно следить за своими телефонами 😇

Кстати, в нашем бесплатном тренажёре есть целых два урока про беспорядки! Попроще и посложнее. Заходите, если хочется узнать о них подробнее.

Признаки делимости на 2, 4, 8 и другие степени двойки

Как узнать, на что делится число 6124?
Можно пробовать разделить 6124 на другие числа и смотреть, получилось нацело или нет. Рабочий способ, но дооолгий! Ускориться помогут признаки делимости — они позволяют при одном взгляде на число определить, на что оно точно будет или не будет делиться.

Особенно просто определять делимость на степени двойки: на 2, 4, 8, 16 и т. д. Общий подход — смотрим на последние цифры числа.

Делимость на 2
Если последняя цифра числа делится на 2, то и всё число делится на 2, то есть чётное.
Например, 6124 заканчивается на 4 — 4 делится на 2, значит, и 6124 делится на 2.

Ещё делятся на 2 числа 12562, 844, 9116, 240. А вот числа 31, 547, 2023 и 34 575 — нечётные.

Делимость на 4
Здесь смотрим уже на последние две цифры: если они образуют число, которое делится на 4, то и исходное число делится на 4.
Например, 6124 заканчивается на 24 — 24 делится на 4, значит, и 6124 делится на 4.

Среди чисел 12562, 844, 9116, 240 на 4 делятся последние три, так как их окончания 44, 16 и 40 прекрасно делятся на 4. А вот первое число на 4 не делится, потому что его окончание 62 — не делится на 4.

Делимость на 8
Возможно, вы уже уловили идею: больше степень двойки — больше цифр в конце берём.
Чтобы определить делимость на 8=2³, смотрим уже на последние три цифры.

Например, 6124 заканчивается на 124, 124 не делится на 8, а значит, и всё число не делится на 8.
В наборе уже упомянутых выше чисел на 8 делится только 240.

Этот признак делимости менее распространён, так как можно поделить уже и всё число, заодно и результат деления будет известен.

Делимость на 16, 32 и так далее
Аналогичные признаки верны и для 2⁴=16, и для 2⁵=32 и так далее. Но это уже скорее красивая математическая концепция, чем полезный лайфхак.

Задача
Потренируйтесь! Определите, делится ли номер этого года на 2, 4, 8 и так далее. На какую максимальную степень двойки он делится?