На прошлой неделе у нас был пост с задачей на формулу Байеса.
А сегодня — ещё одна важная формула из теории вероятностей, которая не раз пригодится при решении задач. Кстати, часто нужны обе формулы сразу!
Итак, встречайте: формула полной вероятности (звучит претенциозно, не правда ли?) 😄
Именно она изображена на иллюстрации выше, но пусть вас не пугает её вид. Суть тут довольно простая, разберём на примере.

Пусть у вас есть 3 пары летней обуви, и сегодня вы можете надеть любую из них. Обозначим каждое из трёх событий «надеть пару номер n» как H с соответствующим индексом. У каждого из этих событий — своя вероятность. Например, пусть
P(H₁) = 0.2, P(H₂) = 0.3, P(H₃) = 0.5. События эти несовместны, то есть нельзя надеть две пары сразу, только какую-то одну. А ещё сумма вероятностей равна 1, то есть объединение этих событий даёт всё вероятностное пространство.

У каждой пары — своя вероятность натереть вам ноги! Обозначим событие «натереть ноги» за А. Тогда, например, событие A|H₁ — это вероятность натереть ноги, надев первую пару. Пусть все эти вероятности тоже даны:
P(A|H₁) = 0.1, P(A|H₂) = 0.4, P(A|H₃) = 0.7. Обратите внимание, сумма этих вероятностей уже никому ничего не должна быть равна 1.

Чему же сегодня равна P(A)? Вероятность натереть ноги складывается из вероятностей натирания в каждой из пар, но вероятность надеть каждую из пар — неодинакова, это тоже надо учитывать.

Поэтому P(A) = P(A|H₁)*P(H₁) + P(A|H₂)*P(H₂) + P(A|H₃)*P(H₃).
Мы как бы собрали полную вероятность из отдельных кусочков, учитывая вес (то бишь вероятность) каждого из этих кусочков. Давайте вычислим сумму этих маленьких произведений:
P(A) = 0.1*0.2 + 0.4*0.3 + 0.7*0.5 =
= 0.02 + 0.12 + 0.35 = 0.49.

Вероятность получилась довольно высокая! Основной вклад в этот ответ дала третья пара: она часто натирает, но при этом она явно вам нравится, раз вы выбираете её в 50% случаев. Что ж, любовь зла, но мы такое не одобряем. 😅

А теперь задачка для вас! Подсказка: в ней надо использовать и формулу полной вероятности, и теорему Байеса P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

В городе N можно вызвать такси с помощью приложений X и Y.
Каждое из них имеет в своей базе по 1000 водителей (и эти базы не пересекаются). В приложении X все водители имеют рейтинг 4.5 и выше, а в приложении В таковы только 400 водителей из 1000, остальные же имеют рейтинг от 3.5 до 4.5.
Володя случайно выбирает для заказа одно из двух приложений, и приехавший водитель имеет рейтинг 4.7.
Какова вероятность, что использовалось приложение X?

Решения прячьте под спойлер, а мы опубликуем ответ в пятницу.

Марафон по математике завершился! 🎉

Мы рады поделиться результатами нашего математического марафона. За две недели участники погрузились в темы множеств, комбинаторики и теории вероятностей, прошли интерактивные уроки и участвовали в закрытых эфирах с нашими преподавателями.

Свои силы в марафоне попробовали 296 участников, и мы гордимся каждым из них! Особое признание заслуживают 119 отважных участников, которые выполняли задания каждый день и прошли всю дистанцию до конца! 🙌

Все, кто успешно завершил марафон, получили промокод на скидку на наши курсы по математике и анализу данных. Это награда за их усердие и желание учиться. 🏆

Уверены, что их успехи и достижения вдохновят многих из вас на дальнейшее изучение математики. И, кто знает, возможно, в следующий раз именно вы станете одним из участников! ✨

Приглашаем участников марафона поделиться впечатлениями в комментариях!

Разберём задачу про такси, которую постили в среду.

Для решения понадобятся и теорема Байеса, и формула полной вероятности.
Введём обозначения для событий:
X — Володя использовал для вызова такси приложение X,
Y — Володя использовал для вызова такси приложение Y,
T — приехал водитель с рейтингом 4.5 или выше.

