Разберёмся, как быстро угадать число из пятничной задачи.

Честный вариант
Здесь оптимальной стратегией будет «Бинарный поиск», он же метод деления пополам.
При каждой попытке нужно называть середину диапазона, тогда после ответа, новый диапазон будет в два раза меньше (не всегда ровно в два, но это мелочи).

Например, друг загадал число 30. Диалог получится такой. Начинаем всегда с 50 — это середина исходного диапазона от 1 до 100:
— 50?
— Моё число меньше.
Новый диапазон — от 1 до 50, спрашиваем про середину:
— 25?
— Моё число больше.
Новый диапазон — от 25 до 50. Его середина — 37.5, так что можно назвать 37 или 38. И так далее.

Сколько раз 100 можно нацело делить пополам, пока диапазон не сузится до одного числа? Семи раз точно хватит, так как 2⁷>100.

Коварный вариант
Особенное коварство этого варианта в том, что он совсем не коварный!
Друг может перезагадывать число сколько хочет — пока его ответы правдивы, это не имеет значения. С помощью бинарного поиска вы всё так же будете идти по половинным диапазонам. В худшем случае вам понадобится так же 7 попыток — потом диапазон сузится до 1 числа и перезагадывать будет уже некуда 👌

***

Идеей этой задачи с нами поделился дружественный Практикумовский телеграм-канала «Программирование и тестирование». В нём публикуют полезные материалы для начинающих разработчиков и тестировщиков, погружают в профессии и отвечают на вопросы.
Заглядывайте в канал к ребятам, у них полезно, уютно и дружелюбно! ☺️

Вы когда-нибудь задумывались, что кружка очень похожа на пончик? Или что куб и шар — это одно и то же? Сошли ли с ума авторы канала? На все эти вопросы может дать ответ героиня сегодняшнего поста — топология.

Что такое топология
Топология — это очень интересный вид геометрии. Интересен он тем, что в нём не имеют значения количественные характеристики: расстояние, углы и т.д.

В топологии мы считаем одинаковыми (эквивалентными) все объекты, которые можно превратить друг в друга с помощью гомеоморфных преобразований, или непрерывных деформаций. К ним относятся растягивание или сжатие фигуры без образования разрывов и склеек.

Гомеоморфное преобразование в быту
Самое понятное гомеоморфное преобразование: взять комочек теста и раскатать его в блин. Потом из блина ещё и колбаску можно сделать — это тоже годится. Блин и колбаска с точки зрения топологии — одинаковые объекты.
А вот замкнуть колбаску в кольцо — это склейка, уже не гомеоморфное преобразование. Проковырять в блине дырку — тоже не гомеоморфное преобразование, оно образует объект, неэквивалентный исходному.

То есть с точки зрения топологии, блин больше похож на колбаску, чем на блин с дыркой.
А если взять тор (пончик) и порастягивать его — главное, не рвать и не склеивать! — то вполне можно получить кружку. Так что авторы канала не сошли с ума 😅

Названия теорем в топологии
Топология примечательна ещё и тем, что в ней встречаются необычные названия теорем. Например, теорема о такой сложной штуке, как векторное поле на сфере, называется теоремой о причёсывании ежа.
Ещё есть теорема о натягивании барабана на обод.

Сразу заметно, что математики стараются привязать теорию к практике!

Зачем это надо
Такая, казалось бы, абстрактная наука оказывается невероятно полезной во вполне практических применениях. Кроме ежей и барабанов 😉
Например, топология:
- изучает узлы,
- помогает узнать много новой информации о наборе данных (можно погуглить запрос «персистентные гомологии»),
- применяется в механике, биологии, экономике, машинном обучении и других науках.

Напоследок — задача
Топология открывает новый взгляд на некоторые задачи. Вот, к примеру, известная задача. Заметьте, вполне практическая!

