Вот и подошла к концу короткая рабочая неделя.
В честь этого мы принесли вам торт! Или, скорее, кекс.

Точнее, видео с алгоритмом его справедливой делёжки на троих человек. Алгоритм несложный, можно брать и применять в жизни, хотя в комментариях к видео люди шутят, что если дейтвительно начать, все уйдут и торт достанется вам целиком… Что ж, тоже неплохо!

В общем случае для n человек алгоритм тоже есть, но максимальное количество разрезов будет ну очень большим. Но приятно, что решение есть. :)

Подобные задачи на построение стратегий и алгоритмов относятся к теории игр. Это область математики на стыке с экономикой, у неё есть масса очень полезных практических приложений. Про них обязательно расскажем в будущих постах!

Парадокс двух конвертов

Сегодня поговорим об одной из классических задач, в которых математика помогает принять решение. Или не очень помогает. 😅

Есть два конверта с деньгами. Известно, что в одном из них в два раза большая сумма, чем в другом. Но неизвестно, какой из них какой. Конверты непрозрачные и по весу тоже ничего угадать нельзя.

Вы открываете один из конвертов, в нём 1000 рублей. Значит, во втором либо 500, либо 2000.
После этого вам делают предложение: вы можете забрать эту тысячу прямо сейчас или сменить конверт на другой. Но тогда уже всё, отправляетесь домой со вторым, что бы там ни оказалось.

Что же здесь выгоднее: не менять исходный конверт или всё же рискнуть и сменить? Что на этот счёт говорит математика?
В реальной жизни люди принимают решения исходя из того, насколько они вообще азартны и является ли первая сумма достаточно большой. Если в первом конверте окажется миллион — то, скорее всего, вы заберёте его, потому что это уже отлиычный выигрыш. Но если там всего 100 рублей, то почему бы не рискнуть? Разница между 50, 100 и 200 психологически не очень большая.

Но ведь математика бессердечна, у неё должен быть один ответ для любых сумм. Есть версия, что ответ этот такой: всегда меняйте конверт на второй.

Почему так? Если в первом конверте x рублей, то содержимое второго конверта описывается случайной величиной, которая может принимать лишь два значения: 0.5x или 2x. И вероятность каждого из них равна 0.5. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно 0.5x*0.5 + 2x*0.5 = 0.25x + x = 1.25x. Это больше, чем исходный x.
Значит, если в первом конверте было 1000 рублей, то во втором конверте в среднем будет 1250 рублей, что больше. А значит, этот вариант выигрышнее, надо брать!

На самом деле — нет. 👀
Потому что если вдруг вам дадут возможность сменить конверт сколько угодно раз, то вы как будто всегда должны это делать, ведь это обещает прирост в 25%. И снова, и снова, и конца этому не видно…

Или вот пусть есть два человека, и каждому из них дали по конверту из исходной задачи. Стоит ли им оставлять свои конверты или обменяться ими? Стратегия гласит, что каждому из них выгоднее совершить обмен. Однако обмен не может быть выгоден сразу обоим игрокам, это противоречит здравому смыслу. Да что, чёрт побери, не так с этой задачей?! Поверьте, очень многое. :))) Проблем там в итоге больше, чем пользы.

Лучшее (хоть и очень эмоциональное) видео на эту тему можно посмотреть здесь.

Спойлер решения: всё тлен, разницы нет, можно не менять конверт. Дебаты всё ещё ведутся, но они скорее о том, почему всё плохо, и считать матожидание тут вообще некорректно.

В общем, это был плохой парадокс. А скоро расскажем про хороший, где теория вероятностей работает нормально и даёт однозначный ответ.

Привет еще раз! 📣

Напоминаем, что 15 мая стартует наш бесплатный двухнедельный марафон по математике.
За две недели мы пройдём темы множеств, комбинаторику и теорию вероятностей. Задачи, которые мы разберём, помогут вам в освоении цифровых профессий. Вам не потребуются специальные знания для участия — главное, ваше желание развиваться и открытость новому. 🥳

Для участия в марафоне понадобится примерно 1.5 часа ежедневно. Это отличная возможность интенсивно погрузиться в тему с головой — вас ждёт поддержка наших преподавателей и эфиры с разборами задач, а ещё сообщество других участников!

Подробные условия — в этом посте.
А вот форма для записи.