В общем виде теорема Байеса выглядит так:
P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B).
Нам нужно найти вероятность того, что выбрано приложение X, при условии, что приехал водитель с высоким рейтингом. То есть найти
P(X|T) = P(T|X)*P(X) / P(T).

Распишем, чему равны вероятности из правой части.
Вероятность высокого рейтинга при условии выбора первого приложения — стопроцентная, ведь в первом приложении только такие водители и есть. :) Поэтому P(T|X) = 1.
По условию выбора приложения случаен, поэтому вероятность выбора каждого равна 0.5, то есть P(X) = 0.5.

А вот с P(T) ситуация чуть сложнее, она состоит из суммы вероятностей
высокого рейтинга в случае приложения А и в случае приложения В, при этом
вероятность использования каждого из них по 0.5.
Нужна формула полной вероятности:
P(T) = P(T|X)*P(X) + P(T|Y)*P(Y) = 1*0.5 + 0.4*0.5.
Множитель 0.4 появился, так как во втором приложении только 400 водителей из 1000 имеют высокий рейтинг, поэтому
P(T|Y) = 400 / 1000 = 0.4.

Итого:
P(X|T) = P(T|X)*P(X) / P(T) = 1*0.5 / (1*0.5 + 0.4*0.5)= 0.5/0.7 = 5/7.
Ответ: 5/7

Приятных вам поездок!

Число Шеннона

Сегодня мы принесли вам интересный факт про шахматы. А точнее — про число всевозможных шахматных партий. Спойлер: это число такое большое, что превосходит количество атомов во Вселенной! Но давайте по порядку.

В середине XX века американский математик Клод Шеннон разрабатывал компьютерные программы, которые могли бы играть в шахматы. И пришёл к тому, что количество всевозможных партий можно оценить числом 10¹²⁰. Дать компьютеру «просто просчитать» все эти партии не получится — у нас нет даже рядом лежащих мощностей, чтобы просчитать такое за адекватное (или даже не очень адекватное) время.
На самом деле эта оценка достаточно грубая и основана на среднем количестве возможных ходов в каждый момент времени и на средней длительности партии. Но зато число получилось впечатляющее. :)
Подробнее про то, как получить число Шеннона и другие оценки, можно посмотреть в этом видео. Нужны лишь знания базовых правил шахмат и правило произведения из комбинаторики.

А что насчёт количества атомов (или даже частиц) во вселенной? Их, конечно, тоже много, но оценка гораздо скромнее — около 10⁸⁰. Про то, как прикинуть это количество — есть отдельное видео. В нём ещё содержится бонусный кусочек информации: через сколько лет человечество истратит все частицы в обозримой Вселенной, если популяция продолжит расти с текущей скоростью. И это подозрительно скоро. 😅

Кажется, нам нужна новая Вселенная! И более мощные компьютеры.

Сегодня мы принесли вам задачу не на математические знания, а на общую логику и смекалку. Надеемся, вам понравится. 🌈

В стране Облакандии живут волшебные бессмертные единорожки. Однажды в этой стране появился злой волшебник, который стал их ловить и заточать в темницу. Сейчас в ней 777 печальных единорожек.

Волшебник посадил каждого в отдельную пещеру и предложил им колдовскую сделку. Раз в день их будут в случайном порядке по одному приводить в пустую пещеру, где нет ничего, кроме одного маленького светильника-радуги на столе, который единорожке разрешается включить, выключить или ничего с ним не делать. Неизвестно, включена или выключена маленькая радуга изначально, но все знают, в какой день отвели в пещеру первого единорожка.
Так как выбор каждый день случаен, в какой-то может оказаться, что одни единорожки уже были в пещере с маленькой радугой несколько раз, а до других очередь ещё не дошла.
Но гарантируется, что рано или поздно каждый из них побывает в пещере сколько угодно раз.

