Часто математические задачи можно решить разными способами. Например, недавно у нас была задача про улицы Питера. Мы её решали с помощью треугольника Паскаля, а в комментариях многие писали другой способ решения — комбинаторный. Разберём его.
В той задаче Макс хочет пройти 6 кварталов вниз и 2 вправо. Все направления «вниз» идентичны между собой, как идентичны и варианты «вправо». Всего Максу нужно пройти 6 + 2 = 8 кварталов.
Закодируем направление «вниз» буквой Н, а варианты «вправо» — буквой П. С точки зрения комбинаторики каждый маршрут — это как бы слово из восьми букв, причём шесть из них — Н и две — П. И нам нужно найти количество таких слов. Это же…. число сочетаний!
Значит, количество способов добраться из точки А в точку В можно записать как C⁶₈ или как C²₈. В любом случае имеем
8! / (2!*6!) = (8*7) / 2 = 28. Именно этот ответ мы и получили раньше.
Обобщим! Любой элемент треугольника Паскаля можно вычислить с помощью формулы для количества сочетаний из n по k. Индекс n пишут внизу рядом с заглавной буквой С, а индекс k — наверху. Формула для подсчёта количества сочетаний равна:
n! / ((n-k)!*k!), где
n — это номер ряда треугольника Паскаля (в нашем случае равно длине слова)
k — это номер коэффициента в n-м ряду (количество выбираемых букв в слове).
Нумерация обоих индексов n и k начинается с нуля!
Такие коэффициенты вида Сᵏₙ называют биномиальными, потому что пришли они из разложения бинома.
И с их помощью можно легко вычислить любой элемент треугольника Паскаля, не вычисляя предыдущие.
Например, второй элемент в четвёртом ряду равен C²₄ = 4! / ((4-2)!*2!) = 4*3 / 2 = 6.
А значит, можно вычислить коэффициент при любом слагаемом в разложении (a+b)ⁿ, не выписывая весь треугольник Паскаля до этой строчки. Удобно!
В той задаче Макс хочет пройти 6 кварталов вниз и 2 вправо. Все направления «вниз» идентичны между собой, как идентичны и варианты «вправо». Всего Максу нужно пройти 6 + 2 = 8 кварталов.
Закодируем направление «вниз» буквой Н, а варианты «вправо» — буквой П. С точки зрения комбинаторики каждый маршрут — это как бы слово из восьми букв, причём шесть из них — Н и две — П. И нам нужно найти количество таких слов. Это же…. число сочетаний!
Значит, количество способов добраться из точки А в точку В можно записать как C⁶₈ или как C²₈. В любом случае имеем
8! / (2!*6!) = (8*7) / 2 = 28. Именно этот ответ мы и получили раньше.
Обобщим! Любой элемент треугольника Паскаля можно вычислить с помощью формулы для количества сочетаний из n по k. Индекс n пишут внизу рядом с заглавной буквой С, а индекс k — наверху. Формула для подсчёта количества сочетаний равна:
n! / ((n-k)!*k!), где
n — это номер ряда треугольника Паскаля (в нашем случае равно длине слова)
k — это номер коэффициента в n-м ряду (количество выбираемых букв в слове).
Нумерация обоих индексов n и k начинается с нуля!
Такие коэффициенты вида Сᵏₙ называют биномиальными, потому что пришли они из разложения бинома.
И с их помощью можно легко вычислить любой элемент треугольника Паскаля, не вычисляя предыдущие.
Например, второй элемент в четвёртом ряду равен C²₄ = 4! / ((4-2)!*2!) = 4*3 / 2 = 6.
А значит, можно вычислить коэффициент при любом слагаемом в разложении (a+b)ⁿ, не выписывая весь треугольник Паскаля до этой строчки. Удобно!
👍6❤5
Посмотрите на интерактивной объяснялке, почему коэффициенты разложения бинома действительно равны количествам сочетаний. Она классная!
Получается, возведение бинома в n-ю степень можно красиво записать с помощью суммы и формулы сочетаний. Степень показатель степени переменной a пробегает значения с n до 0, показатель степени переменной b — с 0 до n. Такую запись называют биномом Ньютона. Её мы и прикрипели к этому посту.
Вообще задачи, похожие на нашу про улицы Питера, часто встречаются на собеседованиях на вакансии разных аналитиков. В общем виде она звучит так: «Сколько способов у объекта А добраться до объекта В, расположенных на квадратной решётке?». У нас была и такая задача — про мышь и сыр.
Кандидат, который покажет разные способы её решения, выгодно выделится на фоне других кандидатов. ;)
Получается, возведение бинома в n-ю степень можно красиво записать с помощью суммы и формулы сочетаний. Степень показатель степени переменной a пробегает значения с n до 0, показатель степени переменной b — с 0 до n. Такую запись называют биномом Ньютона. Её мы и прикрипели к этому посту.
Вообще задачи, похожие на нашу про улицы Питера, часто встречаются на собеседованиях на вакансии разных аналитиков. В общем виде она звучит так: «Сколько способов у объекта А добраться до объекта В, расположенных на квадратной решётке?». У нас была и такая задача — про мышь и сыр.
Кандидат, который покажет разные способы её решения, выгодно выделится на фоне других кандидатов. ;)
❤8👍5😁2👏1🗿1
Привет!
Мы упоминали, что у нас вышел бесплатный курс «Основы статистики и A/B-тестирования». Сегодня расскажем о нём подробнее.
О чём курс?
Курс поможет разобраться в базовых понятиях и методах статистики и A/B-тестирования:
- освоить базовые понятия: медиана, квантиль, дисперсия, корреляция, ЦПТ, p-value, MDE, мощность теста и т.д.;
- узнаеть, как использовать статистические методы для проверки гипотез;
- разобраться, как корректно проводить A/B-тест и оценивать его результаты.
Есть ли практика на курсе?
Да! Курс практический. Вы решите более 100 задач с автоматической проверкой. В конце курса отработаете навыки в симуляторе — сможете определить целевую аудиторию для нового продукта и провести A/B-тест.
Кому подойдёт курс?
Начинающим аналитикам данных, продакт-менеджерам, маркетологам и другим специалистам, которые работают с данными.
Что насчёт обратной связи?
Курс предполагает самостоятельное прохождение. Задать вопросы и обсудить непонятные моменты можно в этом канале, ниже закрепим тред для обсуждения.
Мы упоминали, что у нас вышел бесплатный курс «Основы статистики и A/B-тестирования». Сегодня расскажем о нём подробнее.
О чём курс?