В деревне есть три дома и три компании: одна поставляет газ, вторая — воду, третья — электричество. Нужно к каждому дому провести все три ресурса, но при этом пути, по которым продукт поставляется в дом, не могут пересекаться. Как это сделать?

Решать задачу вам не предлагаем.
Уже известно, что в нашем мире, на сфере, эта задача не имеет решений. На плоскости — тоже. А вот на торе, который изучает топология, задача вполне решаема. Предлагаем убедиться в этом, посмотрев видео.

А в комментариях пишите собственные примеры эквивалентных объектов с точки зрения топологии! 😎

Сегодня мы будем делать вычисления проще и быстрее.
Ведь чем больше в числе значащих цифр (те, которы не нули на конце числа), тем больше неудобств оно создаёт при вычислениях. Например, сравните 83 264 117 и 83 000 000 — второе число воспринимается гораздо проще, а они не так уж далеко друг от друга (отличаются всего на 0.3%).

Такой переход от одного числа к другому называют округлением и записывают через знак ≈, он читается как «приближённо равно». Вспомним, как округлить правильно с точки зрения математики.

Алгоритм
1) Сначала определимся, до какого разряда мы округляем. Иногда это указано в задаче, а иногда нам самим надо решить, после какого разряда нам уже не так важна точность.
Например, при расчёте скидки на чайник нам поможет округление до сотен. А если мы хотим прикинуть размер налогового вычета за ипотеку, можно округлить до сотен тысяч или десятков тысяч. 😉

2) Теперь смотрим на первую цифру справа от округляемого разряда, она решает всё! Например, если мы округляем 4316 до сотен, то смотрим на десятки — в этом числе там стоит 1.
• Если эта решающая цифра меньше 5, то цифра округляемого разряда не меняется. В нашем примере как раз такой случай.
• Если же в десятках была бы цифра 5 или больше, тогда цифру разряда сотен увеличиваем на единицу.

Мы как бы разделяем множество всех цифр пополам, и первая пятёрка (0-4) тянет число в меньшую сторону, вторая (5-9) — в большую.

3) Все цифры справа от округляемого разряда заменяем нулями. Получим: 4316≈4300.

Ещё примеры
1) Округлим до сотен число 61235. В разряде десятков стоит 3, значит, цифра в разряде сотен останется прежней: 61235≈61200.
2) А если хотим округлить 15860 до тысяч — смотрим на сотни, там стоит 8. Значит, округлять нужно с прибавлением единички: 15860≈16000.
3) Число из начала поста 83 264 117 округлим до миллионов: 83 000 000.

Округляем — в один этап!
Частая ошибка в округлении: совершение его в несколько этапов. Смотрите ⤵️
1446 округлим до сотен:
• В один этап: 1446≈1400 (и это верно).
• В два этапа. Сначала до десятков: 1446≈1450. Теперь до сотен: 1450≈1500. Ой, у нас получилась лишняя сотня!

Поэтому округляем всегда в один этап.

Описанный алгоритм помогает округлить число до ближайшего числа с нужным количеством разрядом. Округлённые числа легче воспринимаются и помогают быстро прикинуть результаты вычислений. Об этом ещё расскажем подробнее.

Нюансы реальной жизни
На практике бывает, нужно округлить не до ближайшего целого, а по-другому — вверх или вниз. Например, когда мы посчитали, сколько упаковок яиц надо купить и получили 3.3 упаковки, то очевидно, округлить нужно вверх — до 4 упаковок. Ближайшее целое здесь 3, но трёх упаковок нам не хватит!

Другая ситуация — мы рассчитываем грузоподъёмность лифта и получаем, что лифт выдержит 7.8 человек. Здесь ближайшее целое — это 8, но для надёжности разумнее округлить вниз и написать в инструкции, что лифт выдержит 7 человек.