В любой момент единорожек, приведённый в пещеру с радугой, может объявить, что все единорожки уже побывали в пещере хотя бы по одному разу; если он прав, то всех отпустят прыгать по Облакандии дальше, если нет — оставят в мрачном заключении навсегда. До распределения по одиночным пещерам у единорожек есть возможность договориться между собой, после этого никакой коммуникации между ними не будет. Помогите им разработать стратегию для выхода на свободу!

Пишите свои решения в комментариях под скрытым текстом, разбор опубликуем в пятницу.

Сказ о том, почему 0.(9)=1

Математика — очень логичная наука, даже если иногда кажется, что это не так. Случай с 0.(9)=1 — один из примеров, когда поверить на слово очень тяжело. Но это правда! Здесь между числами действительно стоит равенство, а не «приближённо равно».
Как часто бывает, доказательств тут несколько. Надеемся, что хотя бы одно из них вас убедит. ☺️

Доказательство №1 — через алгоритм перевода
Для начала вспомним, что запись 0.(9) обозначает 0.9999... , то есть бесконечную периодическую дробь.
Мы рассказывали в отдельном посте, как перевести такую бесконечную десятичную дробь в обыкновенную. Воспользуемся этим алгоритмом:
x = 0.(9)
10x = 9.(9)
10x - x = 9.(9) - 0.(9)
9x = 9
x = 1 ⇒ 0.(9)=1

Доказательство №2 — через сумму
1/3 = 0.33333333… = 0.(3)
Тогда можно сказать, что
1 = 3*1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.(3) + 0.(3) + 0.(3) = 0.(9).

Можно подставить и другие периодические дроби, дающие в сумме 1, например
1/11 = 0.0909090909… = 0.(09) и 10/11 = 0.9090909090… = 0.(90).
Тогда
1 = 11/11 = 1/11 + 10/11 = 0.(09) + 0.(90) = 0.(99) = 0.(9).

Доказательство №3 — через геометрическую прогрессию (самое сложное, но самое научное)
Что вообще такое 0.(9)? Это сумма бесконечного количества конечных десятичных дробей:
0.(9) = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + … .

Слагаемые образуют бесконечную геометрическую прогрессию, почитать про это можно, например, тут. Каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего в 10 раз, то есть её коэффициент q равен 0.1.
По формуле суммы для x первых членов геометрической прогрессии
Sₓ = b₁ / (1-q), где b₁ — первый член прогрессии.
Подставим наши значения:
Sₓ = 0.9 / (1-0.1) = 0.9 / 0.9 = 1.

Аналогично можно доказать, что 9.(9) = 10, 99.(9) = 100, а 999.(9) = 1000.

В заключении скажем, что как 1/3 и 0.(3) — это просто два разных способа обозначить одно и то же число, так и 1 и 0.(9) — просто два разных имени для одной и той же математической сущности. И это нормально, ведь все числа — всего лишь придуманные людьми абстракции.

Разберём задачу про радужных единорожек из этого поста. Задача — одна из версий известной задачи о 100 узниках и лампочке. Их довольно много, сложность зависит от исходных условий. Наши — весьма мягкие. 😃

Сначала кажется, что одна лампочка-радуга — это слишком маленький и простой носитель, чтобы хотя бы кто-то мог узнать информацию обо всех единорожках. Но на самом деле даже её будет достаточно, чтобы все единорожки спаслись. Им нужно придерживаться такого алгоритма:

1. Единорожку, которого привели в пещеру с радугой в первый день, будем называть «счётчиком». В своё первое посещение он должен выключить радугу (или не трогать, если она уже выключена), а в уме запомнить число 1.
2. Все остальные единорожки будут называться «наблюдатели». Они не могут выключать радугу. Когда наблюдатель заходит в пещеру, сначала он должен проверить, горит ли радуга. Если горит, то он ничего не делает. Если не горит, то он должен включить её, но только в том случае, если раньше не включал. То есть наблюдатель должен включить радугу лишь один раз, а при последующих заходах в пещеру — просто любоваться ею.
3. Каждый раз, когда счётчик заходит в пещеру, он должен посмотреть, горит ли радуга. Если радуга горит, то этот единорожка выключает её и прибавляет к числу, которое запомнил в прошлый раз, единицу.
4. Когда число, которое помнит счётчик, становится равно 777, он говорит, что все побывали в пещере, и злой волшебник, скрипя зубами, отпускает бедных единорожек на свободу.