Ждём вас! 😊
ПС: Если вы уже подали заявку, то вас добавят в специальный чат завтра, 12 мая.

Мы обещали рассказать про логарифмы в рубрике #объясняем_школьное, и вот этот день настал!

Начнём немножко издалека. Квадратными, кубическими и прочими уравнениями никого не удивить. Например, бывает нужно решить что-то такое: x⁵ = 20.
Но х может быть не только основанием степени, но и показателем. Такие уравнения закономерно называют показательными, в простейшем виде они выглядят примерно так: 2^x=16. Они встречаются повсеместно, особенно много их, например, в биологии и ядерной физике.

И вопрос к такому уравнению звучит как «в какую степень нужно возвести число слева, чтобы получить из него число справа».
Решим же его! Обычно рецепт прост: представить обе части как степени с одинаковым основанием. Так как 16 — это 2^4, правую часть можно перезаписать, получим 2^x=2^4. Значит, x=4.

Проблема в том, что число справа не обязательно будет таким классным. Например, посмотрим на 2^x=10.
Уравнение есть, а рационального решения у него нет. Но иррациональное — есть, просто работать с ним неудобно: это же бесконечная непериодическая десятичная дробь. Значит, нужен математический объект, который позволит это решение как-то коротко назвать и записать.

Собственно, логарифм — это и есть нужный нам математический объект.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается как logₐb. То есть для уравнения вида a^x=b логарифм — это тот самый показатель x, превращатель числа из левой части (a) в число из правой части (b).

В записи x=logₐb числа a и b должны быть строго положительным, при этом основание a ещё и не равно 1 (так как единичка в любой степени остаётся единичкой, ничего другого из неё всё равно не получится).

Равенство 2⁴=16 можно также воспринимать как «логарифм 16 по основанию 2 равен 4», то есть log₂16=4. У этого логарифма хорошее целое значение — четвёрка. Ну а логарифм 10 по основанию 2 — это иррациональное число, поэтому его так и оставляют: log₂10. Именно это число будет решением уравнения 2^x=10 (потому что превращает 2 в 10).

Значение логарифма не обязательно будет целым или положительным, ведь и показатель степени тоже не всегда красивый. Вычислим, например, log₃(1/9). Чтобы получить 1/9, тройку нужно возвести в степень -2, значит, log₃(1/9)=-2.

А теперь следите за руками! Так как логарифм — это показатель степени, то его можно в этот самый показатель и записать: a^{logₐb}=b. Полученное выражение называют основным логарифмическим тождеством, оно также есть внизу иллюстрации. Степень logₐb обещает превратить число a в число b — так и происходит!

А вот примерчики для вас: вычислите log₄64, log₈₁9, log₅(1/125).
Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

В посте с вашими запросами было несколько как раз про логарифмы. Надеемся, что смогли прояснить картину. :)
Если нет — то пишите в комменты, что ещё рассказать про логарифмы.

Короткое объявление для участников марафона по математике: если вас ещё не добавили в группу — проверьте почту, которую оставляли при регистрации. Не всех удалось добавить через телеграм, поэтому некоторым участникам разослали приглашения на почту.

Продолжим разбираться с векторами.
В прошлый раз мы говорили о том, что вектор — это не только направленный отрезок, но и список каких-то числовых данных. Предположим, вы решили вести бюджет и записывать траты на еду и проезд. Каждый вектор будет отвечать за конкретный день недели, а каждая его координата будет отдельной категорией, например, «транспорт», «кафе», «продукты».

За неделю вы получите 7 векторов:
Mo=(150, 200, 700),
Tu=(0, 0, 0),
We=(600, 400, 120),
Th=(100, 0, 2000),
Fr=(200, 950, 300),
Sa=(1000, 1600, 0),
Su=(0, 0, 0).

Первая операция, которая позволит подвести итоги недели, — это сложение векторов. Оно выполняется покоординатно: первой координатой вектора суммы будет сумма первых координат, второй координатой — сумма вторых координат каждого дня, и так далее. Сложив все векторы, мы получим новый вектор Week₁=(2050, 3150, 3120). Его координаты наглядно отражают суммарные траты в каждой категории.

С точки зрения геометрии всё это тоже имеет смысл. Чтобы сложить векторы геометрически, нужно совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго — с началом третьего и так по цепочке дойти до конца. Начало вектора суммы совпадёт с началом самого первого вектора, а конец — с концом последнего. Это наглядно продемонстрирует нам, с чего мы начали и где закончили.