Курс поможет разобраться в базовых понятиях и методах статистики и A/B-тестирования:
- освоить базовые понятия: медиана, квантиль, дисперсия, корреляция, ЦПТ, p-value, MDE, мощность теста и т.д.;
- узнаеть, как использовать статистические методы для проверки гипотез;
- разобраться, как корректно проводить A/B-тест и оценивать его результаты.
Есть ли практика на курсе?
Да! Курс практический. Вы решите более 100 задач с автоматической проверкой. В конце курса отработаете навыки в симуляторе — сможете определить целевую аудиторию для нового продукта и провести A/B-тест.
Кому подойдёт курс?
Начинающим аналитикам данных, продакт-менеджерам, маркетологам и другим специалистам, которые работают с данными.
Что насчёт обратной связи?
Курс предполагает самостоятельное прохождение. Задать вопросы и обсудить непонятные моменты можно в этом канале, ниже закрепим тред для обсуждения.
❤31🔥20👍6
Обсуждаем курс «Основы статистики и A/B-тестирования». Задавайте вопросы в комментариях.
👍11❤5
Сегодня мы поговорим про задачу о 100 узниках. В математике вообще почему-то много задач про узников… но не будем углубляться в причины.
Условие такое. Есть 100 узников, все пронумерованы. Ещё есть комната со 100 пронумерованными коробками, внутри которых спрятаны номера от 1 до 100, в одной коробке — один номер. Номера распределены по коробкам случайным образом, то есть номер на коробке скорее всего не совпадает с номером внутри. Узники по очереди заходят в комнату и пытаются найти свой номер внутри коробок, при этом каждый может открыть не более 50. После того, как узник открыл коробки, он их закрывает и покидает комнату, никак не коммуницируя с другими людьми. Если каждому узнику удалось найти свой номер, то всех освободят. Если хоть кто-то не найдёт — все останутся в заточении.
Если каждый узник будет просто наобум искать свой номер — вероятность успеха для каждого составит 0.5 (ведь всего коробок 100, но открыть можно только 50). В таком случае вероятность общего успеха равна 0.5¹⁰⁰ ≈ 7.9*10⁻³¹ — так себе прогноз.
Хорошая новость: узники с самого начала могут выбрать какую-то тактику и придерживаться её. 😁
Какая же стратегия повысит вероятность того, что узники освободятся?
Оказывается, существует такая, которая увеличит их шансы до 31%!
Предлагаем сначала поразмышлять самостоятельно, а потом посмотреть видео. Решение довольно удивительное, но в видео очень наглядно разбираеют, как и почему оно работает.
Приятного просмотра!
Условие такое. Есть 100 узников, все пронумерованы. Ещё есть комната со 100 пронумерованными коробками, внутри которых спрятаны номера от 1 до 100, в одной коробке — один номер. Номера распределены по коробкам случайным образом, то есть номер на коробке скорее всего не совпадает с номером внутри. Узники по очереди заходят в комнату и пытаются найти свой номер внутри коробок, при этом каждый может открыть не более 50. После того, как узник открыл коробки, он их закрывает и покидает комнату, никак не коммуницируя с другими людьми. Если каждому узнику удалось найти свой номер, то всех освободят. Если хоть кто-то не найдёт — все останутся в заточении.
Если каждый узник будет просто наобум искать свой номер — вероятность успеха для каждого составит 0.5 (ведь всего коробок 100, но открыть можно только 50). В таком случае вероятность общего успеха равна 0.5¹⁰⁰ ≈ 7.9*10⁻³¹ — так себе прогноз.
Хорошая новость: узники с самого начала могут выбрать какую-то тактику и придерживаться её. 😁
Какая же стратегия повысит вероятность того, что узники освободятся?
Оказывается, существует такая, которая увеличит их шансы до 31%!
Предлагаем сначала поразмышлять самостоятельно, а потом посмотреть видео. Решение довольно удивительное, но в видео очень наглядно разбираеют, как и почему оно работает.
Приятного просмотра!
YouTube
The Riddle That Seems Impossible Even If You Know The Answer
The 100 Prisoners Riddle feels completely impossible even once you know the answer. This video is sponsored by Brilliant. The first 200 people to sign up via https://brilliant.org/veritasium get 20% off a yearly subscription.
Special thanks to Destin of…
Special thanks to Destin of…
👍18❤3☃1🤯1
Мы уже упоминали свойства логарифмов и решали с их помощью задачу про размножение бактерий.
А сегодняшняя будет про качалку! 💪
И решить её тоже помогут свойства логарифмов, но уже новые. Их здесь и разберём.
Если вы их хорошо помните — переходите сразу к задачке. :)
#объясняем_школьное
1) Внесение степени в логарифм:
n*logₐb = logₐbⁿ.
Для доказательства этого свойства нам понадобится информация о степенях. Мы знаем, что (aᵏ)ᵗ=aᵏᵗ.
Поместим логарифм в показатель степени:
a^{n*logₐb} = (a^{logₐb})ⁿ = bⁿ = a^{logₐbⁿ}.
Выражения по краям равны, основания равны — значит, равны и показатели: n*logₐb = logₐbⁿ. Доказали.
Пример с числами:
4*log₉3 = log₉3⁴ = log₉81 = 2.
Проверить корректность можно, вычислив исходный логарифм по определению: 4*log₉3 = 4*0.5 = 2.
2) Внести степень можно и в основание логарифма. Но только если коэффициент перед логарифмом был дробный — нам потребуется знаменатель этой дроби.
Пример с числами:
1/3*log₅125 = log₁₂₅125 = 1. Здесь 3 из знаменателя перед логарифмом превратила его основание в 5³, то есть в 125.
3) Степени можно не только вносить под логарифм, но и выносить из-под него. В эту сторону чуть сложнее — появляется модуль.
Мнемоническое правило, что куда выносить: «верхнюю» степень выносят наверх (как числитель), а «нижнюю» степень выносят вниз (в знаменатель).
Пример с числами: log₈16 = 4/3 * log₂2 = 4/3.
4) Переход к новому основанию:
logₐb = logᵥb / logᵥa.
Это свойство — ну очень полезное! Оно помогает считать разные логарифмы без калькулятора.
Докажем его.
Приведём logₐb к основанию v. Для этого возьмём логарифм числа b по основанию v: logᵥb.
С помощью основного логарифмического тождества его можно записать так:
logᵥb = logᵥa^{logₐb}.
Здесь под логарифмом стоит степень. Вынесем её за пределы логарифма:
logᵥb = logᵥa^{logₐb} = logₐb*logᵥa.
Выражаем logₐb = logᵥb/logᵥa. Это мы и хотели доказать!