А теперь давайте разберемся, как это работает!
Если каждый день выбирается случайный единорожек для похода в пещеру, то может случиться, что кто-то из них дооооолго туда не попадёт, а другие уже побывают несколько раз. Но единорожки бессмертны, а условие гарантировало нам, что все они в какой-то момент окажутся в пещере, так что нужно просто дождаться. Время — не проблема. 😊

Каждый раз после первого, когда «счётчик» заходит в комнату и видит горящую радугу, это значит, что ее кто-то зажёг — ведь когда он уходил в прошлый раз, радуга не горела! Но кто же мог зажечь радугу? Только один из тех, кто раньше этого не делал. Когда счетчик дойдет до числа 777, это будет означать, все остальные 776 единорожек точно побывали в пещере хотя бы по одному разу. А значит, условие злого волшебника выполнено. Да здравствуют единорожки!

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно

Мы уже рассказывали о том, какими бывают системы счисления.
Сегодня поговорим о двух важных и часто используемых: двоичной и десятичной. Название позиционных систем счисления напрямую связано с количеством цифр в них. В двоичной их всего две, 0 и 1. В десятичной — десять: от 0 до 9.

Десятичной обычно пользуемся мы с вами, а вот двоичную предпочитают компьютеры и специалисты по математической логике. Цифрами двоичной системы легко описать состояния физических устройств: например, лампочка либо включена (1), либо выключена (0).

Запись числа в десятичной системе счисления говорит о том, сколько в нём тех или иных степеней десятки. Например, 137 = 1*100 + 3*10 + 7*1 = 1*10² + 3*10¹ + 7*10⁰.
Запись же числа в двоичной системе счисления показывает, какие степени двойки в нём есть, а каких нет. Отсчёт идёт с нулевой степени.
Например, 11 в двоичной системе счисления — это 1*2¹ + 1*2⁰.

Обсудим подробнее сам процесс перевода. Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, нужно посмотреть на него как на сумму степеней двойки. Как это делается, наглядно показываем в этой динамической объяснялке.

Самое главное — не забыть поставить нули на месте отсутствующих степеней. В числе 76, например, наибольшей степенью будет 64 = 2⁶, но дальше есть не все степени.
76 = 64 + 12 = 64 + 8 + 4 = 2⁶ + 2³ +2².
На месте «присутствующих» шестой, третьей и второй степеней будут единицы, а на месте «отсутствующих» пятой, четвёртой, первой и нулевой степеней будут нули.
76 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 1001100.

Для перевода в обратном направлении снова понадобятся степени двойки. Рассмотрим для примера число 111101010 в двоичной системе. Оно девятизначное, значит, в нём могут содержаться степени от восьмой до нулевой.
111101010 = 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =
= 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 2 = 490.

Другой пример: в числе 10000100 восемь знаков, наибольшая степень — седьмая. Также единица стоит в разряде второй степени.
10000100 = 1*2⁷ + 1*2² = 128 + 4 = 132.

Ваша очередь переводить! Переведите в двоичную систему числа 89 и 17, а в десятичную — числа 1001001 и 11101. Ответ как всегда оставляйте под скрытым тестом.

Сегодня хотим рассказать вам про задачу о стабильных браках. Ещё её называют задачей о марьяже.

Несмотря на то, что её классическая формулировка описывает поиск наилучшего супруга/супруги, в реальности эта задача нашла широчайшее применение. Недаром в 2012 за её решение авторов удостоили Нобелевской премии по экономике (хотя решение было опубликовано аж в 1962 году).

С помощью описанного алгоритма ординаторы и интерны находят потенциальные больницы для работы, студенты выбирают школы/колледжи, команды нанимают спортсменов, фирмы — стажёров или работников, интернет-пользователям назначается сервер. А ещё адаптация этого алгоритма помогает находить попутчиков или соседей по квартире.