Чтобы поговорить о вычитании, нам нужно понятие противоположного вектора: у него будет такая же длина, как у исходного, но строго противоположное направление. Для вектора We=(600, 400, 120) противоположным будет вектор
-We=(-600, -400, -120). У всех координат поменяли знак!

Тогда можно рассматривать разность векторов как сумму первого и развёрнутого второго.
Например, вектор Mo-We=(-450, -200, 580) покажет, насколько траты понедельника превышают траты среды. В нашем случае понедельник точно прошёл экономнее!

Зная траты за неделю, можно приблизительно спрогнозировать траты по этим категориям на месяц. В месяце примерно 4.3 недели, значит, умножив траты на 4.3, можно получить какое-то представление о расходах в месяц. Это третья операция с векторами — умножение на скаляр, то есть умножение на число. Для получения результата нужно умножить скаляр на каждую координату по отдельности. Наш прогноз равен Month₁=4.3*Week₁=(4.3*2050, 4.3*3150, 4.3*3120)=(8815, 13545, 13416).

В геометрическом смысле умножение на скаляр будет либо растягивать, либо сжимать вектор, в зависимости от значения. При отрицательном скаляре вектор ещё и сменит направление.

При умножении вектора на скаляр получается новый вектор. А при умножении векторов получится, как ни странно, скаляр. Но об этом поговорим в следующий раз!

А в комментариях лежит бонусный пример, где векторы применяются к котику. :)))

Сегодня поговорим о том, как теория вероятностей может помочь в реальной жизни. Речь о так называемом парадоксе Монти Холла. Эта задача названа в честь ведущего шоу Let’s make a deal. Она похожа на парадокс двух конвертов, о котором мы писали ранее, только там всё было странно, а здесь всё нормально. 😄

Представьте: вы пришли на тв-игру, где нужно выбрать одну из трех дверей. За двумя находятся козы, а за третьей — ааавтомобиль. Вы не знаете, за какой дверью что, но ведущий знает точно. Вы выбираете одну дверь, но до её открытия ведущий открывает одну из дверей с козой. Затем он предлагает вам изменить свой выбор на другую закрытую дверь — если захотите, конечно. Как нужно действовать, чтобы с наибольшей вероятностью получить машину?

На первый взгляд, выбор двери не влияет на исход игры: как только одна дверь с козой открыта, вероятность победы становится равна 1/2, и тогда нет никакой стратегии! Как будто исходная дверь и оставшаяся дают равные шансы на победу. Но мы бы не писали пост, будь там всё так просто.
И действительно, когда ведущий открывает одну из дверей с козой, он даёт вам дополнительную информацию. То есть решение задачи не начинается с нуля, а продолжается — поэтому вероятности будут распределены иначе.

Объясним неформально.
Если вы сразу выбрали нужную дверь (вероятность этого всего 1/3), то Монти просто откроет вам любую из двух других. В этом случае менять дверь невыгодно, но вы об этом не знаете. :)
А вот если вы сначала не угадали (вероятность этого уже 2/3), то Монти откроет вам ту из двух, где машины нет. И тогда выгоднее поменять дверь. Но, опять же, вы об этом не знаете. Но видно, что второй вариант более вероятен в принципе, ведь не-угадать сразу — более вероятно, чем угадать.
Значит, именно стратегии для второго случая стоит придерживаться — и ваши шансы на выигрыш увеличатся.
Больше об этом парадоксе можно почитать на Википедии, там же есть отсылка к другой похожей задаче.

Но, на самом деле, это не парадокс в классическом понимании — просто ответ противоречит интуиции!

Все про коронацию — и мы про коронацию. :)

Вот вы, возможно, не знали, но с точки зрения математики, и Кейт Миддлтон, и Меган Маркл — королевских кровей.
Да и вы кстати тоже! У всех нас есть общие предки — и в сегодняшнем видео объясняется алгоритм, с помощью которого можно найти самого близкого общего предка для любой группы ныне живущих людей. И там обязательно найдутся царские особы.

Желаем вам королевских выходных! 😎

Если мы посмотрим на историю человечества, то увидим, что в разные периоды люди по-разному записывали числа.