Это свойство позволяет упрощать выражения или приводить их к тому основанию, которое нам для чего-нибудь требуется. Например:
log₅32 = log₂32/log₂5 = 5/log₂5.
А сегодняшняя будет про качалку! 💪
И решить её тоже помогут свойства логарифмов, но уже новые. Их здесь и разберём.
Если вы их хорошо помните — переходите сразу к задачке. :)
#объясняем_школьное
1) Внесение степени в логарифм:
n*logₐb = logₐbⁿ.
Для доказательства этого свойства нам понадобится информация о степенях. Мы знаем, что (aᵏ)ᵗ=aᵏᵗ.
Поместим логарифм в показатель степени:
a^{n*logₐb} = (a^{logₐb})ⁿ = bⁿ = a^{logₐbⁿ}.
Выражения по краям равны, основания равны — значит, равны и показатели: n*logₐb = logₐbⁿ. Доказали.
Пример с числами:
4*log₉3 = log₉3⁴ = log₉81 = 2.
Проверить корректность можно, вычислив исходный логарифм по определению: 4*log₉3 = 4*0.5 = 2.
2) Внести степень можно и в основание логарифма. Но только если коэффициент перед логарифмом был дробный — нам потребуется знаменатель этой дроби.
Пример с числами:
1/3*log₅125 = log₁₂₅125 = 1. Здесь 3 из знаменателя перед логарифмом превратила его основание в 5³, то есть в 125.
3) Степени можно не только вносить под логарифм, но и выносить из-под него. В эту сторону чуть сложнее — появляется модуль.
Мнемоническое правило, что куда выносить: «верхнюю» степень выносят наверх (как числитель), а «нижнюю» степень выносят вниз (в знаменатель).
Пример с числами: log₈16 = 4/3 * log₂2 = 4/3.
4) Переход к новому основанию:
logₐb = logᵥb / logᵥa.
Это свойство — ну очень полезное! Оно помогает считать разные логарифмы без калькулятора.
Докажем его.
Приведём logₐb к основанию v. Для этого возьмём логарифм числа b по основанию v: logᵥb.
С помощью основного логарифмического тождества его можно записать так:
logᵥb = logᵥa^{logₐb}.
Здесь под логарифмом стоит степень. Вынесем её за пределы логарифма:
logᵥb = logᵥa^{logₐb} = logₐb*logᵥa.
Выражаем logₐb = logᵥb/logᵥa. Это мы и хотели доказать!
Это свойство позволяет упрощать выражения или приводить их к тому основанию, которое нам для чего-нибудь требуется. Например:
log₅32 = log₂32/log₂5 = 5/log₂5.
❤4👍4
А теперь — задача!
Ваши ответы и решения ждём подскрытым текстом .
Василий увлёкся пауэрлифтингом и начал ходить в спортзал. Василий замерил свой прогресс и оказалось, что он соответствует функции y=12*log₂(x), где x — номер дня с момента начала тренировок, а y — вес (масса), который он поднял в этот день.
Спустя почти год Василий решил оценить свой прогресс. Для этого он сравнил результаты в конце первой недели тренировок и на 343 день. Во сколько раз увеличился поднимаемый им вес за это время?Ваши ответы и решения ждём под
👍10😁1
Разберём вчерашнюю задачу про пауэрлифтиг.
Её можно решить разными способами — используя разные свойства логарифма.
Начало у обоих способов одинаковое. Вес (масса), который может поднимать Василий в день номер x по условию равен 12*log₂(x). Значит, в конце первой недели (на седьмой день) этот вес равен 12*log₂7, а на 343-й день — 12*log₂343.
Запишем частное и упростим:
12*log₂343 / 12*log₂7 = log₂343 / log₂7.
Дальше можно использовать либо третье свойство из вчерашнего поста, либо четвёртое.
Способ 1. Через вынесение степени:
log₂343 / log₂7 = log₂7³ / log₂7 = 3*log₂7 / log₂7 = 3.
Способ 2. Через переход к новому основанию (в обратную сторону):
log₂343 / log₂7 = log₇343 = 3.
Значит, вес, который поднимает Василий, увеличился в 3 раза.
Желаем и вам успехов в качалке! 🏋️♀️
Её можно решить разными способами — используя разные свойства логарифма.
Начало у обоих способов одинаковое. Вес (масса), который может поднимать Василий в день номер x по условию равен 12*log₂(x). Значит, в конце первой недели (на седьмой день) этот вес равен 12*log₂7, а на 343-й день — 12*log₂343.
Запишем частное и упростим:
12*log₂343 / 12*log₂7 = log₂343 / log₂7.
Дальше можно использовать либо третье свойство из вчерашнего поста, либо четвёртое.
Способ 1. Через вынесение степени:
log₂343 / log₂7 = log₂7³ / log₂7 = 3*log₂7 / log₂7 = 3.
Способ 2. Через переход к новому основанию (в обратную сторону):
log₂343 / log₂7 = log₇343 = 3.
Значит, вес, который поднимает Василий, увеличился в 3 раза.
Желаем и вам успехов в качалке! 🏋️♀️
👍11❤1
Как математики решают бытовые проблемы
Часто говорят, что математика далека от реальности и совсем не помогает в жизненных ситуациях. Конечно, математики много занимаются теорией, но и бытовые проблемы им близки. Например, выбор… туалета! 😅
Лето — пора фестивалей. Но большое скопление людей может неблагоприятно влиять на чистоту ватер-клозетов. В какой-то момент встаёт вопрос: как выбрать лучший туалет — наиболее чистый из всех и благоухающий свежестью.
Вполне себе математическая задача! К ней у нас два видео:
• В первом рассказывают стратегию выбора того самого туалета. Ну или хотя бы близкого к этому. :)
• Во втором видео объясняется с математической точки зрения, откуда взялась именно такая стратегия и почему она лучшая из возможных.
Если коротко: при больших количествах туалетов надо отвергнуть первые 37%, а потом внимательно смотреть по очереди. Как только какой-то туалет окажется лучше всех предыдущих, нужно остановиться и использовать его. Эта стратегия гарантирует 37%-ную же (так совпало) вероятность, что вы таким образом найдёте действительно наилучший туалет. А во всех остальных случаях он будет, как минимум, не плохим. 😉
Вот так математика помогает решить очень даже бытовую задачу, хоть и специфичную.
На самом деле, эта ситуация — переформулировка задачи о разборчивой невесте, мы уже писали о ней. Рекомендуем вам посмотреть посты об этой задаче, они были одним из наших первых хитов. 😇
Возможно, выглядит странным, что выбор туалета и выбор мужа идут по одной стратегии, но обе проблемы — точно жизненные!