Итак, пусть есть N мужчин и N женщин, все гетеросексуальны (иначе нужен другой алгоритм). Пусть у всех есть свой список предпочтений, то есть они могут упорядочить особей противоположного пола в порядке убывания привлекательности вот лично для себя.
Требуется составить устойчивые пары, из которых никто не хочет сбежать с кем-то другим. То есть не должно быть ситуаций, когда вам нравится чужая жена больше, чем своя, и при этом чужая жена тоже предпочитает вас своему мужу.

И было доказано, что алгоритм нахождения устойчивых пар существует! Правда счастья он никому не обещает.
Но зато теорема утверждает, что решение есть для любого N, оно находится за конечное (хотя и довольно большое) количество шагов, и что оно подбирает наилучшую пару для «активной стороны» — то есть для того пола, который делает предложение.

Наглядно данный алгоритм описан в этом видео, а в дополнении к нему поясняют доказательство и рассказывают про применения алгоритма в реальности. Советуем посмотреть оба видео. 😊

И пусть любой выбор в вашей жизни будет не только оптимальным, но и счастливым! 🥂

Модульная арифметика

Любому школьнику известно, что числа 37 и 23 не равны. Но, если в утверждение «числа 23 и 37 равны» добавить два слова и ещё одно число, то утверждение станет верным. Что же это за волшебные слова?

Сегодня речь пойдёт про сравнение чисел по модулю другого числа. Если мы говорим, что число a сравнимо с числом b по модулю числа c, то это значит, что у чисел a и b одинаковые остатки при делении на c. Ещё говорят, что числа a и b равны по модулю c.
Естественно, рассуждать об этом можно только в контексте целых чисел, иначе смысл определения теряется. Записывают сравнимость так:
a ≡ b (mod c).
Ещё можно понимать сравнение по модулю таким образом: если разность чисел a и b нацело делится на число c, то эти числа сравнимы (равны) по модулю с. То же самое символами:
(a-b) ⋮ с <=> a ≡ b (mod c).

То есть чтобы фраза «числа 23 и 37 равны» стала верной, надо добавить «по модулю 2». Также подойдут добавки «по модулю 7» и «по модулю 14».

Разберём, например, такое утверждение: 36 ≡ 91 (mod 11).
Здесь сказано, что числа 36 и 91 сравнимы по модулю 11, то есть имеют одинаковые остатки при делении на 11. Проверим: 36 = 11*3 + 3, а 91 = 11*8 + 3. Остатки совпали!
Кстати, оба эти числа сравнимы с 3 по модулю 11, то есть с тем самым остатком от деления на 11.

Ещё пример: верно, что 29 ≡ 13 (mod 8), то есть числа 29 и 13 равны по модулю 8, ведь (29-13)⋮8. Более того, 29 ≡ 13 ≡ 5 (mod 8), ведь 5 — это и есть остаток от деления каждого из этих чисел на 8.

Сравнения по модулю имеют свойства, которые очень похожи на свойства обычных операций. Вот некоторые из них:
1) Если известно, что два числа сравнимы по модулю третьего, то их натуральные степени также будут сравнимы. То есть если a ≡ b (mod c), то для любого натурального k верно, что aᵏ ≡ bᵏ (mod c).
2) Сравнения можно складывать/вычитать и перемножать друг с другом, но только в том случае, если они берутся по одному модулю — а вот сравнения по разным модулям нельзя соединять, это будет неверно.
То есть если a ≡ b (mod c), n ≡ m (mod c), то
a + n ≡ b + m (mod c),
a*n ≡ b*m (mod c).

Большинство стандартных операций со сравнениями очень просто и привычно проделывать из-за схожести с обычными вычислениями. Но одна из упомянутых операций обладает интересным свойством! Дело в том, что возвести число в степень по модулю несложно — надо просто возвести число в нужную степень и найти остаток от деления (или искать остаток от деления на каждом шаге, так делать обычно проще).
Но вот выполнить обратную операцию, то есть найти «корень» нужной степени, гораздо труднее. Мало того, что этот процесс часто сводится к длинному перебору — иногда случается, что нужного нам корня вообще не существует. Из-за этих сложностей, принцип взятия остатка числа по какому-то модулю используется в криптографии: например, алгоритм (или, как его еще называют, протокол) Диффи-Хеллмана построен именно на том факте, что зашифровать одно число при помощи другого легко, а вот чтобы расшифровать не зная «код», понадобится много времени.

