Математическое цветоводство

Привет! Сегодня предлагаем вам вспомнить геометрию с помощью такой задачки.

Ирина растила фикус, и теперь его пора пересаживать. Когда она вынула растение с землёй из старого горшка, оказалось, что ком земли вокруг корней имеет вид шара c радиусом 10 см. Ирина планирует посадить фикус в новый горшок и засыпать свежей землёй до краёв. Новый горшок имеет форму цилиндра: высота 25 см, радиус основания 12 см.

1) Сколько литров свежей земли нужно Ирине?
2) Сколько пакетов земли нужно купить Ирине, если в одном пакете — 5 литров земли?

Для расчётов возьмите π≈3.14, ответ округлите до сотых.
Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Подсказка: литр — это кубический дециметр. Если перевести все единицы в дециметры, то ответ получится сразу в литрах.

Решим вчерашнюю задачку о земле для пересадки растения.

Литр — это кубический дм, так что переведём все данные из см в дм:
10 см = 1 дм,
25 см = 2.5 дм,
12 см = 1.2 дм.

Ком земли имеет форму шара. Объём шара вычисляют по формуле:
V₁ = 4/3*π*r³.
Подставим наши данные:
V₁ ≈ 4/3*3.14*(1дм)³ ≈ 4.19 дм³, то есть 4.19 литров земли перейдёт в новый горшок.

Горшок имеет форму цилиндра, его объём:
V₂ = h*π*r².
Подставим числа:
V₂ ≈ 2.5дм*3.14*(1.2дм)² ≈ 11.30 дм³, то есть 11.3 литров — это объём нового горшка.

Значит, Ирине нужно 11.3 - 4.19 = 7.11 литра земли.
Если в одном пакете 5 литров, то Ире пригодятся 2 пакета.

Пифагоровы тройки и комплексные числа

Если спросить у прохожего: «Какую теорему из математики вы знаете?», то кажется, первое, что придёт на ум практически любому человеку, — это теорема Пифагора. Та самая, про прямоугольный треугольник. Это очень прикладная теорема, прямой угол — это объект, который каждый день встречается нам в реальной жизни. Но ещё она интересна и с точки зрения алгебры.

Итак, есть тройка чисел a, b и с, которые связаны равенством: a²+b²=c².
В некоторых случаях эти числа — целые, причём все три!
Например, 3²+4²=5², 5²+12²=13².
Такие целые тройки настолько впечатлили математиков, что им даже дали особое название — пифагоровы тройки.

Найти пифагоровы тройки — увлекательная задача, а решить её помогают… комплексные числа! Да, те, которые основаны на квадратном корне из -1. Вспомнить основное про них можно в посте.
Комплексные числа могут казаться абстрактной сущностью, но помогают решать вполне прикладные и понятные задачи.

И, оказывается, комплексные числа помогают найти пифагоровы тройки! Как именно — смотрите в видео. В нём так красиво визуализируется происходящее, что даже если ничего не понятно — можно просто полюбоваться картинками.
Нам кажется, такие взаимосвязи делают математику захватывающей!

Приятного вам просмотра 🥰

Сегодня мы принесли вам задачу про торт. Мы вообще любим задачки про еду. 😁 🍰

В честь важного события в офис принесли торт. Артём и Полина съели по 10% от этого торта. Потом пришла Вика и сама не заметила, как съела 2/7 от того, что осталось. Несколько часов спустя Диана отрезала себе кусок, который составлял 6/11 от оставшейся части. А в конце рабочего дня Майя с аппетитом доела торт.

Кто съел больше всего торта и сколько примерно процентов от целого торта составлял этот кусок?

Решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Привет!

Раскрываем секрет
Понедельнечная задача не просто так была про торт, и свечка на нём — не просто так в форме единички.
Это была такая настроенческая подводка к сегодняшнему празднику: cегодня у телеграм-канала «Практически математически» день рождения! 🎉

Немного сантиментов
Год назад мы опубликовали первый пост, и было много сомнений: будет ли нам о чём писать, будет ли кто-то это читать. А теперь здесь уютная математическая тусовка! Мы очень рады каждому подписчику. Вы любознательные, умные, отзывчивые и просто классные! Без вас и ваших реакций так здорово бы не получилось.
Спасибо вам ❤️ 

Если хотите нас поздравить
Не сдерживайте себя, нам будет очень приятно! Например, можете рассказать о нас своим знакомым — это замечательный подарок для телеграм-канала ;)
Ну и мы, конечно, всегда рады лайкам, комментариям и репостам.