А что касается туалетов… в комментариях к исходному видео предлагают просто выбирать первый — он наверняка очень чистый, раз по алгоритму никто не может его выбрать. Но такая хитрость, конечно, сработает только на математических фестивалях. 😁
Часто говорят, что математика далека от реальности и совсем не помогает в жизненных ситуациях. Конечно, математики много занимаются теорией, но и бытовые проблемы им близки. Например, выбор… туалета! 😅
Лето — пора фестивалей. Но большое скопление людей может неблагоприятно влиять на чистоту ватер-клозетов. В какой-то момент встаёт вопрос: как выбрать лучший туалет — наиболее чистый из всех и благоухающий свежестью.
Вполне себе математическая задача! К ней у нас два видео:
• В первом рассказывают стратегию выбора того самого туалета. Ну или хотя бы близкого к этому. :)
• Во втором видео объясняется с математической точки зрения, откуда взялась именно такая стратегия и почему она лучшая из возможных.
Если коротко: при больших количествах туалетов надо отвергнуть первые 37%, а потом внимательно смотреть по очереди. Как только какой-то туалет окажется лучше всех предыдущих, нужно остановиться и использовать его. Эта стратегия гарантирует 37%-ную же (так совпало) вероятность, что вы таким образом найдёте действительно наилучший туалет. А во всех остальных случаях он будет, как минимум, не плохим. 😉
Вот так математика помогает решить очень даже бытовую задачу, хоть и специфичную.
На самом деле, эта ситуация — переформулировка задачи о разборчивой невесте, мы уже писали о ней. Рекомендуем вам посмотреть посты об этой задаче, они были одним из наших первых хитов. 😇
Возможно, выглядит странным, что выбор туалета и выбор мужа идут по одной стратегии, но обе проблемы — точно жизненные!
А что касается туалетов… в комментариях к исходному видео предлагают просто выбирать первый — он наверняка очень чистый, раз по алгоритму никто не может его выбрать. Но такая хитрость, конечно, сработает только на математических фестивалях. 😁
😁18❤9👍7
Привет!
Мы в Практикуме проводим исследование профессии финансового аналитика и приглашаем на интервью. Это классная возможность помочь нам в создании образовательных программ.🌿
Кого зовём:
• Тех, кто хочет получить профессию финансового аналитика. Работать с финансовыми показателями, строить прогнозы и модели, помогать бизнесу принимать финансовые решения на основе данных.
• Тех, кто уже работает финансовым аналитиком в компании.
• Тех, кто проходил курсы по финансовой аналитике от Нетологии, Гикбрейнса, Скиллфэктори, Скиллбокса и других онлайн-платформ.
Если какой-то пункт из описания вам откликается — заполняйте форму. Поговорим о сложностях в обучении, об освоении профессии и трудоустройстве.
Интервью пройдёт в зуме и займёт около 40 минут. С теми, кто заполнит форму, мы свяжемся и подберём удобное время.
В благодарность за помощь мы подарим бонус от Практикума.🌟
Мы в Практикуме проводим исследование профессии финансового аналитика и приглашаем на интервью. Это классная возможность помочь нам в создании образовательных программ.🌿
Кого зовём:
• Тех, кто хочет получить профессию финансового аналитика. Работать с финансовыми показателями, строить прогнозы и модели, помогать бизнесу принимать финансовые решения на основе данных.
• Тех, кто уже работает финансовым аналитиком в компании.
• Тех, кто проходил курсы по финансовой аналитике от Нетологии, Гикбрейнса, Скиллфэктори, Скиллбокса и других онлайн-платформ.
Если какой-то пункт из описания вам откликается — заполняйте форму. Поговорим о сложностях в обучении, об освоении профессии и трудоустройстве.
Интервью пройдёт в зуме и займёт около 40 минут. С теми, кто заполнит форму, мы свяжемся и подберём удобное время.
В благодарность за помощь мы подарим бонус от Практикума.🌟
❤10👍4
Теорема о косточке
Скорее всего, вы заметили, что в математике есть много теорем с внезапными названиями. А ещё многие из них связаны с едой. 🥨
Что ж, это неудивительно: съедобные примеры близки к жизни и понятны, поэтому на них удобно объяснять.
Для иллюстрации сегодняшней теоремы возьмём сезонный фрукт — персик. Математикам пригодится идеальный: он имеет форму шара, а его косточка расположена ровно по центру и тоже имеет форму шара.
Возьмём нож и разрежем персик на две части горизонтальным надрезом ближе к верхушке. Разрез должен проходить и через косточку тоже, так что будем считать, что она достаточно мягкая.
Теперь посмотрим на разрез: мы увидим круг от косточки и вокруг него «кольцо» мякоти персика. Вычислить площадь среза мякоти несложно: нужно из площади большого круга вычесть площадь маленького.
А потом возьмём такой же персик и сделаем горизонтальный разрез ровно через его центр. На разрезе мы так же увидим круг-косточку и кольцо мякоти.
Вопрос: в каком случае площадь кольца видимой мякоти больше?
Может показаться, что эта площадь больше, когда мы режем по центру: там ведь больше радиус сечения! С другой стороны — в первом случае кольцо толще...
Здесь всё хитро: радиус сечения косточки увеличивается при приближении к центру — и делает это пропорционально увеличению радиуса сечения персика. И из-за того, что эти радиусы растут с одинаковой скоростью, площади колец мякоти в двух случаях будут одинаковыми! Наглядно это можно увидеть на анимации.
Естественно, в модели совсем необязательно думать именно про персик и его косточку. Такие же утверждения верны для любых концентрических шаров — например, для слоёв планет, для конфет с начинкой… ой, опять пример про еду. 😁
Предлагаем продолжить и написать примеры к этой теореме в комментариях. Не бойтесь приводить внезапные — они приветствуются!
Скорее всего, вы заметили, что в математике есть много теорем с внезапными названиями. А ещё многие из них связаны с едой. 🥨
Что ж, это неудивительно: съедобные примеры близки к жизни и понятны, поэтому на них удобно объяснять.
Для иллюстрации сегодняшней теоремы возьмём сезонный фрукт — персик. Математикам пригодится идеальный: он имеет форму шара, а его косточка расположена ровно по центру и тоже имеет форму шара.
Возьмём нож и разрежем персик на две части горизонтальным надрезом ближе к верхушке. Разрез должен проходить и через косточку тоже, так что будем считать, что она достаточно мягкая.
Теперь посмотрим на разрез: мы увидим круг от косточки и вокруг него «кольцо» мякоти персика. Вычислить площадь среза мякоти несложно: нужно из площади большого круга вычесть площадь маленького.