А теперь задачи для вас! Решения, как всегда, ждём под скрытым текстом.
1) С чем сравнимо число 1000*1001*1002*1003 по модулю 999?
2) С чем сравнимо 4²⁰²³ по модулю 3?
В обоих случаях требуются наименьшие возможные ответы. Они должны быть меньше, чем то число, по чьему модулю мы работаем.

Сегодня у нас злободневная задачка. :)

Кристине нужно купить билет на самолёт из Стамбула в Берлин.
На российском сайте подходящий билет стоит 17200 рублей, но при оплате её любимой банковской картой 6% вернутся в виде кэшбэка. Этот же билет можно купить на зарубежном сайте, там он стоит 165 евро. В момент, когда Кристина смотрит билеты, 1 евро = 91.8 рублей.

Однако для покупки на зарубежном сайте придётся использовать зарубежную карточку. У Кристины есть турецкая дебетовая, но на неё нужно перевести деньги. Сложность в том, что перевести их можно только на лировый счёт, а потом сконвертировать эти лиры в евро, и оплачивать билеты уже с еврового счёта. При пересылке рублей на лировый счёт курс будет такой: 1 лира = 3.7 рубля. А купить 1 евро турецкий банк предлагает за 26.4 лиры. А ещё зарубежный билетный сайт берёт 1% процент комиссии при оплате дебетовыми картами.

Какой вариант покупки билета выгоднее для Кристины? Сколько она потратит в каждом из случаев (в рублях)?

Пишите ответы в комментариях скрытм текстом, а позже мы опубликуем разбор.

Разберём вчерашнюю задачу про покупку авиабилета.
Большинство из вас легко с ней справились!

Стоимость билета в рублях с учётом кэшбека получается
17200*0.94 = 16168 рублей.
Второй вариант с евро в теории дешевле, ведь 165*91.8 = 15147 рублей. Но по факту всё было несколько иначе. :)

Во-первых, из-за комиссии сайта, стоимость в евро составит 165*1.01=166.65.
Для этого потребуется 166.65*26.4 лир, а чтобы получить рубли, умножаем ещё на 3.7.
Итого: 166.65*26.4*3.7 ≈ 16278.4. Это, конечно, меньше, чем 17200, но если учитывать кэшбек, то данный вариант становится менее выгодным, чем покупка на российском сайте.

Как вам такие задачи из жизни?

#объясняем_школьное
Сегодня мы хотим предложить вам решить задачку про скорость размножения бактерий. Для описания многих биологических и экономических моделей нужны знания о показательных функциях. А где степени с показателями — там и логарифмы! И именно благодаря логарифмам и их свойствам мы сможем получить красивый ответ.

Что такое этот ваш логарифм, мы уже обсуждали ранее, можно освежить определение в памяти в первом посте. А сегодня — о свойствах.

Первое правило клуба любителей логарифмов: логарифм — это степень. Если держать в голове это утверждение и свойства степеней, то большая часть понимания уже будет с вами. Чем же так прекрасны логарифмы?

1) Сумма логарифмов равна логарифму произведения
Эта формула есть на изображении выше. Чтобы её доказать — вспомним свойство степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, то есть aᵏ × aᵗ = aᵏ⁺ᵗ. Так, например, 2³ × 2² = 2⁵ = 32.
Логарифм — это степень, значит, показатели можно заменить логарифмами.

Пусть aᵏ = m, aᵗ = n, тогда k = logₐm, t = logₐn.
Получаем, что aᵏ⁺ᵗ = aᵏ × aᵗ = a^{logₐm} × a^{logₐn} = m × n = a^{logₐ(m*n)}.
Значит, показатели равны: k + t = logₐ(m*n), то есть logₐm + logₐn = logₐ(m*n).

