Интересно, что разделение чисел на алгебраические и трансцендентные ломает красивую матрёшечную систему: раньше все множества целиком лежали одно в другом, а вот алгебраическими являются лишь некоторые из действительных чисел и некоторые из комплексных — посмотрите схему на нижней картинке.

Для вас мы подготовили несколько вопросов разной степени сложности:

1) Верно ли, что любое рациональное число будет алгебраическим?
2) Какие из данных чисел являются алгебраическими?
1.7, ∛4, lg100, ln9, sinπ, tg80°.
3) Множество алгебраических чисел является счётным или континуальным?
➡️ Подсказка

Ответы и (особенно!) пояснения к ним, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

Разберём вчерашние вопросы про алгебраические числа. Они были непростыми. Если вы даже немножко полежали в сторону их обдумывания — вы уже много сделали!

В пояснениях мы будем использовать информацию из нашего бесплатного тренажёра, а конкретно — из модулей «Числа», «Алгебра» и «Множества и логика».

1) Верно ли, что любое рациональное число будет алгебраическим?
Да, это верно. Любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби вида a/b, где a — целое число, b — натуральное. И для каждой такой дроби есть уравнение вида bx-a=0, корнем которого как раз будет число a/b.

2) Какие из чисел являются алгебраическими?
1.7 — алгебраическое, так как рациональное.
∛4 — алгебраическое, так как является корнем уравнения x³-4=0.
lg100 равен 2, так как lg — это десятичный логарифм. Получается, что lg100 — тоже алгебраическое число.
sinπ равняется 0, поэтому это число тоже алгебраическое.

ln9 — это натуральный логарифм натурального числа (звучит смешно, но с точки зрения математики всё осмысленно и это совсем не «масло масляное» :)). Википедия подсказывает, что числа такого вида — трансцендентные.

Самый сложный случай — с числом tg80°, здесь всё зависит от аргумента.
Конкретное значение тригонометрической функции будет алгебраическим, если оно выражается через корни — квадратные, кубические и так далее.
Например, tg15°=2-√3 — и это алгебраическое число.
Число tg80° выражается через корни и является алгебраическим. Но рассуждение вам не понравится (см. обсуждение в комментариях).

3) Множество алгебраических чисел является счётным или континуальным?
Полуформальное объяснение тут такое.

Коротко:
Множество полиномов фиксированной степени с целыми коэффициентами — счётное ⇒
⇒ множество всех полиномов всех степеней — счётное ⇒
⇒ множество их корней — счётное.

Подробнее:
Алгебраические числа — это множество всех корней всех полиномов всех степеней.
Мы говорим о полиномах с целыми коэффициентами. Целые числа — счётное множество, так что если зафиксировать степень полинома, мы получим счётное множество полиномов этой степени.

Теперь рассмотрим все полиномы всех степеней. Это счётное множество счётных множеств — значит, оно тоже счётно!

Перейдём к корням. Количество корней полинома не превышает его степень, а значит, оно конечно. Множество корней всех полиномов (а это как раз алгебраические числа) — это объединение конечного множества счётных множеств. Оно счётно, как и выше!

А теперь главный вопрос этого поста:
сколько раз в ответе на последний вопрос встречается слово «счётное» во всех формах? 😁

Есть несколько областей нашей жизни, которые подтолкнули математику сильно вперёд. И одна из них — азартные игры. 🃏🎰

Люди играют в них уже тысячи лет, и многие задавались вопросами: какова лучшая стратегия, какова вероятность выигрыша, стоит ли играть в эту игру вообще… Сегодня расскажем об одной проблеме, которую долго игнорировали, а зря!

Во многих играх используют карты. Возьмём колоду из 52 карт. Для игры, скажем, в покер, её сначала следует хорошенько перемешать.
Не можем не отметить, что существует 52! различных результатов тасовок этой колоды. Это число примерно равно 10⁶⁸. Оно столь огромно, что если бы все когда-либо жившие люди с момента Большого Взрыва до сегодняшнего дня круглосуточно бы тасовали карты — всё равно даже близко не перебрали бы все варианты.

Но наша задача на сегодня — практическая и математическая. Казино интересуется: как перетасовать карты лучшим способом? То есть так, чтобы если игрок запомнил порядок карт в колоде, то вероятность угадать карту в новой тасовке была минимальна.

В 1992 году было доказано, что есть правильный способ перемешивания и всего 7 перемешиваний таким способом достаточно для колоды из 52 карт. В результате мы получаем новую случайную тасовку, независимую от предыдущей (ну или почти). Подробнее — в двух видео с математиком, который и доказал этот факт: здесь и здесь.

После его статей все крупные казино мира перешли на правильное перемешивание 😄

Скалярное произведение векторов и его применение

Мы уже рассказывали, что с точки зрения аналитики вектор — это упорядоченный набор данных. Данными может быть что угодно, не только числа.

Например, вот список покупок:
s = (бананы 1 кг, чипсы 2 пачки, помидоры 0.3 кг, молоко 1 л, куриное филе 0.7 кг).
Вы придёте с этим списком в магазин, и там ценники образуют свой вектор. Его координаты — это цены каждого продукта за килограмм или за штуку
p = (бананы 105 р, чипсы 80 р, помидоры 200 р, молоко 70 р, куриное филе 300 р).

Умножая покоординатно один вектор на другой, имеем такие общие затраты:
s*p = 1*105+2*80 + 0.3*200 + 1*70 + 0.7*300 = 105 + 160 + 60 + 70 + 210 = 605 рублей.

В результате перемножения получилось число. В математике его ещё называют скаляр, а такое произведение векторов — скалярным.
В общем случае если у вас n координат, то произведений в сумме тоже будет n, см. иллюстрацию к посту.