А потом возьмём такой же персик и сделаем горизонтальный разрез ровно через его центр. На разрезе мы так же увидим круг-косточку и кольцо мякоти.
Вопрос: в каком случае площадь кольца видимой мякоти больше?
Может показаться, что эта площадь больше, когда мы режем по центру: там ведь больше радиус сечения! С другой стороны — в первом случае кольцо толще...
Здесь всё хитро: радиус сечения косточки увеличивается при приближении к центру — и делает это пропорционально увеличению радиуса сечения персика. И из-за того, что эти радиусы растут с одинаковой скоростью, площади колец мякоти в двух случаях будут одинаковыми! Наглядно это можно увидеть на анимации.
Естественно, в модели совсем необязательно думать именно про персик и его косточку. Такие же утверждения верны для любых концентрических шаров — например, для слоёв планет, для конфет с начинкой… ой, опять пример про еду. 😁
Предлагаем продолжить и написать примеры к этой теореме в комментариях. Не бойтесь приводить внезапные — они приветствуются!
❤18👍10🔥3
Привет!
Напоминаем, что вы ещё можете решить задачку и получить промокод на скидку 10% на все курсы направления анализа данных. Подробности о скидке — в исходном посте.
Скидка действует в том числе на курс «Математика для анализа данных». Расскажем главное о нём! 🥰
«Математика для анализа данных» поможет:
• закрыть пробелы в статистике и других разделах математики;
• разобраться, что «под капотом» у знакомых инструментов, и освоить новые;
• подготовиться к собеседованию;
• укрепить навыки и претендовать на вакансии, где ценят хорошее знание математики;
• решать математические задачи на Python.
Какие методы вы сможете применять после курса:
• линейную регрессию и сингулярное разложение;
• градиентный спуск и другие алгоритмы обучения нейросетей;
• косинусное расстояние между текстами;
• A/B-тесты, статистические тесты, доверительный интервал, p-value.
Кому подойдёт курс?
Курс подойдёт начинающим аналитикам и специалистам по Data Science, а также выпускникам и студентам курсов по анализу данных.
Исходное образование неважно. Если у вас нет технического образования, не беспокойтесь, вы всё поймёте: мы объясняем подробно, с примерами, графиками и интерактивами. А если техническое образование у вас есть, всё равно приходите — узнаете много нового и глубже разберётесь в знакомом. 😊
Что с обратной связью?
Наедине с математикой мы вас не оставим! 😉
• Преподаватели ответят на вопросы в чате в любой день недели.
• Кураторы поддержат морально и помогут организовать учебный процесс.
• Наставник проведёт семинары и подробнее расскажет о практическом применении теории.
Сколько стоит?
Курс стоит 30 000 рублей. Поддержка доступна 6 месяцев, материалы остаются у вас навсегда.
Хотите к нам? Добудьте промокод и присоединяйтесь!
Ссылки на другие курсы направления анализа данных — в комментариях.
Напоминаем, что вы ещё можете решить задачку и получить промокод на скидку 10% на все курсы направления анализа данных. Подробности о скидке — в исходном посте.
Скидка действует в том числе на курс «Математика для анализа данных». Расскажем главное о нём! 🥰
«Математика для анализа данных» поможет:
• закрыть пробелы в статистике и других разделах математики;
• разобраться, что «под капотом» у знакомых инструментов, и освоить новые;
• подготовиться к собеседованию;
• укрепить навыки и претендовать на вакансии, где ценят хорошее знание математики;
• решать математические задачи на Python.
Какие методы вы сможете применять после курса:
• линейную регрессию и сингулярное разложение;
• градиентный спуск и другие алгоритмы обучения нейросетей;
• косинусное расстояние между текстами;
• A/B-тесты, статистические тесты, доверительный интервал, p-value.
Кому подойдёт курс?
Курс подойдёт начинающим аналитикам и специалистам по Data Science, а также выпускникам и студентам курсов по анализу данных.
Исходное образование неважно. Если у вас нет технического образования, не беспокойтесь, вы всё поймёте: мы объясняем подробно, с примерами, графиками и интерактивами. А если техническое образование у вас есть, всё равно приходите — узнаете много нового и глубже разберётесь в знакомом. 😊
Что с обратной связью?
Наедине с математикой мы вас не оставим! 😉
• Преподаватели ответят на вопросы в чате в любой день недели.
• Кураторы поддержат морально и помогут организовать учебный процесс.
• Наставник проведёт семинары и подробнее расскажет о практическом применении теории.
Сколько стоит?
Курс стоит 30 000 рублей. Поддержка доступна 6 месяцев, материалы остаются у вас навсегда.
Хотите к нам? Добудьте промокод и присоединяйтесь!
Ссылки на другие курсы направления анализа данных — в комментариях.
❤8👍4
Лучшие задачи этого канала
Многим здесь нравятся посты с задачами.
Поэтому мы собрали для вас подборку самых обсуждаемых задач за всё время существования канала, enjoy 🥰
➡️ Задача про мышь
➡️ Задача про роботов и масло
➡️ Задача про курьера
➡️ Задача про бессмертных единорожек
➡️ Задача про билет на самолёт с серебристым крылом
Решения ко всем задачам даны в постах после них. Приятного вам чтива!
Многим здесь нравятся посты с задачами.
Поэтому мы собрали для вас подборку самых обсуждаемых задач за всё время существования канала, enjoy 🥰
Решения ко всем задачам даны в постах после них. Приятного вам чтива!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥13👍7🥰4👏1
Новый день — новая задача! Сегодняшняя будет без особого приложения к реальности, но зато красивая и с историей — когда-то похожая задача попалась одному из авторов этого канала на вступительном экзамене в вуз. 😁
Попробуйте решить и вы!
Ваши решения и ответы ждём, как всегда, подскрытым текстом . Разбор задачи опубликуем в понедельник.
Вспомнить нужное про логарифмы можно в постах:
• Раз
• Два
• Три
Попробуйте решить и вы!
Аня и Катя готовились к контрольной по математике: решали одни и те же задачки, а потом сверяли ответы. В одной из них было дано трёхзначное число T, с которым нужно было совершить несколько действий:
1) прологарифмировать по основанию 2,
2) из результата вычесть некоторое натуральное число n,
3) полученную разность разделить на то же n.
Аня случайно взяла логарифм по основанию 3 вместо 2, а Катя сделала всё правильно.
Когда девушки сверили ответы, оказалось, что числа, которые у них получились — взаимно обратны. Чему было равно исходное число T? Ваши решения и ответы ждём, как всегда, под
Вспомнить нужное про логарифмы можно в постах:
• Раз
• Два
• Три
👍7❤1✍1
Выкладываем решение пятничной задачи.