С числами это свойство выглядит так:
log₂8 + log₂4 = log₂(8*4) = log₂32 = 5.

2) Разность логарифмов равна логарифму частного
Формула тоже есть на картинке выше. Это ещё одно свойство степени, переведённое на язык логарифмов.

Как было у степеней: aᵏ / aᵐ = aᵏ⁻ᵐ.
Снова обозначим aᵏ = m, aᵗ = n, тогда k = logₐm, t = logₐn.
Как будет с логарифмами: aᵏ⁻ᵗ = aᵏ / aᵗ = a^{logₐm} / a^{logₐn} = m/n = a^{logₐ(m/n)}.
Отсюда и показатели равны:
k - t = logₐm - logₐn = logₐ(m/n).

Числовая версия: log₂8 - log₂4 = log₂(8/4) = log₂2 = 1.

Оба эти свойства работают и в обратную сторону, только там будут появляться модули:
logₐ(m*n) = logₐ|m| + logₐ|n|.
logₐ(m/n) = logₐ|m| - logₐ|n|.

Давайте же применим эти знания к реальной задаче!

В лаборатории выводят новые виды бактерий.
Известно, что они размножаются по закону типа
y = a*bⁿ, где
y — итоговое количество бактерий,
a — их стартовое количество,
b — коэффициент размножения (во сколько раз их количество возрастает за одну минуту),
n — количество прошедших минут.

Эксперимент состоит из двух стадий: сначала наблюдают за одной группой бактерий, затем за другой. В обеих группах на момент начала наблюдений было по 4 бактерии, скорость размножения у них одинаковая.
Сначала достают из холодильника чашку с первой группой, через минуту бактерий в ней становится больше в 10 раз. Как только их становится 2000, исследователи достают чашку со второй группой бактерий. Эксперимент заканчивается, когда во второй чашке насчитывается 8000 бактерий.
Сколько минут длился весь эксперимент?

Ваши ответы и решения как всегда ждём в комментариях под скрытым текстом.

Привет! Выкладываем решение задачи про бактерии из нашего пятничного поста.

Пусть первая стадия эксперимента длится p минут, вторая — d минут. Составим уравнения:
4*10ᵖ = 2000 и 4*10ᵈ = 8000.
Упростим их, поделив всё на 4, получим
10ᵖ = 500 и 10ᵈ = 2000.

Числа p и d — не целые и даже не рациональные. По определению логарифма имеем:
p = log₁₀500 и d = log₁₀2000.
У логарифмов по основанию 10 есть сокращённое обозначение lg.
Значит, p = lg500 и d = lg2000.

По свойству суммы логарифмов
lg500 + lg2000 = lg(500*2000) = lg1000000 = lg10⁶ = 6.
Значит, весь эксперимент занимает 6 минут.

Здесь примечательно, что каждое слагаемое по отдельности — иррациональное число, но при этом сумма — целая. :)
И нам легко удалось её вычислить именно благодаря свойствам логарифмов.

Лето, белые ночи — самое время для задачки о прогулке по Питеру!

Макс приехал в Санкт-Петербург и гуляет по Васильевскому острову. Фишка в том, что большая часть острова — это сетка из трёх параллельных проспектов и перпендикулярных им линий. Макс хочет дойти от причалов (точка А) до дома друга (точка В), не проходя по одной и той же улице дважды и не разворачиваясь назад.
Ему нужно пройти шесть кварталов вперёд и два вправо. Можно сначала повернуть, потом идти вперёд. Можно сначала пройти вперёд, а потом уже поворачивать. А можно идти вперёд, потом повернуть, потом снова идти вперёд… в общем, вариантов много! Но сколько именно?
Вычислите общее количество способов добраться из точки А в точку B.
Ждём ваши ответы под скрытым текстом.

А завтра мы опубликуем решение и расскажем про связь этой задачи с формулами сокращённого умножения. :)

Две верхние строчки соответствуют коэффициентам для (a+b)⁰ и (a+b)¹. Нумеруются строки в треугольнике с нулевой, чтобы номер совпадал со степенью, в которую возводили двучлен.
Как же получить следующую строку? По краям пишем единички, а любое значение в середине равно сумме двух чисел над ним. Подвигать ползунок и посмотреть на этот процесс можно тут.
У треугольника Паскаля целый вагон великолепных свойств, обязательно ещё вернёмся к нему.