Недавно мы рассказывали про последовательности. Выделяют несколько видов последовательностей, у которых есть полезные свойства. Сегодня расскажем про арифметическую и геометрическую прогрессии.
У них два полезных свойства:
- можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый;
- можно быстро найти сумму любого количества первых элементов.
А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет!

Арифметическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число.
Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2.
Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2.

Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d.
В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть!
А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63.

Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них:
Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2.
Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста.

Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии:
1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024.

Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.

Геометрическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются в одно и то же число раз.
Например: 1, 2, 4, 8, 16, … — здесь каждое следующее больше предыдущего в 2 раза.
Такую последовательность тоже можно задать двумя числами: первым членом b₁ и знаменателем прогрессии q. В примере выше b₁=1 и q=2.

Другие элементы. Элемент с номером n можно найти по формуле bₙ = b₁*qⁿ⁻¹. В примере выше 4-й член равен: b₄ = 1*2³ = 8. А 12-й элемент получится b₁₂ = 1*2¹¹ = 2048.

Сумма первых n членов вычисляется по формуле: Sₙ = b₁(1-qⁿ)/(1-q). Например, сумма первых 12 членов нашей геометрической прогрессии будет равна
S₁₂ = 1*(1-2¹²) / (1-2) = 4095.

Прогрессии в жизни
Прогрессии часто встречаются нам в реальной жизни. Например:
- Большинство живых существ размножается в геометрической прогрессии.
- Страшное словосочетание «сложные банковские проценты» — это тоже геометрическая прогрессия.
- Литературный пример. Ямб и хорей — это два стихотворных размера, в каждом из которых ударение ставится на каждый второй слог. При этом, в ямбе номера ударных слогов — 2, 4, 6, 8, …, а в хорее — 1, 3, 5, 7, … — это арифметические прогрессии.

Напоследок — несколько задач
1. Пусть есть арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 3, а пятый равен 11. Посчитайте сумму первых десяти членов этой прогрессии.
2. Теперь возьмем геометрическую прогрессию. Пусть b₁=4 и q=-2. Чему равна сумма первых шести членов такой прогрессии? А чему равна сумма членов с пятого по десятый включительно?

В математике встречаются теоремы с пафосными названиями. 😅
Сразу приходит на ум Великая теорема Ферма — не просто «теорема Ферма о решениях такого-то вида», а именно Великая теорема Ферма.

Есть и другие, не менее величественно звучащие. Например, основная теорема алгебры — не просто «теорема о количестве корней многочлена», а вот прям «основная(!) теорема алгебры (всей!)». Кажется, некоторые математики — прирождённые маркетологи. 😎
Ведь невозможно удержаться, чтобы не узнать, что же это за теорема такая. Не будем вас томить — расскажем.

Немножко вспомним про комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида a+b*i, где i — это √(-1), a и b — действительные числа (это все наши обычные числа с любым количеством знаков после запятой).
Действительные числа — тоже являются комплексными. Просто подставляем в определение b=0 и у нас остаётся только a.

Формулировка теоремы
Возьмём многочлен с комплексными коэффициентами.
Основная теорема алгебры гласит, что если он имеет первую степень или выше — у него всегда существует по крайней мере один комплексный корень. Корень этот не всегда просто найти — но это уже детали. 🙃

Например, многочлены x²-2 и x⁶+x³+1 точно имеют хотя бы один комплексный корень. Да и вообще любые многочлены. :)

Следствие
У этой теоремы есть очень важное следствие, чаще всего используют именно его.
Возьмём многочлен степени n — это значит, что максимальная степень переменной в нём равна n.
Сколько у него корней? Хороший вопрос, на который чётко отвечает следствие основной теоремы алгебры: ровно n комплексных.
Например, у любого многочлена третьй степени будет ровно 3 комплексных корня.

В алгебре вообще часто ищут корни. Так что знать их количество — полезно, ведь так мы понимаем, когда точно можно остановиться в поисках!

Нюанс
В следствии теоремы есть небольшая хитрость. Например, рассмотрим многочлен x²-2x+1. Его коэффициенты — действительные, а значит, и комплексные тоже, так что к нему можно применить основную теорему алгебры и её следствие.

Степень этого многочлена — вторая, значит, у него должны быть два корня. Чтобы найти их, разложим его на множители:
x²-2x+1=(x-1)².
Приравняем к нулю: (x-1)²=0, получим x=1, и всё, других нет.

Следствие теоремы не верно? Верно, просто есть нюанс. 😁
Никто не говорит о том, что корни должны быть разные. Они могут совпадать! Всё потому, что у каждого корня есть кратность.