По условию задачи Катя сделала всё правильно:
сначала прологарифмировала T по основанию 2, получилось log₂T,
затем вычла n, получилось log₂T - n,
потом разделила на n. В итоге у неё получилось выражение
(log₂T - n) / n.
У Ани же получилось похожее выражение, но логарифм по основанию 3:
(log₃T - n) / n.
Это число обратно результату, который получила Катя. Значит, произведение этих результатов равно единице. Запишем это и будем преобразовывать выражение — посмотрите на иллюстрации!
В результате получаем, что T=6ⁿ. По условию число T было трёхзначным, подходит только вторая степень шестёрки: при n=2 получается T=216.
Ответ: T=216.
По условию задачи Катя сделала всё правильно:
сначала прологарифмировала T по основанию 2, получилось log₂T,
затем вычла n, получилось log₂T - n,
потом разделила на n. В итоге у неё получилось выражение
(log₂T - n) / n.
У Ани же получилось похожее выражение, но логарифм по основанию 3:
(log₃T - n) / n.
Это число обратно результату, который получила Катя. Значит, произведение этих результатов равно единице. Запишем это и будем преобразовывать выражение — посмотрите на иллюстрации!
В результате получаем, что T=6ⁿ. По условию число T было трёхзначным, подходит только вторая степень шестёрки: при n=2 получается T=216.
Ответ: T=216.
👍6❤4
Теорема о бесконечных обезьянах
Сегодня мы предложим вам провести мысленный эксперимнет. Возьмём бессмертную обезьяну и посадим её за пишущую машинку. Обезьяна будет нажимать на клавиши случайным образом. Получится ли у неё что-нибудь осмысленное?
Интуитивно понятно, что когда-то что-то осмысленное получится точно.
Теорема о бесконечных обезьянах утверждает даже большее — рано или поздно обезьяна напечатает любой заранее заданный текст. Например, этот пост, текст «Богемской рапсодии», «Гарри Поттера», сценарий к «Барби» и вообще что угодно.
У теоремы есть строгое доказательство, его суть можно посмотреть в Википедии.
Идею этой теоремы использовал Х.Л. Борхес в рассказе «Всемирная библиотека». Он писал об огромной библиотеке, книги которой составляют комбинаторное сочетание символов английского алфавита, пробела, точки и запятой. Из-за этого там содержатся все мыслимые текстовые сочетания — включая известные нам произведения.
Бруклинский программист Д. Базайл вдохновился рассказом и решил пойти дальше — визуализировать такую библиотеку. В результате получился проект The library of Babylon. Это онлайн-библиотека со стенами и полками, на них лежат книги, разбитые на главы и страницы.
Там хранятся все возможные комбинации 29 символов: 26 английских букв, пробела, запятой и точки. Комбинации ограничены длиной одной страницы — примерно 3200 символов.
Всего в этой библиотеке примерно 10⁴⁶⁷⁷ книг и все возможные страницы на английском языке, которые только могут быть написаны. 🤯
Сайт предусматривает поиск. Местоположение найденного текста можно запомнить (номер полки, книги, страницы), поделиться им или вернуться позже — оно не изменится, как в настоящей библиотеке. Причём книга не хранится там в прямом смысле этого слова, она генерируется каждый раз при запросе.
На картинке результат поиска фразы "practicum is the best", найденный в одной из книг. Присылайте в комментариях свои находки. 😊
---
Ещё о случайностях в бесконечностях: ранее мы писали, как найти дату своего рождения в «хвосте» числа π.
Сегодня мы предложим вам провести мысленный эксперимнет. Возьмём бессмертную обезьяну и посадим её за пишущую машинку. Обезьяна будет нажимать на клавиши случайным образом. Получится ли у неё что-нибудь осмысленное?
Интуитивно понятно, что когда-то что-то осмысленное получится точно.
Теорема о бесконечных обезьянах утверждает даже большее — рано или поздно обезьяна напечатает любой заранее заданный текст. Например, этот пост, текст «Богемской рапсодии», «Гарри Поттера», сценарий к «Барби» и вообще что угодно.
У теоремы есть строгое доказательство, его суть можно посмотреть в Википедии.
Идею этой теоремы использовал Х.Л. Борхес в рассказе «Всемирная библиотека». Он писал об огромной библиотеке, книги которой составляют комбинаторное сочетание символов английского алфавита, пробела, точки и запятой. Из-за этого там содержатся все мыслимые текстовые сочетания — включая известные нам произведения.
Бруклинский программист Д. Базайл вдохновился рассказом и решил пойти дальше — визуализировать такую библиотеку. В результате получился проект The library of Babylon. Это онлайн-библиотека со стенами и полками, на них лежат книги, разбитые на главы и страницы.
Там хранятся все возможные комбинации 29 символов: 26 английских букв, пробела, запятой и точки. Комбинации ограничены длиной одной страницы — примерно 3200 символов.
Всего в этой библиотеке примерно 10⁴⁶⁷⁷ книг и все возможные страницы на английском языке, которые только могут быть написаны. 🤯
Сайт предусматривает поиск. Местоположение найденного текста можно запомнить (номер полки, книги, страницы), поделиться им или вернуться позже — оно не изменится, как в настоящей библиотеке. Причём книга не хранится там в прямом смысле этого слова, она генерируется каждый раз при запросе.
На картинке результат поиска фразы "practicum is the best", найденный в одной из книг. Присылайте в комментариях свои находки. 😊
---
Ещё о случайностях в бесконечностях: ранее мы писали, как найти дату своего рождения в «хвосте» числа π.
👍12❤7🙈3👏2
На одном языке с компьютером
Чтобы поговорить с компьютером, информацию нужно перевести в двоичный код. Однако этого недостаточно, чтобы выстроить полноценный диалог. Чтобы понимать компьютер, нужномыслить как компьютер знать математическую логику. Именно поэтому ей посвящена отдельная тема нашего тренажёра по математике.
Математическая логика изучает высказывания. Высказывание — это повествовательное предложение, которое либо истинно, либо ложно. Но оно не может быть и тем, и другим одновременно.
Например: «Деревья выделяют кислород» — высказывание, и оно истинно. «6=7» — тоже высказывание, оно ложно. А вот «Будешь кофе?» и «Найдите x» — не высказывания.
Не для всех высказываний можно определить их истинность в моменте. Например, «скоро пойдёт дождь» — это высказывание, хотя в точке здесь и сейчас мы не знаем, верно ли это.
Если высказывание истинно, его значение приравнивают к единице, если ложно — к нулю.
Высказывание H=«Деревья выделяют кислород» истинно, значит, H=1.