Все знают, что числа 12345 и 54321 разные: они состоят из одинакового набора цифр, но порядок записи этих цифр очень сильно влияет на то, каким будет число. Это кажется нам логичным и естественным, но так было далеко не всегда. А как ещё можно? Сегодня поговорим о системах счисления и выясним ответ на этот вопрос.

Разберемся с терминологией:
Система счисления — это набор правил, по которым цифры собираются в число. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными (бывают и другие, но сегодня о них не будем).

В позиционных системах счисления порядок записи цифр (то есть их позиция) влияет на результат. Например, в привычной нам десятичной системе номер цифры означает степень числа 10, на которую эта цифра умножается. Нумеруем цифры мы справа налево, при этом начинаем с номера 0. То есть, число 12345 — это сокращенная запись суммы
5*10⁰ + 4*10¹ + 3*10² + 2*10³ + 1*10⁴ или
5*1 + 4*10 + 3*100 + 2*1000 + 1*10000.

В непозиционных системах порядок записи цифр не влияет на результат, значения цифр просто складываются. Самая простая непозиционная система счисления возникла очень давно, когда торговцам нужно было считать количество проданного. Во время продажи за каждый товар одного вида (корова, мешок яблок или что угодно еще) на специальной веревочке завязывался узелок — и количество узелков в итоге равнялось количеству единиц проданного товара. Такая система счисления, как можно догадаться, получила название «узелковая». Чтобы выразить ее математически, можно договориться, что числа могут состоять только из единиц (без десяток, сотен, дюжин и чего-то ещё). Тогда количество единиц и равняется самому числу.

В этой системе счисления 11 — это два, 111 — это три, 11 + 111 = 11111 (два плюс три равно пяти) и так далее. Можно заметить, что этот способ записи чисел не очень удобен: занимает много места и быстро отличить 1111111111 от 111111111111 «на глаз» уже непросто.
Поэтому для больших чисел стали придумывать отдельные символы и использовать принцип сложения. Например, в древнеегипетской системе символ | означал единичку, а символ ⋂ — десять. Число 13 можно было записать и как ⋂|||, и как |||⋂. Это сильно сокращает запись, ведь теперь для записи нам нужно всего 4 символа вместо 13 палочек. :) На этой идее построены все древние непозиционные системы счисления, отличаются лишь обозначения.

А вот римская система уже не является чисто непозиционной, ведь там XI и IX — это уже разные числа, зато это ещё экономнее, ведь запись IX короче, чем VIIII.
Но и тут возникают проблемы: мы можем придумать 5 новых цифр для больших чисел, можем придумать 10, но делать так бесконечно не выйдет, и, чтобы записать число «десять тысяч» нам опять придется писать многабукав много букв: MMMMMMMMMM.

Действительно, экономность и наглядность — не сильные стороны таких способов записи чисел. Но они были удобны для простейшего бытового счета, а их изучение заставляет ценить привычный нам способ обозначения чисел: позиционные системы счисления.

Теорема Байеса

Жизнь не всегда непредсказуема. Сложно сказать, пойдет ли завтра дождь, вырастет ли стоимость портфеля на бирже, отведаете ли вкусный ужин в ресторане, в котором никогда не были. В таких случаях мы часто прикидываем шансы событий:
— кажется, завтра будет дождь, ведь он шёл всю последнюю неделю;
— акции дорожали последние три дня, я рассчитываю и сегодня увидеть рост;
— мои друзья остались довольны едой в том ресторане, поэтому мне там точно понравится.

А замечали, как мы адаптируем наши оценки на основе новых данных? За день до долгожданного похода в ресторан, вы прочитали о нём разгромную рецензию от ресторанного критика. Как это повлияет на вероятность вкусно покушать в этом месте?

Математик Томас Байес не просто подметил, как люди оценивают шансы событий и корректируют их, но и формализовал эти мысли в целое направление в статистике. Мы обсудим ключевую теорему этого направления, формулу Байеса, которая объясняет с точки зрения математики, как обновляются наши представления о вероятностях на основе новой информации. Это одна из важнейших теорем в терии вероятностей!
Спойлер: там фигурирует условная вероятность! Часто она дана в задаче, но если нет, то вычислить её можно по определению:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B), эта формула есть на иллюстрации ниже.
Она обозначает вероятность события А, при условии, что произошло событие B.