По тому же принципу работают многие психологические тесты, где по сумме баллов определяются черты характера или психическое состояние. В одном векторе — вопросы, в другом — количество баллов за каждый ответ. Например, А — 1 балл, В — 2 балла, С — 3 балла. Результат скалярного произведение векторов вопросов и ответов помогает охарактеризовать респондента.

В школе скалярное произведени ещё считают по формуле
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b).
Она полезна, если векторы заданы как направленные отрезки, то есть в геометрических задачах. В других случаях угол редко бывает дан, чаще даже наоборот — угол надо найти. Об этом расскажем в следующем векторном посте. А пока — задача!

Бригадир оценивает стоимость ремонта квартиры. Она зависит от 4 факторов: удалённости объекта в км, объёма вывозимых вещей в м³, срочности работ (по шкале от 0 до 10) и метража объекта в м².
Вектор цен за услуги:
k=(500, 2000, 5000, 4500).
До квартиры клиента 20 км, нужно вывезти 0.5 м³ вещей, срочность — 3, площадь квартиры — 60 м². Помогите бригадиру и рассчитайте стоимость ремонта квартиры.

Ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Где искать корректные ответы на математические вопросы

Можно много говорить о том, что самая правильная теория — в академических учебниках. Но реальность такова, что на многие вопросы хочется получить быстрый ответ, а интернет — всегда под рукой.

Бывает, материалы на сайтах сомнительны: можно наткнуться на некорректную аналогию или неправильное решение задачи. Как пример — посмотрите иллюстрацию к посту: ChatGPT отвечает на вопрос про алгебраическое число, но потом передумывает.

Собрали для вас подборку сайтов, на которых вы найдёте корректные ответы на математические вопросы.

https://www.wolframalpha.com — калькулятор чего угодно: перевод единиц измерения, построение графиков, вычисление производных, статистические расчёты и т.д. Всё точно и с понятным интерфейсом.

https://math.stackexchange.com/ — форум, где задают вопросы и получают ответы от настоящих математических экспертов! По количеству голосов можно оценить достоверность ответа. Можно задать свой вопрос или использовать поиск по уже заданным.

https://ru.wikipedia.org/— наш опыт показывает, что в математических вопросах википедии можно верить. Английская википедия подробнее русской.

mccme.ru — русскоязычный сайт с огромной коллекцией ссылок и материалов по разным разделам математики, условно: от 5 класса школы и дальше. Можно почитать электронные версии книг, найти подробные статьи и даже занимательные математические факты. Ещё здесь можно потренироваться решать задачи, а затем свериться с готовыми решениями.

mathnet.ru — сайт с современными публикациями по математике и смежным наукам. Здесь много академических статей, так что ресурс подойдёт, скорее, математически подкованным специалистам.

Ну и конечно бесплатный тренажёр по математике и курс «Математика для анализа данных» от Яндекс Практикума — здесь собрана необходимая база для специалистов в анализе данных и Data Science. Курс постоянно дополняется, материалы остаются с вами навсегда.

А какие ресурсы помогают вам найти ответы на математические вопросы?

Привет!
Мы давно хотели попробовать видеоформат, и вот реализуем. 📹
Ловите видео про фракталы, границы государств и береговые линии.
Если нравится такой формат — ставьте лайки и пишите комментарии, будем делать ещё! 🥰
А вот пост про фракталы, который упоминаем в видео.

Как векторы помогают находить похожие данные

В недавнем посте про векторы мы уже упоминали вот такую формулу из школьной программы:
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b), где |a|, |b| — это длины векторов.

Вообще она помогает вычислить скалярное произведение, но чаще её используют для другого. Из неё можно выразить косинус, получится:
cos∠(a, b) = a*b / (|a|*|b|).

Скалярное произведение и длины можно вычислить, зная только координаты. Получается, что можно без чертежа, регистрации и смс, из одних только числовых данных вдруг получить косинус угла между векторами, то есть вполне себе геометрическую характеристику.

Пример вычисления косинусного сходства для разных векторов ловите в комментах 👇
⬇️

⬆️
Для чего нам нужен этот косинус?
По косинусу можно найти сам угол. А по углу можно определить, насколько близки векторы друг к другу: угол маленький — близки, угол большой — далеки.
В анализе данных есть понятие косинусного сходства (это по сути просто косинус). Для углов от 0° до 180° чем меньше угол, тем больше косинус. Значит, чем больше косинус, тем больше векторы схожи. Сходство максимально, когда векторы сонаправлены, и минимально, когда направлены противоположно.

Где всё это применяют?
Классический пример применения косинусного сходства — анализ текстов, заголовков статей и новостей. Каждый заголовок — это вектор. Вычисляем косинус и понимаем, какие новости говорят о чём-то похожем, а какие — о разном. Это помогает избежать дублирования новостей на агрегаторах и относить статью в подходящую рубрику.

Другой пример. Каждый автомобиль можно описать вектором его характеристик: год выпуска, пробег, тип кузова, тип двигателя, привод, мощность, количество мест и т.д. Косинусное сходство поможет усмирить разнообразие характеристик и подскажет, какие автомобили похожи.

И напоследок — пельмешки! Представьте, что математик зашёл в магазин и не обнаружил любимых пельмешек. Какие другие пельмени ему выбрать? Можно описать каждый вид пельменей вектором — например, по количеству калорий, белков, жиров и углеводов. Косинус между векторами поможет математику найти пельмени, наиболее похожие по пищевой ценности на его любимые! 🥰

Кто такой этот ваш факториал

Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?

Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.

Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.

Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.

Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.

С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.

А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?