Высказывание K=«6=7» ложно, значит, K=0.
Эти высказывания содержат всего одно утверждение, поэтому называются элементарными. Из них можно собирать более сложные, составные высказывания. Для этого используют грамматические связки «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда» и другие.
Самая простая связка — это «не», логическая операция отрицания. Для высказывания A отрицание обозначают как ¬А. Оно применяется к одному высказыванию и делает истинное ложным, а ложное — истинным.
Выше было высказывание про кислород, его отрицание можно записать как ¬H=«Деревья не выделяют кислород»=0.
Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями.
Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.
Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями. О них — ниже.
Чтобы поговорить с компьютером, информацию нужно перевести в двоичный код. Однако этого недостаточно, чтобы выстроить полноценный диалог. Чтобы понимать компьютер, нужно
Математическая логика изучает высказывания. Высказывание — это повествовательное предложение, которое либо истинно, либо ложно. Но оно не может быть и тем, и другим одновременно.
Например: «Деревья выделяют кислород» — высказывание, и оно истинно. «6=7» — тоже высказывание, оно ложно. А вот «Будешь кофе?» и «Найдите x» — не высказывания.
Не для всех высказываний можно определить их истинность в моменте. Например, «скоро пойдёт дождь» — это высказывание, хотя в точке здесь и сейчас мы не знаем, верно ли это.
Если высказывание истинно, его значение приравнивают к единице, если ложно — к нулю.
Высказывание H=«Деревья выделяют кислород» истинно, значит, H=1.
Высказывание K=«6=7» ложно, значит, K=0.
Эти высказывания содержат всего одно утверждение, поэтому называются элементарными. Из них можно собирать более сложные, составные высказывания. Для этого используют грамматические связки «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда» и другие.
Самая простая связка — это «не», логическая операция отрицания. Для высказывания A отрицание обозначают как ¬А. Оно применяется к одному высказыванию и делает истинное ложным, а ложное — истинным.
Выше было высказывание про кислород, его отрицание можно записать как ¬H=«Деревья не выделяют кислород»=0.
Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями.
Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.
Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями. О них — ниже.
👍11
Связка «и» научно называется конъюнкцией (A∧B). Такое высказывание истинно только тогда, когда все элементарные высказывания в нём истинны. Во всех остальных случаях A∧B = 0.
Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.
H∧K=«Деревья выделяют кислород, и 6=7» = 1∧0 = 0.
Н∧¬К=«Деревья выделяют кислород, и 6≠7» = 1∧1 = 1.
Связка «или» называется дизъюнкция (A∨B). Для истинности дизъюнкции достаточно хотя бы одного истинного высказывания. И только в случае, если все они ложные, то и дизъюнкция будет ложной.
H∨K=«Деревья выделяют кислород, или 6=7» = 1∨0 = 1.
Чтобы не запутаться, логические операции записывают в таблицы истинности: первые столбики всегда отданы элементарным высказываниям, за ними уже идут составные. Строки принято писать по возрастанию значений А и В: 0 0, 0 1, 1 0, 1 1.
Логических операций, конечно же, гораздо больше. Ещё несколько мы разбираем в теме «Элементы логики» нашего бесплатного математического тренажёра.
Используя эти операции, компьютер делает... да примерно всё. 😁
Из простейшего — выполняет арифметические операции. Подробнее узнать, как это происходит, можно в видео от «Хекслет». Очень рекомендуем его посмотреть, если хочется лучше понимать устройство компьютера.
Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.
H∧K=«Деревья выделяют кислород, и 6=7» = 1∧0 = 0.
Н∧¬К=«Деревья выделяют кислород, и 6≠7» = 1∧1 = 1.
Связка «или» называется дизъюнкция (A∨B). Для истинности дизъюнкции достаточно хотя бы одного истинного высказывания. И только в случае, если все они ложные, то и дизъюнкция будет ложной.
H∨K=«Деревья выделяют кислород, или 6=7» = 1∨0 = 1.
Чтобы не запутаться, логические операции записывают в таблицы истинности: первые столбики всегда отданы элементарным высказываниям, за ними уже идут составные. Строки принято писать по возрастанию значений А и В: 0 0, 0 1, 1 0, 1 1.
Логических операций, конечно же, гораздо больше. Ещё несколько мы разбираем в теме «Элементы логики» нашего бесплатного математического тренажёра.
Используя эти операции, компьютер делает... да примерно всё. 😁
Из простейшего — выполняет арифметические операции. Подробнее узнать, как это происходит, можно в видео от «Хекслет». Очень рекомендуем его посмотреть, если хочется лучше понимать устройство компьютера.
👍16❤3🤔2
Друзья!
Напоминаем, что до конца нашей математической акции осталось три дня — вы ещё можете решить задачу и воспользоваться промокодом на скидку 10%. Промокод действует до 13 августа на все курсы направления анализа данных.
Если вы давно собирались освоить новую профессию, то это отличный шанс начать. Решайте задачу, применяйте промокод и получайте актуальные знания!
И уже через 6-12 месяцев вы сможете претендовать на новые позиции. 😎
Условия получения скидки — в посте.
Если у вас есть вопросы по курсам, задавайте в комментариях.
Напоминаем, что до конца нашей математической акции осталось три дня — вы ещё можете решить задачу и воспользоваться промокодом на скидку 10%. Промокод действует до 13 августа на все курсы направления анализа данных.
Если вы давно собирались освоить новую профессию, то это отличный шанс начать. Решайте задачу, применяйте промокод и получайте актуальные знания!
И уже через 6-12 месяцев вы сможете претендовать на новые позиции. 😎
Условия получения скидки — в посте.
Если у вас есть вопросы по курсам, задавайте в комментариях.
👍7🤝2
Привет!
Разберём задачу с прокомодом про Аркадия Стекова.
Напомним условие:
Вероятность события «Получить оффер» складывается из вероятностей событий «Получить оффер с первого раза», «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз», «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» и так далее.
Вероятность «Получить оффер с первого раза» по условию задачи равна 0.35.
Вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна произведению вероятности получить отказ в первый раз (1-0.35=0.65) и вероятности преуспеть во второй (0.65). В результате вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна 0.65*0.65.
Вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» опять же равна произведению вероятностей, но теперь уже трёх: вероятности получить отказ в первый раз (0.65), вероятности получить отказ во второй раз (1-0.65=0.35) и вероятности преуспеть в третий (0.65). В итоге вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» равна 0.65*0.35*0.65.
И так далее.
Значит, вероятность события «Получить оффер» — это вот такая сумма:
0.35 + 0.65*0.65 + 0.65*0.35*0.65 + 0.65*0.35²*0.65 + 0.65*0.35³*0.65 + …
Итак, нам нужно определить, на каком слагаемом эта сумма станет не менее, чем 0.99.