Что такое кратность
Каждый многочлен можно разложить на множители. Количество скобок, которые обнуляет корень, и называется его кратностью.
Например, в уравнении (x-1)²=(x-1)(x-1)=0 корень x=1 обнуляет две скобки — значит, его кратность равна 2.

В таких случаях математики считают, что исходный многочлен имеет два совпадающих корня. Так ничего не поломается!

Ещё пример
Многочлен четвёртой степени (x+i)(x-2)³ имеет такие корни:
• x=-i — этот корень обнуляет одну скобку и имеет кратность 1,
• x=2 — обнуляет три одинаковые скобки и поэтому имеет кратность 3.

Итого степень у многочлена четвёртая, различных корней — два, но с учётом кратности — четыре корня, всё хорошо.

Для желающих поупражняться
Предлагаем найти все три комплексных корня многочлена x³-4x²+9x-36. Решения и ответы пишите под скрытым текстом.

Почти-сфера в Вегасе

Признаемся вам по секрету — мы тут немножко душнилы. Иногда любим докопаться до какой-нибудь мелочи. Если вы тоже, то сегодняшнее видео вам понравится. 😉 

В Вегасе есть концертный зал в форме сферы, очень красивый и эффектный.
Так вот
Вообще-то
Строго говоря
С точки зрения математики
Форма этого концертного зала — это не сфера, а только 79% от сферы.

Более того, на сайте концертного зала в научном разделе(!) есть парочка ошибок. Например, в записи числа π верны только первые 20 знаков после запятой! Начиная с 21-го — идут какие-то странные цифры…

Познакомиться с подробностями можно в захватывающем видео-расследовании. Его провёл Мэтт Паркер, один из наших любимых популяризаторов математики.

Кстати, после этого видео ошибки на сайте исправили. А ещё говорят, что математика не нужна! Как минимум, она позволяет подушнить. 😁

Привет!
Сегодня у нас задачка про игру, даже в двух вариантах: обычном и коварном.

———————————————
Обычный вариант
Представьте, что ваш друг загадал число от 1 до 100 включительно и просит вас его найти. Вы называете версию, а друг на каждую отвечает либо «моё число больше», либо «моё число меньше». Если вы угадали — он об этом тоже сообщает, и игра заканчивается. Ваш друг отвечает правдиво.

Какая стратегия поможет угадывать число за минимальное количество попыток? Сколько попыток при такой стратегии вам точно хватит, чтобы угадать число?

Коварный вариант
Ваш друг снова загадал число из этого диапазона, и снова будет давать такие же правдвые ответы на ваши версии.
Но теперь он будет мысленно перезагадывать число до тех пор, пока может это делать, не обращая в ложь все произнесённые ответы. Как те люди, что меняют положение кораблей в морском бое по ходу игры. 😅

Какая стратегия будет для вас эффективной в этом случае? Какое максмальное количество попыток понадобится теперь, чтобы загнать друга в угол и угадать последнее перезагаданное число?
———————————————

Ответы и решения ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.
Разбор задачи опубликуем в понедельник.

Разберёмся, как быстро угадать число из пятничной задачи.

Честный вариант
Здесь оптимальной стратегией будет «Бинарный поиск», он же метод деления пополам.
При каждой попытке нужно называть середину диапазона, тогда после ответа, новый диапазон будет в два раза меньше (не всегда ровно в два, но это мелочи).

Например, друг загадал число 30. Диалог получится такой. Начинаем всегда с 50 — это середина исходного диапазона от 1 до 100:
— 50?
— Моё число меньше.
Новый диапазон — от 1 до 50, спрашиваем про середину:
— 25?
— Моё число больше.
Новый диапазон — от 25 до 50. Его середина — 37.5, так что можно назвать 37 или 38. И так далее.

Сколько раз 100 можно нацело делить пополам, пока диапазон не сузится до одного числа? Семи раз точно хватит, так как 2⁷>100.

Коварный вариант
Особенное коварство этого варианта в том, что он совсем не коварный!
Друг может перезагадывать число сколько хочет — пока его ответы правдивы, это не имеет значения. С помощью бинарного поиска вы всё так же будете идти по половинным диапазонам. В худшем случае вам понадобится так же 7 попыток — потом диапазон сузится до 1 числа и перезагадывать будет уже некуда 👌

***

Идеей этой задачи с нами поделился дружественный Практикумовский телеграм-канала «Программирование и тестирование». В нём публикуют полезные материалы для начинающих разработчиков и тестировщиков, погружают в профессии и отвечают на вопросы.
Заглядывайте в канал к ребятам, у них полезно, уютно и дружелюбно! ☺️