Поэтому закончим занудной, но важной мыслью: сначала стоит подумать о задаче и только затем подбирать метод! 🖖

Задание
Округлите что-нибудь и напишите в комментариях, в какой ситуации вам пригодилось округление и какое 💪

Сегодня мы принесли вам задачу из двух частей. Первая — вполне реальная, вторая — фантастическая. Но просим вас к обеим отнестись серьёзно!

1) В город N приехал столичный чиновник. На собрании в 9.00 он по секрету рассказал важную новость двум местным сотрудникам. В течение часа каждый из них по секрету рассказал эту новость ещё троим жителям этого города. В течение следующего часа — каждый из этих новоузнавших передал эту новость ещё троим новым и т.д.

Сколько жителей города N будут по секрету знать важную новость к 21 часам этого дня?

2) Помимо секретов чиновник привёз в командировку коробку с печеньками. Они были настолько вкусные, что в первый день он съел аж 8 штук. Ему хотелось растянуть печенье до конца командировки, поэтому он решил держать себя в руках и есть каждый следующий день в полтора раза меньше печенек, чем в предыдущий (кусочки печенек тоже считаются).

Проблема в том, что чиновник попал в пространственно-временную аномалию и застрял в городе N навечно! Но это был очень последовательный чиновник — он продолжал выполнять своё обещание и каждый день ел всё меньше и меньше печенек.

Можно ли узнать, сколько всего печенек он съест за время своего бесконечного пребывания в городе N? Если да, то хватит ли ему коробки с 50 печеньками?

Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю задачу про чиновника в городе N.

Реальный вариант
Каждый час количество жителей, знающих новость по секрету, увеличивается в одинаковое количество раз — это геометрическая прогрессия.

С 9 до 21 часов произошло 12 итераций, значит, всего было 13 членов прогрессии. Нам надо найти их сумму.
Первый член равен 2, знаменатель равен 3.

Вычислим сумму по формуле:
S₁₃=b₁(1-q¹³)/(1-q)=2(1-1594323)/(1-3) = 1 594 322.
Больше полутора миллионов человек узнают по секрету новость за день! Примерно так и работают сплетни. 😄

Фантастический вариант
Здесь тоже речь о геометрической прогрессии. Но теперь её элементы не увеличиваются, а уменьшаются, причём стремительно. Каждый следующий член в 1.5 раза меньше предыдущего, значит, знаменатель q=1/1.5=10/15=2/3. Это меньше 1.

У прогрессий с |q|<1 есть уникальная особенность — для них можно найти сумму всей прогрессии! Формула выглядит вот так: S = b₁/(1-q).

В нашем случае b₁=8, q=2/3, значит, S = 8/(1-2/3) = 8*3=24. Именно столько печенек чиновник съест за бесконечно долгое время в городе N. А что, не так уж и много! Коробки с 50 печеньками ему хватит с лихвой!

***

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии встречаются не только в фантастических задачах, но и в многочиленных математических мемах и анекдотах. Например, мы рассказывали анекдот про математиков в баре. 🤓🍸

Задание
Поэкспериментируйте с топологическими объектами в быту!

1) Склейте две ленты Мёбиуса. Одну из них разрежьте ровно посередине (вдоль), а вторую — примерно на 1/3 ширины. Посмотрите, что получится! Фото выкладывайте в комментариях 🙂 Спойлер: результаты будут разные!
2) Вспомните, кто из ваших знакомых вяжет: бабушка, мама или, может быть, вы сами? Предложите им связать вам шарф в виде ленты Мёбиуса или шапку в форме бутылки Клейна. :))
Кстати, такому подарку будет рад любой математик!

Привет, друзья!
Нас тут уже захватило новогоднее настроение🎄
Так что мы официально объявляем, что до конца декабря у нас тут будет математический адвент!
Как всегда: будем писать задачки и рассказы, но они будут тематическими — новогодними.

Сегодня первый день, и мы расскажем о том, чем функциональная зависимость (или попросту функция) отличается от уравнения. У функций много хороших свойств, и их рассматривают чаще других. Именно поэтому полезно уметь распознавать функцию.