Итак, зная коэффициенты в седьмой строке, можно получить восьмую:
1 8 28 56 70 56 28 8 1.
И именно в восьмой строке скрыт ответ на исходную задачу: попасть в нужную точку B можно с перекрёстков со значениями 7 и 21, складываем их и получаем 28. Конечно, получить 28 можно было и не выписывая весь треугольник. И даже не зная о его существовании. :)

В каждой ситуации выбирайте свой способ решения. Наиболе оптимальным здесь является комбинаторный — о нём расскажем в другой раз!

Однако если задача стоит в перемножении многочленов — треугольник Паскаля просто незаменим! Для тренировки предланаем вам с его помощью вычислить разложение (a+b)⁹ и (a+b)¹⁰.
Ответы, как всегда, оставляйте под скрытым текстом.

Привет!
Сегодня мы принесли вам задачку про котиков. Для её решения потребуются знания некоторых специальных терминов.
Повод такой: у нас вышел бесплатный курс «Основы статистики и A/B-тестирования», задача как раз оттуда. Предлагаем вам попробовать свои силы!
___

Кошка Кнопа управляет онлайн-магазином товаров для животных «Кнопа и партнёры». Сейчас магазин тестирует новый способ доставки: товары привозят не люди, а коты (когда коты нанимают котов, это не считается эксплуатацией). Ожидается, что новый способ доставки повысит конверсию* из захода в приложение в заказ.
Магазин провёл А/В-тест, его результаты вы найдёте в комментариях к этому посту. Теперь надо определить, действительно ли способ доставки влияет на конверсию?

Чтобы помочь Кнопе ответить на этот вопрос, рассчитайте значение конверсии из захода в приложение в оформление заказа для контрольной и тестовой групп, а затем определите статистическую значимость разницы конверсий. Для этого воспользуйтесь одним из онлайн-калькуляторов — например, этим.
Кнопа уточняет, что она использует уровень значимости, равный 0.05.
Ваши ответы она будет ждать в комментариях под скрытым текстом, а своё решение опубликует во вторник.

*Конверсия (англ. Conversion Rate, CR) — процент пользователей, совершивших целевое действие.
___

Кстати, сегодняшнее изображение котика-курьера мы сгенирировали с помощью нейросети. Делитесь своими вариантами (можно настоящими, можно цифровыми), устроим выставку!

Привет! В пятницу мы выкладывали задачку про котиков-курьеров, сегодня публикуем решение.

По условию известно, что в контрольной группе в приложение зашли 50 000 пользователей, а оформили заказ лишь 2370 пользователей. Рассчитаем конверсию:
(2370 / 50 000) * 100% ≈ 4.7%.
В тестовой группе в приложение зашли 50 000 пользователей, а оформили заказ 2550. Снова рассчитаем конверсию:
(2550 / 50 000) * 100% = 5.1%.

Мы видим, что разница есть. Но является ли она статистически надёжной? На такие вопросы и отвечает статистика.
Она позволяет рассчитать специальный критерий, который будет учитывать погрешность в данных. Если бы разницы между конверсиями не было, то значение критерия было бы очень близко к нулю. А p-value показывает вероятность получить такое (как мы получили) или более экстремальное значение критерия при условии, что наше предложение о равенстве конверсий верно.

Если в этой задаче применить корректный статистический тест и воспользоваться калькулятором, то можно получить значение p-value ≈ 0.009, что ниже выбранного уровня значимости. Значит, это статистически значимый результат. То есть разница конверсий с учетом погрешности данных — существенна.
Следовательно, можно утверждать, что коты-курьеры действительно влияют на результат!

Чтобы узнать, как работают статистические тесты, как считаются результаты и что означает этот ваш p-value — проходите новый бесплатный курс «Основы статистики и AB тестирования».  

Скрин с решением кошки Кнопы — в комментариях. ☺️