Посчитаем вручную, постепенно добавляя слагаемые и проверяя сумму после каждой итерации.
1) 0.65 < 0.99,
2) 0.35 + 0.4225 = 0.7725 < 0.99,
3) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 = 0.920375 < 0.99,
4) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 = 0.97213125 < 0.99,
5) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 + 0.0181146875 = 0.9902459375 ⩾ 0.99.
Потребовалось пять слагаемых — значит, пяти собеседований хватит, чтобы получить оффер с 99% вероятностью.
Есть и другие способы решить задачу. Например, можно пойти от обратного и вычислить вероятность того, что Аркадий не получит работу за n собеседований.
Вероятность неудачи в первый раз равна 0.65, а во все остальные разы — наоборот, по 0.35.
Эти события независимые, поэтому вероятность неуспеха во все эти разы равна произведению вероятностей неудач. Значит, вероятность не получить работу за n собеседований равна 0.65*0.35ⁿ⁻¹, и нам нужно, чтобы она была меньше 1%. Решаем:
0.65*0.35ⁿ⁻¹ < 0.01;
0.35ⁿ⁻¹ < 0.015385
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства. Оно впервые достигается при n-1=4, то есть при n=5.
Ответ: 5 собеседований
Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курсы направления анализа данных идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов!
Разберём задачу с прокомодом про Аркадия Стекова.
Напомним условие:
Аркадий Стеков откликается на вакансии на позицию «Аналитик данных». Каждая компания даёт ответ сразу же после собеседования. Аркадий прекращает ходить по собеседованиям, как только получает первый оффер.
Вероятность успешно пройти собеседование в первой же компании — 0.35. На всех следующих собеседованиях вероятность получить работу — уже 0.65. Результат каждого собеседования не зависит от других.
На какое количество собеседований должен сходить Аркадий, чтобы получить работу с вероятностью не менее 99%?Вероятность события «Получить оффер» складывается из вероятностей событий «Получить оффер с первого раза», «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз», «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» и так далее.
Вероятность «Получить оффер с первого раза» по условию задачи равна 0.35.
Вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна произведению вероятности получить отказ в первый раз (1-0.35=0.65) и вероятности преуспеть во второй (0.65). В результате вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна 0.65*0.65.
Вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» опять же равна произведению вероятностей, но теперь уже трёх: вероятности получить отказ в первый раз (0.65), вероятности получить отказ во второй раз (1-0.65=0.35) и вероятности преуспеть в третий (0.65). В итоге вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» равна 0.65*0.35*0.65.
И так далее.
Значит, вероятность события «Получить оффер» — это вот такая сумма:
0.35 + 0.65*0.65 + 0.65*0.35*0.65 + 0.65*0.35²*0.65 + 0.65*0.35³*0.65 + …
Итак, нам нужно определить, на каком слагаемом эта сумма станет не менее, чем 0.99.
Посчитаем вручную, постепенно добавляя слагаемые и проверяя сумму после каждой итерации.
1) 0.65 < 0.99,
2) 0.35 + 0.4225 = 0.7725 < 0.99,
3) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 = 0.920375 < 0.99,
4) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 = 0.97213125 < 0.99,
5) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 + 0.0181146875 = 0.9902459375 ⩾ 0.99.
Потребовалось пять слагаемых — значит, пяти собеседований хватит, чтобы получить оффер с 99% вероятностью.
Есть и другие способы решить задачу. Например, можно пойти от обратного и вычислить вероятность того, что Аркадий не получит работу за n собеседований.
Вероятность неудачи в первый раз равна 0.65, а во все остальные разы — наоборот, по 0.35.
Эти события независимые, поэтому вероятность неуспеха во все эти разы равна произведению вероятностей неудач. Значит, вероятность не получить работу за n собеседований равна 0.65*0.35ⁿ⁻¹, и нам нужно, чтобы она была меньше 1%. Решаем:
0.65*0.35ⁿ⁻¹ < 0.01;
0.35ⁿ⁻¹ < 0.015385
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства. Оно впервые достигается при n-1=4, то есть при n=5.
Ответ: 5 собеседований
Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курсы направления анализа данных идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов!
👍15🔥4🤔3
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Наверняка многие из подписчиков нашего канала слышали про область математики, которая называется «математические игры». Обычно это задачи, которые формулируются в виде правил игры, в которую могут играть несколько человек, цель — придумать выигрышную стратегию и стать победителем.
Но это не единственные игры, в которые играют математики. Некоторые математические игры вообще без игроков! Сегодня мы расскажем вам об одной такой игре. Она называется эффектно — «Жизнь».
Придумал её английский математик Джон Конвей. Сеттинг такой: есть бесконечная клетчатая плоскость, каждая её клетка может быть либо «живой» (состояние 1), либо «мёртвой» (состояние 0). У каждой клетки есть ровно 8 соседей, которые соприкасаются с ней, они все расположены вокруг неё на расстоянии «шага короля», если говорить в шахматной терминологии.
В самом начале игры задаётся какой-то набор «живых» клеток, после чего игра запускается и далее процесс идёт итерационно по правилам:
- Если у «мёртвой» клетки есть ровно 3 «живых» соседа, то на следующем ходе она тоже «оживает». В других случаях «мёртвая» клетка не меняет состояние.
- Если у «живой» клетки 2 или 3 «живых» соседа, то она остаётся жить. В остальных случаях «живая» клетка умирает: либо от одиночества, либо от перенаселённости.
Но это не единственные игры, в которые играют математики. Некоторые математические игры вообще без игроков! Сегодня мы расскажем вам об одной такой игре. Она называется эффектно — «Жизнь».
Придумал её английский математик Джон Конвей. Сеттинг такой: есть бесконечная клетчатая плоскость, каждая её клетка может быть либо «живой» (состояние 1), либо «мёртвой» (состояние 0). У каждой клетки есть ровно 8 соседей, которые соприкасаются с ней, они все расположены вокруг неё на расстоянии «шага короля», если говорить в шахматной терминологии.
В самом начале игры задаётся какой-то набор «живых» клеток, после чего игра запускается и далее процесс идёт итерационно по правилам:
- Если у «мёртвой» клетки есть ровно 3 «живых» соседа, то на следующем ходе она тоже «оживает». В других случаях «мёртвая» клетка не меняет состояние.
- Если у «живой» клетки 2 или 3 «живых» соседа, то она остаётся жить. В остальных случаях «живая» клетка умирает: либо от одиночества, либо от перенаселённости.
❤12👍3🤔2