А теперь теорема Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

Поясним её, обратившись к примеру с рестораном. Для наглядности заменим абстрактные события A и B на рассматриваемые:
P(будет вкусно|негативная рецензия) = (P(негативная рецензия|будет вкусно) / P(негативная рецензия)) * P(будет вкусно).

По формуле уже можно заметить, что изначальная вероятность P(будет вкусно) превращается в вероятность при условии негативной рецензии P(будет вкусно|негативная рецензия), и делает она это с помощью домножения на некоторый дробный коэффициент. Этот коэффициент и отражает обновление нашей исходной вероятности.

Предположим, на основании отзывов друзей у вас сложились некоторые убеждения насчёт качества кухни этого ресторана. Вы уверены в том, что еда понравится с вероятностью P(будет вкусно) = 80%.
И вот вы встречаете негативную рецензию ресторанного критика, к мнению которого прислушиваетесь, и уже не так уверены в кухне. Вы вспоминаете, что на 10% ресторанов, где вам нравится кухня, критик оставил негативную рецензию.
А в целом, у него 40% всех рецензий — негативные.
Это и есть искомые числитель и знаменатель в нашем коэффициенте! Когда мы получили информацию о том, что вышла негативная рецензия, коэффициент корректирует наши планы вкусно покушать: они изменятся в (10% / 40%) раз или попросту станут в 4 раза ниже. Сопоставим наши размышления с формулой Байеса:
P(будет вкусно|негативная рецензия) = (0.1 / 0.4)*0.8 = 0.2.

Вот так можно уточнять вероятность событий с помощью новых данных! Нужно только аккуратно определить, чему равен каждый элемент формулы.

А теперь задачка для вас!
Панк-группа записывает новый трек, и сегодня на очереди вокал. Обычно вокалист фальшивит на 26% всех дублей, но накануне вечером он громко спорил про анархию в шумном клубе. Это могло повлиять на его голос! Известно, что каждый третий вечер вокалист проводит за жаркими дискуссиями про анархию и что 70% всех случаев фальши — как раз из-за вечерних споров накануне.
Какова вероятность фальши сегодня, если вчера был как раз такой вечер?

Разберём вчерашнюю задачу про вокалиста панк-группы.
В ней применяется формула Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

Определим наши события и их вероятности.
А — вокалист фальшивит при записи,
B — вечером накануне вокалист громко спорил про анархию.
Тогда найти нам нужно P(A|B) — вероятность фальши при условии, что вчера вечером он громко спорил.

Для этого нам потребуются три другие вероятности.
P(A) — вероятность того, что вокалист в принципе фальшивит, она по условию равна 26% или 0.26.
Для любого случайного дня зададим P(B) — вероятность того, что вокалист громко спорил накануне. Известно, что он проводит за этим занятием каждый третий вечер, значит, вероятность равна 1/3.
И самое тонкое: P(B|A) — вероятность споров накануне, при условии, что сейчас вокалист фальшивит. Она по условию равна 0.7, хотя формулировка там чуть другая: «Известно, что 70% всех случаев фальши — как раз из-за вечерних споров накануне». То есть дан факт фальши (она — уже произошедшее условие, поэтому пишется справа от вертикальной черты), и вероятность вчерашних споров при условии сегодняшней фальши — те самые 70% или 0.7.

Подставим всё в формулу:
P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A) = (0.7 / (1/3)) * P(0.26) = 0.546 или 54.6%.
Что выше, чем обычная вероятность фальши этого вокалиста.
Ответ вполне закономерный: если громко спорить вечером, петь на следующий день будет тяжелее. 😆

Желаем вам хороших выходных без последствий для голоса!

Лето уже совсем близко, поэтому сегодняшнюю тему будем разбирать на примере с мороженным. У моря. Потому что ну очень хочется!

Вы наверняка слышали про математика Джона Нэша, а может даже смотрели фильм «Игры разума». Нэш — лауреат нобелевской премии по экономике и премии Абеля (её неофициально называют «Нобелевской премией по математике»). Результаты его работ широко используются в экономике, а основополагающим в его теории является понятие равновесия Нэша.

Рассказать о равновесии Нэша можно довольно просто!
Представим, что на пляже есть два продавца мороженого: Алиса и Боря. Оба устанавливают цену мороженого в 50 рублей и не меняют её, но их ларьки находятся на приличном расстоянии. Ларек Алисы расположен на одном конце пляжа, ближе ко входу, а ларек Бори — на другом конце, ближе к воде.

