Как векторы помогают находить похожие данные

В недавнем посте про векторы мы уже упоминали вот такую формулу из школьной программы:
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b), где |a|, |b| — это длины векторов.

Вообще она помогает вычислить скалярное произведение, но чаще её используют для другого. Из неё можно выразить косинус, получится:
cos∠(a, b) = a*b / (|a|*|b|).

Скалярное произведение и длины можно вычислить, зная только координаты. Получается, что можно без чертежа, регистрации и смс, из одних только числовых данных вдруг получить косинус угла между векторами, то есть вполне себе геометрическую характеристику.

Пример вычисления косинусного сходства для разных векторов ловите в комментах 👇
⬇️

⬆️
Для чего нам нужен этот косинус?
По косинусу можно найти сам угол. А по углу можно определить, насколько близки векторы друг к другу: угол маленький — близки, угол большой — далеки.
В анализе данных есть понятие косинусного сходства (это по сути просто косинус). Для углов от 0° до 180° чем меньше угол, тем больше косинус. Значит, чем больше косинус, тем больше векторы схожи. Сходство максимально, когда векторы сонаправлены, и минимально, когда направлены противоположно.

Где всё это применяют?
Классический пример применения косинусного сходства — анализ текстов, заголовков статей и новостей. Каждый заголовок — это вектор. Вычисляем косинус и понимаем, какие новости говорят о чём-то похожем, а какие — о разном. Это помогает избежать дублирования новостей на агрегаторах и относить статью в подходящую рубрику.

Другой пример. Каждый автомобиль можно описать вектором его характеристик: год выпуска, пробег, тип кузова, тип двигателя, привод, мощность, количество мест и т.д. Косинусное сходство поможет усмирить разнообразие характеристик и подскажет, какие автомобили похожи.

И напоследок — пельмешки! Представьте, что математик зашёл в магазин и не обнаружил любимых пельмешек. Какие другие пельмени ему выбрать? Можно описать каждый вид пельменей вектором — например, по количеству калорий, белков, жиров и углеводов. Косинус между векторами поможет математику найти пельмени, наиболее похожие по пищевой ценности на его любимые! 🥰

Кто такой этот ваш факториал

Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?

Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.

Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.

Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.

Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.

С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.

А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?

Задачи по комбинаторике

Согласно исследованию Яндекс Практикума вероятность встретить комбинаторную задачу на собеседовании на позицию аналитика данных или специалиста по Data Science достигает 43%. Кроме того, комбинаторика — основа для теории вероятностей. Поэтому предлагаем вам освежить свои знания о ней!

Краткая теория — в двух постах:
⭐️ Про факториал,
⭐️ Про различие размещений и сочетаний.

Потренироваться можно на задачах:
⭐️ Про четырехугольники в пятиугольнике,
⭐️ Про мышь и сыр,
⭐️ Про Тайного Санту,
⭐️ Про слова,
⭐️ Про улицы Питера.

Больше теории и задачек с решениями — в нашем бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий» в разделе «Комбинаторика».

И если вы никогда не собирались с близкими вечером пятницы, чтобы порешать математические задачи, то предлагаем начать сегодня 😇

Лайфхаки устного счёта

Способность быстро посчитать в уме и прикинуть ответ — ценное математическое умение.
Во-первых, это экономит время.
Во-вторых, позволяет оценить километровые вычисления и быстро понять, похожи они на правду или что-то пошло не так.
В-третьих, просто классно обойтись иногда без калькулятора.

Сегодня поговорим про устные вычисления и поделимся лайфхаками, как быстро делить и умножать на 5.

Для этого нам пригодятся деление и умножение на 10, которое вы, конечно же, знаете. Когда мы умножаем на 10, мы просто дописываем к числу 0 справа или сдвигаем запятую правее, если число оказалось дробным. Когда мы делим на 10, то стираем самый правый 0 или двигаем запятую влево, если нуля в конце числа не оказалось.

Умножаем на 5. Умножить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 10 (дописать 0) и разделить результат на 2.

Почему это работает? Если записывать в буквенном виде, получим n*5=n*(10/2)=n*10/2. Свойства умножения позволяют умножить и разделить в удобном нам порядке.

Например,
17*5 = 17*10/2 = 170/2 = 85,
2164*5 = 2164*10/2 = 21640/2 = 10820,
555*5 = 5550/2 = 2775.
Произвести эти две операции в уме — часто быстрее, чем одну исходную.

Делим на 5. Разделить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 2 и разделить на 10.
Тут всё аналогично: n/5=n/(10/2)=n*2/10.

115/5 = 115*2/10 = 230/10 = 23,
875/5 = 875*2/10 = 1750/10 = 175,
112/5 = 224/10 = 22.4.

Потренируйтесь:
а) 77*5 = ?
б) 134*5 = ?
в) 570/5 = ?
г) 1815/5 = ?
Только чур, считать устно! 😎
Ради интереса можно засечь, сколько времени у вас уйдёт на эти 4 примерчика.

Нормы вектора

Привет!
Мы тут готовили пост о нормах вектора — получилась целая статья! Что это такое, с чем едят, зачем нужно и как использовать в анализе данных. Садитесь поудобнее и читайте. ☺️🍿