Будем считать, что ларьки одинаково привлекательны с точки зрения сервиса. Тогда покупатели просто будут выбирать мороженое в ближайшем для них ларьке. Таким образом, люди, находящиеся ближе к входу пляжа, склонятся к покупке мороженого у Алисы, а те, кто находится ближе к воде, выберут мороженое у Бори.

Допустим, Боря переставит свой ларёк на середину пути от входа к воде. Теперь к нему будет ходить 3/4 посетителей пляжа (все, кто находится ближе к воде и половина тех, кто раньше бы покупал в киоске Алисы). Тогда Алисе останется лишь 1/4 посетителей пляжа, то есть она потеряет половину своей прибыли.

Чтобы исправить ситуацию, Алиса тоже перевезёт свой ларёк к середине пляжа, то есть, в два раза ближе к морю (в паре метров от места, где стоит Боря). Тогда справедливость восторжествует, к обоим продавцам вновь будет ходить одинаковое количество покупателей. Более того, в этой ситуации ни Боря, ни Алиса не могут подвинуть свой ларек куда-либо, чтобы увеличить свою прибыль при условии, что второй продавец останется на месте.

Это и есть наглядная демонстрация равновесия Нэша! В общем случае такое равновесие — это ситуация в теории игр, при которой ни один участник не может улучшить свое положение, изменив стратегию поведения, при условии, что все остальные игроки ничего не изменят. Нэш доказал существование такого равновесия в любой конечной игре. Помимо теории игр и экономики это понятие часто возникает в бизнесе, социологии, политологии и в повседневной жизни.

Предлагаем поднять за это вафельный стаканчик!

На прошлой неделе у нас был пост с задачей на формулу Байеса.
А сегодня — ещё одна важная формула из теории вероятностей, которая не раз пригодится при решении задач. Кстати, часто нужны обе формулы сразу!
Итак, встречайте: формула полной вероятности (звучит претенциозно, не правда ли?) 😄
Именно она изображена на иллюстрации выше, но пусть вас не пугает её вид. Суть тут довольно простая, разберём на примере.

Пусть у вас есть 3 пары летней обуви, и сегодня вы можете надеть любую из них. Обозначим каждое из трёх событий «надеть пару номер n» как H с соответствующим индексом. У каждого из этих событий — своя вероятность. Например, пусть
P(H₁) = 0.2, P(H₂) = 0.3, P(H₃) = 0.5. События эти несовместны, то есть нельзя надеть две пары сразу, только какую-то одну. А ещё сумма вероятностей равна 1, то есть объединение этих событий даёт всё вероятностное пространство.

У каждой пары — своя вероятность натереть вам ноги! Обозначим событие «натереть ноги» за А. Тогда, например, событие A|H₁ — это вероятность натереть ноги, надев первую пару. Пусть все эти вероятности тоже даны:
P(A|H₁) = 0.1, P(A|H₂) = 0.4, P(A|H₃) = 0.7. Обратите внимание, сумма этих вероятностей уже никому ничего не должна быть равна 1.

Чему же сегодня равна P(A)? Вероятность натереть ноги складывается из вероятностей натирания в каждой из пар, но вероятность надеть каждую из пар — неодинакова, это тоже надо учитывать.

Поэтому P(A) = P(A|H₁)*P(H₁) + P(A|H₂)*P(H₂) + P(A|H₃)*P(H₃).
Мы как бы собрали полную вероятность из отдельных кусочков, учитывая вес (то бишь вероятность) каждого из этих кусочков. Давайте вычислим сумму этих маленьких произведений:
P(A) = 0.1*0.2 + 0.4*0.3 + 0.7*0.5 =
= 0.02 + 0.12 + 0.35 = 0.49.

Вероятность получилась довольно высокая! Основной вклад в этот ответ дала третья пара: она часто натирает, но при этом она явно вам нравится, раз вы выбираете её в 50% случаев. Что ж, любовь зла, но мы такое не одобряем. 😅

А теперь задачка для вас! Подсказка: в ней надо использовать и формулу полной вероятности, и теорему Байеса P(A|B) = (P(B|A) / P(B)) * P(A).

В городе N можно вызвать такси с помощью приложений X и Y.
Каждое из них имеет в своей базе по 1000 водителей (и эти базы не пересекаются). В приложении X все водители имеют рейтинг 4.5 и выше, а в приложении В таковы только 400 водителей из 1000, остальные же имеют рейтинг от 3.5 до 4.5.
Володя случайно выбирает для заказа одно из двух приложений, и приехавший водитель имеет рейтинг 4.7.
Какова вероятность, что использовалось приложение X?

Решения прячьте под спойлер, а мы опубликуем ответ в пятницу.

Марафон по математике завершился! 🎉

Мы рады поделиться результатами нашего математического марафона. За две недели участники погрузились в темы множеств, комбинаторики и теории вероятностей, прошли интерактивные уроки и участвовали в закрытых эфирах с нашими преподавателями.

Свои силы в марафоне попробовали 296 участников, и мы гордимся каждым из них! Особое признание заслуживают 119 отважных участников, которые выполняли задания каждый день и прошли всю дистанцию до конца! 🙌

Все, кто успешно завершил марафон, получили промокод на скидку на наши курсы по математике и анализу данных. Это награда за их усердие и желание учиться. 🏆

Уверены, что их успехи и достижения вдохновят многих из вас на дальнейшее изучение математики. И, кто знает, возможно, в следующий раз именно вы станете одним из участников! ✨

Приглашаем участников марафона поделиться впечатлениями в комментариях!

Разберём задачу про такси, которую постили в среду.

Для решения понадобятся и теорема Байеса, и формула полной вероятности.
Введём обозначения для событий:
X — Володя использовал для вызова такси приложение X,
Y — Володя использовал для вызова такси приложение Y,
T — приехал водитель с рейтингом 4.5 или выше.

В общем виде теорема Байеса выглядит так:
P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B).
Нам нужно найти вероятность того, что выбрано приложение X, при условии, что приехал водитель с высоким рейтингом. То есть найти
P(X|T) = P(T|X)*P(X) / P(T).

Распишем, чему равны вероятности из правой части.
Вероятность высокого рейтинга при условии выбора первого приложения — стопроцентная, ведь в первом приложении только такие водители и есть. :) Поэтому P(T|X) = 1.
По условию выбора приложения случаен, поэтому вероятность выбора каждого равна 0.5, то есть P(X) = 0.5.

А вот с P(T) ситуация чуть сложнее, она состоит из суммы вероятностей
высокого рейтинга в случае приложения А и в случае приложения В, при этом
вероятность использования каждого из них по 0.5.
Нужна формула полной вероятности:
P(T) = P(T|X)*P(X) + P(T|Y)*P(Y) = 1*0.5 + 0.4*0.5.
Множитель 0.4 появился, так как во втором приложении только 400 водителей из 1000 имеют высокий рейтинг, поэтому
P(T|Y) = 400 / 1000 = 0.4.

Итого:
P(X|T) = P(T|X)*P(X) / P(T) = 1*0.5 / (1*0.5 + 0.4*0.5)= 0.5/0.7 = 5/7.
Ответ: 5/7

Приятных вам поездок!

Число Шеннона

Сегодня мы принесли вам интересный факт про шахматы. А точнее — про число всевозможных шахматных партий. Спойлер: это число такое большое, что превосходит количество атомов во Вселенной! Но давайте по порядку.

В середине XX века американский математик Клод Шеннон разрабатывал компьютерные программы, которые могли бы играть в шахматы. И пришёл к тому, что количество всевозможных партий можно оценить числом 10¹²⁰. Дать компьютеру «просто просчитать» все эти партии не получится — у нас нет даже рядом лежащих мощностей, чтобы просчитать такое за адекватное (или даже не очень адекватное) время.
На самом деле эта оценка достаточно грубая и основана на среднем количестве возможных ходов в каждый момент времени и на средней длительности партии. Но зато число получилось впечатляющее. :)
Подробнее про то, как получить число Шеннона и другие оценки, можно посмотреть в этом видео. Нужны лишь знания базовых правил шахмат и правило произведения из комбинаторики.

А что насчёт количества атомов (или даже частиц) во вселенной? Их, конечно, тоже много, но оценка гораздо скромнее — около 10⁸⁰. Про то, как прикинуть это количество — есть отдельное видео. В нём ещё содержится бонусный кусочек информации: через сколько лет человечество истратит все частицы в обозримой Вселенной, если популяция продолжит расти с текущей скоростью. И это подозрительно скоро. 😅

Кажется, нам нужна новая Вселенная! И более мощные компьютеры.